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2.2直線方程題型總結
【題型1 直線的點斜式方程及辨析】
【例1】過點，且傾斜角為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】若直線過點且與斜率為4的直線垂直，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1.2】經過點，傾斜角為的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.3】經過點且傾斜角為的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【題型2 直線的斜截式方程及辨析】
【例2】下面四個直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是（ ）
A．x＝3 B．y＝－5
C．2y＝x D．x＝4y－1
【變式2.1】經過點，且傾斜角為的直線的斜截式方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2.2】與直線垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（　　）
A． B． C． D．
【變式2.3】與直線垂直，且在軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【題型3 直線的兩點式方程及辨析】
【例3】過，的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式3.1】過兩點，的直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【變式3.2】下列直線方程是兩點式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3.3】經過兩點、的直線方程都可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 直線的截距式方程及辨析】
【例4】過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式4.1】經過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式4.2】過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式4.3】已知直線在軸上的截距是軸上截距的倍，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 直線的一般式方程】
【例5】過點和，的直線的一般式方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5.1】已知直線經過點，且斜率為2，則直線的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5.2】根據下列條件求直線的一般式方程．
(1)直線的斜率為，且經過點；
(2)斜率為，且在軸上的截距為；
(3)經過兩點, ；
(4)在軸上的截距分別為．
【變式5.3】求分別滿足下列條件的直線的一般式方程．
(1)斜率是，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積是6；
(2)經過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等．
【題型6 直線一般式方程與其他形式之間的互化】
【例6】根據條件寫出下列直線的方程，并化成一般式：
(1)直線的斜率為，在軸上的截距是；
(2)直線的傾斜角是直線的傾斜角的一半，且過點．
【變式6.1】求分別滿足下列條件的直線l的方程，化成一般形式.
(1)經過點，且與x軸垂直；
(2)斜率為－4，在y軸上的截距為7；
(3)經過，兩點.
【變式6.2】根據下列條件，寫出下列直線方程的一般式：
(1)經過點，且傾斜角為
(2)經過點，且一個方向向量為
(3)在中，點，求邊上中線所在直線的方程
【變式6.3】（1）已知直線l的一般式方程為，請把一般式方程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標軸上的截距；
（2）根據下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式.
①斜率是，經過點；
②經過點，平行于x軸；
③在x軸和y軸上的截距分別是，；
④經過兩點
【題型7 直線與坐標軸圍成圖形的面積問題】
【例7】直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式7.1】經過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【變式7.2】過點的直線l與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點．當的面積最小時，l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7.3】直線l的傾斜角是直線傾斜角的一半，且直線l與坐標軸所圍成的三角形的面積為10，則直線l的方程可能是（ ）
A．B．
C． D．
【題型8 直線的方向向量的求解】
【例8】直線的一個方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【變式8.1】若直線經過點和點，則該直線的方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式8.2】若直線l的傾斜角為，則它的方向向量可以為（ ）
A． B． C． D．
【變式8.3】經過點兩點的直線的方向向量為，則k為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【題型9 已知直線的方向向量求直線方程】
【例9】已知直線經過點，且它的一個方向向量為，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式9.1】過點且方向向量為的直線的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式9.2】已知直線l的一個方向向量為，若l過點，則直線l的方程為（）
A． B．
C． D．
【變式9.3】過點且方向向量為的直線的一般式方程為（ ）
A． B．
C． D．
2.2直線方程題型總結答案
【題型1 直線的點斜式方程及辨析】
【例1】過點，且傾斜角為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】傾斜角為的直線斜率不存在，可解.
【解答過程】過點，且傾斜角為的直線垂直于軸，
其方程為.
故選：B．
【變式1.1】若直線過點且與斜率為4的直線垂直，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據直線垂直的斜率關系求出斜率，然后可得直線方程.
【解答過程】因為直線與斜率為4的直線垂直，
所以直線的斜率為，
又直線過點，
所以直線的方程為，即．
故選：A.
【變式1.2】經過點，傾斜角為的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據直線傾斜角和斜率關系可求得斜率，再利用直線的點斜式方程即可求得結果.
【解答過程】由傾斜角為可得，直線斜率為
由直線的點斜式方程得直線方程為；
即.
故選：C.
