資源簡介

浙江省紹興市紹初教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年下學(xué)期5月九年級大單元教學(xué)效果檢測數(shù)學(xué)試題(二模)
一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1．（2025·紹興模擬）實(shí)數(shù)2，0，﹣2， 中，為負(fù)數(shù)的是（　?。?br/>A．2 B．0 C．﹣2 D．
2．（2025·紹興模擬）原子鐘是以原子的規(guī)則振動(dòng)為基礎(chǔ)的各種守時(shí)裝置的統(tǒng)稱，其中氫脈澤鐘的精度達(dá)到了1700000年誤差不超過1秒.數(shù)據(jù)1700000用科學(xué)記數(shù)法表示（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·紹興模擬）某物體如圖所示，它的主視圖是（　?。?br/>A． B．
C． D．
4．（2025·紹興模擬）下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
5．（2025·紹興模擬）一個(gè)不透明的布袋里裝有7個(gè)只有顏色不同的球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，1個(gè)黃球.從布袋里任意摸出1個(gè)球，是白球的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
6．（2025·紹興模擬）某班參加五個(gè)興趣小組的人數(shù)分別為4，7，x，6，6，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（　?。?br/>A．2 B．4 C．5 D．6
7．（2025·紹興模擬）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，中記載了這樣一個(gè)題目：五只雀、六只燕，共重兩，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．問：每只雀，燕的重量各為多少？設(shè)雀每只兩，燕每只兩，則可列出方程組為（　?。?br/>A． B．
C． D．
8．（2025·紹興模擬）如圖，在中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，且，，則（　?。?br/>A．4 B． C． D．
9．（2025·紹興模擬）已知和均是關(guān)于x的一次函數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)a，b，當(dāng)點(diǎn)在的圖象上時(shí)，點(diǎn)就在的圖象上，則稱函數(shù)和具有性質(zhì)P，以下函數(shù)和不具有性質(zhì)P的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
10．（2025·紹興模擬）如圖，矩形中，點(diǎn)E是延長線上一點(diǎn)，且，連結(jié)，與交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連結(jié)，則下列比值為定值的是（　?。?br/>A． B． C． D．
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．（2025·紹興模擬）化簡：-x2+2x2=　 　.
12．（2025·紹興模擬）若扇形的圓心角為，半徑為8，則它的弧長為　 　．
13．（2025·紹興模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+6a=0有兩個(gè)不同的解，其中一個(gè)解是x=2a，則該方程的另一個(gè)解是　 　.
14．（2025·紹興模擬）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的面積為，則的面積為　 ?。?br/>15．（2025·紹興模擬）已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位后的點(diǎn)仍在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，則　 ?。?br/>16．（2025·紹興模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）．
（1）若，則　 ??；
（2）連結(jié)，則的最大值為　 ?。?br/>三、解答題（本大題有8個(gè)小題，第17—21小題每小題8分，第22，23小題每小題10分，第24小題12分，共72分）
17．（2025·紹興模擬）計(jì)算：
18．（2025·紹興模擬）解方程組：
19．（2025·紹興模擬）某市在九年級“線上教學(xué)”結(jié)束后，為了解學(xué)生的視力情況，抽查了部分學(xué)生進(jìn)行視力檢測．根據(jù)檢測結(jié)果，制成下面不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．
被抽樣的學(xué)生視力情況頻數(shù)表
組別 視力段 頻數(shù)
A 5.1≤x≤5.3 25
B 4.8≤x≤5.0 115
C 4.4≤x≤4.7 m
D 4.0≤x≤4.3 52
（1）求組別C的頻數(shù)m的值．
（2）求組別A的圓心角度數(shù)．
（3）如果視力值4.8及以上屬于“視力良好”，請估計(jì)該市25000名九年級學(xué)生達(dá)到“視力良好”的人數(shù)．根據(jù)上述圖表信息，你對視力保護(hù)有什么建議？
20．（2025·紹興模擬）某臨街商鋪想做一款落地窗以展示商品，為防止商品久曬受損，需保證冬至日正午時(shí)分太陽光不能照進(jìn)落地窗．如圖，已有的遮陽棚，遮陽棚前段下擺的自然垂直長度，遮陽棚的固定高度，．
（1）如圖，求遮陽棚上的B點(diǎn)到墻面的距離；
（2）如圖，冬至日正午時(shí)，該商鋪所在地區(qū)的太陽的高度角約是（光線與地面的夾角），請通過計(jì)算判斷該商鋪的落地窗方案是否可行．（參考數(shù)據(jù)：，，）
21．（2025·紹興模擬）尺規(guī)作圖題：
如圖，在中，點(diǎn)A為上一點(diǎn)，以A為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，連結(jié)．
（1）求的度數(shù)；
（2）求證：垂直平分．
22．（2025·紹興模擬）甲貨車從A地前往B地，到達(dá)B地后停止，在甲貨車出發(fā)的同時(shí)，乙貨車從B地沿同一公路勻速前往A地，到達(dá)A地后停止（甲貨車的速度小于乙貨車的速度），兩車之間的路程與甲貨車出發(fā)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖中的折線所示．
（1）A，B兩地相距多少千米？
（2）乙貨車到達(dá)A地時(shí)，甲車離B地還有多少千米？
（3）經(jīng)過多久兩車相距？
23．（2025·紹興模擬）已知二次函數(shù)．
（1）若二次函數(shù)經(jīng)過，求二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為6，求t的值；
（3）在二次函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，總有，求t的取值范圍．
24．（2025·紹興模擬）在中，為直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D是上兩點(diǎn)，分別位于的異側(cè)，連接交與點(diǎn)E．
（1）如圖，連接，若，求的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)C是的中點(diǎn)．
①如圖，點(diǎn)E在上，若，求的值；
②若，直接寫出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點(diǎn)】正數(shù)和負(fù)數(shù)的認(rèn)識及應(yīng)用
【解析】【解答】解：實(shí)數(shù)2，0，-2， 中，為負(fù)數(shù)的是-2，
故答案為：C．
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)定義可得答案．
2．【答案】B
【知識點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的知識可得：1700000= .
