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函數的單調性與最大(小)值 錯題歸納 專題練
2026年高考數學一輪復習備考
類型梳理
針對性訓練
一、單選題
1．已知是上的減函數，那么a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．若函數在上是減函數，且，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，，則、、的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
5．當時，不等式恒成立，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數是R上的偶函數，對任意且都有，若則的大小關系是（ ）
A．b7．已知正數x，y滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函數，若，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．若函數在上的最大值為，則（ ）
A． B．1 C． D．
11．若，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
12．已知函數，且，則下列結論正確的有（ ）
A．不一定有極值
B．當時，
C．當時，的極小值為0
D．當時，在區間上的最小值為
13．已知定義在R上的函數滿足：，，且，則（ ）
A．
B．可能是偶函數
C．的圖象不可能關于點對稱
D．若，，則在上單調遞增
14．已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若為偶函數，則
C．有且僅有個使得的最小值為
D．若函數的圖象與的圖象有且僅有兩個交點，則的取值范圍為
三、填空題
15．已知函數的圖象關于中心對稱，且在上單調遞減，若，則實數a的取值范圍為 ．
16．已知冪函數是上的偶函數，且函數在區間上單調遞減，則實數a的取值范圍是 ．
17．求函數的值域為 .
18．函數的值域為 .
四、解答題
19．已知二次函數的最小值為1，函數是偶函數，且．
(1)求的解析式；
(2)若函數在區間上單調，求實數的取值范圍．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D A A B B B D
題號 11 12 13 14
答案 B ACD ABD ACD
1．C
【分析】由在上單調遞減，確定，以及的范圍，再根據單調遞減確定在分段點處兩個值的大小，從而解決問題.
【詳解】解：由題意得：
是上的減函數
解得：
故 a的取值范圍是
故選：C
2．D
【詳解】因為在上是減函數，，所以，A正確；又，所以，，B，C正確，D錯誤．
3．D
【分析】先求出函數的定義域，再利用復合函數的單調性，結合冪函數與二次函數的單調性即可得解.
【詳解】由題意，得，解得或，
所以函數的定義域為，
令，則開口向上，對稱軸為，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
而在上單調遞增，
所以函數的單調遞減區間為.
故選：D.
4．D
【分析】利用余弦函數的單調性可得，構造函數，由函數單調性可得，即可得出大小關系.
【詳解】因為余弦函數在上單調遞減，且，
所以；
因為，，
設，則，
所以在上單調遞增，所以，
所以，所以.
故選：D．
5．A
【分析】對分類討論，結合二次函數的性質求最值可得結果.
【詳解】①當時，不等式化為，顯然恒成立，滿足題意；
②當時，令，則在上恒成立，
函數的對稱軸為，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
則有，解得；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
則有，解得.
綜上可知，的取值范圍是.
故選：A.
6．A
【分析】根據函數為偶函數，推出函數的圖象關于直線對稱，再由條件推出函數在上單調遞增，于是可得，利用冪和對數的運算性質和換底公式，以及對數函數的單調性化簡比較得，再由的單調性即可判斷.
【詳解】因函數是R上的偶函數，則的圖象關于直線對稱，
因對任意且都有，即函數在單調遞增.
因，，
由，可得，
又由對稱性可得：，
故再由單調性，可得，即.
故選：A.
7．B
【分析】先根據題設條件求出的范圍，對所求式消元后進行換元，利用二次函數的性質即可求得其范圍.
【詳解】因正數x，y滿足，故，解得，
因，設，則，且，
于是．由，可得.
故選：B．
8．B
【分析】根據分段函數的單調性，可知每段函數的單調性，以及分界點處的函數的大小關系，即可列式求解.
【詳解】因為時，單調遞減，
又在上單調遞減，
所以時，單調遞減，則只需滿足解得.
故選：B.
9．B
【分析】由題意可得，結合函數的單調性可得，進而可求的最小值.
【詳解】函數的定義域為，
可得函數在上單調遞增，
又，
由，得，
因為函數在上單調遞增，所以，所以，
所以，當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故選：B.
10．D
【分析】分、和三種情況討論，研究其單調性，根據最大值建立方程求解即可.
【詳解】因為，所以當時，在上單調遞減，
則，解得，與矛盾，不符合題意；
當時，根據對勾函數單調性可知，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
故當時，函數在上單調遞增，則在上單調遞減，
所以，解得，符合題意；
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，解得，與矛盾，不符合題意；
綜上所述，.