【變式1.3】經過點且傾斜角為的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出直線斜率，利用點斜式求出直線方程，得到答案.
【解答過程】直線斜率，故直線方程為，即.
故選：A.
【題型2 直線的斜截式方程及辨析】
【例2】下面四個直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是（ ）
A．x＝3 B．y＝－5
C．2y＝x D．x＝4y－1
【解題思路】根據直線的斜截式方程的知識確定正確選項.
【解答過程】直線的斜截式方程為，
所以B選項是斜截式方程，ACD選項不是斜截式方程.
故選：B.
【變式2.1】經過點，且傾斜角為的直線的斜截式方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據傾斜角求出斜率，寫出點斜式方程，化為斜截式可得答案.
【解答過程】斜率，
點斜式方程為，
斜截式方程為.
故選：A.
【變式2.2】與直線垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先根據垂直關系確定所求直線的斜率，設出直線方程后再根據橫截距確定與x軸的交點坐標，進而求得待定系數，確定答案.
【解答過程】因為所求的直線與直線垂直，所以，得.
設所求直線為,又因為所求直線在x軸上的截距為2即過點，
求得,所以所求直線的斜截式方程為，
故選：B.
【變式2.3】與直線垂直，且在軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【解題思路】將直線化為斜截式方程，可得出斜率，從而得與直線垂直的直線斜率，再根據所求直線在軸上的截距為4，即可得出所求直線的斜截式方程.
【解答過程】解：由于直線，即，可知斜率，
則與直線垂直的直線斜率為，
由于所求直線在軸上的截距為4，
則所求直線的斜截式方程是.
故選：A.
【題型3 直線的兩點式方程及辨析】
【例3】過，的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接利用直線方程的兩點式寫出直線方程即可
【解答過程】因為所求直線過點，，
所以，即.
故選：B.
【變式3.1】過兩點，的直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由兩點式得出直線方程，令，即可解出直線在軸上的截距.
【解答過程】過兩點，的直線的為，
令，解得：，
故選：A.
【變式3.2】下列直線方程是兩點式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
利用直線方程的相應形式對各個選項逐個判斷即可.
【解答過程】對于選項A：是斜截式方程，故A錯誤；
對于選項B：是點斜式方程，故B錯誤；
對于選項C：是截距式方程，故C錯誤；
對于選項D：是兩點式方程，故D正確；
故選：D.
【變式3.3】經過兩點、的直線方程都可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據兩點式直線方程即可求解.
【解答過程】當經過、的直線不與軸平行時，所有直線均可以用，
由于可能相等，所以只有選項C滿足包括與軸平行的直線.
故選:C.
【題型4 直線的截距式方程及辨析】
【例4】過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】通過直線過原點，和不過原點兩種情況討論即可.
【解答過程】當直線過原點時，其方程是，符合題意;
當直線不過原點時，設直線方程為，代入，
可得：，解得：，所以方程是.
故選：C.
【變式4.1】經過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】設直線在軸上的截距為，分別在，條件下利用待定系數法求直線方程即可.
【解答過程】設直線在軸上的截距為，
當時，所求直線的方程可設為，
因為直線過點，
所以，故，即直線方程為，
當時，可設直線方程為，
由直線過點可得，，
所以，故直線方程為.
所以經過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數
的直線方程是或.
故選：C.
【變式4.2】過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】分直線過原點和不過原點兩種情況討論，結合直線的截距式即可得解.
【解答過程】當直線過原點時在兩坐標軸上的截距都為，滿足題意，
又因為直線過點，所以直線的斜率為，
所以直線方程為，即，
當直線不過原點時，設直線方程為，
因為點在直線上，
所以，解得，
所以直線方程為，
故所求直線方程為或.故D項正確.
故選：D.
【變式4.3】已知直線在軸上的截距是軸上截距的倍，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】依題意可得，分和兩種情況討論即可，求出直線在兩坐標軸上的截距，結合題意可得出關于實數的等式，解之即可.
【解答過程】依題意可得，
當時，直線為，此時橫縱截距都等于，滿足題意；
當時，將直線的方程化為截距式方程可得，
直線在軸上的截距為，在軸上截距，
則，得或（舍去）.
綜上所述，的值為或．
故選：C.