故答案為：B.
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)絕對值較大的數(shù)，一般表示為a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去1.
3．【答案】A
【知識點(diǎn)】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：由題意，觀察可得該幾何體的主視圖是：
故答案為：A．
【分析】根據(jù)主視圖是從正面看物體所得的圖形，即可確定正確的選項(xiàng)．
4．【答案】C
【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】、原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，不符合題意；
、原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，不符合題意；
、原式，能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，符合題意；
、原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，不符合題意，
故答案為：C．
【分析】利用平方差公式的特征求解即可。
5．【答案】D
【知識點(diǎn)】概率公式
【解析】【解答】解：∵從布袋里任意摸出1個(gè)球有7種等可能結(jié)果，其中是白球的有4種結(jié)果，
∴從布袋里任意摸出1個(gè)球，是白球的概率為.
故答案為：D.
【分析】利用白球的個(gè)數(shù)除以球的總數(shù)即可求出對應(yīng)的概率.
6．【答案】D
【知識點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算；中位數(shù)
【解析】【解答】解：∵某班五個(gè)興趣小組的人數(shù)分別為4，7，x，6，6，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，
∴x=5×5-4-7-6-6=2，
∴這一組數(shù)從小到大排列為：2，4，6，6，7
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6.
故答案為：D.
【分析】利用平均數(shù)求出未知數(shù)x的值，然后將數(shù)據(jù)從小到大排列，找到中位數(shù).
7．【答案】B
【知識點(diǎn)】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：設(shè)雀每只兩，燕每只兩，
根據(jù)題意，可列出方程組為，
故答案為：B．
【分析】設(shè)雀每只兩，燕每只兩，然后根據(jù)“ 五只雀、六只燕，共重·6兩，雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重”可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，據(jù)此得到答案.
8．【答案】A
【知識點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：A．
【分析】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，由同角的余角相等可得∠A=∠BCD，根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得，由相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可得比例式，結(jié)合已知條件即可求解．
9．【答案】D
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：A、當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
∴的解析式為，此時(shí)和具有性質(zhì)P，
∴此選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
∴的解析式為，此時(shí)和具有性質(zhì)P，
∴此選項(xiàng)不符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
∴的解析式為，此時(shí)和具有性質(zhì)P，
∴此選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
∴的解析式為，此時(shí)和具有性質(zhì)P，
∴此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為：D．
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可設(shè)出函數(shù)圖象上的一點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定義得到函數(shù)圖象上的一點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求出對應(yīng)的函數(shù)的解析式，看是否一致即可判斷求解．
10．【答案】B
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；勾股定理；坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)距離公式；一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【解答】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
矩形中，
設(shè)，
A、∵，
∴，
∴，
設(shè)所在直線解析式為，
把代入，得，
，
解得，
∴所在直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有：，
∴，
∴，，
∴，其值是隨a，c的變化而變化；
∴此選項(xiàng)不符合題意；
B、，
∴，是定值，
∴此選項(xiàng)符合題意；
C、，，
∴，其值是隨a，c的變化而變化；
∴此選項(xiàng)不符合題意；
D、，
∴，其值是隨a，c的變化而變化；
∴此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為：B．
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由矩形的性質(zhì)可設(shè)，結(jié)合已知可得點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出的長，然后分別求出各選項(xiàng)的比值即可判斷求解．
11．【答案】x2
【知識點(diǎn)】合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用
【解析】【解答】解：-x2+2x2=x2，
故答案為：x2.
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則即可求解.
12．【答案】
【知識點(diǎn)】弧長的計(jì)算
【解析】【解答】解：扇形的圓心角為，半徑為8，
∴它的弧長為，
故答案為：．
【分析】根據(jù)弧長公式計(jì)算即可求解．
13．【答案】x=3
【知識點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
【解析】【解答】解：∵x2-ax+6a=0有兩個(gè)不同的解，
設(shè)另一個(gè)解是x2，
∴
∵x=2a，
∴x2=3，
故答案為：x=3.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.
