資源簡介

浙江省金華市2024-2025上學期九年級青少年科學素養大賽數學試卷
1．（2025九上·金華競賽） 都是實數，且 ，則 之間的大小關系是 (　　)
A． B． C． D．
2．（2025九上·金華競賽）若證明命題： “對于任意實數 恒成立”是假命題，只需要舉一個反例，則這個反例可以是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025九上·金華競賽）如圖，在 中， 為 的中點， ，則 的長為(　　)
A． B． C． D．
4．（2025九上·金華競賽）已知實數 滿足 ，則 的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
5．（2025九上·金華競賽）如圖是七巧板圖案，現將它剪拼成一個“風箏”造型， 過它的上下左側五點作矩形 ，點 為 的中點，并且在矩形內右上角有一正方形 ，若點 在同一直線上，點 到 的距離與到 的距離相等，且 ，則 的長為 (　　)
A． B． C． D．
6．（2025九上·金華競賽）正方形 中，點 是 的中點，點 是 上異于點 的點， ，則 的值是(　　)
A．1 B． C． D．
7．（2025九上·金華競賽）已知實數 ，滿足 ，則代數式 的值是 (　　)
A． B． C．3 D．
8．（2025九上·金華競賽）小明和爸爸計劃從家出發去游泳館，上午 8 點整小明先出發， 以 60 米/分的速度勻速步行， 途中不休息， 爸爸在上午 9 點 10 分從家出發， 沿同一路線， 以 300 米/分的速度勻速騎行到游泳館， 每騎 5 分鐘后休息 1 分鐘， 最后， 爸爸比小明晚 5 分鐘到達游泳館，那么家距離游泳館有(　　)
A．4500 米 B．5100 米 C．5600 米 D．6000 米
9．（2025九上·金華競賽）如圖，在矩形 中，點 是邊 上的一動點， 連結 ，將線段 繞著點 順時針旋轉 ，得到 ，連結 ，交 于點 ，若 ，則 長的最大值為 (　　)
A． B． C． D．
10．（2025九上·金華競賽）某同學用紙剪出了三種多邊形，為凸四邊形，凸五邊形， 凸六邊形， 每種至少剪出一個， 剪出的多邊形邊數之和為 111 ， 那么剪出的多邊形的所有內角中，直角的個數最多是　 　.
11．（2025九上·金華競賽）已知 ，滿足 ，則使反比例函數 的圖像經過二、四象限的 的概率是　 　.
12．（2025九上·金華競賽）閱讀理解： 對于三個數 ，用 表示三個數中的最小值. 例如： ，則 的最大值為　 　.
13．（2025九上·金華競賽）如圖，點 是半圓 上一點，將弧 沿弦 折疊交直徑于點 ，再將弧 沿 翻折交 于點 ，連結 ，若 ， 則線段 的長為　 　.
14．（2025九上·金華競賽） 已知互不相等的實數 滿足 ，則 　 　.
15．（2025九上·金華競賽） 如圖，已知在 Rt 中， ，點 為 的中點，連結 ，點 為平面內一點， ，連結 ，交 于點 ，且 則 的長為　 　.
16．（2025九上·金華競賽）對于兩個多項式，若 ，滿足下列兩種情形之一： ； ② ； 則稱多項式 為“較大” 多項式，多項式 為“較小” 多項式.對于兩個多項式 和 ，若將 和 中 “較大” 多項式和 “較小” 多項式的差記作 ，則稱這樣的操作為一次 “佳選作差” 操作； 再對 和 進行 “佳選作差” 操作得到 ，以此類推，經過 次操作后得到的序列 稱為 “佳選作差” 序列 . 現對 進行 次 “佳選作差” 操作得到 “佳選作差” 序列 ，
（1） 求 ；
（2）求 .
17．（2025九上·金華競賽）將反比例函數 的圖像繞著原點 順時針旋轉 得到新的雙曲線圖像 (如圖所示)，若直線 軸， 為 軸上的一個定點，已知，圖像 上的任意一點 到 的距離與直線 的距離之比為定值，記為 ，即 .
（1）若直線 經過點 ， 點的坐標為(4，0)，且 ，求雙曲線 的解析式；
（2）如圖，若直線 經過點 ，雙曲線 的解析式為 ，且
為雙曲線 在第一象限內圖像上的動點，連接 為線段 上靠近點 的三等分點，連接 ，在點 運動的過程中，當 時，求點 的橫坐標.
18．（2025九上·金華競賽）已知二次函數 .
（1）當 時，函數的最大值與最小值之差為 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范圍.
19．（2025九上·金華競賽）已知： 是 的內接三角形，
（1）如圖 ， 、 分別為 、 上的高線，交于點 ，若 ， ，求 的半徑；
（2）如圖 ，分別作 、 的角平分線，交于點 ，作 ，交 于點 ，連結 ，交 于點 ，若 ，求 的長.
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】二次函數的最值；偶次方的非負性
【解析】【解答】解：
∴c≥b；
，
由②-①得
2b=2a2-2a+5，
，
∴a＜b，
∴a＜b≤c.
故答案為：A.
【分析】將c-b轉化為完全平方式，利用偶次方的非負性，可得到c與b的大小關系；再將兩個等式相減消去c，可得到2b-2a的值，再將其配方，可得到2b-2a≥3，據此兩端的a、b的大小關系，由此可推出a、b、c之間的大小關系.
