資源簡介

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一輪復習——三角函數測試卷（培優卷）
試題分析部分
1、試卷總體分布分析
總分：150分
分值分布 客觀題（占比） 58.0(38.7%)
主觀題（占比） 92.0(61.3%)
題量分布 客觀題（占比） 11(57.9%)
主觀題（占比） 8(42.1%)
2、試卷題量分布分析
大題題型 題目量（占比） 分值（占比）
選擇題 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空題 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答題 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多項選擇題 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、試卷難度結構分析
序號 難易度 占比
1 普通 (26.3%)
2 容易 (42.1%)
3 困難 (31.6%)
4、試卷知識點分析
序號 知識點（認知水平） 分值（占比） 對應題號
1 三角函數誘導公式二~六 5.0(3.3%) 2
2 含三角函數的復合函數的周期 11.0(7.3%) 11,14
3 含三角函數的復合函數的值域與最值 26.0(17.3%) 6,11,17
4 正弦定理的應用 45.0(30.0%) 15,16,18
5 同角三角函數間的基本關系 11.0(7.3%) 9,13
6 含三角函數的復合函數的單調性 20.0(13.3%) 6,17
7 函數的最大（?。┲?6.0(4.0%) 9
8 正弦定理 22.0(14.7%) 13,19
9 兩角和與差的余弦公式 15.0(10.0%) 16
10 利用三角函數的單調性比較大小 5.0(3.3%) 5
11 數列的概念及簡單表示法 5.0(3.3%) 14
12 函數的零點與方程根的關系 16.0(10.7%) 4,8,11
13 同角三角函數基本關系的運用 5.0(3.3%) 3
14 余弦定理 22.0(14.7%) 13,19
15 平面向量共線（平行）的坐標表示 15.0(10.0%) 16
16 函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質 16.0(10.7%) 4,10,12
17 函數的零點 5.0(3.3%) 14
18 函數的單調性及單調區間 5.0(3.3%) 7
19 函數單調性的性質 6.0(4.0%) 9
20 二倍角的正弦公式 6.0(4.0%) 9
21 利用對數函數的單調性比較大小 5.0(3.3%) 5
22 函數恒成立問題 15.0(10.0%) 17
23 正弦函數的性質 5.0(3.3%) 8
24 平面向量的數量積運算 5.0(3.3%) 3
25 函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換 10.0(6.7%) 6,7
26 任意角三角函數的定義 5.0(3.3%) 1
27 函數的奇偶性 5.0(3.3%) 2
28 三角形中的幾何計算 54.0(36.0%) 13,16,18,19
29 解三角形 5.0(3.3%) 13
30 余弦定理的應用 28.0(18.7%) 15,16
31 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式 21.0(14.0%) 10,17
32 含三角函數的復合函數的對稱性 6.0(4.0%) 11
33 簡單的三角恒等變換 47.0(31.3%) 15,18,19
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一輪復習——三角函數測試卷（培優卷）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由題意可得，
因為，所以，
故選：B.
【分析】根據三角函數的定義可求得，進而，即可求得的值.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：因為，，
所以，
所以函數是偶函數.
故選：A.
【分析】先利用誘導公式化簡函數可得，進而再結合誘導公式和函數奇偶性的定義即可得出結論.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：由，可得，
則.
故答案為：B.
【分析】由，可得，結合定義以及同角三角函數式求解即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：畫出函數和在區間上的圖象，如圖所示：
由圖可知， 函數與的圖象共有9個交點.
故答案為：D．
【分析】畫出函數和在區間上的圖象，數形結合求解即可．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：由題意得，，所以，
又所以，所以最??；
而由三角函數的基本性質，當時，，
所以，則；所以，
故答案為：D.
【分析】先利用對數函數、三角函數的性質判斷a、b、c的正負，再通過作商法以及三角函數的重要不等式（當時，）比較b與c的大小，從而確定a、b、c的大小關系.
6．【答案】C
【解析】【解答】解： 將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數，
A、 不是奇函數，故A錯誤；
B、不關于直線對稱，故B錯誤；
C、當時，，則，故C正確；
D、當時，，因為在上不單調，
所以在上不單調，故D錯誤．
故答案為：C.
【分析】根據三角函數圖象的平移變換求得函數的解析式，再根據奇函數的性質即可判斷A；利用代入法求解即可判斷BCD.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：已知函數 ，其中 ， ，其圖像關于直線 對稱，對滿足 的 ， ，有 ，∴ .
再根據其圖像關于直線 對稱，可得 ， .
∴ ，∴ .
將函數 的圖像向左平移 個單位長度得到函數 的圖像.令 ，求得 ，
則函數 的單調遞減區間是 ， ，
故答案為：B.
【分析】根據已知得到函數 兩個對稱軸的距離也即是半周期，由此求得 的值，結合其對稱軸，求得 的值，進而求得 解析式.根據圖像變換的知識求得 的解析式，再利用三角函數求單調區間的方法，求得 的單調遞減區間.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：函數，
因為函數圖象的對稱軸方程為，
當時，可得；當時，可得，
即兩個相鄰的最高點與最低點間的距離為，即，則，可得，
因為的圖象關于直線對稱，所以，
即，解得，
則函數，
函數的零點個數等價于方程實根的個數，
方程在內實根的個數，函數在區間的圖象，如圖所示：
由圖可知：當或時，方程在內實根的個數為1；
當時，方程在內實根的個數為2；
當時，方程在內實根的個數為3，其中在內實根的個數為2，
因為是周期為的函數，所以當時，在，內方程實根的個數均為2，
因為在內恰有2023個零點，且2023為奇數，
所以，不合題意，
當時，；當時，；
故滿足條件的有序實數對只有3對.
