資源簡介

第四章 指數函數與對數函數
4.1.1 n次根式與分數指數冪
1. 理解n次方根、根式的概念與分數指數冪的概念;
2. 掌握分數指數冪和根式之間的互化、化簡、求值；
3. 掌握無理數指數冪的運算性質。
學習目標——明確方向，把握重、難點
【學習目標】：
分數？
負整數或零
正整數
指數冪（冪）
問題思考
為了研究指數函數，我們需要把指數的范圍拓展到全體實數。初中已經學過整數指數冪．
冪
指數
底數
讀作“a的n次方”或“a的n次冪”
求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪.
知識引入
整數指數冪的運算性質：
整數指數冪：
指數運算
乘方運算
開方運算
乘方和開方是互逆運算
因為(±4)2 =16，所以±4叫做16的平方根;
因為(±3)2 =9，所以±3叫做9的平方根；
因為23=8，所以2叫做8的立方根；
因為(-2)3=-8，所以-2叫做-8的立方根；
如果x2=a，那么x叫做a的平方根；
如果x3=a，那么x叫做a的立方根；
類似地，
因為(±2)4=16，我們把±2叫做16的4次方根;
因為25=32，我們把2叫做32的5次方根；
n次方根
請回答:
-8的立方根= 16的4次方根=
32的5次方根= -32的5次方根=
0的7次方根= a6的立方根=
a2
推廣到一般情形，a的n次方根:
一般地，如果 ????????＝????，那么 x 叫 a 的n 次方根，其中n∈????+。
?
-2
±2
2
-2
0
新知講解
思考2: (1) 一般地，當n為奇數時，實數a的n次方根存在嗎？有幾個？如關于x的方程 x3 =a，x5 = a 分別有解嗎？

(2)一般地，當n為偶數時，實數a的n次方根存在嗎？有幾個？如關于x的方程 x4=a，x6=a分別有解嗎？有幾個解？

當a>0，方程有兩個解；
當a=0，方程有一個解；
當a<0，方程無解。
方程有一個解。
問題思考
根式：
根指數
根式
被開方數
讀法？
新知講解
觀察思考：你能得到什么結論？
奇次方根
1.正數的奇次方根是一個正數；
2.負數的奇次方根是一個負數；
3.0的奇次方根為0．
新知講解
觀察思考：你能得到什么結論？
偶次方根
2.負數沒有偶次方根；
1.正數的偶次方根有兩個且互為相反數；
3.0的偶次方根為0．
新知講解
思考: 分別等于什么？
結論：
新知講解
= 5
= -9
= 25
= 25
= a-b
= b-a
得出什么結論？
結論：
新知講解
新知講解--分數指數冪
注：0的正分數指數冪等于0，
0的負分數指數冪沒有意義。
新知講解--分數指數冪
整數指數冪的運算性質對于有理指數冪也同樣適用,即對于任意有理數r，s，均有下面的運算性質：
新知講解--分數指數冪
冪函數
如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長C=????，????也可以表示為????12
?
知識清單
知識清單
知識清單
知識清單
實數指數冪的運算性質
有理數指數冪
(1)aras＝ar＋s (a＞0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars (a＞0，r，s∈Q．
(3)(ab)r＝aras (a＞0，b＞0，r∈Q)．
實數指數冪的運算性質
實數指數冪
(1)aras＝ar＋s (a＞0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars (a＞0，r，s∈R．
(3)(ab)r＝aras (a＞0，b＞0，r∈R)．
知識清單

探究一：利用根式的性質化簡求值
例1 求下列各式的值
探究與發現
解： =-8
=|-10|=10
=
=
a?b=?????????,????≥?????????????,?????
探究與發現
(2)在對根式進行化簡時,若被開方數中含有字母參數,則要注意字母參數的取值范圍,即確定????????????中????的正負,再結合n的奇偶性給出正確結果.
?
解題方法（根式求值）
變式訓練：用分數指數冪表示下列各式

解：
探究與發現
1.對于既含有分數指數冪,又含有根式的式子,一般把根式統一化成分數指數冪的形式,以便于計算.如果根式中的根指數不同,也應化成分數指數冪的形式.
2.對于計算題的結果,不強求統一用什么形式來表示,但結果不能同時含有根號和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數.
解題方法（分數指數冪的運算技巧）
探究二：根式與分數指數冪的互化
例3.用分數指數冪的形式表示下列各式（a＞0）

解：
探究與發現
（1）根指數化為分數指數的分母，被開方數(式)的指數化為分數指數的分子．
（2）在具體計算時，通常會把根式轉化成分數指數冪的形式，然后利用有理數指數冪的運算性質解題．
解題方法（根式與分數指數冪的互化）
探究三：利用分數指數冪的運算性質化簡求值
例4.計算下列各式(式中字母均為正數）
（1）
解：

=[2×（-6）÷（-3）]a23+12?16b12+13?56
=4ab0
=4a
?
探究與發現
(3)

解：
=（????23?????32）÷????12
= ????23÷????12?????32÷????12
= ????16?????
= 6?????????

?
探究與發現
（2）
解：
=（????????????）????（?????38）8
=?????????????????
=????????????????
?
探究四：無理數指數冪的運算
探究與發現

展開更多......

收起↑