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第二章 一元二次函數、方程和不等式
2.1等式性質與不等式性質
主講人：小蔡老師
學習目標：
1.通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在大量的數量關系；
2.了解不等式（組）的實際背景；
3.理解不等式一些基本的性質.
重點、難點：用作差法比較兩個式子大小，理解不等式性質的應用
學習目標——明確方向，把握重、難點
問題1：你能用不等式或不等式組表示下列問題的不等關系嗎？

(2)某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p不少于2.3%；
(1)某公路限速40km/h；
自主探究 ——預習教材，解決問題
(1)某公路限速40km/h；
(2)某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p不少于2.3%；思考1:“限速40km/h”是什么意思？“不少于”呢？“最短”呢？
“限速40km/h”就是要求速度的大小不超過40km/h；
不少于就是大于或等于。
(1)設汽車的速度為vkm/h，則 0＜v≤40
(2)由題意得
自主探究 ——預習教材，解決問題
(1)某公路限速40km/h；
(2)某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p不少于2.3%；
(1) 0＜v≤40
(2)
思考2：為什么(1)用的是不等式，(2)要用不等式組？
(1)中只有1個不等關系，
而(2)中要求2個不等關系同時成立。
自主探究 ——預習教材，解決問題
(3)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
(4)連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

(3)設 ABC的三邊分別為a,b,c，則
A
B
C
a
b
c
(4)設C是直線AB外的任意一點，CD垂直AB于點D，E是直線AB上不同于D的任意一點，則
C
D
A
B
E
a+b>c,a-bCD自主探究 ——預習教材，解決問題
問題: 某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本，據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本， 如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元？
自主探究 ——預習教材，解決問題
1.不等式的概念
我們用數學符號“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接 或 ，以表示它們之間的不等關系．含有這些 的式子叫做不等式．
2.不等式中文字語言與符號語言之間的轉換
兩個數
代數式
不等號
>
<
≥
≤
新知:不等式的概念
文字語言 符號表示
如果a>b，那么a－b是正數；如果ab
aa＝b
a-b>0
a-b<0
a-b=0
新知:比較大小的依據
如何刻畫實數a,b的大小關系？
形
數
自主探究 ——預習教材，解決問題
不等式比較大小
自主探究 ——預習教材，解決問題
【例1】比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小

