資源簡介

(共24張PPT)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
第四章 指數函數與對數函數
【學習目標】
1.了解二分法的原理及其適用條件.
2.掌握二分法的實施步驟.
3.通過用二分法求方程的近似解，使學生體會函數零點與方程根之間的聯系，初步形成用函數觀點處理問題的意識.
學習目標
【數學學科素養】
1.數學抽象：二分法的概念；
2.邏輯推理：用二分法求函數零點近似值的步驟；
3.數學運算：求函數零點近似值；
4.數學建模：通過一些函數模型的實例，讓學生感受建立函數模型的過程和方法，體會函數在數學和其他學科中的廣泛應用.
引入問題，探討方法
上節課
本節課
利用函數研究方程的近似解
函數零點存在定理
函數
單調性
函數零點個數
方程實數解的個數
新知導入
閱讀課本144-146頁，思考并完成以下問題
1. 二分法的定義是什么？
新知
對于在區間[a，b]上____________且_____________________的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
連續不斷
是否所有的函數都可以用二分法求函數的零點？
不是，只有滿足函數圖象在零點附近連續，且在該零點左右函數值異號時，才能應用“二分法”求函數零點．
f(a)·f(b)<0
二分法定義：
思考？
新知導入
2．用二分法求函數零點近似值的步驟是什么？
課堂小測
3.用二分法求函數f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區間是(　　)
A．[－2,1]　 B．[－1,0]
C．[0,1] 　 D．[1,2]
課堂小測
探究一：二分法概念的理解
A中，函數無零點；B和D中，函數有零點，但它們均是不變號零點，因此它們都不能用二分法來求零點；而在C中，函數圖象是連續不斷的，且圖象與x軸有交點，并且其零點為變號零點，故選C.
C
變式訓練
二分法的適用條件：
　 判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是：其圖象在零點附近是連續不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適用，對函數的不變號零點不適用．　　
總結歸納
探究二：二分法求零點近似解
問題:你會解下列方程嗎
2x-6=0; 2x2-3x+1=0; lnx+2x-6=0
lnx+2x-6=0，我們不會解這個方程，怎么辦？我們會什么？
把方程lnx+2x-6=0等價變形為lnx= -2x+6
在同一直角坐標系內做函數y=lnx和y=-2x+6的圖象.
y=lnx
y=-2x+6
觀察圖象可知，y=lnx和y=-2x+6的圖象交點的橫坐標x0∈(2,3). 而x0就是方程lnx+2x-6=0的實數根，進而就是函數f(x)=lnx+2x-6的零點
探究二：二分法求零點近似解
你會求方程lnx+2x-6=0的近似解嗎
計算，f(2)=ln2+2×2-6= ln2-2= ln2- lne <0, f(3)=ln3+2×3-6ln3>ln1=0所以， f(2)·f(3)<0，根據函數零點存在性定理，x0∈(2,3)是正確的.
這只是確定了函數f(x)=lnx+2x-6的零點，即方程lnx+2x-6=0的
實數根的范圍，這個x0的值究竟是多少呢？
可以轉化為函數f(x)=lnx+2x-6在區間（2，3）內零點的近似值。
探究二：二分法求零點近似解
在已知存在零點的區間確定函數的零點的近似值，實際上就是如何
縮小零點所在的范圍，或是如何得到一個更小的區間，使得零點
還在里面，從而得到零點的近似值
思考：如何縮小零點所在的區間？
對于一個已知零點所在區間[a,b],取其中點 c ,計算f(c),如果f(c)=0，那么 c 就是函數的零點；如果不為0，通過比較中點與兩個端點函數值的正負情況，即可判斷零點是在（a,c)內，還是在（c,b)內，從而將范圍縮小了一半，以此方法重復進行……
探究二：二分法求零點近似解
f(x)=lnx+2x-6
∵f(2)<0， f(3)>0∴x0∈(2,3)
2.5
∵f(2.5)<0， f(3)>0∴x0∈(2.5,3)
2.75
∵f(2.5)<0， f(2.75)>0∴x0∈(2.5,2.75)
2.5
2.5
2.75
2.625
∵f(2.5)<0， f(2.625)>0∴x0∈(2.5,2.625)
2.5
2.625
∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0∴x0∈(2.5,2.5625)
……
探究二：二分法求零點近似解
零點所在區間 中點的值 中點函數近似值
(2,3) 2.5 -0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2. 625 0.215
(2.5,2.625) 2.562 5 0.066
(2.5,2.5625) 2. 531 25 -0.009
(2.53125,2.5625) 2. 546 875 0.029
(2.53125,2.546875) 2. 539 062 5 0.010
(2.53125,2.5390625) 2. 535 156 25 0.001
也可以將x = 2.531 25作為函數f(x)=lnx+2x-6零點的近似值，也即方程
lnx+2x-6=0的近似解.
例如，當精確度為0.01時，因為|2.539 062 5-2.531 25|=0.007 812 5<0.01，
所以區間(2.531 25, 2.539 062 5)內任意一點都可以作為零點的近似值，
二分法求函數y=f(x)零點的步驟：
預習自測
答案：×
答案：×
答案：×
探究三：用二分法求方程的解
答案：C
答案：B
變式訓練
答案：
課堂檢測
答案：C
答案：C
二分法思想的實際應用
某娛樂節目有一個給選手在限定時間內猜一物品的售價的環節，某次猜一品牌手機的價格，手機價格在500～1 000元，選手開始報價1 000元，主持人回答高了；緊接著報900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了，
[解析]　取價格區間[500,1 000]的中點750元，低了；
就再取[750,1 000]的中點875，高了；就取[750,875]
的中點，遇到小數，則取整數，照此猜下去，可以猜價：
750,875,812,843,859,851，經過6次即能猜中價格
用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則及求解流程圖：
　　
1.用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則:
(1)依據圖象估計零點所在的初始區間[m,n](這個區間既要包含所求的根,又要使其長度盡可能的小,區間的端點盡量為整數).
(2)取區間端點的平均數c,計算f(c),確定有解區間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區間的“長度”,直到區間的長度符合精確度要求(這個過程中應及時檢驗所得區間端點差的絕對值是否達到給定的精確度),才終止計算,得到函數零點的近似值(為了比較清晰地表達計算過程與函數零點所在的區間往往采用列表法).
總結歸納
2.利用二分法求函數近似零點的流程圖:
課堂小結

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