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人教版2025—2026學年九年級上冊數學第一次月考模擬試卷
考生注意：本試卷共三道大題，25道小題，滿分120分，時量120分鐘
注意事項:
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。笞卷前，考生務必
將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答第I卷時，選出每小題答案后，把答案填寫在答題卡上對應題目的位置
，填空題填寫在答題卡相應的位置寫在本試卷上無效。
3.回答第II卷時，將答案寫在第II卷答題卡上。
4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第I卷
一、選擇題（每題只有一個正確選項，每小題3分，滿分30分）
1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C． D．
2．拋物線的對稱軸是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
3．如圖，將繞著點C順時針旋轉50°后得到，若，則∠BCA的度數是（ ）
A．120° B．30° C．20° D．10°
4．某公司今年銷售一種產品，一月份獲得利潤5萬元，由于產品暢銷，利潤逐月增加，一月份到二月份的增長率為x，二月份到三月份的增長率是，若三月份獲得利潤為7.8萬元，則可列出方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（ ）
A． B． C． D．
6．已知是方程的兩個根，則的值為（ ）
A． B．3 C． D．
7．設A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是拋物線y=﹣（x+1）2+1上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為（　　）
A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
9．二次函數的圖象如圖所示，對稱軸是直線，則過點和點的直線一定不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．對于二次函數，規定函數是它的相關函數．已知點的坐標分別為，，連接，若線段與二次函數的相關函數的圖象有兩個公共點，則n的取值范圍為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空題（6小題，每題3分，共18分）
11．如圖，某小區要在長為，寬為的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為 ．
12．在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是 ．
13．關于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是 ．
14．若關于的一元二次方程的常數項為，則 ．
15．如圖，是繞點O順時針旋轉后得到的圖形，點C恰好落在邊上，若，則 ．
16．如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉得到，使點落在邊上，連接．則的長為 ．
第II卷
人教版2025—2026學年九年級上冊數學第一次月考模擬試卷
姓名：____________ 學號：____________準考證號：___________
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空題
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答題解答題（17、18、19題每題6分，20、21每題8分，22、23每題9分，24、25每題10分，共計72分，解答題要有必要的文字說明）
17．如圖，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點在一次函數y1=﹣x+m與二次函數y2=ax2+bx﹣3的圖象上．
（1）求m的值和二次函數的解析式．
（2）請直接寫出使y1＞y2時自變量x的取值范圍．
18．已知關于的一元二次方程．
(1)求的值；
(2)解這個一元二次方程．
19．已知關于x的方程．
(1)當時，解這個方程；
(2)若方程有兩個實數根，，且，求k的值．
20．如圖，矩形中，的角平分線交于點E，F是延長線上一點，滿足，連接，．
(1)求證：；
(2)當時，求的值．
21．如圖，三個頂點的坐標分別為
(1)請畫出繞點O旋轉的圖形；
(2)在x軸上找一點P，使的值最小，請直接寫出點P的坐標．
22．某工廠生產一種產品，經市場調查發現，該產品每月的銷售量y（件）與售價x（萬元/件）之間滿足一次函數關系，部分數據如表：
每件售價x/萬元 … 24 26 28 30 32 …
月銷售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
該產品今年三月份的售價為35萬元/件，利潤為450萬元．
(1)求：三月份每件產品的成本是多少萬元？
(2)四月份工廠為了降低成本，提高產品質量，投資了450萬元改進設備和革新技術，使每件產品的成本比三月份下降了14萬元．若四月份每件產品的售價至少為25萬元，且不高于30萬元，求這個月獲得的利潤w（萬元）關于售價x（萬元/件）的函數關系式，并求最少利潤是多少萬元．
23．在平面直角坐標系中，若關于的函數的圖像記為，將的圖像繞著原點旋轉得到圖像，我們把和合起來的總圖像稱為 的“青一對稱”圖像．
(1)若在 的“青一對稱”圖像上，則 ；
(2)若在 的“青一對稱”圖像上，求的值；
