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(共22張PPT)
第三章　函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.3 冪函數(shù)
學習目標——明確方向，把握重、難點

問題引入
(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的
錢數(shù)p = ，
(2)如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積是S = ，
(3)如果正方體的邊長為b，那么正方體的體積是V = ，
(4)如果正方形場地的面積為S，那么正方形的邊長c= ，
(5)如果某人t s內(nèi)騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度v = .
a
b
p是w的函數(shù)
V是b的函數(shù)
c是S的函數(shù)
若將它們的自變量全部用x來表示,函數(shù)值用y來表示,則它們的函數(shù)關(guān)系式將是:
y = x
y= x
y=
x
w
t-1 km/s
S是a的函數(shù)

v是t的函數(shù)

【思考】
冪函數(shù)具有怎樣的特征
提示:(1)以冪的底數(shù)為自變量,指數(shù)為常數(shù);
(2)xα前的系數(shù)為1,且只有一項.
新知:冪函數(shù)的概念
1、下列函數(shù)是冪函數(shù)的是
①
(1)以冪的底數(shù)為自變量,指數(shù)為常數(shù);(2)xα前的系數(shù)為1,且只有一項.
x
y
在同一平面直角坐標系內(nèi)作出下列函數(shù)的圖象
O
探究與發(fā)現(xiàn)
冪函數(shù)的圖象性質(zhì)


x
y
O
探究與發(fā)現(xiàn)
冪函數(shù)的圖象性質(zhì)
在同一平面直角坐標系內(nèi)作出下列函數(shù)的圖象



x
O
y
探究與發(fā)現(xiàn)
冪函數(shù)的圖象性質(zhì)
在同一平面直角坐標系內(nèi)作出下列函數(shù)的圖象




在同一平面直角坐標系內(nèi)作出下列函數(shù)的圖象
x
y
O
探究與發(fā)現(xiàn)
冪函數(shù)的圖象性質(zhì)

x




x
y
O
探究與發(fā)現(xiàn)
冪函數(shù)的圖象性質(zhì)
在同一平面直角坐標系內(nèi)作出下列函數(shù)的圖象
歸納：
(1)所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都有定義,并且圖象都過點(1,1);
(2)中， α都是奇數(shù)，則函數(shù)為奇函數(shù)；在中, α是偶數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)；





歸納：
(3)當α>0時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞增；
(4)當時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞減,在第一象限內(nèi),當從右邊趨向原點時,圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸;當趨于+∞時,圖象在軸上方無限地逼近x軸正半軸.
R
R
R
{x|x≠0}
[0,+∞)
R
[0,+∞)
R
{y|y≠0}
[0,+∞)
新知:冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
遞增
遞減
遞增
遞增
遞減
遞減
遞增
(1,1)
新知:冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(1)冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在平面直角坐標系中的任意一個象限嗎
新知:冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(2)冪函數(shù)在第一象限內(nèi),在直線x=1的右側(cè),圖象從下到上,相應的指數(shù)是如何變化的 在直線x=1的左側(cè),圖象從下到上,相應的指數(shù)是如何變化的
提示:不是,冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限,一定不會出現(xiàn)在第四象限。
提示:冪函數(shù)在第一象限內(nèi),在直線x=1的右側(cè),圖象從下到上,相應的指數(shù)由小變大；在直線x=1的左側(cè),圖象從下到上,相應的指數(shù)由大變小。
【思考】
探究與發(fā)現(xiàn)
探索點一 冪函數(shù)的概念
【例1】已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(9,3),則f(100)= .
10
一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù)：
(1)以冪的底數(shù)為自變量,指數(shù)為常數(shù);
(2)xα前的系數(shù)為1,且只有一項.
探究與發(fā)現(xiàn)
方法規(guī)律
1.冪函數(shù)的判斷方法
(1)冪函數(shù)是一種“形式定義”的函數(shù),也就是說必須完全具備形如y=xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù).
2.用待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式
若已知待求函數(shù)是冪函數(shù),則可根據(jù)待定系數(shù)法,設函數(shù)為f(x)=xα,根據(jù)條件求出α即可.
探究與發(fā)現(xiàn)
探索點二　 冪函數(shù)的性質(zhì)

利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性方法步驟：
①取值；②作差；③變形；④定號；⑤下結(jié)論。
分子有理化
探究與發(fā)現(xiàn)
探索點二　 冪函數(shù)的性質(zhì)
(2)根據(jù)單調(diào)性和奇偶性的定義，討論函數(shù)的單調(diào)性，并判斷其奇偶性.
證明：
①奇偶性：因為所以
為奇函數(shù)；
②單調(diào)性：任取 =)],因為- >0,所以即 ，即冪函數(shù)是增函數(shù).
配方法
探究與發(fā)現(xiàn)
探究與發(fā)現(xiàn)
探究與發(fā)現(xiàn)
探究與發(fā)現(xiàn)
解析:如圖,作出直線y=x的圖象,在(0,1)內(nèi)取x0,作直線x=x0,與各圖象有交點,則“點低指數(shù)大”.所以0答案:B
課堂總結(jié)
課堂思維導圖

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