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人教版2025—2026學年九年級上冊數學第一次月考全真模擬試卷
考生注意：本試卷共三道大題，25道小題，滿分120分，時量120分鐘
第I卷
一、選擇題（每題只有一個正確選項，每小題3分，滿分30分）
1．如圖各交通標志中，不是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程時，配方后所得的方程為（ ）
A． B． C． D．
4．點關于原點對稱的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
5．將函數y＝2（x+1）2﹣3的圖象向上平移2個單位，再向左平移1個單位，可得到的拋物線的解析式為（　　）
A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2x2﹣1
C．y＝2（x+2）2﹣5 D．y＝2（x+2）2﹣1
6．如圖，拋物線與直線相交于點和，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．函數和（為常數，且），在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．設方程的兩個根為α，β， 那么的值等于（ ）
A． B． C．1 D．3
9．如圖，繞點O順時針旋轉到的位置，已知，則等于（　　）
A． B． C． D．
10．對于二次函數，規定函數是它的相關函數．已知點M，N的坐標分別為，，連接，若線段與二次函數的相關函數的圖象有兩個公共點，則n的取值范圍為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空題（6小題，每題3分，共18分）
11．若關于的方程一個根是1，則另一根為 ．
12．如圖，在△ABC中，∠BAC＝33°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉50°，對應得到△AB′C′，則∠B′AC的度數為 ．
13．要修一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，高度為，水柱落地處離池中心，水管高度應為 ．
14．已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程的兩根，那么這個直角三角形斜邊的長為 ．
15．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點為，則關于的方程的兩根為 ．
16．在平面直角坐標系中，拋物線與軸的一個交點坐標，對稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，下列結論：①拋物線過原點；②；③；④拋物線的頂點坐標為；⑤當時，隨的增大而增大．其中結論正確的是 ．

第II卷
人教版2025—2026學年九年級上冊數學第一次月考全真模擬試卷
姓名：____________ 學號：____________準考證號：___________
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空題
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答題解答題（17、18、19題每題6分，20、21每題8分，22、23每題9分，24、25每題10分，共計72分，解答題要有必要的文字說明）
17．如圖，是等邊三角形內一點，將線段繞點順時針旋轉，得到線段，連接，．
(1)求證：；
(2)連接，若，求的度數．
18．解方程：
(1)
(2)
19．．如圖，三個頂點的坐標分別為
(1)請畫出繞點O旋轉的圖形；
(2)在x軸上找一點P，使的值最小，請直接寫出點P的坐標．
20．如圖，在等腰直角中，是邊上任意一點（不與重合），將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接．
(1)求的度數；
(2)若，求的長．
21．2024年是農歷甲辰龍年，含有“龍”元素的飾品深受大眾喜愛．商場購進一批單價為70元的“吉祥龍”公仔，并以每個80元售出．由于銷售火爆，公仔的銷售單價經過兩次調整后，上漲到每個125元，此時每天可售出75個．
(1)若銷售單價每次上漲的百分率相同，求該百分率；
(2)市場調查發現：銷售單價每降低1元，其銷售量相應增加5個．那么銷售單價應降低多少，才能使每天所獲銷售利潤最大？最大利潤是多少？
22．已知關于的一元二次方程．
(1)求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根；
(2)如果方程的兩個實數根為，且，求的值．
23．已知是拋物（b為常數）上的兩點，當時，總有
(1)求b的值；
(2)將拋物線平移后得到拋物線．
探究下列問題：
①若拋物線與拋物線有一個交點，求m的取值范圍；
②設拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E，外接圓的圓心為點F，如果對拋物線上的任意一點P，在拋物線上總存在一點Q，使得點P、Q的縱坐標相等．求長的取值范圍．
24．定義：如果拋物線的頂點在拋物線上，拋物線的頂點也在拋物線上，且拋物線與的頂點不重合，我們稱拋物線與互為“伴隨拋物線”．
(1)判斷下列拋物線是否為拋物線的“伴隨拋物線”，是的打“ √”，不是的打“ ”：
① ___；② ___；③ ___
(2)若拋物線（為實數且）與互為“伴隨拋物線”，請問拋物線的圖象是否經過定點？若經過，求出定點的坐標，否則，請說明理由；
(3)已知拋物線（為實數且）與軸交于點，拋物線：與軸交于點，若拋物線與互為“伴隨拋物線”，且，請問是否為定值，若是，求出這個值； 若不是，請說明理由．
25．如圖， 拋物線交x軸于點A、B兩點，與y軸交于點，其頂點為點D．
(1)求a的值和頂點 D 的坐標；
(2)在x軸上有一動點，若點C、D以M為中心對稱的對稱點分別是、，請判斷以C、D、、為頂點的四邊形可能是正方形嗎？ 若存在，求出對應的點M的坐標； 若不存在，請說明理由；
(3)若N是直線 上的一動點，把繞點N旋轉 ，原點O的對應點為，若點 恰好落在拋物線上，請求出所有符合條件的點N的坐標．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D D C D A D A
二、填空題
11．【解】解：由題意得：，
關于的方程一個根是1，
，
故答案為：．
12．【解】解：∵∠BAC=33°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉50°，對應得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°，∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度數=50° 33°=17°.
故答案為17°.
13．【解】解：設拋物線的解析式為
由題意可知拋物線的頂點坐標為，與軸的一個交點為，
，
解得：，
拋物線的解析式為：，
當時，，
水管的高度為，
故答案為：．
14．【解】∵，
∴，
∴，
∴直角三角形的兩條直角邊長分別為、，
∴這個直角三角形斜邊的長為，
故答案為：．
15．【解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點為，
∴拋物線與軸的另一個交點坐標為，
∴關于的方程的解為，，
故答案為：，．
16．【解】解：拋物線與軸的一個交點坐標為，對稱軸是直線，
拋物線與軸的另一個交點坐標為，因此①正確；
當時，，
由圖象可知此時，即，因此②不正確；
對稱軸是直線，即，
∴，而，
∴，故③正確；
對稱軸是直線，即，
∴，而，
∴當時，，
∴頂點為，因此④正確；
在對稱軸的左側，隨的增大而減小，
即：當時，隨的增大而減小，因此⑤不正確；
綜上所述，正確的結論有①③④，
故答案為：①③④．
三、解答題
17．【解】（1）證明：是等邊三角形，
，，
將線段繞點順時針旋轉，得到線段，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）如圖，連接，
，，
為等邊三角形，
，
又，
，
．
18．【解】（1）解：，
，
，
，
令或，
解得：，；
（2）解：，
，
令或，
解得：，．
19．【解】（1）解： 如圖所示，即為所求；
（2）解：作A點關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，點P即為所求，
∴P點坐標為．
∴所圍成的矩形燃放地面積不能為平方米，
21．【解】（1）解：設每次上漲的百分率為，列方程為：
，
解得：，（舍去），
答：每次上漲的百分率為；
（2）解：設銷售單價降低元，銷售利潤為元，
，
∴當銷售單價降低元，所獲銷售利潤最大，最大為元．
22．【解】（1）證明：，
∵無論取何值，，恒成立，
∴無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根．
（2）解：∵是方程的兩個實數根，
∴，，
∴，
解得：或．
23．【解】（1）解：由題可知：
時，總有，
．
則，
∴，
∴總成立，且，
；
（2）①注意到拋物線最大值和開口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或（舍）．
（ii）當拋物線過點時，如圖所示，