14．【答案】12
【知識點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：過點(diǎn)作 的垂線交于，交于 ，如下圖，
則 ，
在中且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：.
【分析】過點(diǎn)作 的垂線交于，交于，則 ，由平行四邊形性質(zhì)可得，根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得，由相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可得比例式，結(jié)合已知可得，由線段的和差可得，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可求解.
15．【答案】6
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：把點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位后的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)A和點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案為：6．
【分析】根據(jù)題意得出平移后的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．先求出點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位后的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可得關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，再用待定系數(shù)法即可求解．
16．【答案】4；
【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；圓的相關(guān)概念
【解析】【解答】解：（1）由題意得：軸，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）結(jié)合（1）可知：若，則，
∴點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，
∵，
∴，即；
∵是定值，
∴點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
連接并延長，與圓交于點(diǎn)，如圖所示：
此時(shí)有最大值；
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴
故答案為：①②.
【分析】（1）由題意得：軸，根據(jù)三角形ABC的面積公式可求解；
（2）結(jié)合（1）可推出，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)；由BC=4為定值可得，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接并延長，與圓交于點(diǎn)，此時(shí)有最大值；根據(jù)可求解.
17．【答案】解：
．
【知識點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算
【解析】【分析】由特殊角的三角函數(shù)值可得cos45°=，由二次根式的性質(zhì)可得，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．
18．【答案】解：，
，得③，
②+③，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴原方程組的解是.
【知識點(diǎn)】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】觀察方程組，用①×3+②可得關(guān)于x的一元一次方程，解之求出x的值，把x的值代入①可得關(guān)于y的一元一次方程，解之求出y的值，然后寫出結(jié)論即可.
19．【答案】解：（1）本次抽查的人數(shù)為：115÷23%=500，m=500×61.6%=308，
即m的值是308；
（2）組別A的圓心角度數(shù)是：360°×=18°，
即組別A的圓心角度數(shù)是18°；
（3）25000×=7000（人），
答：該市25000名九年級學(xué)生達(dá)到“視力良好”的有7000人，建議是：同學(xué)們應(yīng)少玩電子產(chǎn)品，注意用眼保護(hù)．
【知識點(diǎn)】頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本所占百分比估計(jì)總體數(shù)量
【解析】【分析】（1）由統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，根據(jù)樣本容量=頻數(shù)÷百分比可可求得本次抽查的人數(shù)，根據(jù)頻數(shù)=樣本容量×百分比可求得m的值；
（2）由（1）中的結(jié)果和頻數(shù)分布表，根據(jù)圓心角=360°×相應(yīng)的百分比可求得組別A的圓心角度數(shù)；
（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以得到該市25000名九年級學(xué)生達(dá)到“視力良好”的人數(shù)，并提出合理化建議，建議答案不唯一，只要對保護(hù)眼睛好即可．
20．【答案】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)B作于，
在中，，
．
即的點(diǎn)到墻面的距離為；
（2）解：如圖，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，
可得，，，
在中，，，
，
由題意，四邊形是矩形，則，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光線剛好不能照射到商戶內(nèi)，方案可行．
【知識點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形的其他實(shí)際應(yīng)用；解直角三角形—邊角關(guān)系
【解析】【分析】
（1）過點(diǎn)作于，根據(jù)可求解；
（2）延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，用勾股定理求得AH的值，再根據(jù)，求出的長，將IF與比較大小即可判斷求解．
（1）解：如圖所示，過點(diǎn)B作于，
在中，，
．
即的點(diǎn)到墻面的距離為；
（2）解：如圖，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，
可得，，，
在中，，，
，
由題意，四邊形是矩形，則，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光線剛好不能照射到商戶內(nèi)，方案可行．
21．【答案】（1）解：連接，如圖所示：
由題意得：，
∴是等邊三角形，
∴；
答：∠AOB的度數(shù)為60°；
（2）證明：連接，如圖所示：
同理可得：，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴垂直平分.
【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；線段垂直平分線的判定
【解析】【分析】
（1）連接，由題意得：，根據(jù)三邊都相等的三角形是等邊三角形可得是等邊三角形，然后由等邊三角形的每一個(gè)角都等于60°可求解；
（2）連接，同理可得：，然后根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形可得四邊形ACOB是菱形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可求解.