2．【答案】D
【知識點】舉反例判斷命題真假
【解析】【解答】解：∵ 恒成立，
∴|x| ≥|y|，
A、∵|x|=|-3|=3，|y|=|-2|=2，
∴3＞2即|x| ＞|y|，故A不符合題意；
B、∵|x|=|0|=0，|y|=|0|=0，
∴|x| =|y|，故B不符合題意；
C、∵|x|=4，|y|=3，
∴4＞3即|x| ＞|y|，故C不符合題意；
D、∵|x|=|-5|=5，|y|=6，
∴5＜6即|x| ＜|y|，故D符合題意；
故答案為：D.
【分析】利用已知的等式可推出|x| ≥|y|，再分別將各選項中的x、y代入，可判斷出|x| 和|y|的大小，據此可得到符合這個反例的選項.
3．【答案】C
【知識點】等邊三角形的判定；三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：如圖，取 的中點 ，連結 ，
是中點，
∴DE是△ABC的中位線，
，
∴∠GDE=∠B，
，
∴∠AGE=90°，
∴
，
∴，
.
故答案為：C.
【分析】取 的中點 ，連結 ，易證DE是△ABC的中位線，利用三角形的中位線定理和平行線的性質可證得∠GDE=∠B，利用垂直的定義可證得△AGC是直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出CE=EG=4，再利用三角形外角的性質及∠C=2∠B，可推出∠GDE=∠GED，然后利用等角對等邊可求出DG的長.
4．【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：設 ，
∴ ，
解之： ，
，
∴
故答案為：B.
【分析】設 ，利用對應項的系數相等，可得到關于x、y的方程組，解方程組求出x、y的值，再根據已知條件可求出9a-b的取值范圍.
5．【答案】C
【知識點】七巧板與拼圖制作；平行四邊形的判定與性質；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如圖，過 做 的垂線，垂足分別為 ，延長 過點 交 于 ，連結 ，
點 到 的距離與到 的距離相等，
四邊形 是平行四邊形，
，
由左圖七巧板中最大等腰直角三角形斜邊長為 ，
∴最大等腰直角三角形的直角邊長為 ， ，
點 為 的中點，
，
，
故答案為：C.
【分析】過 做 的垂線，垂足分別為 ，延長 過點 交 于 ，連結 ，易證四邊形 是平行四邊形，利用平行四邊形的性質可得到LD的長；利用左圖七巧板中最大等腰直角三角形斜邊長，利用勾股定理可求出最大等腰直角三角形的直角邊長，可得到EF、HG的長，利用點G為EF的中點，可得到IL，AJ的長，然后根據AD=AJ+JL+LD，代入計算可求出AD的長.
6．【答案】D
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD，
過 作 ，連結 ，
∴∠BHP=∠BHE=90°，
，
在△ABP和△HBP中
∴△ABP≌△HBP（AAS）
∴AP=PH，BH=AB=BC，
在Rt△BHE和Rt△BCE中
∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL）
∴HE=CE，
設 ，
點 是 的中點， ，
在 Rt 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
∴，
故答案為：D.
【分析】利用正方形的性質可知∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD，過 作 ，連結 ，利用余角的性質可證得∠HBP=∠ABP，再利用AAS可證得△ABP≌△HBP，利用全等三角形的性質可證AP=PH，BH=AB=BC，再利用HL可證得Rt△BHE≌Rt△BCE，利用全等三角形的性質可得到HE=CE；設 ，可表示出AB、PD、PE的長，利用勾股定理可得到關于x、y的方程，解方程可表示出y，利用勾股定理表示出BP的長，同時可表示出PE的長；然后求出BP與PE的比值.
7．【答案】A
【知識點】完全平方公式及運用；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解： ，
∵
，
原式
，
故答案為：A.
【分析】利用已知條件及配方法可求出ab+bc+ac及a2b2+b2c2+a2c2的值，再將原式通分轉化為，然后化簡。整體代入求值即可.
8．【答案】B
【知識點】分段函數
【解析】【解答】解：假如 A. 正確，則小明步行 分鐘，則爸爸行走 分鐘， ， 不符合題意；
假如 B. 正確，則小明步行 分鐘，則爸爸騎行用時 分鐘，中間要休息 3 次共 3 分鐘，所以總騎行時間是 分鐘， ，符合題意.
故答案為：5100
【分析】假如 A. 正確，可求出小明步行的時間，由此可得到爸爸行走的時間，據此可求出家距離游泳館的距離，可對A作出判斷；假如 B正確，先求出小明步行的時間，從而可推算出爸爸騎行的時間，然后求出總騎行的時間，可求出家距離游泳館的距離，可對B作出判斷；即可求解.
9．【答案】D
【知識點】矩形的性質；旋轉的性質；四邊形-動點問題；同側一線三等角全等模型（銳角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如圖，在直線 及延長線上取兩點 ，使得 ，
∵ 將線段 繞著點 順時針旋轉 ，
∴CE=CF，∠ECF=60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴∠CEF=60°，
∵∠CEH+∠CEF=∠QGE+∠GQE，
∴∠GQE=∠CEH，
∴ ，
∴，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴
∴∠GAQ=30°，
∵∠QGE=∠CAQ+∠AQG=60°，
∴∠GAQ=∠AQG=30°，
∴AG=QG，
設 ，則 .
∴ ，
在Rt△CBH中，， ，
∴∠HCB=90°-60°=30°，
∴BH=BCtan30°=1，CH=2，
∴AH=3+1=4，
∴EH=4-x-y，
∴ ，解得 ，
設 ，則 ，當且僅當 取等號，
故 .
