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函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性 錯題歸納 專題練
2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考
類型梳理
針對性訓(xùn)練
一、單選題
1．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（ ）
A． B． C．0 D．1
2．已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，，則（ ）
A． B． C． D．
3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知連續(xù)型隨機變量ξ服從正態(tài)分布，記函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）
A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點對稱
C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于點對稱
6．若函數(shù)在上的最大值為3，則a的最大值為（ ）
A．3 B． C． D．e
7．已知函數(shù)是定義在上且周期為的奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知是奇函數(shù)，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．已知函數(shù)（為常數(shù)），則（ ）
A．，為偶函數(shù)
B．，為奇函數(shù)
C．，為既奇又偶函數(shù)
D．，為非奇非偶函數(shù)
10．設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，.若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．最小值是2 B．是奇函數(shù)
C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增
12．已知，，則下列說法正確的是（ ）
A．曲線與有公共點
B．曲線關(guān)于直線對稱的曲線是
C．曲線關(guān)于直線對稱的曲線是
D．直線與曲線、的交點分別是A、B，則的最小值為
13．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)為偶函數(shù)
B．函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為
C．函數(shù)的值域為
D．若，則實數(shù)的取值范圍為
14．一定不存在函數(shù)滿足：對任意都有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且，則 .
16．已知函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，若，則 ．
17．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則 ．
18．已知函數(shù)（，）的圖象關(guān)于點中心對稱，則 ．
四、解答題
19．已知
(1)當(dāng)時， 判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)若函數(shù)的圖像經(jīng)過點， 且函數(shù)在上有兩個不相等的零點，求實數(shù)的值以及實數(shù)的取值范圍.
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B B B B D B A
題號 11 12 13 14
答案 BCD BCD ABD ABC
1．D
【分析】利用與的奇偶性推得是周期函數(shù)，從而結(jié)合題設(shè)條件即可得解.
【詳解】是偶函數(shù)，，
則，從而，
又是奇函數(shù)，則，
，進(jìn)而，
所以是周期為的周期函數(shù)，
又當(dāng)時，，則，
所以.
故選：D.
2．B
【分析】由為奇函數(shù)得的圖象關(guān)于點對稱，即，進(jìn)而得即可求解.
【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，
所以的圖象關(guān)于點對稱，，
因為，所以，
所以的最小正周期為4，則.
故選:B.
3．A
【分析】利用奇偶性及單調(diào)性逐項判斷即可.
【詳解】對于A，函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，A是；
對于B，函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，B不是；
對于C，函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，C不是；
對于D，函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D不是.
故選：A
4．B
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，和函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，分別判斷各選項正誤.
【詳解】已知的定義域是，不是奇函數(shù)，所以A錯誤.
已知，定義域為，且，是奇函數(shù)，
，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以B正確.
已知，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以C錯誤.
已知，則，令，即，解得，
所以在上單調(diào)遞減，所以D錯誤.
故選：B.
5．B
【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)可得，據(jù)此可判斷正確選項.
【詳解】由于函數(shù)為下圖中陰影部分面積，
則，
故函數(shù)關(guān)于點對稱，
故選：B.
【點睛】
6．B
【分析】令，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的最大值為3，結(jié)合函數(shù)的對稱性，討論求最大值得解.
【詳解】設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的最大值為3，
因為函數(shù)的對稱軸為，
當(dāng)時，，不合題意；
當(dāng)時，，合題意，
綜上，的最大值為.
故選：B.
7．B
【分析】由函數(shù)周期性的定義可得出，再結(jié)合奇函數(shù)的定義可得出的值，由此可得出的值.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上且周期為的奇函數(shù)，則，
又因為，所以，，故，
即.
故選：B.
8．D
【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得，列方程求，再檢驗所得結(jié)果即可.
【詳解】由，可得，所以，
所以的定義域為，
因為是奇函數(shù)，所以，
又，，
所以，解得.
當(dāng)時，，
函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，
，所以此時是奇函數(shù)
故選：D.
9．B
【分析】由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，定義域關(guān)于原點對稱可求得,進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性.
【詳解】根據(jù)題意，，有，即，若存在奇偶性，
則定義域?qū)ΨQ，必然有，即，
此時，則，則為奇函數(shù).
故選：B．
10．A
【分析】由題意得出，，可得出，，結(jié)合可求得的值，再由可求得的值，即可得出函數(shù)在時的解析式，推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期性可求得的值.