（1）解：連接，如圖所示：
由題意得：，
∴是等邊三角形，
∴；
（2）證明：連接，如圖所示：
同理可得：，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴垂直平分
22．【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴A、B兩地的距離為千米；
（2）解：甲貨車的速度為，
答：乙貨車到達(dá)地時(shí)，甲貨車距離地；
（3）解：乙貨車速度為，
當(dāng)二者相遇前，相距時(shí)，
由題意得，
解得，
當(dāng)時(shí)，，，符合題意；
當(dāng)二者相遇后，相距時(shí)，
由題意得，
解得，
答：經(jīng)過或時(shí)，兩車相距．
【知識點(diǎn)】一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-行程問題；通過函數(shù)圖象獲取信息
【解析】【分析】
（1）觀察函數(shù)關(guān)系圖可知：當(dāng)時(shí)，，即可求得A、B兩地的距離為千米；
（2）結(jié)合圖中的信息，先求得甲貨車的速度，根據(jù)，即可求解；
（3）分相遇前和相遇后兩種情況，根據(jù)“速度和時(shí)間路程”，列關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可求解．
（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴A、B兩地的距離為千米；
（2）解：甲貨車的速度為，
答：乙貨車到達(dá)地時(shí)，甲貨車距離地；
（3）解：乙貨車速度為，
當(dāng)二者相遇前，相距時(shí)，
由題意得，
解得，
當(dāng)時(shí)，，，符合題意；
當(dāng)二者相遇后，相距時(shí)，
由題意得，
解得，
答：經(jīng)過或時(shí)，兩車相距．
23．【答案】（1）解：把代入函數(shù)解析式得，，
∴，
∴函數(shù)解析式為：；
（2）解：∵，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，或時(shí)，函數(shù)有最大值6，
若當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，將代入得，
，符合題意；
若當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，將代入得，
，符合題意；
綜上，t的值為8或；
（3）解：∵二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為，
∵當(dāng)時(shí)，總有，開口向上，
∴當(dāng)點(diǎn)，在對稱軸同側(cè)時(shí)，隨的增大而減小，則都在對稱軸的左側(cè)，即，解得；
當(dāng)點(diǎn)，在對稱軸異側(cè)時(shí)，則對稱軸左右兩端存在函數(shù)值的相等的兩段范圍，無法保證左邊的函數(shù)值一定比右邊大，即不合題意，
綜上可得，．
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【分析】
（1）由題意，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中可得關(guān)于t的方程，解方程即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式得拋物線開口向上，由x的取值范圍可得或時(shí)，函數(shù)有最大值6，分別把、代入函數(shù)關(guān)系式可得關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，并驗(yàn)證此時(shí)最大值為6即可判斷求解；
（3）拋物線開口向上，得出稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)圖象的增減性結(jié)合題意可得關(guān)于t的不等式，解不等式即可．
（1）解：把代入函數(shù)解析式得，
，
∴，
∴函數(shù)解析式為：；
（2）解：∵，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，或時(shí)，函數(shù)有最大值6，
若當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，將代入得，
，符合題意；
若當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，將代入得，
，符合題意；
綜上，t的值為8或；
（3）解：∵二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為，
∵當(dāng)時(shí)，總有，開口向上，
∴當(dāng)點(diǎn)，在對稱軸同側(cè)時(shí)，隨的增大而減小，則都在對稱軸的左側(cè)，即，解得；
當(dāng)點(diǎn)，在對稱軸異側(cè)時(shí)，則對稱軸左右兩端存在函數(shù)值的相等的兩段范圍，無法保證左邊的函數(shù)值一定比右邊大，即不合題意，
綜上所述，．
24．【答案】（1）解：∵是的直徑，∴，即．
∵所對的圓周角和相等，
設(shè)，已知，
∴．
∴，
解得，
∴．
答：∠BCD的度數(shù)為.
（2）解：①連接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴
∴C是的中點(diǎn)．
∴，
∴，
設(shè)，
∴，，
∴；
②連接，
∵是的直徑，
∴，
∴C是的中點(diǎn)．
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴；
由題意分兩種情況：
Ⅰ）：點(diǎn)在線段上
連接，過作于．
∴
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則．
在中，
，即
，
∴，
在中，，
∴．
Ⅱ）：點(diǎn)在線段上
連接，，過作于．
∴
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則．
在中，，
即，則，
∴，
在中，
，
∴．
綜上可得：的值為或．
【知識點(diǎn)】圓周角定理；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）利用圓周角定理，由是直徑得出，即．再依據(jù)同弧所對圓周角相等，設(shè)，則，，代入方程求解得出的度數(shù)．
（2）①連接、，由題意，根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得，由相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可得比例式 ．由點(diǎn)是中點(diǎn)得 ，設(shè)的值，用勾股定理求出，最后根據(jù)三角函數(shù)定義=可求解；
②連接OC，分點(diǎn)在線段上和兩種情況，作，根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得，由相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可得比例式，設(shè)，通過勾股定理求和，再根據(jù)分別計(jì)算兩種情況的比值即可．
（1）解：∵是的直徑，
∴，即．
∵所對的圓周角和相等，
設(shè)，已知，
∴．
∴，
解得，
∴．
（2）解：①連接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴
∴C是的中點(diǎn)．
∴，
∴，
設(shè)，
∴，，
∴；
②連接，∵是的直徑，
∴，
∴C是的中點(diǎn)．
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴；
情況一：點(diǎn)在線段上
連接，過作于．
∴
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則．
在中，
，即
，
∴，
在中，，
∴．
情況二：點(diǎn)在線段上
連接，，過作于．
∴
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則．
在中，，
即，則，
∴，
在中，
，
∴．
綜上所述的值為或．
1 / 1浙江省紹興市紹初教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年下學(xué)期5月九年級大單元教學(xué)效果檢測數(shù)學(xué)試題(二模)
一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1．（2025·紹興模擬）實(shí)數(shù)2，0，﹣2， 中，為負(fù)數(shù)的是（　?。?br/>A．2 B．0 C．﹣2 D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】正數(shù)和負(fù)數(shù)的認(rèn)識及應(yīng)用
【解析】【解答】解：實(shí)數(shù)2，0，-2， 中，為負(fù)數(shù)的是-2，
故答案為：C．
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)定義可得答案．
2．（2025·紹興模擬）原子鐘是以原子的規(guī)則振動(dòng)為基礎(chǔ)的各種守時(shí)裝置的統(tǒng)稱，其中氫脈澤鐘的精度達(dá)到了1700000年誤差不超過1秒.數(shù)據(jù)1700000用科學(xué)記數(shù)法表示（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的知識可得：1700000= .