故答案為：D.
【分析】：注意到， 的長度只與 的運動相關，故我們只需關注 這個條件，最直接利用這個條件的方法就是構造“一線三等角”模型； 在直線 及延長線上取兩點 ，使得 ，利用旋轉的性質去證明△CEF是等邊三角形，可得到∠CEF的度數，利用三角形的外角的性質可推出∠GQE=∠CEH，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證得△QGE∽△EHC，利用相似三角形的性質可證得；利用矩形的性質可證得∠ABC=90°，利用解直角三角形可求出∠GAQ的度數，利用三角形外角的性質及等腰三角形的性質可推出AG=QG，設 ，可表示出BE，QG，AQ的長，再利用解直角三角形求出BH、CH的長，可得到AH的長，由此可表示出EH的長，然后代入可得到y關于x的函數解析式，設 ，可得到y關于t的函數解析式，然后求出AQ長的最大值即可.
10．【答案】106
【知識點】多邊形的內角和公式
【解析】【解答】解：凸多邊形外角和 ，故外角最多有 4 個直角，也即內角最多有 4 個直角，具體來說凸四邊形最多有 4 個直角， 凸五邊形和凸六邊形最多有 3 個直角，
∴剪凸四邊形越多， 直角越多.
∵4×25+5+6=111，
∴可以剪 25 個凸四邊形， 1 個凸五邊形， 1 個凸六邊形，
∴直角的個數最多是4×25+3+3=106.
故答案為：106.
【分析】利用凸多邊形外角和 ，可推出外角最多有 4 個直角，內角最多有 4 個直角；由此可知凸四邊形最多有 4 個直角， 凸五邊形和凸六邊形最多有 3 個直角，再根據剪出的多邊形邊數之和為 111，可知剪出的凸四邊形，凸五邊形，個凸六邊形的個數，就得到直角最多的個數.
11．【答案】
【知識點】反比例函數的性質；概率公式
【解析】【解答】解：依據 ，可設 中有 個為 個為-1，故而有 ，
解得 ，
反比例函數 的圖像經過二、四象限，即 的概率為 .
故答案為：.
【分析】可設 中有 個為 個為-1，可得到關于m、n的方程組，解方程組求出m、n的值，再根據反比例函數及經過的象限，可求出 的概率.
12．【答案】
【知識點】二次函數的最值；二次函數與一次函數的綜合應用
【解析】【解答】解：如圖，分別作出 的圖象，
取其在下的部分 (如圖紅色部分) ，即為 ，那么最大值就在 或 上取，
∴
解之：x1=2，x2=-1
∵x＜0，
∴x=-1，
∴，
∴B
∵
解之：，
∵x＞0，
∴
∴
∴點A
∵
∴ 的最大值為 .
故答案為：.
【分析】分別作出 的圖像，取其在下的部分 (如圖紅色部分) ，最大值就在 或 上取，聯立方程和，分別解方程可得到符合題意的點A、B的坐標，再比較它們縱坐標代入大小，可得答案.
13．【答案】
【知識點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如圖，連結 ，過點 作 于 ，點 作 于 .
∵ 將弧 沿弦 折疊交直徑于點 ，再將弧 沿 翻折交 于點 ，
∴弧AC，弧CD，弧DE為等圓中的弧，
∴，
∴
CG⊥AD，AC=CD，
∴ 設 ，則 ，
∴OA=2x+1，
∴ ，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠GC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACG∽△ACB，
∴ 即，
解之： （取正），
∴ .
由面積公式， ，
解之： ，
∴ ，故 .
故答案為：
【分析】連結 ，過點 作 于 ，點 作 于 . 利用折疊的性質可證得等圓中的弧所對的弦相等可證得AC=CD=DE，利用等腰三角形的性質設，可表示出AD、OA、AB的長，利用直徑所對圓周角是直角，可證得∠ACB=∠GC=90°，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似可證得△ACG∽△ACB，可推出，可得到關于x的方程，解方程求出符合題意的x的值；利用面積公式及解直角三角形可求出CE的長，即可頂點BE的長.
14．【答案】
【知識點】高次方程；三元一次不定方程
【解析】【解答】解：設 .
∴ ，
解之： ，代入得 ，
∴ ，由題意只有 ，
∴
即 ，
解之： .
故答案為：.
【分析】設 ，可將等式轉化為，解方程可表示出b，再將b代入，進行化簡可得到，由此可得到關于k的方程，解方程求出k的值.
15．【答案】
【知識點】解直角三角形—邊角關系；正弦定理和余弦定理；相似三角形的判定預備定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，點G為AB的中點
∴AG=CG=DG=AB，
設 ，則 ，
∴AB=2AG=2CG=2（x+1）
∵DC∥AB，
∴△DCE∽△AEG，
∴即
解之： ，
∴，
在Rt△ABC中
，
在 中用余弦定理
解之： .
∴ .
故答案為：.
【分析】利用直角三角斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證得AG=CG=DG=AB，設 ，可表示出CG、AB的長；由DC∥AB可推出△DCE∽△AEG，利用相似三角形的性質，可表示出CE的長，從而可得到AC的長，再利用解直角三角形可表示出cosA，在Rt△AEG中，利用余弦定理可得到關于x的方程，解方程求出x的值，可得到AC的長，再利用勾股定理可求出BC的長，然后求出BE的長.