解：(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)
=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)
=-3
∵-3<0,
∴(x+3)（x+7）<(x+4)(x+6)
探究一：作差比較法比較不等式的大小
合作探究 ——究其根本，把握核心
(1)作差：
目的：便于判定差的符號
常用的方法：因式分解、
配方、通分、分子有理化等
當差的符號不確定時，一般需要分類討論
根據差的正負與實數大小關系的基本事實作出結論
如果差的符號不確定，該怎么辦？
對差變形的目的是什么？你認為一般會用到哪一些方法？
下結論的依據是什么？
(2)變形：
(3)定號：
(4)下結論：
差值法比較大小的一般步驟
探究一：作差比較法比較不等式的大小
例2 下圖是在北京召開的第24屆國際數學大會的會標，會標是
根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上
去像一個風車，代表中國人民的熱情好客，你能在這個圖中找
出一些相等關系和不等關系嗎？
(1)不等關系？ (2)相等關系？
(3)你能證明找到的關系嗎？ (4)得到的重要結論為？
合作探究 ——究其根本，把握核心
探究二：不等式在幾何圖形中的應用
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
H
(2)正方形ABCD的面積S=________；
若設直角三角形的兩直角邊分別為a,b，則
(1)四個直角三角形的面積和S' =_____;
(3)從左圖圖上看，S與S’有什么樣的不等關系，如何表示？
S大于S'，即
(4)若a=b，則左上圖就變化為左下圖，此時以上不等式會發生怎樣的變化？
a2+b2>2ab
a2+b2=2ab
E(FGH)
當a=b時，正方形ABCD的面積等于S四個直角三角形的面積和S'，即
a
b
a=b時
綜上，a2+b2≥2ab
以上的a,b均為正數，實際上，a,b為任意實數時，此不等式也成立。
證明：重要不等式
證明：
思考：你能證明這個不等式嗎？
合作探究 ——究其根本，把握核心
例3 已知a>b>0,c<0,求證
合作探究 ——究其根本，把握核心
探究三：證明不等式
作差法比較大小
重要不等式：a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時）
課堂小結
第二章 一元二次函數、方程和不等式
2.1等式性質與不等式性質（第二課時）
新知:等式的性質
等式的基本性質
性質1：如果a＝b，那么b＝a； (對稱性)
性質2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（傳遞性）
性質3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；（同加減性）
性質4：如果a＝b，那么ac＝bc； （同乘性）
性質5：如果a＝b，c≠0，那么 （同除性）
新知:不等式的性質
不等式的性質：
性質1 a>b b性質2 a>b，b>c a>c； （傳遞性）
性質3 a>b a＋c>b＋c； （可加性）
性質4 如果a>b,c>0,ac>bc； （可乘性）
性質5 如果a>b,c>d,a＋c>b＋d；（同向可加性）
性質6 如果a>b>0,c>d>0,ac>bd；
（正數同向不等式的可乘性）
性質7 a>b>0 an>bn(n∈N*)；（可乘方性）
性質1：如果a>b，那么bb.
性質1表明，把不等式的左邊和右邊交換位置，所得不等式與原不等式異向，我們把這種性質稱為不等式的對稱性。
a＞b b＜a（對稱性）
新知:不等式的性質
性質2：如果a>b，b>c，那么a>c.
證明：根據兩個正數之和仍為正數，得
(a－b)+(b－c)>0
a－c>0 a>c.
這個性質也可以表示為c這個性質是不等式的傳遞性。
a＞b，b＞c a＞c；
a＜b，b＜c a＜c（傳遞性）
新知:不等式的性質
性質3：如果a>b，則a+c>b+c.
證明：因為a>b，所以a－b>0，
因此(a+c)－(b+c)=a+c－b－c=a－b>0，
即 a+c>b+c.
a＞b a+c＞b+c（可加性）
性質3表明，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得的不等式與原不等式同向.
新知:不等式的性質
由性質3可以得出
推論1：不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊。 （移項法則）
a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
a+b>c
a>c－b.
新知:不等式的性質
性質4：如果a>b，c>0，則ac>bc；如果a>b，c<0，則aca＞b，c＞0 ac＞bc；
a＞b，c＜0 ac＜bc
(可乘性)
新知:不等式的性質
性質5：如果a>b，c>d，則a+c>b+d.
證明：因為a>b，所以a+c>b+c，
又因為c>d，所以b+c>b+d，
根據不等式的傳遞性得 a+c>b+d.
幾個同向不等式的兩邊分別相加，所得的不等式與原不等式同向。
a＞b，c＞d a+c＞b+d（同向可加性）
新知:不等式的性質
證明：因為a>b，c>0，所以ac>bc，
又因為c>d，b>0，所以bc>bd，
根據不等式的傳遞性得 ac>bd。
幾個兩邊都是正數的同向不等式的兩邊分別相乘，所得的不等式與原不等式同向。
性質6：如果a>b>0，c>d>0，則ac>bd.
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd
(正數同向不等式的可乘性)
新知:不等式的性質
性質7：如果a>b>0，則an>bn，(n∈N+，n>1).
證明：因為
個，
根據性質6，得an>bn.
a＞b＞0 an＞bn(n∈N*)
(可乘方性)
新知:不等式的性質
1.完成一項裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現有工人工資預算20 000元，設請木工x人，瓦工y人，則請工人滿足的關系式是（　?。?br/>A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200
C.5x+4y＝200 D.5x+4y≤200
2. 已知a，b，c，d均為實數，有下列命題：
①若ab>0，bc-ad >0，則 ->0；②若ab>0， ->0，則bc-ad>0；③若bc-ad >0， ->0，則ab>0.其中正確的是　　　　.
D
①②③
課堂練習
課堂小結