資源簡介

(共23張PPT)
第一章 集合與常用邏輯
1.4.2充要條件
教學(xué)目標(biāo)
1.結(jié)合具體實(shí)例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．
(重點(diǎn)、難點(diǎn))
2．會求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件．
(重點(diǎn))
3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明．
(難點(diǎn))
1.通過充要條件的判斷，提升邏輯推理素養(yǎng).
2.借助充要條件的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
學(xué)科素養(yǎng)
溫故知新
命題真假
推出關(guān)系 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題
條件關(guān)系
p是q的充分條件
q是p的必要條件
p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
新知導(dǎo)入
下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？
(1)若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；
(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實(shí)數(shù)根，則ac＜0；
(4)若A∪B是空集，則A與B均是空集 ．
上述命題中的命題(1)(4)和它們的逆命題都是真命題；命題(2)是真命題，但它的逆命題是假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題．
如果將命題“若p，則q”中的條件p與結(jié)論q互換，得到一個新的命題“若p，則q”，稱這個命題為原命題的逆命題.
定義：命題“若p，則q”的逆命題為“若q，則p”.
新知導(dǎo)入
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題,即
既有p q，又有q p，就記作p q.
此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件（sufficient and necessary condition).
顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是q的充要條件．
概括地說，如果p q，那么p與q互為充要條件.
上述命題(1)(4)中的p與q互為充要條件．
新知講解
【例1】 下列各題中，哪些p是q的充要條件？
(1)p：四邊形是正方形， q：四邊形的對角線互相垂直且平分；
(2)p：兩個三角形相似， q：兩個三角形三邊成比例；
(3)p：xy＞0， q：x＞0，y＞0；
(4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根， q：a+b+c=0(a≠0)
(1)因?yàn)閷蔷€互相垂直且平分的四邊形不移動是正方形.所以qp,p不是q的充要條件.
(2)因?yàn)椤叭魀，則q”是三角形相似的性質(zhì)定理，“若q，則p”是三角形相似的判定定理，所以它們均為真命題，即p q，所以p是q的充要條件.
(3)因?yàn)閤y＞0時，x＞0，y＞0不一定成立，所以q,p不是q的充要條件.
(4)因?yàn)椤叭魀，則q”和“若q，則p”均是真命題，即即p q，所以p是q的充要條件.
解：
通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎
新知講解
通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎
可以發(fā)現(xiàn)，“四邊形的兩組對角分別相等”“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”和“四邊形的兩條對角線互相平分”既是“四邊形是平行四邊形”的充分條件，又是必要條件，所以它們都是“四邊形是平行四邊形”的充要條件.
另外，我們看平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.
它表明“四邊形的兩組對邊分別平行”也是“四邊形是平行四邊形”的一個充要條件.
上面的這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個概念，據(jù)此我們可以給出平行四邊形的其他定義.
類似地，利用“兩個三角形全等”的充要條件，可以給出“三角形全等”的其他定義形式，而且這些定義是相互等價的；等等.
新知講解
充分條件、必要條件及充要條件的理解
1.從定義來看
(3)若p q且q p，則p是q的
(4)若p q且q p，則p是q的
(6)若p q且q p，則p是q的
(5)若p q且q p，則p是q的
q是p的
q是p的
q是p的
q是p的
(1)若p q，則p是q的
q是p的
(2)若p q，則p是q的
q是p的
充分條件
必要條件
不充分條件
不必要條件
充分不必要條件
必要不充分條件
必要不充分條件
充分不必要條件
充要條件
充要條件
既不充分也不必要條件
既不充分也不必要條件
新知講解
(1)若P Q，則p是q的
(2)若Q P，則p是q的
(3)若P=Q，則p是q的
(4)若P Q，則p是q的
(5)若Q P，則p是q的
(6)若P Q且Q P，則p是q的
2.從集合觀點(diǎn)來看(命題p：x∈P，命題q：x∈Q)
充分條件.
必要條件.
充要條件.
充分不必要條件.
必要不充分條件.
既不充分也不必要條件.
充分條件、必要條件及充要條件的理解
明辨是非
√
√
【思考辨析】
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)當(dāng)p是q的充要條件時，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立．(　　)
(2)符號“ ”表示具有等價性．(　　)
(3)若p q和q p有一個成立，則p一定不是q的充要條件．(　　)
(4)數(shù)學(xué)中的每一個定義都是一個充要條件．(　　)
√
√
新知講解
【例2】 用“充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件或
既不充分也不必要條件”填空：
(1)“x2－2x－8=0”是“x=-2或x=4”的_________.
(2)“-2(3)“x為自然數(shù)”是“x為整數(shù)”的 .
(4)“x>3”是“x>5”的 .
充分不必要條件
必要不充分條件
充要條件
既不充分也不必要條件
初試身手
　(多選)在下列四個結(jié)論中，正確的有(　　)
A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分條件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件
C．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不為0”的充要條件
D．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件
解：對于結(jié)論A，由x3＜－8 x<－2 x2＞4，但是x2＞4 x>2或x＜－2 x3<－8或x3＞8，不一定有x3＜－8，故A正確；對于結(jié)論D，由a2＋b2≠0 a，b不全為0，反之，由a，b不全為0 a2＋b2≠0，D正確．
答案：AD
新知探究
【例3】已知：O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與O相切的充要條件.
分析：設(shè)p：d=r，q：直線l與O相切.要證明p是q的充要條件，只需分別證明充分性（p q）和必要性（q p）
證明：
設(shè)p：d=r，q：直線l與O相切.
⑴充分性（p q）：
如圖，OPl,于點(diǎn)P，則OP=d.
若d=r，則點(diǎn)P在O上.在直線l上任取一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），連接PQ.在Rt△OPQ中,OQ>OP=r.所以出點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在O外部，即直線l與O僅有一個公共點(diǎn)P.所以直線l與O相切.
⑵必要性（q p）：若直線l與O相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則OPl.因此，d=OP=r.
由⑴⑵可得，d=r是直線l與O相切的充要條件.
新知講解
【例4】已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有兩個大于1的實(shí)數(shù)根的充要條件．
解：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，則方程有兩個大于1的實(shí)數(shù)根x1，x2：