16．【答案】（1） 故
∴A2024是一個周期內的第1個多項式，
∵周期中的A2=A5=A8=x，
（2）=7x2-17x+7
【知識點】整式的加減運算；探索數與式的規律
【解析】【分析】（1）利用閱讀材料分別求出A3，A4，A5，A6，A7，A8，可得到A2=A5=A8=x，用2024除以3可知余數為1，由此可知A2024是一個周期內的第1個多項式，即可求解.
（2）利用（1）中的規律可求出的值.
17．【答案】（1）解：設
∵點B（1，0），l⊥x軸，
∴
∵e=2， 圖像 上的任意一點 到 的距離與直線 的距離之比為定值
∴PF=2PH=2（x-1），
∵點F（4，0），
，
解之：
（2）解：由 為雙曲線 在第一象限內圖像上的動點，
設 ，
，雙曲線 的解析式為 ，且 ，
，
為線段 上靠近點 的三等分點， ，
，故 ，
解得 或 不符合題意，舍去.
綜上，
【知識點】旋轉的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）設 ，利用點B的坐標可表示出PH的長，再結合已知條件可表示出PF的長，利用點F的坐標和勾股定理可得到關于x，y的方程，解方程可得到雙曲線 的解析式.
（2）利用已知條件設點P、H、D的坐標，利用點B的坐標及雙曲線 的解析式，可得到e的值，同時可證得PF=3PH；再根據D為線段 上靠近點 的三等分點，可表示出PF、HD的長，可推出，據此可得到關于x的方程，解方程求出符合題意的x的值即可.
18．【答案】（1）解： ，對稱軸 ，
分類討論： ① 當 時，即 ，
當 時， ； 當 時， ，即 ，解得 ，
不符合題意， 舍去.
② 當 時，即 ，
當 時， ； 當 時， ，即 ，解得 ，
不符合題意， 舍去.
③當 時，即 ，
當 時， ； 當 時， ，即 ，解得 或 不符合題意，舍去.
④當 時，即 ，
當 時， ； 當 時， ，即 ，
解得 或 不符合題意，舍去.
綜上， 或 .
（2）解：分類討論：
① 當 時，即 ，當 時， ，即 ，解得 ，故 .
② 當 時，即 ，
當 時， ，即 ，解得 ，不符合題意，舍去.
③當 時，即 ，
當 時， ，即 ，解得 ，故 .
綜上，
【知識點】二次函數的最值；二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【分析】（1）利用函數解析式可求出拋物線的對稱軸，再分情況討論：① 當 時，即 ，分別求出當x=-1時y的最小值和x=1時y的最大值，然后根據函數的最大值與最小值之差為 2，可得到關于a的方程，解方程求出a的值，再作出判斷；② 當 時，即 ，分別求出當x=1時y的最小值和x=-1時y的最大值，然后根據函數的最大值與最小值之差為 2，可得到關于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范圍作出判斷；③當 時，即 ，分別求出當 時y的最小值和x=1時y的最大值，然后根據函數的最大值與最小值之差為 2，可得到關于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范圍作出判斷；④當 時，即 ，分別求出當 時y的最小值和x=-1時y的最大值，然后根據函數的最大值與最小值之差為 2，可得到關于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范圍作出判斷；綜上所述可得到符合題意的a的值.
（2）分類討論： 當 時，可求出當x=1時y的最小值，可得到關于a的不等式，然后求出不等式的解集；② 當 時，求出當x=2時y的最小值，據此可得到關于a的不等式，然后求出不等式的解集；③當 時，可求出當 時y的最小值，據此可得到關于a的不等式，然后求出不等式的解集，綜上所述可得到 恒成立的a的取值范圍.
19．【答案】（1）解：∵ 、 分別為 、 上的高線
∴∠BEC=∠ADE=∠AFC=90°，
∴∠C+∠DAE=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠DAE=∠CBE，
∴ ，
∴即
∴ ，
在 Rt 中， ，
連結 并延長交 于點 ，連結 CG， ，=
∵BG是直徑，
∴∠BCG=90°，
∵
∴∠BAE=∠BGC
∴ ，
，
，
故 的半徑為
（2）解：連接BE，延長AD交圓O于點G，連接BG，GE，延長GE，BC交于點H，連接DH，交AE于點I，設DE與BC交于點J，連接DF，IJ，
、 的角平分線，交于點 ， ，
∵弧BG=弧BG，
，
，
即 ，∴ ，
，
，
四點共圓，
四點共圓， ，
，
，
【知識點】解直角三角形—邊角關系；四點共圓模型；相似三角形的判定-AA；圓與三角形的綜合
【解析】【分析】（1）利用三角形的高線的定義和余角的性質可證得∠BEC=∠ADE，∠DAE=∠CBE，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證△BCE∽△ADE，利用相似三角形的性質可證得BE=2AE，在Rt△BEA中，利用勾股定理及解直角三角形可求出sin∠BAE的值；連結 并延長交 于點 ，連結 CG， 利用直徑所對圓周角是直角，可證得∠BCG=90°，同時可證得∠BAE=∠BGC，再利用解直角三角形可求出BG的長，即可得到圓的半徑長.
（2） 連接BE，延長AD交圓O于點G，連接BG，GE，延長GE，BC交于點H，連接DH，交AE于點I，設DE與BC交于點J，連接DF，IJ，利用角平分線的概念和圓周角定理可證得∠BEG=∠CBG，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可推出，利用SAS可證得△DGE∽△HGD，利用相似三角形的性質可證得∠GDE=∠GHD，由此可證得∠DEA=∠DHB，可得到點J、E、H、I四點共圓，利用圓周角定理可證∠JDF=∠GAE，可推出△DEF∽△AED，利用相似三角形的性質可求出AE的長，然后求出AF的長.
