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第一章 集合與常用邏輯用語
1.4 充分條件與必要條件
1.4.2 充要條件
學習目標：
1．理解充要條件的意義.
2．結合具體問題，利用集合等知識，學會判斷充分條件、必要條件和充要條件．
3．分清充分性和必要性，培養等價轉化思想．
學習重點：
充要條件及其判斷，充分、必要條件的證明與探究，充分、必要條件的應用．
學習難點：
充分、必要條件的證明與探究及應用．
學習目標——明確方向，把握重、難點
復習導入
觀察下側電路圖.
1.①中開關A閉合是燈泡B亮的什么條件？
2.②中開關A閉合是燈泡B亮的什么條件？
3.③中開關A閉合是燈泡B亮的什么條件？
4.④中開關A閉合是燈泡B亮的什么條件？
5.將①中開關A與燈泡B位置互換，開關C始終是斷開狀態，結論變嗎？
問題：
充分不必要
必要不充分
充要
不充分也不必要
充分不必要
一般地，“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p q,又有q p，就記作
p q .
此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.
概括地說，如果 p q ，那么p與q互為充要條件.
新知：充要條件
四種條件與命題真假的關系
原命題 逆命題 p與q的關系 q與p的關系
真（p q） 真（q p） p是q的充要條件 q是p的充要條件
真（p q） 假（q p） p是q的充分不必要條件 q是p的必要不充分條件
假（p q） 真（q p） p是q的必要不充分條件 q是p的充分不必要條件
假（p q） 假（q p） p是q的既不充分也不必要條件 q是p的既不充分也不必要條件
若原命題為“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，那么p與q的關系有以下四種情形：
充分條件、必要條件的判斷
例3 下列各題中,哪些p是q的充要條件
(1) p:四邊形是正方形,q:四邊形的對角線互相垂直且平分;
(2) p:a≠0,q:關于x的方程ax=1有唯一解;
(3) p:xy＞0，q：x＞0，y＞0.
(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，q：a+b+c=0（a≠0）.
不充要
充要
不充要
充要
充分、必要條件判斷的幾種方法
（1）定義法：直接利用定義進行判斷.
a.分請條件和結論：分清那個事條件p，哪個是結論q；
b.找推式：判斷“p q”及“q p”的真假；
c.下結論：根據推式及定義下結論
（2）等價法：將命題轉化為另一個等價的又便于判斷真假的命題.
充分、必要條件判斷的幾種方法
（3）傳遞法
充分條件具有傳遞性,若A1 A2 A3 … An，則A1 An，即A1是An的充分條件.
必要條件也具有傳遞性，若A1 A2 A3 … An，則A1 An，即A1是An的必要條件.
充要條件也有傳遞性.
充分、必要條件判斷的幾種方法
（4）利用集合間的包含關系進行判斷
例：已知A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，
（1）如果A B，那么p是q的什么條件？
（2）如果B A，那么p是q的什么條件？
（3）如果A=B，那么p是q的什么條件？
學生
B
中學生A
（2）如果B A，那么p是q的必要不充分條件.
（3）如果A=B，那么p是q的充要條件.
解：（1）如果A B，那么p是q的充分不必要條件.
課堂練習
判斷下列各命題中p是q的什么條件：
（1）p：x-2=0，q：(x-2)(x-3)=0；
（2）p：0（3）p： ABC為直角三角形，q： ABC為等腰三角形；
p是q的充分不必要條件
p是q的充分不必要條件
p是q的既不充分也不必要條件
充分條件、必要條件的證明
例:關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為-1的充要條件是a-b+c=0.
思路點撥：先證明充分性，即證a-b+c=0 ax2+bx+c=0有一個根為-1；再證必要性，即證ax2+bx+c=0有一個根為-1 a-b+c=0
證明 充分性：因為a-b+c=0,即a·(-1)2+b·(-1)+c=0,
所以-1是ax2+bx+c=0的一個根
必要性：因為ax2+bx+c=0有一個根為-1，
所以a·(-1)2+b·(-1)+c=0，即a-b+c=0.
綜上可得，ax2+bx+c=0有一個根為-1的充要條件是a-b+c=0.
課堂練習
證明:關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0（a≠0）.
證明 充分性：因為a+b+c=0（a≠0）,即a·12+b·1+c=0,
所以1是ax2+bx+c=0的一個根
必要性：因為ax2+bx+c=0有一個根為1，
所以a·12+b·1+c=0，即a+b+c=0.
綜上可得，ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0（a≠0）.
利用充分條件、必要條件確定參數的值（取值范圍）
例：已知非空集合A={x|2思路點撥：先轉化為集合A和集合B的關系，再求解A的取值范圍
解 ∵A≠ , ∴3a+1>2,即a> .
∵q是p的必要條件，∴A B，
∴ 解得a≤ ,
∴ ＜a≤ .即實數a的取值范圍是{a| 課堂練習
已知p：實數x滿足－3x＋4a<0；q：實數x滿足－x－6≤0.若p是q的充分條件，求實數a的取值范圍．.
解 ：由p:－3x＋4a<0得到x> ,
由q：-x-6≤0得x≥-6，
∵p是q的充分條件，
∴A B，
∴ ≥-6 解得a≥
故實數a的取值范圍是{a|a≥ }
知識梳理
定義
從集合的觀點看
A={x|p(x)}，B={x|q(x)}
充分條件與必要條件
若p q，則p是q成立的充分條件
若q p，則p是q成立的必要條件
若q p，則p是q成立的充要條件
若A B，則p是q成立的充要條件
若B A，則p是q成立的充要條件
若A=B，則p是q成立的充要條件

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