此時，，
解得或（舍），
綜上，，
②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或（舍）．
（ii）當拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或0（舍）．
綜上，
如圖，由圓的性質可知，點E、F在線段的垂直平分線上．

令，解得，
，
，
，
設，
，
，
，
，
，即，
．
，即，
，
24．【解】（1）解：二次函數的頂點坐標為，則有：
①把點代入明顯成立，而二次函數的頂點坐標為，代入明顯成立；故與是“伴隨拋物線”；
②把點代入明顯不成立，故與不是“伴隨拋物線”；
③把點代入明顯成立，而二次函數的頂點坐標為，代入明顯成立；故與是“伴隨拋物線”；
故答案為√，×，√；
（2）解：∵，
的頂點坐標為，
∵拋物線與互為“伴隨拋物線”,
點在拋物線上，
∴，化簡得，
拋物線化簡為：，
令，
解得或，
拋物線過定點，坐標為、；
（3）解：拋物線，
∴拋物線的頂點為，
拋物線與互為“伴隨拋物線”，
點在拋物線上，
∴，
化簡得①，
∵，
∴，
代入①得：②，
拋物線與軸交于點，
∴是關于的一元二次方程的兩根，
∴，
∵
，
同理可得，
，
為定值，定值為4．
25．【解】（1）解：將點代入解析式得，，解得，
∴ ，
則點；
（2）解：存在，理由如下，
∵點在x軸上，
∴點只能在x軸上方，點只能在x軸下方，
則四邊形只能為，即對角線和相等，且關于點M對稱，
∴，，
∵四邊形為正方形，
∴ ，
∴ ，
即，解得，
故存在點M使得以C、D、 為頂點的四邊形是正方形，點；
（3）解：令，則，解得或，則點，，
①當把繞點N逆時針旋轉 ，原點O的對應點為，
∴，，
連接，過點作，如圖，
則為等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
則，
設，則點，
∵點 恰好落在拋物線上，
∴，化簡得，解得，
那么， ，；
②當把繞點N順時針旋轉 ，原點O的對應點為，
∴，，
過點作，如圖，
同理可證，
則，
設，則點，
∵點 恰好落在拋物線上，
∴，化簡得，解得，
那么， ，；
故所有符合條件的點N的坐標，，，．
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