1 / 1浙江省金華市2024-2025上學期九年級青少年科學素養大賽數學試卷
1．（2025九上·金華競賽） 都是實數，且 ，則 之間的大小關系是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】二次函數的最值；偶次方的非負性
【解析】【解答】解：
∴c≥b；
，
由②-①得
2b=2a2-2a+5，
，
∴a＜b，
∴a＜b≤c.
故答案為：A.
【分析】將c-b轉化為完全平方式，利用偶次方的非負性，可得到c與b的大小關系；再將兩個等式相減消去c，可得到2b-2a的值，再將其配方，可得到2b-2a≥3，據此兩端的a、b的大小關系，由此可推出a、b、c之間的大小關系.
2．（2025九上·金華競賽）若證明命題： “對于任意實數 恒成立”是假命題，只需要舉一個反例，則這個反例可以是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】舉反例判斷命題真假
【解析】【解答】解：∵ 恒成立，
∴|x| ≥|y|，
A、∵|x|=|-3|=3，|y|=|-2|=2，
∴3＞2即|x| ＞|y|，故A不符合題意；
B、∵|x|=|0|=0，|y|=|0|=0，
∴|x| =|y|，故B不符合題意；
C、∵|x|=4，|y|=3，
∴4＞3即|x| ＞|y|，故C不符合題意；
D、∵|x|=|-5|=5，|y|=6，
∴5＜6即|x| ＜|y|，故D符合題意；
故答案為：D.
【分析】利用已知的等式可推出|x| ≥|y|，再分別將各選項中的x、y代入，可判斷出|x| 和|y|的大小，據此可得到符合這個反例的選項.
3．（2025九上·金華競賽）如圖，在 中， 為 的中點， ，則 的長為(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】等邊三角形的判定；三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：如圖，取 的中點 ，連結 ，
是中點，
∴DE是△ABC的中位線，
，
∴∠GDE=∠B，
，
∴∠AGE=90°，
∴
，
∴，
.
故答案為：C.
【分析】取 的中點 ，連結 ，易證DE是△ABC的中位線，利用三角形的中位線定理和平行線的性質可證得∠GDE=∠B，利用垂直的定義可證得△AGC是直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出CE=EG=4，再利用三角形外角的性質及∠C=2∠B，可推出∠GDE=∠GED，然后利用等角對等邊可求出DG的長.
4．（2025九上·金華競賽）已知實數 滿足 ，則 的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：設 ，
∴ ，
解之： ，
，
∴
故答案為：B.
【分析】設 ，利用對應項的系數相等，可得到關于x、y的方程組，解方程組求出x、y的值，再根據已知條件可求出9a-b的取值范圍.
5．（2025九上·金華競賽）如圖是七巧板圖案，現將它剪拼成一個“風箏”造型， 過它的上下左側五點作矩形 ，點 為 的中點，并且在矩形內右上角有一正方形 ，若點 在同一直線上，點 到 的距離與到 的距離相等，且 ，則 的長為 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】七巧板與拼圖制作；平行四邊形的判定與性質；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如圖，過 做 的垂線，垂足分別為 ，延長 過點 交 于 ，連結 ，
點 到 的距離與到 的距離相等，
四邊形 是平行四邊形，
，
由左圖七巧板中最大等腰直角三角形斜邊長為 ，
∴最大等腰直角三角形的直角邊長為 ， ，
點 為 的中點，
，
，
故答案為：C.
【分析】過 做 的垂線，垂足分別為 ，延長 過點 交 于 ，連結 ，易證四邊形 是平行四邊形，利用平行四邊形的性質可得到LD的長；利用左圖七巧板中最大等腰直角三角形斜邊長，利用勾股定理可求出最大等腰直角三角形的直角邊長，可得到EF、HG的長，利用點G為EF的中點，可得到IL，AJ的長，然后根據AD=AJ+JL+LD，代入計算可求出AD的長.
6．（2025九上·金華競賽）正方形 中，點 是 的中點，點 是 上異于點 的點， ，則 的值是(　　)
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD，
過 作 ，連結 ，
∴∠BHP=∠BHE=90°，
，
在△ABP和△HBP中
∴△ABP≌△HBP（AAS）
∴AP=PH，BH=AB=BC，
在Rt△BHE和Rt△BCE中
∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL）
∴HE=CE，
設 ，
點 是 的中點， ，
在 Rt 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
∴，
故答案為：D.
【分析】利用正方形的性質可知∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD，過 作 ，連結 ，利用余角的性質可證得∠HBP=∠ABP，再利用AAS可證得△ABP≌△HBP，利用全等三角形的性質可證AP=PH，BH=AB=BC，再利用HL可證得Rt△BHE≌Rt△BCE，利用全等三角形的性質可得到HE=CE；設 ，可表示出AB、PD、PE的長，利用勾股定理可得到關于x、y的方程，解方程可表示出y，利用勾股定理表示出BP的長，同時可表示出PE的長；然后求出BP與PE的比值.
7．（2025九上·金華競賽）已知實數 ，滿足 ，則代數式 的值是 (　　)
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知識點】完全平方公式及運用；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解： ，
∵
，
原式
，
故答案為：A.
【分析】利用已知條件及配方法可求出ab+bc+ac及a2b2+b2c2+a2c2的值，再將原式通分轉化為，然后化簡。整體代入求值即可.