(3)當二次函數的“青一對稱”圖像與直線有且只有三個交點時，請求出的值或取值范圍．
24．如圖，已知拋物線經過兩點，直線是拋物線的對稱軸．
(1)求拋物線的函數解析式及頂點的坐標；
(2)設點是直線上的一個動點，當時，求點的坐標；
(3)已知與拋物線相交于點，連接，若，求的值．
25．定義：函數圖象上的點的縱坐標與橫坐標的差叫做點的“雙減差”，圖象上所有點的“雙減差”中最小值稱為函數圖象的“幸福值”如：拋物線上有點，則點的“雙減差”為12；而拋物線上所有點的“雙減差”，即該拋物線的“幸福值”為．根據定義，解答下列問題：
(1)已知函數圖象上點的橫坐標，求點的“雙減差”的值；
(2)若直線的“幸福值”為，求的值；
(3)設拋物線頂點的橫坐標為，且該拋物線的頂點在直線上，當時，拋物線的“幸福值”是5，求該拋物線的解析式．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D A A A B C A
二、填空題
11．【解】解：設小路的寬為，則長方形花壇的長為，寬為，
由題意得，，
同理得，
解得或（舍去），
∴小路的寬為，
故答案為：．
12．【解】解：點關于原點對稱點的坐標是．
故答案為：．
13．【解】解：∵關于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有兩個不相等的實數根，
∴k－1≠0且 =（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案為：k＜2且k≠1．
14．【解】解：∵常數項為0，
∴，
解得：或2，
又∵，即，
∴．
15．【解】解：∵是繞點O順時針旋轉后得到的圖形，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
16．【解】解：在中，，，
故，
由旋轉的性質可知：，，
∴，
在中，，，
故．
故答案為：．
三、解答題
17．【解】（1）由于A（﹣1，0）在一次函數y1=﹣x+m的圖象上，得：
﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；
已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函數y2=ax2+bx﹣3的圖象上，則有：
，解得
∴二次函數的解析式為y2=x2﹣2x﹣3；
（2）由兩個函數的圖象知：當y1＞y2時，﹣1＜x＜2．
18．【解】（1）解：依題意，得，
解得．
∴a的值為3．
（2）解：把代入原方程，得，
，
，
解得，．
19．【解】（1）解：當時，方程化為，
配方得，
∴，
解得，．
（2）解：，
方程總有實數根，
又，
或，
當時，，解得；
當時，則，解得；
或0．
20．【解】（1）證明：矩形中，，，，
平分，
，又，
，又，
，即，
又，，
，
；
（2）解：，且，
為等邊三角形，
，設，，
則，，
，整理得，
故，開方得，又，
，
．
21．【解】（1）解： 如圖所示，即為所求；
（2）解：作A點關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，點P即為所求，
∴P點坐標為．
22．【解】（1）解：設y與x的函數關系式為，將，代入，得：
，
解得，
∴y與x的函數關系式為；
將代入，得（件），
設三月份每件產品的成本是a萬元，
由題意得，
解得，
即三月份每件產品的成本是20萬元；
（2）解：四月份每件產品的成本比三月份下降了14萬元，則此時的成本為，
由題意得：
，
則拋物線的對稱軸為，且，開口向下，
則時，取得最小值，
此時，，
即四月份最少利潤是500萬元．
23．【解】（1）解：由題意得：圖像的函數解析式為，
當時，，
，
故答案為：；
（2）解：，
頂點坐標為，
圖像的頂點坐標為，
的解析式為，
在 的“青一對稱”圖像上，
當時，，
解得：或（舍去），
當時，，
解得：或，
的值為或或；
（3）解：，
頂點坐標為，
將的圖像繞著原點旋轉得到圖像，
的頂點坐標為，
的解析式為，
①當直線與：相切時，即直線與的圖像只有一個交點，則，
整理得：，
，
解得：，
此時的解析式為：，
聯立直線與的解析式得：，
整理得：，
此時，
直線與的圖像只有兩個交點，
當時，二次函數的“青一對稱”圖像與直線有且只有三個交點；
②當時， 的解析式為，的解析式為，
聯立直線與的解析式得：，
解得：或（不合題意，舍去），
此時直線與的圖像只有一個交點，
聯立直線與的解析式得：，
解得：或，
當時，的圖像與直線有兩個交點和，
當時，二次函數的“青一對稱”圖像與直線只有三個交點；
當時，的解析式為，的解析式為，
聯立直線與的解析式得：，
解得：或，
此時直線與的圖像只有兩個交點和，
聯立直線與的解析式得：，
解得：或，
此時直線與的圖像只有兩個交點和，，
當時，二次函數的“青一對稱”圖像與直線有四個交點；
當時，二次函數的“青一對稱”圖像與直線有且只有三個交點；
綜上所述，的值或取值范圍是或．
24．【解】（1）解：把代入，得，
解得，
拋物線的函數解析式為，
，
頂點的坐標為；
（2）解：設，則，
當時，，
解得，
；
（3）解：延長交軸于，
設，在中，，
即，
解得，
，
設直線的解析式為，
代入，得，
解得，
的解析式為，
聯立，
解得（舍去），，
，
．
25．【解】（1）解：將代入得：，
∴
∴點的“雙減差”的值為：
（2）解：由得：，
∵，
∴，
∴隨的增大而增大．
故：當時，有最小值，且最小值為：，
∴，
解得：（舍去）
∴
（3）解：由題意得：拋物線的頂點坐標為：，
∴
∴
令，則其對稱軸為直線；
∵，
∴，即：；
，此時（不符合題意）；
，即：，
此時，當，取最小值，
則，
解得：（舍去），
∴；
，即：，
此時，當，取最小值，
則，
解得：（舍去），
綜上所述，該拋物線的解析式為：；
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