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冪函數(shù) 錯(cuò)題歸納 專題練
2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考
類型梳理
針對(duì)性訓(xùn)練
一、單選題
1．若冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
4．已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．已知冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為奇函數(shù) B．在其定義域上單調(diào)遞減
C． D．
6．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m的值為（ ）
A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3
7．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A．的定義域?yàn)?B．為奇函數(shù)
C．為減函數(shù) D．的值域?yàn)?br/>8．已知函數(shù)，對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．冪函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
10．已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A．定義域?yàn)?B．是偶函數(shù)
C．是減函數(shù) D．是奇函數(shù)
二、多選題
12．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則
B．函數(shù)表示冪函數(shù)
C．若冪函數(shù)在單調(diào)遞增，則
D．冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)和
13．已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
15．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且該函數(shù)是偶函數(shù)，則的值是 ．
16．已知．若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則 ．
17．已知，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
18．已知，設(shè)冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，且與x軸及y軸均無(wú)交點(diǎn)，則k的值為 ．
四、解答題
19．已知函數(shù)，（且）
(1)若，求方程的解；
(2)已知，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A C A D A A D
題號(hào) 11 12 13 14
答案 B AC AC BC
1．B
【分析】運(yùn)用冪函數(shù)知識(shí)，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性性質(zhì)，轉(zhuǎn)化比較大小即可.
【詳解】為偶函數(shù)，所以，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即．
故選：B.
2．D
【分析】由冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小即可.
【詳解】對(duì)于，由于在單調(diào)遞增，所以，
對(duì)于，由于單調(diào)遞減，故.
所以.
故選：D
3．B
【分析】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)求出的值，即可求出的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法即可得解.
【詳解】設(shè)，依題意可得，解得，所以，
所以的定義域?yàn)椋?br/>對(duì)于，有，解得，
即函數(shù)的定義域是.
故選：B
4．A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到，則，其對(duì)稱軸方程為，根據(jù)單調(diào)性得到不等式，求出答案.
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)是上的偶函數(shù)，
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是奇函數(shù)，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，合乎題意，所以，
則，其對(duì)稱軸方程為，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，則.
故選：A.
5．C
【分析】由冪函數(shù)的定義求出，由函數(shù)奇偶性得到A錯(cuò)誤，求出定義域，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷BCD.
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，根據(jù)冪函數(shù)的定義可知，
當(dāng)時(shí)，，等式成立，
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故為唯一解.
此時(shí)，其定義域?yàn)?
A選項(xiàng)，，所以是偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，對(duì)求導(dǎo)，可得.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在其定義域上不單調(diào)遞減的，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，在上單調(diào)遞減.
因?yàn)椋裕矗珻選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，，在上單調(diào)遞增，，
所以，即，D錯(cuò)誤.
故選：C.
6．A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義和函數(shù)單調(diào)性列出關(guān)于的方程和不等式即可求解.
【詳解】由題意可得.
故選：A
7．D
【分析】根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)求出函數(shù)解析式，再由解析式判斷定義域、單調(diào)性、奇偶性、值域得解.
【詳解】設(shè)，
由函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得，
所以，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；
由定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱及可知函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
由在上無(wú)單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋实闹涤驗(yàn)椋蔇正確.
故選：D
8．A
【分析】令，原不等式可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式即可求解.
【詳解】令，則，
所以不等式可化為，
即，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，
所以，則，
所以在上恒成立，則，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A
9．A
【分析】設(shè)出冪函數(shù)，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到函數(shù)解析式，確定函數(shù)定義域，得到，解得答案.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，則，故，，
則的定義域?yàn)椋?br/>故滿足，解得.
故選：A
10．D
【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，然后判斷的范圍，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】，，
，，，
，所以，
對(duì)于A，在單調(diào)遞增， ，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B， 在上單調(diào)遞減， ，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C， 在單調(diào)遞減， ，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在單調(diào)遞增， ,
又在單調(diào)遞減， ,
，故D正確.
故選：D
11．B
【分析】根據(jù)題意求得.進(jìn)而可得的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】設(shè)，
代入點(diǎn)，可得，解得，
所以.
對(duì)于A：可知的定義域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；
對(duì)于BD：因?yàn)椋芍桥己瘮?shù)，故B正確，D錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由偶函數(shù)對(duì)稱性可知在定義域內(nèi)不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；
故選：B.
12．AC
【分析】對(duì)于A，利用待定系數(shù)法求解判斷，對(duì)于B，根據(jù)冪函數(shù)的定義分析判斷，對(duì)于C，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于D，舉例判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)冪函數(shù)為，則，所以，所以A正確，
對(duì)于B，因?yàn)榈南禂?shù)為2，所以函數(shù)不是冪函數(shù)，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)閮绾瘮?shù)在單調(diào)遞增，
所以，解得，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象不過(guò)，所以D錯(cuò)誤.
故選：AC
13．AC
【分析】利用的單調(diào)性判斷A；利用的單調(diào)性判斷B；利用重要不等式判斷C；舉出反例判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，所以，故A正確；
選項(xiàng)B，在R上單調(diào)遞減，又，所以，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，，故C正確；
選項(xiàng)D，取時(shí)，得，故D錯(cuò)誤．
故選：AC.
14．BC
【分析】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)求出的解析式，設(shè)，，由冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷與的單調(diào)性，由單調(diào)性比較大小得到正確答案即可.
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，可設(shè)，
因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，即，解得，所以，定義域?yàn)椋?br/>設(shè)，定義域?yàn)椋驗(yàn)椋?br/>所以由冪函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
若，則有，即，故A錯(cuò)誤，B正確；
設(shè)，定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)椋杂蓛绾瘮?shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，
若，則有，即，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC
15．4
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)及函數(shù)為偶函數(shù)，求出，從而代入求值即可.
【詳解】由題意得，解得或1，
當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不合要求，
當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，滿足要求，
故.
故答案為：4
16．
【分析】由冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，可知是奇數(shù)，且，由此可求出的值.
【詳解】由為奇函數(shù)，知取．
又在上單調(diào)遞減，，故．
故答案為：
17．
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性列不等式組，解不等式組即可得解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>且為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，等價(jià)于，
所以，
即
即且，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是，
故答案為：.
18．1或3或5
【分析】由題意，令求出k的范圍，再根據(jù)，以及冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與x軸及y軸均無(wú)交點(diǎn)，由此求出k的值．
【詳解】由題意，令，解得，因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)為，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與x軸及y軸均無(wú)交點(diǎn)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)為，圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)為，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與x軸及y軸均無(wú)交點(diǎn)，滿足題意；
當(dāng)k＝4時(shí)，，冪函數(shù)為，圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)為，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與x軸及y軸均無(wú)交點(diǎn)，滿足題意；
綜上，k的值為1或3或5．
故答案為：1或3或5．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先由求出冪函數(shù)解析式，再利用換元法，結(jié)合一元二次方程和指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系求解即可；
（2）由冪函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于的不等式再分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】（1）即解得，于是 ，
方程即為，
令，則有即，
求得（舍負(fù)） ，
所以方程的解為 .
（2）由已知得，
整理得 ，
因?yàn)椋?，
從而對(duì)任意恒成立，
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），
所以，
即實(shí)數(shù)的最大值為.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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