8．（2025九上·金華競賽）小明和爸爸計劃從家出發去游泳館，上午 8 點整小明先出發， 以 60 米/分的速度勻速步行， 途中不休息， 爸爸在上午 9 點 10 分從家出發， 沿同一路線， 以 300 米/分的速度勻速騎行到游泳館， 每騎 5 分鐘后休息 1 分鐘， 最后， 爸爸比小明晚 5 分鐘到達游泳館，那么家距離游泳館有(　　)
A．4500 米 B．5100 米 C．5600 米 D．6000 米
【答案】B
【知識點】分段函數
【解析】【解答】解：假如 A. 正確，則小明步行 分鐘，則爸爸行走 分鐘， ， 不符合題意；
假如 B. 正確，則小明步行 分鐘，則爸爸騎行用時 分鐘，中間要休息 3 次共 3 分鐘，所以總騎行時間是 分鐘， ，符合題意.
故答案為：5100
【分析】假如 A. 正確，可求出小明步行的時間，由此可得到爸爸行走的時間，據此可求出家距離游泳館的距離，可對A作出判斷；假如 B正確，先求出小明步行的時間，從而可推算出爸爸騎行的時間，然后求出總騎行的時間，可求出家距離游泳館的距離，可對B作出判斷；即可求解.
9．（2025九上·金華競賽）如圖，在矩形 中，點 是邊 上的一動點， 連結 ，將線段 繞著點 順時針旋轉 ，得到 ，連結 ，交 于點 ，若 ，則 長的最大值為 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】矩形的性質；旋轉的性質；四邊形-動點問題；同側一線三等角全等模型（銳角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如圖，在直線 及延長線上取兩點 ，使得 ，
∵ 將線段 繞著點 順時針旋轉 ，
∴CE=CF，∠ECF=60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴∠CEF=60°，
∵∠CEH+∠CEF=∠QGE+∠GQE，
∴∠GQE=∠CEH，
∴ ，
∴，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴
∴∠GAQ=30°，
∵∠QGE=∠CAQ+∠AQG=60°，
∴∠GAQ=∠AQG=30°，
∴AG=QG，
設 ，則 .
∴ ，
在Rt△CBH中，， ，
∴∠HCB=90°-60°=30°，
∴BH=BCtan30°=1，CH=2，
∴AH=3+1=4，
∴EH=4-x-y，
∴ ，解得 ，
設 ，則 ，當且僅當 取等號，
故 .
故答案為：D.
【分析】：注意到， 的長度只與 的運動相關，故我們只需關注 這個條件，最直接利用這個條件的方法就是構造“一線三等角”模型； 在直線 及延長線上取兩點 ，使得 ，利用旋轉的性質去證明△CEF是等邊三角形，可得到∠CEF的度數，利用三角形的外角的性質可推出∠GQE=∠CEH，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證得△QGE∽△EHC，利用相似三角形的性質可證得；利用矩形的性質可證得∠ABC=90°，利用解直角三角形可求出∠GAQ的度數，利用三角形外角的性質及等腰三角形的性質可推出AG=QG，設 ，可表示出BE，QG，AQ的長，再利用解直角三角形求出BH、CH的長，可得到AH的長，由此可表示出EH的長，然后代入可得到y關于x的函數解析式，設 ，可得到y關于t的函數解析式，然后求出AQ長的最大值即可.
10．（2025九上·金華競賽）某同學用紙剪出了三種多邊形，為凸四邊形，凸五邊形， 凸六邊形， 每種至少剪出一個， 剪出的多邊形邊數之和為 111 ， 那么剪出的多邊形的所有內角中，直角的個數最多是　 　.
【答案】106
【知識點】多邊形的內角和公式
【解析】【解答】解：凸多邊形外角和 ，故外角最多有 4 個直角，也即內角最多有 4 個直角，具體來說凸四邊形最多有 4 個直角， 凸五邊形和凸六邊形最多有 3 個直角，
∴剪凸四邊形越多， 直角越多.
∵4×25+5+6=111，
∴可以剪 25 個凸四邊形， 1 個凸五邊形， 1 個凸六邊形，
∴直角的個數最多是4×25+3+3=106.
故答案為：106.
【分析】利用凸多邊形外角和 ，可推出外角最多有 4 個直角，內角最多有 4 個直角；由此可知凸四邊形最多有 4 個直角， 凸五邊形和凸六邊形最多有 3 個直角，再根據剪出的多邊形邊數之和為 111，可知剪出的凸四邊形，凸五邊形，個凸六邊形的個數，就得到直角最多的個數.
11．（2025九上·金華競賽）已知 ，滿足 ，則使反比例函數 的圖像經過二、四象限的 的概率是　 　.
【答案】
【知識點】反比例函數的性質；概率公式
【解析】【解答】解：依據 ，可設 中有 個為 個為-1，故而有 ，
解得 ，
反比例函數 的圖像經過二、四象限，即 的概率為 .
故答案為：.
【分析】可設 中有 個為 個為-1，可得到關于m、n的方程組，解方程組求出m、n的值，再根據反比例函數及經過的象限，可求出 的概率.
12．（2025九上·金華競賽）閱讀理解： 對于三個數 ，用 表示三個數中的最小值. 例如： ，則 的最大值為　 　.