故答案為：B.
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)絕對值較大的數(shù)，一般表示為a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去1.
3．（2025·紹興模擬）某物體如圖所示，它的主視圖是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：由題意，觀察可得該幾何體的主視圖是：
故答案為：A．
【分析】根據(jù)主視圖是從正面看物體所得的圖形，即可確定正確的選項(xiàng)．
4．（2025·紹興模擬）下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】、原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，不符合題意；
、原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，不符合題意；
、原式，能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，符合題意；
、原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，不符合題意，
故答案為：C．
【分析】利用平方差公式的特征求解即可。
5．（2025·紹興模擬）一個(gè)不透明的布袋里裝有7個(gè)只有顏色不同的球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，1個(gè)黃球.從布袋里任意摸出1個(gè)球，是白球的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】概率公式
【解析】【解答】解：∵從布袋里任意摸出1個(gè)球有7種等可能結(jié)果，其中是白球的有4種結(jié)果，
∴從布袋里任意摸出1個(gè)球，是白球的概率為.
故答案為：D.
【分析】利用白球的個(gè)數(shù)除以球的總數(shù)即可求出對應(yīng)的概率.
6．（2025·紹興模擬）某班參加五個(gè)興趣小組的人數(shù)分別為4，7，x，6，6，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知識點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算；中位數(shù)
【解析】【解答】解：∵某班五個(gè)興趣小組的人數(shù)分別為4，7，x，6，6，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，
∴x=5×5-4-7-6-6=2，
∴這一組數(shù)從小到大排列為：2，4，6，6，7
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6.
故答案為：D.
【分析】利用平均數(shù)求出未知數(shù)x的值，然后將數(shù)據(jù)從小到大排列，找到中位數(shù).
7．（2025·紹興模擬）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，中記載了這樣一個(gè)題目：五只雀、六只燕，共重兩，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．問：每只雀，燕的重量各為多少？設(shè)雀每只兩，燕每只兩，則可列出方程組為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：設(shè)雀每只兩，燕每只兩，
根據(jù)題意，可列出方程組為，
故答案為：B．
【分析】設(shè)雀每只兩，燕每只兩，然后根據(jù)“ 五只雀、六只燕，共重·6兩，雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重”可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，據(jù)此得到答案.
8．（2025·紹興模擬）如圖，在中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，且，，則（　?。?br/>A．4 B． C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：A．
【分析】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，由同角的余角相等可得∠A=∠BCD，根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得，由相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可得比例式，結(jié)合已知條件即可求解．
9．（2025·紹興模擬）已知和均是關(guān)于x的一次函數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)a，b，當(dāng)點(diǎn)在的圖象上時(shí)，點(diǎn)就在的圖象上，則稱函數(shù)和具有性質(zhì)P，以下函數(shù)和不具有性質(zhì)P的是（　?。?br/>A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：A、當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
∴的解析式為，此時(shí)和具有性質(zhì)P，
∴此選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
∴的解析式為，此時(shí)和具有性質(zhì)P，
∴此選項(xiàng)不符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
∴的解析式為，此時(shí)和具有性質(zhì)P，
∴此選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
∴的解析式為，此時(shí)和具有性質(zhì)P，
∴此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為：D．
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可設(shè)出函數(shù)圖象上的一點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定義得到函數(shù)圖象上的一點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求出對應(yīng)的函數(shù)的解析式，看是否一致即可判斷求解．
10．（2025·紹興模擬）如圖，矩形中，點(diǎn)E是延長線上一點(diǎn)，且，連結(jié)，與交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連結(jié)，則下列比值為定值的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；勾股定理；坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)距離公式；一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【解答】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
矩形中，
設(shè)，
A、∵，
∴，
∴，
設(shè)所在直線解析式為，
把代入，得，
，
解得，
∴所在直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有：，
∴，
∴，，
∴，其值是隨a，c的變化而變化；
∴此選項(xiàng)不符合題意；
B、，
∴，是定值，
∴此選項(xiàng)符合題意；
C、，，
∴，其值是隨a，c的變化而變化；
∴此選項(xiàng)不符合題意；
D、，
∴，其值是隨a，c的變化而變化；
∴此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為：B．
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由矩形的性質(zhì)可設(shè)，結(jié)合已知可得點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出的長，然后分別求出各選項(xiàng)的比值即可判斷求解．
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．（2025·紹興模擬）化簡：-x2+2x2=　 　.
