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第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.了解函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的公共點的橫坐標(biāo)三者之間的聯(lián)系.
2.會借助函數(shù)零點存在定理判定函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間.
3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判定零點的個數(shù).
學(xué)習(xí)目標(biāo)
數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)：
1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)零點的概念；
2.邏輯推理：借助圖像判斷零點個數(shù)；
3.數(shù)學(xué)運算：求函數(shù)零點或零點所在區(qū)間；
4.數(shù)學(xué)建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的思想總 結(jié)函數(shù)零點概念.
復(fù)習(xí)引入
二次函數(shù)
二次函數(shù)的零點
一元二次方程
一元二次方程的解
復(fù)習(xí)引入
方程的根為-1和3.
1．函數(shù)的零點
對于函數(shù)y＝f(x)，把使 的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．
新知
f(x)＝0
[點睛]　函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)，
當(dāng)自變量取該值時，其函數(shù)值等于零．
2．方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系（等價關(guān)系）
方程f(x)＝0
函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點
函數(shù)y＝f(x) ．
有實根
有零點
思考：函數(shù)的零點是點嗎？
預(yù)習(xí)自測
1．下列各圖象表示的函數(shù)中沒有零點的是（ ）
A B C D
2.函數(shù)的零點是（ ）
A． B． C． D．2
答案：D
3．函數(shù)的零點是 (　　)
A．1　　 B．2　 　C．3　　　　 D．4
答案：A
答案：C
探索新知
問題1：對于二次函數(shù)與一元二次方程,
其判別式.
判別式
Δ>0 兩個不相等的實根 兩個零點
Δ=0 兩個相等的實根 一個零點
Δ<0 沒有實根 0個零點
（1）如何求函數(shù)的零點
（2）函數(shù)零點與函數(shù)圖象有什么樣的關(guān)系
探究一：求函數(shù)的零點
【例1】　判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出．
(1) f (x)＝x2＋2x＋4； (2) f (x)＝2x－3； (3) f (x)＝1－log3x.
(3) 令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函數(shù) f (x)＝1－log3x的零點是x＝3.
(2) 令解得.
所以函數(shù)f (x)＝2x－3的零點是.
(1) 令
由于
所以方程無實數(shù)根，
所以函數(shù)
探究一：求函數(shù)的零點
【變式訓(xùn)練】　函數(shù)的零點是 .
答案：-2，0，e
　 求函數(shù)的零點通常有兩種方法:
一是代數(shù)法,令f(x)=0,通過求方程f(x)=0的根求得函數(shù)的零點;
二是幾何法,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點.
總結(jié)歸納
探索新知
通常來說，求一個較復(fù)雜方程的解，我們一般關(guān)注這樣一些問題
1. 該問題有沒有解；
2. 如果方程有解，該方程有幾個解；
3. 該方程的解在哪里.
探索新知
問題1：函數(shù)有零點嗎？
函數(shù)的圖象與x軸有公共點嗎？
方程有解嗎？
探索新知
問題1：函數(shù)有零點嗎？
1 -4
2 -1.306
3 1.0986
4 3.3863
5 5.6094
探索新知
在平面直角坐標(biāo)系中畫出沒有零點的函數(shù)圖像.
在平面直角坐標(biāo)系中畫出有零點的函數(shù)圖像.
（圖像連續(xù)不間斷）
并思考：函數(shù)
探索新知
3．函數(shù)零點的存在定理
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上的圖象是 的一條曲線，
并且有 .
那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得 ，這個c也就是方程f(x)＝0的根．
連續(xù)不斷
f(a)·f(b)＜0
f(c)＝0
【點睛】定理要求具備兩條：
①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；
② f (a)· f (b)＜0.
探究二：判斷函數(shù)零點所在區(qū)間
【例2】
(1)已知函數(shù),在下列區(qū)間中,函數(shù)有零點的是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)
(2)函數(shù)的零點所在的區(qū)間是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【變式訓(xùn)練】函數(shù)的零點所在大致區(qū)間是(　　)
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,+∞)
答案：B
答案：C
答案：B
判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的3個步驟：
　　
(1)代入：將區(qū)間端點值代入函數(shù)求出函數(shù)的值．
(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進行符號判斷．
(3)結(jié)論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點，若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點．
總結(jié)歸納
探索新知
思考：函數(shù)+2在以下哪個區(qū)間一定有零點？
為什么？
A.(,1) B.(1,e) C.(e,3) D.(3,4)
解：由于連續(xù)，又因為，這說明函數(shù)在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點
進一步思考：函數(shù)在區(qū)間(1,e)內(nèi)有幾個零點？
探究三：判斷函數(shù)零點的個數(shù)
【例3】的實數(shù)解的個數(shù).
解：由于函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)且遞增，所以在定義域內(nèi)有唯一零點，則的實數(shù)解的個數(shù)為1
探究三：判斷函數(shù)零點的個數(shù)
【變式訓(xùn)練】判斷函數(shù)的零點的個數(shù)．
探究三：判斷函數(shù)零點的個數(shù)
【變式訓(xùn)練】判斷函數(shù)的零點的個數(shù)．
總結(jié)歸納
判斷函數(shù)存在零點的3種方法：
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判斷解的個數(shù)，可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點或判斷零點的個數(shù)．
(2)圖象法：由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，根據(jù)兩個圖象交點的個數(shù)來判定函數(shù)零點的個數(shù)．
(3)定理法：函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷的曲線，由f(a)·f(b)＜0即可判斷函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點．
[推論] 若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點．
課堂總結(jié)
1.函數(shù)零點的概念和函數(shù)零點存在定理；
2.借助圖像判斷零點個數(shù)；
3.求函數(shù)零點或零點所在區(qū)間；
4.數(shù)學(xué)建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的思想總結(jié)函數(shù)零點概念.

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