【答案】
【知識點】二次函數的最值；二次函數與一次函數的綜合應用
【解析】【解答】解：如圖，分別作出 的圖象，
取其在下的部分 (如圖紅色部分) ，即為 ，那么最大值就在 或 上取，
∴
解之：x1=2，x2=-1
∵x＜0，
∴x=-1，
∴，
∴B
∵
解之：，
∵x＞0，
∴
∴
∴點A
∵
∴ 的最大值為 .
故答案為：.
【分析】分別作出 的圖像，取其在下的部分 (如圖紅色部分) ，最大值就在 或 上取，聯立方程和，分別解方程可得到符合題意的點A、B的坐標，再比較它們縱坐標代入大小，可得答案.
13．（2025九上·金華競賽）如圖，點 是半圓 上一點，將弧 沿弦 折疊交直徑于點 ，再將弧 沿 翻折交 于點 ，連結 ，若 ， 則線段 的長為　 　.
【答案】
【知識點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如圖，連結 ，過點 作 于 ，點 作 于 .
∵ 將弧 沿弦 折疊交直徑于點 ，再將弧 沿 翻折交 于點 ，
∴弧AC，弧CD，弧DE為等圓中的弧，
∴，
∴
CG⊥AD，AC=CD，
∴ 設 ，則 ，
∴OA=2x+1，
∴ ，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠GC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACG∽△ACB，
∴ 即，
解之： （取正），
∴ .
由面積公式， ，
解之： ，
∴ ，故 .
故答案為：
【分析】連結 ，過點 作 于 ，點 作 于 . 利用折疊的性質可證得等圓中的弧所對的弦相等可證得AC=CD=DE，利用等腰三角形的性質設，可表示出AD、OA、AB的長，利用直徑所對圓周角是直角，可證得∠ACB=∠GC=90°，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似可證得△ACG∽△ACB，可推出，可得到關于x的方程，解方程求出符合題意的x的值；利用面積公式及解直角三角形可求出CE的長，即可頂點BE的長.
14．（2025九上·金華競賽） 已知互不相等的實數 滿足 ，則 　 　.
【答案】
【知識點】高次方程；三元一次不定方程
【解析】【解答】解：設 .
∴ ，
解之： ，代入得 ，
∴ ，由題意只有 ，
∴
即 ，
解之： .
故答案為：.
【分析】設 ，可將等式轉化為，解方程可表示出b，再將b代入，進行化簡可得到，由此可得到關于k的方程，解方程求出k的值.
15．（2025九上·金華競賽） 如圖，已知在 Rt 中， ，點 為 的中點，連結 ，點 為平面內一點， ，連結 ，交 于點 ，且 則 的長為　 　.
【答案】
【知識點】解直角三角形—邊角關系；正弦定理和余弦定理；相似三角形的判定預備定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，點G為AB的中點
∴AG=CG=DG=AB，
設 ，則 ，
∴AB=2AG=2CG=2（x+1）
∵DC∥AB，
∴△DCE∽△AEG，
∴即
解之： ，
∴，
在Rt△ABC中
，
在 中用余弦定理
解之： .
∴ .
故答案為：.
【分析】利用直角三角斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證得AG=CG=DG=AB，設 ，可表示出CG、AB的長；由DC∥AB可推出△DCE∽△AEG，利用相似三角形的性質，可表示出CE的長，從而可得到AC的長，再利用解直角三角形可表示出cosA，在Rt△AEG中，利用余弦定理可得到關于x的方程，解方程求出x的值，可得到AC的長，再利用勾股定理可求出BC的長，然后求出BE的長.
16．（2025九上·金華競賽）對于兩個多項式，若 ，滿足下列兩種情形之一： ； ② ； 則稱多項式 為“較大” 多項式，多項式 為“較小” 多項式.對于兩個多項式 和 ，若將 和 中 “較大” 多項式和 “較小” 多項式的差記作 ，則稱這樣的操作為一次 “佳選作差” 操作； 再對 和 進行 “佳選作差” 操作得到 ，以此類推，經過 次操作后得到的序列 稱為 “佳選作差” 序列 . 現對 進行 次 “佳選作差” 操作得到 “佳選作差” 序列 ，
（1） 求 ；
（2）求 .
【答案】（1） 故
∴A2024是一個周期內的第1個多項式，
∵周期中的A2=A5=A8=x，
（2）=7x2-17x+7
【知識點】整式的加減運算；探索數與式的規律
【解析】【分析】（1）利用閱讀材料分別求出A3，A4，A5，A6，A7，A8，可得到A2=A5=A8=x，用2024除以3可知余數為1，由此可知A2024是一個周期內的第1個多項式，即可求解.
（2）利用（1）中的規律可求出的值.
17．（2025九上·金華競賽）將反比例函數 的圖像繞著原點 順時針旋轉 得到新的雙曲線圖像 (如圖所示)，若直線 軸， 為 軸上的一個定點，已知，圖像 上的任意一點 到 的距離與直線 的距離之比為定值，記為 ，即 .
（1）若直線 經過點 ， 點的坐標為(4，0)，且 ，求雙曲線 的解析式；
（2）如圖，若直線 經過點 ，雙曲線 的解析式為 ，且
為雙曲線 在第一象限內圖像上的動點，連接 為線段 上靠近點 的三等分點，連接 ，在點 運動的過程中，當 時，求點 的橫坐標.
【答案】（1）解：設
∵點B（1，0），l⊥x軸，
∴
∵e=2， 圖像 上的任意一點 到 的距離與直線 的距離之比為定值
∴PF=2PH=2（x-1），
∵點F（4，0），
，
解之：
（2）解：由 為雙曲線 在第一象限內圖像上的動點，
設 ，
，雙曲線 的解析式為 ，且 ，
，
為線段 上靠近點 的三等分點， ，
，故 ，
解得 或 不符合題意，舍去.