【答案】x2
【知識點(diǎn)】合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用
【解析】【解答】解：-x2+2x2=x2，
故答案為：x2.
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則即可求解.
12．（2025·紹興模擬）若扇形的圓心角為，半徑為8，則它的弧長為　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】弧長的計(jì)算
【解析】【解答】解：扇形的圓心角為，半徑為8，
∴它的弧長為，
故答案為：．
【分析】根據(jù)弧長公式計(jì)算即可求解．
13．（2025·紹興模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+6a=0有兩個(gè)不同的解，其中一個(gè)解是x=2a，則該方程的另一個(gè)解是　 　.
【答案】x=3
【知識點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
【解析】【解答】解：∵x2-ax+6a=0有兩個(gè)不同的解，
設(shè)另一個(gè)解是x2，
∴
∵x=2a，
∴x2=3，
故答案為：x=3.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.
14．（2025·紹興模擬）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的面積為，則的面積為　 　．
【答案】12
【知識點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【解答】解：過點(diǎn)作 的垂線交于，交于 ，如下圖，
則 ，
在中且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：.
【分析】過點(diǎn)作 的垂線交于，交于，則 ，由平行四邊形性質(zhì)可得，根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得，由相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可得比例式，結(jié)合已知可得，由線段的和差可得，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可求解.
15．（2025·紹興模擬）已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位后的點(diǎn)仍在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，則　 ?。?br/>【答案】6
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：把點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位后的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)A和點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案為：6．
【分析】根據(jù)題意得出平移后的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．先求出點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位后的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可得關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，再用待定系數(shù)法即可求解．
16．（2025·紹興模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）．
（1）若，則　 ??；
（2）連結(jié)，則的最大值為　 　．
【答案】4；
【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；圓的相關(guān)概念
【解析】【解答】解：（1）由題意得：軸，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）結(jié)合（1）可知：若，則，
∴點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，
∵，
∴，即；
∵是定值，
∴點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
連接并延長，與圓交于點(diǎn)，如圖所示：
此時(shí)有最大值；
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴
故答案為：①②.
【分析】（1）由題意得：軸，根據(jù)三角形ABC的面積公式可求解；
（2）結(jié)合（1）可推出，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)；由BC=4為定值可得，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接并延長，與圓交于點(diǎn)，此時(shí)有最大值；根據(jù)可求解.
三、解答題（本大題有8個(gè)小題，第17—21小題每小題8分，第22，23小題每小題10分，第24小題12分，共72分）
17．（2025·紹興模擬）計(jì)算：
【答案】解：
．
【知識點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算
【解析】【分析】由特殊角的三角函數(shù)值可得cos45°=，由二次根式的性質(zhì)可得，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．
18．（2025·紹興模擬）解方程組：
【答案】解：，
，得③，
②+③，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴原方程組的解是.
【知識點(diǎn)】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】觀察方程組，用①×3+②可得關(guān)于x的一元一次方程，解之求出x的值，把x的值代入①可得關(guān)于y的一元一次方程，解之求出y的值，然后寫出結(jié)論即可.
