資源簡介

(共14張PPT)
第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式
2.2基本不等式
第1課時
主講人：小蔡老師
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．理解基本不等式并了解基本不等式的證明過程．
2．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小．
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：
1．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小．
2．熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問題．
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：
能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小
學(xué)習(xí)目標(biāo)：明確方向，把握重、難點(diǎn)
重要不等式：
當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.
知識回顧
問題2：問題1的結(jié)論中，等號成立的條件是什么？
重要不等式：
當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.
自主探究 ——預(yù)習(xí)教材，解決問題
新知:基本不等式的概念
基本不等式
(1)有關(guān)概念：當(dāng)a，b均為正數(shù)時，把 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
(2)基本不等式：當(dāng) 時， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立．
(3)基本不等式的語言概括：
兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
(4)基本不等式的常見變形：
新知:基本不等式的概念



法一：分析法
問題1：我們通過考察 的特殊形式獲得了基本不等式，能否直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？你能證明基本不等式嗎？
探究一:基本不等式的證明
要證 ①
只要證 ②
要證②，只要證 ③
要證③，只要證 ④
要證④，只要證 ⑤
顯然，⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，⑤中的等號成立.
只要把上述過程倒過來，就能直接推出基本不等式了.
法二：作差法
探究二:基本不等式的幾何含義
在圖2.2-1中，是圓的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于的弦，連接你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？
幾何含義：
圓的弦長的一半小于或等于圓的半徑長，
當(dāng)且僅當(dāng)弦過圓心時，二者相等.
課本P45探究
探究三：基本不等式的應(yīng)用
解：∵∴
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，因此所求的最小值為2.
在本題的解答中，我們不僅明確了有而且給出了“當(dāng)且僅當(dāng)
即時，等號成立”，這是為了說明2是的一個取值.
想一想，當(dāng)時，成立嗎？這時能說是的最小值嗎？
探究三：基本不等式的應(yīng)用
例2.已知都是正數(shù)，求證：
(1)如果積等于定值，那么當(dāng)時，和有最小值；
(2)如果和等于定值，那么當(dāng)時，積有最大值
證明：∵都是正數(shù)， ∴
(1)當(dāng)積等于定值時，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.
于是，當(dāng)時，和有最小值.
（課本P45例2）
(2)當(dāng)和等于定值時，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)上式等號成立.
于是，當(dāng)時，積有最大值
積定和最小，和定積最大.
積定和最小，和定積最大.
積定和最小，和定積最大.
探究三：基本不等式的應(yīng)用
探究三：基本不等式的應(yīng)用
證明不等式的方法：基本不等式法、作差法、分析法
探究三：基本不等式的應(yīng)用
2、利用基本不等式求最值時，要注意
1、已知 x, y 都是正數(shù), P, S 是常數(shù).
(1) xy=P x+y≥ (當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時, 取“=”號).
(2) x+y=S xy≤ S2(當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時, 取“=”號).
(積定和最小，和定積最大)
一正二定三相等
實(shí)際情境，提出問題，建立模型，求解模型，檢驗(yàn)結(jié)果，實(shí)際結(jié)果
3、數(shù)學(xué)建模需注意的問題
課堂小結(jié)(共15張PPT)
第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式
2.2基本不等式
第 2 課時
主講人：小蔡老師
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.明確使用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”;
2.能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題;
3.學(xué)會分析并根據(jù)具體情景選擇運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能夠?qū)κ阶舆M(jìn)行變形，構(gòu)造定值
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用基本不等式解決生活中的最值問題
學(xué)習(xí)目標(biāo)：明確方向，把握重、難點(diǎn)
×
×
×
自主探究 ——預(yù)習(xí)教材，解決問題
探究一：利用基本不等式求最值
無最小值
探究一：利用基本不等式求最值
探究一：利用基本不等式求最值
總結(jié)：利用基本不等式求兩正數(shù)之和的最小值需注意
（1）確保兩數(shù)為”正”; （2）兩數(shù)積為定值;
（3）取最小值的條件是否滿足，即等于號成立的條件.
探究一：利用基本不等式求最值
探究一：利用基本不等式求最值
總結(jié)：利用基本不等式求兩正數(shù)之積的最大值應(yīng)注意通過適當(dāng)?shù)牡葍r變形，確保兩正數(shù)之和為定值.
C
探究一：利用基本不等式求最值
2
16
解：設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為籬笆的長度為
(1)由已知得
由，可得
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.
因此，當(dāng)這個矩形菜園是邊長為的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為
探究二：利用基本不等式解決實(shí)際問題
例4（課本P46例3）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？
探究二：利用基本不等式解決實(shí)際問題
解：(2)由已知得矩形菜園的面積為
由
可得
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.
因此，當(dāng)這個矩形菜園是邊長為的正方形時，菜園面積最大，最大面積是.
例5（課本P46例3）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？
例6（課本P47例4）某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為,深為如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？
解：設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為水池的總造價為元.
根據(jù)題意，有
由容積為,可得
∴
當(dāng)時，上式等號成立，此時
所以，將貯水池的池底設(shè)計成邊長為的正方形時總造價最低，最低總造價是297600元.
探究二：利用基本不等式解決實(shí)際問題
課堂小結(jié)
1.基本不等式≤
2.基本不等式要注意“一正二定三相等
3.用基本不等式求最值方法：
（1）湊項(xiàng)法 （2）常值代換法
課堂檢測

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