【題型5 直線的一般式方程】
【例5】過點和，的直線的一般式方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意，利用直線的截距式方程求得直線的方程，再化為一般式方程，即可求解.
【解答過程】由直線過點和，可得直線的截距式得直線方程為，
整理得，即直線的一般式方程為.
故選：C.
【變式5.1】已知直線經過點，且斜率為2，則直線的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用直線的點斜式方程寫出方程，再化成一般式即可.
【解答過程】因直線經過點，且斜率為2，則直線方程為：，化簡得：，
所以直線的一般式方程為.
故選：C.
【變式5.2】根據下列條件求直線的一般式方程．
(1)直線的斜率為，且經過點；
(2)斜率為，且在軸上的截距為；
(3)經過兩點, ；
(4)在軸上的截距分別為．
【解題思路】（1）先由點斜式求方程，再化為一般式；
（2）先求斜截式方程，再化為一般式；
（3）先求直線的兩點式方程，再化為一般式；
（4）先求直線的截距式方程，再化為一般式.
【解答過程】（1）因為，且經過點，
由直線的點斜式方程可得，
整理可得直線的一般式方程為．
（2）由直線的斜率，且在軸上的截距為
得直線的斜截式方程為．
整理可得直線的一般式方程為．
（3）由直線的兩點式方程可得，
整理得直線的一般式方程為
（4）由直線的截距式方程可得，
整理得直線的一般式方程為.
【變式5.3】求分別滿足下列條件的直線的一般式方程．
(1)斜率是，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積是6；
(2)經過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等．
【解題思路】（1）設出直線方程，得到與兩坐標軸的交點坐標，根據面積列出方程，求出答案；
（2）分截距為0和截距不為0兩種情況，設出直線方程，待定系數法求出直線方程.
【解答過程】（1）設直線的方程為．
令，得．令，得，
，解得．
直線的方程為，化為一般式為．
（2）設直線在軸、軸上的截距分別為．
當時，直線的方程為．
直線過點，
，
又，
故，解得或
直線的方程為或；
當時，設直線方程為，
直線過原點且過點，故，解得，
直線的方程為．
綜上所述，直線的方程為或或．
【題型6 直線一般式方程與其他形式之間的互化】
【例6】根據條件寫出下列直線的方程，并化成一般式：
(1)直線的斜率為，在軸上的截距是；
(2)直線的傾斜角是直線的傾斜角的一半，且過點．
【解題思路】（1）利用斜截式方程求解即可；
（2）根據傾斜角的關系求出直線斜率，再將代入即可求解.
【解答過程】（1）因為直線斜率為，在軸上的截距是，
所以由斜截式可得直線方程為，整理得.
（2）因為直線的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
所以由題意得所求直線的傾斜角為，則斜率，
設所求直線為，將代入可得，解得，
所以所求直線方程為，整理得．
【變式6.1】求分別滿足下列條件的直線l的方程，化成一般形式.
(1)經過點，且與x軸垂直；
(2)斜率為－4，在y軸上的截距為7；
(3)經過，兩點.
【解題思路】（1）根據條件直接寫出直線方程即可.
（2）由條件利用斜截式求直線的方程，并化為一般式.
（3）由條件利用兩點式求直線的方程，并化為一般式.
【解答過程】（1）因為直線經過點，且與x軸垂直，
則直線方程為，即.
（2）由題直線斜率為－4，在y軸上的截距為7，
由直線斜截式方程，得，化成一般式為.
（3）由題直線經過，兩點，
由直線兩點式方程得，整理得.
【變式6.2】根據下列條件，寫出下列直線方程的一般式：
(1)經過點，且傾斜角為
(2)經過點，且一個方向向量為
(3)在中，點，求邊上中線所在直線的方程
【解題思路】（1）求出直線的斜率，利用直線的斜截式方程求解即得.
（2）利用直線的點斜式方程求解即得.
（3）求出的中點坐標。進而求出斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得.
【解答過程】（1）直線傾斜角為，則該直線的斜率，直線方程為，
所以所求直線方程為.
（2）由直線的一個方向向量為，得該直線斜率為，方程為，
所以所求直線方程為.
（3）由點，得邊的中點為，
邊上中線所在直線的斜率為，該直線方程為，
所以邊上中線所在直線的方程為.