19．（2025·紹興模擬）某市在九年級“線上教學(xué)”結(jié)束后，為了解學(xué)生的視力情況，抽查了部分學(xué)生進(jìn)行視力檢測．根據(jù)檢測結(jié)果，制成下面不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．
被抽樣的學(xué)生視力情況頻數(shù)表
組別 視力段 頻數(shù)
A 5.1≤x≤5.3 25
B 4.8≤x≤5.0 115
C 4.4≤x≤4.7 m
D 4.0≤x≤4.3 52
（1）求組別C的頻數(shù)m的值．
（2）求組別A的圓心角度數(shù)．
（3）如果視力值4.8及以上屬于“視力良好”，請估計(jì)該市25000名九年級學(xué)生達(dá)到“視力良好”的人數(shù)．根據(jù)上述圖表信息，你對視力保護(hù)有什么建議？
【答案】解：（1）本次抽查的人數(shù)為：115÷23%=500，m=500×61.6%=308，
即m的值是308；
（2）組別A的圓心角度數(shù)是：360°×=18°，
即組別A的圓心角度數(shù)是18°；
（3）25000×=7000（人），
答：該市25000名九年級學(xué)生達(dá)到“視力良好”的有7000人，建議是：同學(xué)們應(yīng)少玩電子產(chǎn)品，注意用眼保護(hù)．
【知識點(diǎn)】頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本所占百分比估計(jì)總體數(shù)量
【解析】【分析】（1）由統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，根據(jù)樣本容量=頻數(shù)÷百分比可可求得本次抽查的人數(shù)，根據(jù)頻數(shù)=樣本容量×百分比可求得m的值；
（2）由（1）中的結(jié)果和頻數(shù)分布表，根據(jù)圓心角=360°×相應(yīng)的百分比可求得組別A的圓心角度數(shù)；
（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以得到該市25000名九年級學(xué)生達(dá)到“視力良好”的人數(shù)，并提出合理化建議，建議答案不唯一，只要對保護(hù)眼睛好即可．
20．（2025·紹興模擬）某臨街商鋪想做一款落地窗以展示商品，為防止商品久曬受損，需保證冬至日正午時(shí)分太陽光不能照進(jìn)落地窗．如圖，已有的遮陽棚，遮陽棚前段下擺的自然垂直長度，遮陽棚的固定高度，．
（1）如圖，求遮陽棚上的B點(diǎn)到墻面的距離；
（2）如圖，冬至日正午時(shí)，該商鋪所在地區(qū)的太陽的高度角約是（光線與地面的夾角），請通過計(jì)算判斷該商鋪的落地窗方案是否可行．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)B作于，
在中，，
．
即的點(diǎn)到墻面的距離為；
（2）解：如圖，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，
可得，，，
在中，，，
，
由題意，四邊形是矩形，則，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光線剛好不能照射到商戶內(nèi)，方案可行．
【知識點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形的其他實(shí)際應(yīng)用；解直角三角形—邊角關(guān)系
【解析】【分析】
（1）過點(diǎn)作于，根據(jù)可求解；
（2）延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，用勾股定理求得AH的值，再根據(jù)，求出的長，將IF與比較大小即可判斷求解．
（1）解：如圖所示，過點(diǎn)B作于，
在中，，
．
即的點(diǎn)到墻面的距離為；
（2）解：如圖，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，
可得，，，
在中，，，
，
由題意，四邊形是矩形，則，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光線剛好不能照射到商戶內(nèi)，方案可行．
21．（2025·紹興模擬）尺規(guī)作圖題：
如圖，在中，點(diǎn)A為上一點(diǎn)，以A為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，連結(jié)．
（1）求的度數(shù)；
（2）求證：垂直平分．
【答案】（1）解：連接，如圖所示：
由題意得：，
∴是等邊三角形，
∴；
答：∠AOB的度數(shù)為60°；
（2）證明：連接，如圖所示：
同理可得：，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴垂直平分.
【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；線段垂直平分線的判定
【解析】【分析】
（1）連接，由題意得：，根據(jù)三邊都相等的三角形是等邊三角形可得是等邊三角形，然后由等邊三角形的每一個(gè)角都等于60°可求解；
（2）連接，同理可得：，然后根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形可得四邊形ACOB是菱形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可求解.
（1）解：連接，如圖所示：
由題意得：，
∴是等邊三角形，
∴；
（2）證明：連接，如圖所示：
同理可得：，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴垂直平分
22．（2025·紹興模擬）甲貨車從A地前往B地，到達(dá)B地后停止，在甲貨車出發(fā)的同時(shí)，乙貨車從B地沿同一公路勻速前往A地，到達(dá)A地后停止（甲貨車的速度小于乙貨車的速度），兩車之間的路程與甲貨車出發(fā)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖中的折線所示．
（1）A，B兩地相距多少千米？
（2）乙貨車到達(dá)A地時(shí)，甲車離B地還有多少千米？
（3）經(jīng)過多久兩車相距？
【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴A、B兩地的距離為千米；
（2）解：甲貨車的速度為，
答：乙貨車到達(dá)地時(shí)，甲貨車距離地；
（3）解：乙貨車速度為，
當(dāng)二者相遇前，相距時(shí)，
由題意得，
解得，
當(dāng)時(shí)，，，符合題意；
當(dāng)二者相遇后，相距時(shí)，
由題意得，
解得，
答：經(jīng)過或時(shí)，兩車相距．
【知識點(diǎn)】一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-行程問題；通過函數(shù)圖象獲取信息
【解析】【分析】
（1）觀察函數(shù)關(guān)系圖可知：當(dāng)時(shí)，，即可求得A、B兩地的距離為千米；
（2）結(jié)合圖中的信息，先求得甲貨車的速度，根據(jù)，即可求解；
（3）分相遇前和相遇后兩種情況，根據(jù)“速度和時(shí)間路程”，列關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可求解．
（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴A、B兩地的距離為千米；
（2）解：甲貨車的速度為，
答：乙貨車到達(dá)地時(shí)，甲貨車距離地；
