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第一章 集合與常用邏輯用語
1.5 全稱量詞與存在量詞
主講人：小蔡老師
學習目標：
1．通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義；
2. 能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定；
3. 能正確使用全程量詞對存在量詞命題進行否定。
學習重點：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，
全稱量詞命題和存在量詞命題的否定；
學習難點：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，
學習目標——明確方向，把握重、難點
德國著名的數學家哥德巴赫提出這樣一個問題：“任意取一個奇數，可以把它寫成三個質數之和，比如77,77=53+17+7”,同年歐拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正確，并且認為：每一個偶數都是兩個質數之和，雖然通過大量檢驗這個命題是正確的，但是不需要證明．這就是被譽為“數學皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我國著名數學家陳景潤才證明了“1+2”即：凡是比某一個正整數大的任何偶數，都能表示成一個質數加上兩個質數相乘，或者表示成一個質數加上一個質數．從陳景潤的“1+2”到“1+1”似乎僅一步之遙，但它是一個迄今為止仍然沒有得到正面證明也沒有被推翻的命題．要想正面證明就需要證明“任意一個”“每一個”“都”這種命題成立，要想推翻它只需“存在一個”反例．
知識鏈接
1.充分條件、必要條件
2.區別：充分不必要；
必要不充分；
充分必要；
既不充分也不必要條件
溫故而知新
（3）、（4）有限定，可以判斷真假，是命題
1．下列語句是命題嗎？
（1） ；
（2） 是整數；
（3）對所有的 ；
（4）對任意一個 是整數。
（1）、（2）不知道 的值，無法判斷真假
自主探究 ——預習教材，解決問題
新知:全稱量詞
全稱量詞的定義：
全稱量詞 “所有的”、“任意一個”、“一切”、“每一個”、“任何”、“任給”
符號
全稱量詞命題 含有全稱量詞的命題
符號
表示：“對 中任意一個 ，有含變量 的語句 成立”示
新知:全稱量詞命題
例題1.下列命題是全稱量詞命題的是 。
（1）任意一個四邊形的內角和都是360°；
（2）任何實數都有算術平方根；
（3） 是整數；
（4）存在一個 ；
（5）對頂角相等。
答案：（1）、（2）、（3）、（5）
全稱量詞命題中，哪些是真命題？
新知:全稱量詞命題的真假
eg1.用判斷下列全稱量詞命題的真假:
(1)實數都能寫成小數形式;
(2)凸多邊形的外角和等于2
(3) 素數都是奇數;
π
真
真
假
2．下列語句是命題嗎？比較（1）和（3）、（2）和（4）的關系
（1） ；
（2） 能被2和3整除；
（3）存在一個 ；
（4）至少有一個
（3）、（4）有限定，可以判斷真假，是命題
（1）、（2）不是命題
自主探究 ——預習教材，解決問題
新知:存在量詞
存在量詞（舊教材中也叫：“特稱量詞”）的定義：
存在量詞 “存在一個”、“至少有一個”、“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”
符號
存在量詞命題 含有存在量詞的命題
符號
表示：“存在 中的元素 ， 成立”示
判斷全稱量詞命題和存在量詞命題
eg2.下列語句哪些是全稱量詞命題、哪些是存在量詞命題？并判斷這些命題的真假。
(1) ，|x|+1≥1；
(2) 有一個素數不是奇數
(3)對每一個無理數x, 也是無理數.
(4)平面內存在兩條相交直線垂直于同一條直線;
(5)平行四邊形是菱形.
全稱量詞命題 真命題
存在量詞命題 真命題
全稱量詞命題 假命題
存在量詞命題 假命題
全稱量詞命題 假命題
新知:全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
概念：
一般地，對一個命題進行否定，就可以得到一個新的命題，這一新命題稱為原命題地否定。
全稱量詞命題和存在量詞命題如何進行否定呢？
新知:全稱量詞命題的否定
思考：試寫出下列命題的否定，思考它們與原命題的區別：
（1）所有的矩形都是平行四邊形；
（2）每一個素數都是奇數；
（3） 。
全稱量詞命題
解：（1）存在一個矩形不是平行四邊形；
（2）存在一個素數不是奇數；
（3） .
否定：存在量詞命題
新知:全稱量詞命題的否定
總結：
一般來說，對含有一個量詞的全稱量詞命題進行否定，只需把“所有的”、“任意一個”等全稱量詞，變成“并非所有的”、“并非任意一個的短語即可。
全稱量詞命題：
否定：
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題
新知:全稱量詞命題的否定
例題3.寫出下列全稱量詞命題的否定：
（1）所有能被3整除的整數都是奇數；
（2）每個四邊形的四個頂點在同一個圓上；
（3）對任意 的個位數字不等于3.
解：（1）該命題的否定：存在一個能被3整除的整數不是奇數；
（2）該命題的否定：存在一個四邊形，它的四個頂點不在同一個圓上。
（3）該命題的否定：
新知:存在量詞命題的否定
同理：
存在量詞命題：
否定：
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題
新知:存在量詞命題的否定
例題4.寫出下列存在量詞命題的否定：
（1）
（2）有的三角形是等邊三角形；
（3）有一個偶數是素數.
（2）該命題的否定：所有的三角形都不是等邊三角形；
（3）該命題的否定：任何一個偶數都不是素數。
解：（1）該命題的否定： ；
新知:存在量詞命題的否定
例題5.寫出下列命題的否定，并且判斷真假：
（1）任意兩個等邊三角形都相似；
（2） .
解：（1）該命題的否定：存在兩個等邊三角形不相似。因為任意兩個等邊三角形的三邊成比例，所以任意兩個等邊三角形都相似。因此這是一個假命題。
（2）該命題的否定： ，
eg1.寫出下列命題的否定:
（1） ;
（2）任意奇數的平方還是奇數；
（3）每個平行四邊形都是中心對稱圖形；
解：（1）該命題的否定：
（2）該命題的否定：存在一個奇數的平方不是奇數；
（3）該命題的否定：存在一個平行四邊形不是中心對稱圖形；
新知:全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
eg2.寫出下列命題的否定:
（1）有些三角形是直角三角形 ;
（2）有些梯形是等腰梯形；
（3）存在一個實數，它的絕對值不是正數；
解：（1）該命題的否定：所有的三角形都不是直角三角形；
（2）該命題的否定：所有的梯形都不是等腰梯形；
（3）該命題的否定：所有實數的絕對值都是正數。
新知:全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
2.一般地，對于含有一個量詞的全稱量詞命題的否定,有下面的結論：
全稱量詞命題
它的否定
一般地，對于含有一個量詞的存在量詞命題的否定,有下面的結論：
" x
M, p(x)
$x0
M,p(x0)
存在量詞命題
它的否定
1.（1）全稱量詞、全稱量詞命題；
（2）存在量詞、存在量詞命題。
知識總結

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