【變式6.3】（1）已知直線l的一般式方程為，請把一般式方程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標軸上的截距；
（2）根據下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式.
①斜率是，經過點；
②經過點，平行于x軸；
③在x軸和y軸上的截距分別是，；
④經過兩點
【解題思路】（1）把直線方程化為斜截式及截距式，即可得到斜率及截距；
（2）分情況根據直線方程的形式，直接寫出直線方程并化為一般式即可.
【解答過程】（1）由l的一般式方程得斜截式方程為：，
截距式方程為：，
由此可知，直線的斜率為，
在x軸、y軸上的截距分別為－3，2.
（2）①由點斜式得，
化為一般式為：.
②由斜截式得，
化為一般式為：.
③由截距式得，
化為一般式為：.
④由兩點式得,
化為一般式為：.
【題型7 直線與坐標軸圍成圖形的面積問題】
【例7】直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據直線方程得出與坐標軸交點坐標，即可求出結果.
【解答過程】由題知，
直線與軸交于點，與軸交于點，
所以圍成的三角形的面積為．
故選：C.
【變式7.1】經過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【解題思路】由題意設直線為，根據直線與坐標軸所圍成三角形的面積，應用三角形面積公式求參數k，即可確定直線方程.
【解答過程】由題意，直線斜率一定存在，設所求方程為，即.
由，得或.
故所求直線方程為或.
故選：D.
【變式7.2】過點的直線l與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點．當的面積最小時，l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】令直線為，根據已知及基本不等式可得，確定等號成立條件得，即可寫出直線方程.
【解答過程】由題設，令直線為，
則，即，
當且僅當時等號成立，此時的面積最小為，
所以直線方程為.
故選：A.
【變式7.3】直線l的傾斜角是直線傾斜角的一半，且直線l與坐標軸所圍成的三角形的面積為10，則直線l的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據正切的二倍角公式，結合三角形面積公式進行求解即可.
【解答過程】，
所以直線的斜率為負值，因此直線的傾斜角為鈍角，
設直線l的傾斜角為，則
因為，所以或舍去
設直線l的方程為，則直線l與坐標軸的交點分別為，，
由，得，
故直線l的方程可能是，顯然ABD不符合，
，或，
故選：C.
【題型8 直線的方向向量的求解】
【例8】直線的一個方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據直線方程可得斜率，即可求得其方向向量.
【解答過程】易知直線的斜率為，
因此其方向向量可以為.
故選：C.
【變式8.1】若直線經過點和點，則該直線的方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據方向向量的定義即可求解.
【解答過程】由于直線經過點和點，故直線的方向向量與向量平行的向量，
故選：A.
【變式8.2】若直線l的傾斜角為，則它的方向向量可以為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由傾斜角求出斜率，再根據斜率的定義求出結果即可.
【解答過程】因為直線l的傾斜角為，
所以，
由斜率的定義可知，取，解得一組解可以是，
所以直線的一個方向向量可以是，
故選：B.
【變式8.3】經過點兩點的直線的方向向量為，則k為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解題思路】根據直線的斜率與方向向量關系即可求出答案.
【解答過程】經過兩點的直線的方向向量為，
所以 ，解得
故選：A.
【題型9 已知直線的方向向量求直線方程】
【例9】已知直線經過點，且它的一個方向向量為，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據給定條件，利用直線的點斜式方程求解即得.
【解答過程】因為直線的一個方向向量為，則直線的斜率為3，而直線過點，
所以直線的方程為，即.
故選：C.
【變式9.1】過點且方向向量為的直線的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據方向向量求得直線斜率，再由點斜式化簡可得結果.
【解答過程】易知方向向量為的直線斜率為，
所以直線的方程為，即.
故選：C.
【變式9.2】已知直線l的一個方向向量為，若l過點，則直線l的方程為（）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據方向向量求出直線的斜率，再由點斜式寫出方程即可.
【解答過程】根據直線的方向向量可得直線的斜率為，又因為直線過點，
所以直線的方程為,
故選：A.
【變式9.3】過點且方向向量為的直線的一般式方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據方向向量可得直線斜率，即可根據點斜式求解直線方程.
【解答過程】由于方向向量為，故斜率為，故直線方程為，
即，
故選：B.

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