綜上，
【知識點】旋轉的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）設 ，利用點B的坐標可表示出PH的長，再結合已知條件可表示出PF的長，利用點F的坐標和勾股定理可得到關于x，y的方程，解方程可得到雙曲線 的解析式.
（2）利用已知條件設點P、H、D的坐標，利用點B的坐標及雙曲線 的解析式，可得到e的值，同時可證得PF=3PH；再根據D為線段 上靠近點 的三等分點，可表示出PF、HD的長，可推出，據此可得到關于x的方程，解方程求出符合題意的x的值即可.
18．（2025九上·金華競賽）已知二次函數 .
（1）當 時，函數的最大值與最小值之差為 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范圍.
【答案】（1）解： ，對稱軸 ，
分類討論： ① 當 時，即 ，
當 時， ； 當 時， ，即 ，解得 ，
不符合題意， 舍去.
② 當 時，即 ，
當 時， ； 當 時， ，即 ，解得 ，
不符合題意， 舍去.
③當 時，即 ，
當 時， ； 當 時， ，即 ，解得 或 不符合題意，舍去.
④當 時，即 ，
當 時， ； 當 時， ，即 ，
解得 或 不符合題意，舍去.
綜上， 或 .
（2）解：分類討論：
① 當 時，即 ，當 時， ，即 ，解得 ，故 .
② 當 時，即 ，
當 時， ，即 ，解得 ，不符合題意，舍去.
③當 時，即 ，
當 時， ，即 ，解得 ，故 .
綜上，
【知識點】二次函數的最值；二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【分析】（1）利用函數解析式可求出拋物線的對稱軸，再分情況討論：① 當 時，即 ，分別求出當x=-1時y的最小值和x=1時y的最大值，然后根據函數的最大值與最小值之差為 2，可得到關于a的方程，解方程求出a的值，再作出判斷；② 當 時，即 ，分別求出當x=1時y的最小值和x=-1時y的最大值，然后根據函數的最大值與最小值之差為 2，可得到關于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范圍作出判斷；③當 時，即 ，分別求出當 時y的最小值和x=1時y的最大值，然后根據函數的最大值與最小值之差為 2，可得到關于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范圍作出判斷；④當 時，即 ，分別求出當 時y的最小值和x=-1時y的最大值，然后根據函數的最大值與最小值之差為 2，可得到關于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范圍作出判斷；綜上所述可得到符合題意的a的值.
（2）分類討論： 當 時，可求出當x=1時y的最小值，可得到關于a的不等式，然后求出不等式的解集；② 當 時，求出當x=2時y的最小值，據此可得到關于a的不等式，然后求出不等式的解集；③當 時，可求出當 時y的最小值，據此可得到關于a的不等式，然后求出不等式的解集，綜上所述可得到 恒成立的a的取值范圍.
19．（2025九上·金華競賽）已知： 是 的內接三角形，
（1）如圖 ， 、 分別為 、 上的高線，交于點 ，若 ， ，求 的半徑；
（2）如圖 ，分別作 、 的角平分線，交于點 ，作 ，交 于點 ，連結 ，交 于點 ，若 ，求 的長.
【答案】（1）解：∵ 、 分別為 、 上的高線
∴∠BEC=∠ADE=∠AFC=90°，
∴∠C+∠DAE=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠DAE=∠CBE，
∴ ，
∴即
∴ ，
在 Rt 中， ，
連結 并延長交 于點 ，連結 CG， ，=
∵BG是直徑，
∴∠BCG=90°，
∵
∴∠BAE=∠BGC
∴ ，
，
，
故 的半徑為
（2）解：連接BE，延長AD交圓O于點G，連接BG，GE，延長GE，BC交于點H，連接DH，交AE于點I，設DE與BC交于點J，連接DF，IJ，
、 的角平分線，交于點 ， ，
∵弧BG=弧BG，
，
，
即 ，∴ ，
，
，
四點共圓，
四點共圓， ，
，
，
【知識點】解直角三角形—邊角關系；四點共圓模型；相似三角形的判定-AA；圓與三角形的綜合
【解析】【分析】（1）利用三角形的高線的定義和余角的性質可證得∠BEC=∠ADE，∠DAE=∠CBE，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證△BCE∽△ADE，利用相似三角形的性質可證得BE=2AE，在Rt△BEA中，利用勾股定理及解直角三角形可求出sin∠BAE的值；連結 并延長交 于點 ，連結 CG， 利用直徑所對圓周角是直角，可證得∠BCG=90°，同時可證得∠BAE=∠BGC，再利用解直角三角形可求出BG的長，即可得到圓的半徑長.
（2） 連接BE，延長AD交圓O于點G，連接BG，GE，延長GE，BC交于點H，連接DH，交AE于點I，設DE與BC交于點J，連接DF，IJ，利用角平分線的概念和圓周角定理可證得∠BEG=∠CBG，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可推出，利用SAS可證得△DGE∽△HGD，利用相似三角形的性質可證得∠GDE=∠GHD，由此可證得∠DEA=∠DHB，可得到點J、E、H、I四點共圓，利用圓周角定理可證∠JDF=∠GAE，可推出△DEF∽△AED，利用相似三角形的性質可求出AE的長，然后求出AF的長.
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