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(共17張PPT)
5.5.1（1） 兩角差的余弦公式
5.5 三角恒等變換
學(xué)習(xí)目標(biāo)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　
1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程,知道兩角差的余弦公式的意義.
2.能利用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡單的化簡、運(yùn)算、證明,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：掌握兩角差的余弦公式推導(dǎo)的過程并記住此公式.
【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：兩角差的余弦公式靈活運(yùn)用.
思考：
cos(α－β)的展開公式可能與哪些值有關(guān)
差角的余弦
復(fù)習(xí)引入
思考：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦嗎？
新知探索
問題一般化：
已知兩角三角函數(shù)
如何求兩角差的余弦值？
【思路】
回歸三角函數(shù)的定義
畫出單位圓和角的終邊
數(shù)形結(jié)合
找等量關(guān)系
O
x
y
角α終邊
P1
設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A(1,0)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α，β，α-β，且α，β終邊不重合，由三角函數(shù)定義知：
A
點(diǎn)(cosα,sinα)為角與單位圓交點(diǎn)，設(shè)為
點(diǎn)(cosβ,sinβ)為角與單位圓交點(diǎn)，設(shè)為
A1
角β終邊
P
角α-β終邊
α-β
α-β
點(diǎn)(cos(α-β),sin(α-β))為角與單位圓交點(diǎn)，設(shè)為P
新知探索
O
x
y
P1
A1
A
P
角α-β終邊
角β終邊
角α終邊
α-β
α-β
【問題1】仔細(xì)觀察圖形，有何等量關(guān)系？
連接AP，A1P1，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，容易發(fā)現(xiàn)AP＝A1P1.
【問題2】如何用代數(shù)式表示
兩點(diǎn)間的距離公式
新知探索
0
x
y
Q
(x1,y2)
.
P2(x2,y2)
.
P1(x1,y1)
.
已知平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn) ，
則點(diǎn)的距離為：
新知探索（兩點(diǎn)間距離公式）
兩點(diǎn)間：
【問題】借助以上“兩點(diǎn)間的距離公式”，結(jié)合你能得到什么結(jié)論？
新知探索
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得：
化簡得：.
上式是否成立？
代入驗(yàn)證：∵∴
∴左邊=
∴右邊=
=
=1
=左邊
新知探索
當(dāng)時(shí)，剛證明上式成立.
所以，對于任意角有
此公式給出了任意角的正弦、余弦與其差角的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記為.
新知探索
1.式中的α，β為任意角;
2.左邊的角是α-β，右邊的角是α，β;
3.同名相乘，符號相加.
例1.利用公式證明.
(1); (2).
證明：(1)
(2)
探究一 化簡證明
探究一 化簡證明
變式訓(xùn)練 利用公式證明.
證明：(1)
例2.已知是第三象限角，求的值.
所以.
探究二 給值求值
解：由，，
得：
又由，是第三象限角，
得：
變式訓(xùn)練 已知，求的值.
探究二 給值求值
解：由，，
得：
又由，
所以
例3.（1）計(jì)算知的值 （2）計(jì)算知的值
探究三 給角求值
解：(1)
=
=
=
=
(2)
=
=
=
=
變式訓(xùn)練
探究三 給角求值
解：原始=
=
=0
綜上所述，結(jié)論是：
1.知識點(diǎn)：
公式
簡記符號
使用條件
都是任意角
2.數(shù)學(xué)思想：
分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般.
1.知識點(diǎn)：
1.知識點(diǎn)：
差角的余弦公式及推導(dǎo)過程.
課堂小結(jié)

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