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指數與指數函數 錯題歸納 專題練
2026年高考數學一輪復習備考
類型梳理
針對性訓練
一、單選題
1．集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．若函數是指數函數，則等于（ ）
A．或 B． C． D．
3．下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知函數的值域為，其中且，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．設為指數函數（且），函數的圖象與的圖象關于直線對稱．在，，，四點中，函數與的圖象的公共點只可能是（ ）
A．點P B．點Q C．點M D．點N
7．函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定義在上的偶函數，則（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
9．已知，則（ ）
A． B． C． D．
10．若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數，，則函數的值域為（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
12．已知，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
13．已知實數滿足，則下列不等關系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
15．已知，函數，若實數、滿足，則、的關系為 ．
16．若時，指數函數的值總大于1，則實數的取值范圍是 .
17．若，則 .
18．若，則滿足的的最大值為
四、解答題
19．已知函數的表達式．
(1)若函數是奇函數，求實數的值；
(2)對任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
20．已知函數且是定義在上的奇函數.
(1)求的值.
(2)求函數的值域.
(3)當時，恒成立，求實數的取值范圍.
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D A D C A A D
題號 11 12 13 14
答案 B AC ABD ABD
1．D
【分析】求出集合，，再根據交集的定義求解即可.
【詳解】解：因為，，
所以.
故選：D.
2．C
【分析】根據指數函數的定義求解即可.
【詳解】因為函數是指數函數，
所以.
故選：C
3．A
【分析】借助指數冪的運算法則計算即可得.
【詳解】對A：，，故A正確；
對B：，故B錯誤；
對C：，故C錯誤；
對D：，故D錯誤.
故選：A．
4．D
【分析】利用指數函數的單調性求出，解一元二次不等式得出，再利用并集運算求解．
【詳解】，
是增函數，且時，，
原不等式的解集為：，
，
，
，
故選：D．
5．A
【分析】分別計算分段函數在每段上的值域，再取并集，根據并集為即可求出范圍.
【詳解】因在上單調遞增，故，
若，則在上單調遞減，
因，故，
此時不滿足值域為；
若，則在上單調遞增，
因，故，
若值域為，則，即，
綜上，實數a的取值范圍是.
故選：A
6．D
【分析】求出，將四個選項逐一代入檢驗，得到正確答案.
【詳解】由題意，知．逐一代入驗證，
點代入中，求得：，不合要求，舍去；
點代入中，解得：，將代入中，，Q點不在上，不合要求，舍去；
點代入中，解得：，將代入中，，解得：，故與矛盾，舍去；
代入中，，解得：，將代入中，，解得：，滿足題意.
故僅點N可能同時在兩條曲線上．
故選：D．
7．C
【分析】令，先求出的取值范圍，再根據指數函數的單調性求的值域即可.
【詳解】令，則，
因為在上單調遞減，
∵，∴，
故函數的值域為.
故選：C.
8．A
【分析】利用偶函數和0處函數值列方程求解即可.
【詳解】因為是定義在上的偶函數，所以，即，
又，所以，
聯立，解得，，
經檢驗，，滿足要求，
故.
故選：A.
9．A
【分析】利用指數函數、對數函數單調性比較大小.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：A
10．D
【分析】設，由換元法轉化為在區間上恒成立，進而可得.
【詳解】設，當時，，
故由題意可得關于的不等式在區間上恒成立，
設，由二次函數的性質可知在區間上單調遞減，
故，得，
故選：D
11．B
【分析】根據給定條件換元，借助二次函數在閉區間上的最值即可作答.
【詳解】依題意，函數，，令，則在上單調遞增，即，
于是有，當時，，此時，，
當時，，此時，，
所以函數的值域為.
故選：B
12．AC
【分析】利用的單調性判斷A；利用的單調性判斷B；利用重要不等式判斷C；舉出反例判斷D.
【詳解】選項A，函數在R上單調遞增，又，所以，故A正確；
選項B，在R上單調遞減，又，所以，故B錯誤；
選項C，，故C正確；
選項D，取時，得，故D錯誤．
故選：AC.
13．ABD
【分析】根據已知有，則，根據指數函數的單調性判斷A；兩側平方有，結合基本不等式、不等式性質判斷B；特殊值判斷C；討論、，結合不等式性質判斷D.
【詳解】因為，所以，所以，故A對；
因為，所以，
由，所以，故B對；
若，滿足，顯然不成立，故C錯；
當，則，必有，
當，則，故，必有，
故D對.
故選：ABD
14．ABD
【分析】由指數函數單調性可判斷A項，由冪函數單調性可判斷B項，運用作差法及對數函數性質可判斷C項，運用作差法及不等式性質可判斷D項.
【詳解】對于A項，因為是減函數，而，所以，故A項正確；
對于B項，因為在上單調遞增，而，所以，故B項正確；
對于C項，，因為，，，所以，即，故C項錯誤；
對于D項，，因為，，，所以，即，故D項正確.
故選：ABD.
15．
【分析】根據指數函數的單調性，比較大小.
【詳解】因為，所以，所以，
所以函數在R上單調遞減，
又，所以，
故答案為：.
16．或
【分析】根據指數函數的性質以及單調性，即可得到關于的不等式，求解不等式即可得到結果.
【詳解】由已知可得，且.
又時，，
即 ，
所以有，即，
解得或.
故答案為：或.
17．
【分析】根據題意結合根式的運算求解即可.
【詳解】因為，
又因為，則，
所以.
故答案為：.
18．/
【分析】首先得出的奇偶性、單調性，進一步結合已知列出關于的不等式即可求解.
【詳解】顯然的定義域是全體實數，所以它的定義域關于原點對稱，
當時，，當時，，
當時，，
所以是偶函數，
當時，單調遞增，所以當時，單調遞減，
所以，
所以滿足的的最大值為.
故答案為：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據奇函數的定義，即可求解答案；
（2）根據分離參數轉化為利用單調性求函數的最值，即可求解答案.
【詳解】（1）因為函數是奇函數， 的定義域關于原點對稱，
由，則，
所以.
（2）對任意實數，不等式恒成立，即恒成立，
設，
對任意實數且，
，
因為，所以，所以
所以函數在上單調遞減；
，所以 .
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據奇函數的性質，令列出方程，求出的值；
（2），利用函數性質求出值域．
（3）由判斷出，再把分離出來轉化為，對,時恒成立，利用換元法：令，代入上式并求出的范圍，再轉化為求在,上的最大值．
【詳解】（1）函數是定義在上的奇函數，
，解得．
又，
所以時，為奇函數，故.
（2）由（1）得，
又，
，
，
，
函數的值域，
（3）由（1）可得，
當時，，
當時，恒成立，
則等價于對,時恒成立，
令，，即，當時恒成立，
即,由于在,單調遞增，故在,上單調遞增，
當時有最大值0，所以，
故所求的范圍是：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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