k<－2.
所以使方程有兩個大于1的實(shí)根的充要條件是k<－2.
新知講解
方法歸納
判定充要條件常用方法
初試身手
P22 練習(xí)1-2題.
完成下列各題：
(1)命題“x＝1且y＝2”是命題“x2＋y2＝2x＋4y－5”的(　　)條件
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
⑵已知是a,b實(shí)數(shù)，則“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
⑶(多選)設(shè)r是p的必要條件，r是q的充分條件，s是r的充分必要條件，s是p的充分條件，則下列說法正確的有(　　)
A．r是q的必要條件 B．s是q的充分條件
C．s是p的充分必要條件 D．p是q的既不充分也不必要條件
小結(jié)歸納
原命題 逆命題 p與q的關(guān)系 結(jié)論
真 假 p q，但 q p p是q的充分不必要條件；
q是p的必要不充分條件
假 真 q p，但p q p是q的必要不充分條件；
q是p的充分不必要條件
真 真 p q且q p ， 即p q p與q互為充要條件
假 假 p q且q p p是q的既不充分也不必要條件；
q是p的既不充分也不必要條件
作業(yè)布置
作業(yè)：P22-23 習(xí)題1.4 第2,3,4,5題
練習(xí)：P22 練習(xí) 第3題，習(xí)題1.4 第1題
盡情享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂！
我們下節(jié)課再見！
謝謝
21世紀(jì)教育網(wǎng)（www.21cnjy.com)
中小學(xué)教育資源網(wǎng)站
兼職招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin

展開更多......

收起↑