【詳解】因為的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
所以，，
故，，
當(dāng)時，，
則，解得，
在等式中，令可得，可得，
即，解得，故當(dāng)時，，
在等式中，用替代得，
所以，所以，
即，所以，
故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故.
故選：A.
11．BCD
【分析】取特值代入排除A項，利用函數(shù)的奇偶性定義判斷B項；利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷C，D兩項.
【詳解】對于A，因，故A錯誤；
對于B，因函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
且，故是奇函數(shù)，B正確；
對于C，任取，，
因，故，即在上單調(diào)遞減，故C正確；
對于D，任取，，
因，故，即在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：BCD.
12．BCD
【分析】對于A，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的零點是否存在；對于B，求函數(shù)的反函數(shù)即可判斷；對于C，設(shè)曲線關(guān)于直線對稱的曲線是，設(shè)是曲線上任意一點，則關(guān)于直線的對稱點在曲線上，代入可求解析式；利用A選項的結(jié)論可得D選項的結(jié)果.
【詳解】已知，，
對于A，設(shè)，函數(shù)定義域為，，
解得，解得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，
恒成立，無解，
所以曲線與沒有公共點，A選項錯誤；
對于B，函數(shù)的反函數(shù)為，
所以關(guān)于直線對稱的曲線是，B選項正確；
對于C，設(shè)曲線關(guān)于直線對稱的曲線是，
設(shè)是曲線上任意一點，則關(guān)于直線的對稱點為，
代入中，得，即，
所以曲線關(guān)于直線對稱的曲線是，C選項正確；
對于D，由A選項可知，當(dāng)時，的最小值為，D選項正確.
故選：BCD.
13．ABD
【分析】A利用偶函數(shù)的定義；B利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出在上的單調(diào)性，再利用對稱性即可；C先求出當(dāng)時，即可得出的范圍，再結(jié)合對稱性即可；D利用以及對稱性和單調(diào)性即可.
【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域為，
由，有，
可得函數(shù)為偶函數(shù)，故A選項正確；
對于B選項，當(dāng)時，，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞增（復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性），
又由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
故B選項正確；
對于C選項，當(dāng)時，由，得，有，
可得，
又由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的值域為，故C選項錯誤；
對于D選項，由及函數(shù)是偶函數(shù)，
且函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
，可得，故D選項正確．
故選：ABD.
14．ABC
【分析】取特殊值得到矛盾排除，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性判斷BC，存在，判斷D.
【詳解】對于選項A，因為，
而，不符合函數(shù)概念，所以A一定不滿足；
對于選項B，一定為偶函數(shù)，所以B一定不滿足；
對于選項C，函數(shù)的圖象是關(guān)于直線對稱的，
而的圖象不關(guān)于直線對稱，
所以不存在這樣的函數(shù)，所以C一定不滿足；
對于選項D，令，則，
所以，再令，
所以函數(shù)，存在函數(shù)滿足選項D.
故選：ABC
15．1
【分析】利用圖象法或函數(shù)的對稱性或由計算即可求解.
【詳解】法一：如圖，
點關(guān)于點對稱，
則，解得，即.
法二：因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
所以，
令，得，
由，解得.
法三：由知的圖象過點，
又函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
則，解得；
由，解得，
所以.
故答案為：1
16．
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的奇偶性和周期性求出函數(shù)值.
【詳解】函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，故且，
故，解得，，
又，所以.
故答案為：
17．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合題意求出當(dāng)時函數(shù)的解析式即可求解.
【詳解】當(dāng)時，，所以，即
則，．
故答案為：
18．
【分析】利用對數(shù)的運算法則化簡，因該式子恒成立，與無關(guān)，即可列出關(guān)于的方程組.
【詳解】因關(guān)于點中心對稱，則，
即，
該式成立與x的取值無關(guān)，則，且，
因，則，則．
故答案為：
19．(1)答案見解析
(2)，且
【分析】（1）利用奇偶函數(shù)的判斷，直接判斷即可；
（2）根據(jù)圖像過的點坐標(biāo)，即可求出的值，結(jié)合因式分解，利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點轉(zhuǎn)化為方程在固定范圍有兩個不同的根，即可求出的范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
因為，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
當(dāng)時，，函數(shù)是偶函數(shù)；
（2）因為函數(shù)的圖像經(jīng)過點，
所以，則，且，
所以，
令，
則，
因為函數(shù)在上有兩個不相等的零點，
所以且，解得，
綜上，，且.
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