（3）解：乙貨車速度為，
當(dāng)二者相遇前，相距時(shí)，
由題意得，
解得，
當(dāng)時(shí)，，，符合題意；
當(dāng)二者相遇后，相距時(shí)，
由題意得，
解得，
答：經(jīng)過或時(shí)，兩車相距．
23．（2025·紹興模擬）已知二次函數(shù)．
（1）若二次函數(shù)經(jīng)過，求二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為6，求t的值；
（3）在二次函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，總有，求t的取值范圍．
【答案】（1）解：把代入函數(shù)解析式得，，
∴，
∴函數(shù)解析式為：；
（2）解：∵，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，或時(shí)，函數(shù)有最大值6，
若當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，將代入得，
，符合題意；
若當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，將代入得，
，符合題意；
綜上，t的值為8或；
（3）解：∵二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為，
∵當(dāng)時(shí)，總有，開口向上，
∴當(dāng)點(diǎn)，在對稱軸同側(cè)時(shí)，隨的增大而減小，則都在對稱軸的左側(cè)，即，解得；
當(dāng)點(diǎn)，在對稱軸異側(cè)時(shí)，則對稱軸左右兩端存在函數(shù)值的相等的兩段范圍，無法保證左邊的函數(shù)值一定比右邊大，即不合題意，
綜上可得，．
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【分析】
（1）由題意，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中可得關(guān)于t的方程，解方程即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式得拋物線開口向上，由x的取值范圍可得或時(shí)，函數(shù)有最大值6，分別把、代入函數(shù)關(guān)系式可得關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，并驗(yàn)證此時(shí)最大值為6即可判斷求解；
（3）拋物線開口向上，得出稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)圖象的增減性結(jié)合題意可得關(guān)于t的不等式，解不等式即可．
（1）解：把代入函數(shù)解析式得，
，
∴，
∴函數(shù)解析式為：；
（2）解：∵，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，或時(shí)，函數(shù)有最大值6，
若當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，將代入得，
，符合題意；
若當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，將代入得，
，符合題意；
綜上，t的值為8或；
（3）解：∵二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為，
∵當(dāng)時(shí)，總有，開口向上，
∴當(dāng)點(diǎn)，在對稱軸同側(cè)時(shí)，隨的增大而減小，則都在對稱軸的左側(cè)，即，解得；
當(dāng)點(diǎn)，在對稱軸異側(cè)時(shí)，則對稱軸左右兩端存在函數(shù)值的相等的兩段范圍，無法保證左邊的函數(shù)值一定比右邊大，即不合題意，
綜上所述，．
24．（2025·紹興模擬）在中，為直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D是上兩點(diǎn)，分別位于的異側(cè)，連接交與點(diǎn)E．
（1）如圖，連接，若，求的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)C是的中點(diǎn)．
①如圖，點(diǎn)E在上，若，求的值；
②若，直接寫出的值．
【答案】（1）解：∵是的直徑，∴，即．
∵所對的圓周角和相等，
設(shè)，已知，
∴．
∴，
解得，
∴．
答：∠BCD的度數(shù)為.
（2）解：①連接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴
∴C是的中點(diǎn)．
∴，
∴，
設(shè)，
∴，，
∴；
②連接，
∵是的直徑，
∴，
∴C是的中點(diǎn)．
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴；
由題意分兩種情況：
Ⅰ）：點(diǎn)在線段上
連接，過作于．
∴
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則．
在中，
，即
，
∴，
在中，，
∴．
Ⅱ）：點(diǎn)在線段上
連接，，過作于．
∴
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則．
在中，，
即，則，
∴，
在中，
，
∴．
綜上可得：的值為或．
【知識點(diǎn)】圓周角定理；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）利用圓周角定理，由是直徑得出，即．再依據(jù)同弧所對圓周角相等，設(shè)，則，，代入方程求解得出的度數(shù)．
（2）①連接、，由題意，根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得，由相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可得比例式 ．由點(diǎn)是中點(diǎn)得 ，設(shè)的值，用勾股定理求出，最后根據(jù)三角函數(shù)定義=可求解；
②連接OC，分點(diǎn)在線段上和兩種情況，作，根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得，由相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可得比例式，設(shè)，通過勾股定理求和，再根據(jù)分別計(jì)算兩種情況的比值即可．
（1）解：∵是的直徑，
∴，即．
∵所對的圓周角和相等，
設(shè)，已知，
∴．
∴，
解得，
∴．
（2）解：①連接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴
∴C是的中點(diǎn)．
∴，
∴，
設(shè)，
∴，，
∴；
②連接，∵是的直徑，
∴，
∴C是的中點(diǎn)．
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴；
情況一：點(diǎn)在線段上
連接，過作于．
∴
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則．
在中，
，即
，
∴，
在中，，
∴．
情況二：點(diǎn)在線段上
連接，，過作于．
∴
∵，
∴，
∴．
設(shè)，則．
在中，，
即，則，
∴，
在中，
，
∴．
綜上所述的值為或．
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