故選：D
11．B
【分析】化簡解析式，得函數最大最小值與周期，利用條件轉化為與最值的關系，再由最值與周期的關系可得.
【詳解】
，的周期為，且
令，則，
則，由的值域為，
故，
則，故，
由知，，或.
即為函數的最大與最小值，或最小與最大值，
當對應圖象上相鄰兩最值點時，的值最小，
故.
故選：B.
12．ACD
【分析】舉例說明當時，得根據三次函數的單調性確定函數的極值，即可判斷A；當時，利用作差法判斷得符號，即可判斷B；當時，求導函數確定函數的極值點，從而得極值，即可判斷C；當時，判斷函數在區間上的單調性得最值即可判斷D.
【詳解】當時，，函數在上單調遞減，
函數無極值，故A項正確；
當時，，
且，則故B項錯誤；
當時，，且，
當或時，，當時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
在處取得極小值故C項正確；
當時，同上分析知在上為減函數，在上為增函數，
當時，在區間上有最小值，
故D項正確.
故選：ACD.
13．ABD
【分析】令建立方程可解，通過構造函數得到發現可以為冪函數，通過舉例說明可判斷BC選項，，，則，再利用定義法證明函數在的單調性即可得到在上單調性.
【詳解】令，或（舍去），故A正確；，即，
設，則，所以當時成立，
故可以為，此時時偶函數，故B正確；
由上知也可以為，此時關于對稱，故C錯誤；
，，即，，
，，時，，
，設，則，則，所以，
所以在上單調遞增，即在上單調遞增，故D正確.
故選：ABD.
14．ACD
【分析】解方程，求出的值，可判斷A選項；由偶函數的性質求出的值，取可判斷B選項；利用絕對值三角不等式可判斷C選項；化簡函數的解析式，對的取值進行分類討論，數形結合可得出關于實數的不等式組，綜合可解得實數的取值范圍.
【詳解】對于A選項，，則，解得，A對；
對于B選項，若函數為偶函數，則，
即，可得，
所以，或，
由可得，由解得；
由可得，即，
所以，或，
由可得，由可得，
綜上所述，或，
經檢驗，當或，函數為偶函數，
當時，，B錯；
對于C選項，由三角不等式可得，
解得或，
當且僅當時，取最小值，C對；
對于D選項，
①當時，，可知若與有且僅有兩個交點，
只需點在的圖象的下方，即，可得；
②當時，，
由，可得點在的圖象的下方，
此時的圖象與有且僅有兩個交點；
③當時，，
當與相切時，有，
令，則，可得，
解得（舍去）或，
可得與有兩個交點時，
由上知，D對，
故選：ACD．
15．
【分析】根據函數圖象關于中心對稱可得，又因為在上單調遞減可推得結合函數關于中心對稱進而推得在上單調遞減.再利用函數的單調性即可求得的范圍.
【詳解】由函數的圖象關于中心對稱，則.
又因為在上單調遞減，所以時，，
且在上單調遞減，且，可得在上單調遞減.
又因為，所以可得，
則，得.
故答案為：.
16．
【詳解】由條件得，解得或，當時，，該函數是定義域為的奇函數，不符合題意；當時，，該函數是定義域為的偶函數，符合題意．所以，則，其對稱軸方程為，因為在區間上單調遞減，則，解得．
17．
【分析】通過換元，配方，將原函數轉化為二次函數頂點式的形式，要注意的是原函數是給定定義域的，要在定義域內求值域.
【詳解】令，則，
容易看出，該函數轉化為一個開口向下的二次函數，對稱軸為，
，所以該函數在時取到最大值，當時，函數取得最小值，
所以函數值域為.
故答案為：
18．
【分析】因為，故可設，再結合三角恒等變換求值域即可
【詳解】因為，故設，則，故不妨設
故
因為，故，故
故答案為：
【點睛】本題主要考查了三角換元求函數最值的問題，需要根據題中的根號得出的角度范圍，進而求得函數的值域，屬于中檔題
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可設，代入運算求解即可；
（2）根據題意結合二次函數單調性分析求解即可.
【詳解】（1）因為函數是偶函數，所以的圖象關于直線對稱，
又因為的最小值為1，可設，
且，解得，
所以．
（2）由（1）可知：在內單調遞減，在內單調遞增，
因為在區間上單調，
則或，解得或，
所以實數的取值范圍為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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