故答案為：B.
【分析】由據題意，結合輔助角公式化簡求得函數，把函數的零點個數轉化為方程實根的個數，結合方程在內實根的個數，分類討論求解即可.
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：函數的定義域為，則，
因為
，
A、因為，，所以函數為偶函數，故A正確；
B、函數的最小正周期為，故B正確；
C、因為，所以沒有最大值，故C錯誤；
D、當時，函數取最小值，，故D正確.
故答案為：ABD.
【分析】先求定義域，再利用正弦的二倍角公式、同角三角函數基本關系化簡，逐項分析判斷即可.
10．【答案】B,C
【解析】【解答】解：A、因為是邊長為1的等邊三角形，所以的最小正周期為2，所以，解得，
易得，所以，因為，所以，，，
由五點作圖法可得：，即，所以；
A、因為，所以，故A錯誤；
B、由A可得，則，故直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；
C、令，得，則單調遞減區間為，故C正確；
D、令，得，
則的單調遞增區間為，故D錯誤.
故答案為：BC.
【分析】根據圖象求得，再利用正弦函數的圖象與性質逐項分析判斷即可.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：函數的定義域為，
因為，所以為偶函數，
當時，，
則
當時，，
當時，，
所以，函數的圖象如圖所示：
由可知，在內，，
當時，，
當，且時，，
當或，時，，
因為，所以為偶函數，
則函數的圖象如圖所示：
由函數的圖象得到不是周期函數，故選項正確；
因為函數的值域是，故選項正確；
由，
所以函數的圖象不關于對稱，故選項不正確；
對于方程，
當時，方程有一個實數根；
當時，，此時，方程沒有實數根；
當時，，此時，方程沒有實數根，
所以方程只有一個實數根，故正確.
故答案為：.
【分析】利用偶函數的定義和偶函數的圖象的對稱性，再結合已知條件和周期函數的定義，則判斷出選項A；利用函數的圖象得出函數的值域，則判斷出選項B；利用已知條件和函數的圖象的對稱性，則判斷出選項C；利用分類討論的方法和方程求解的方法，則判斷出選項D，進而找出結論正確的選項.
12．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：因為函數的周期為，所以，
又因為，所以，即函數，
令，所以，當時，，
故函數圖象的一條對稱為.
故答案為：（答案不唯一）
【分析】根據函數周期為求出，即可求函數的解析式，再整體代入求其對稱軸即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：若，由余弦定理可得，解得，
，由余弦定理可得，
整理可得，
因為，所以，
化簡可得，即，，
則的面積.
故答案為：.
【分析】由題意，利用余弦定理化簡求得與的值，根據同角三角函數以及三角形面積公式求解即可.
14．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】由題意得，
，
∵，
∴，
，
令，即，
，
對取特殊值即可，取，得；取，得（答案不唯一）．
故答案為：
【分析】由題意得，進而得出正弦型函數的最小正周期，再結合和正弦型函數的最小正周期公式得出的值，從而得出正弦型函數的解析式，再結合函數的零點的定義和特殊值法得出 可以的值。
15．【答案】（1）解：∵，則，
∴.
（2）解：由（1）可得，由正弦定理可得，
若選條件①：由余弦定理，即，
注意到，解得，則，
由三角形的性質可知此時存在且唯一確定，
∵，則，
可得，
∴的面積.
若選條件②：∵，可得，則有：
若為銳角，則，
由余弦定理，即，
整理得：，且，解得，則；
若為鈍角，則，
由余弦定理，即，
整理得：，且，解得，則；
綜上所述：此時存在但不唯一確定，不合題意.
若條件③：由題意可得：，即，
解得，則，
由三角形的性質可知此時存在且唯一確定，
由余弦定理可得，
則，可得，
∴的面積.
【解析】【分析】(1)根據結合三角恒等變換分析求解；
(2)由(1)結合正弦定理得 ， 選條件①：利用余定理求得 ，， 進而利用三角形面積公式求解；
選條件②：分C為銳角和C為鈍角過論，利用余弦定理求出，，再結合題意分析判斷；
選條件③：根據題意求得，，利用余弦定理結合面積公式運算求解.
16．【答案】（1）解：因為，所以，
由正弦定理得，即，
整理得，
由余弦定理可知，
又因為，所以.

（2）解：因為，所以，所以，
所以，即，所以，
因為的外接圓半徑，
所以由正弦定理可得，所以，
所以．
【解析】【分析】（1）結合題意表示出可得，利用正弦定理將角化邊整理可得，再利用余弦定理可求得cosA的值，進而求得A的值即可；
（2）結合第（1）問可得，進而利用已知條件和兩角和的余弦公式可得，利用正弦定理化簡得，再利用三角形的面積公式計算求出的面積即可.
（1）由已知，即，
由正弦定理得，即，
整理得，即，
又，故；
（2）因為，所以，則，
即，又，所以．
因為的外接圓半徑，
所以由正弦定理可得，所以，
所以．
17．【答案】（1）解：由函數圖象可知，，
則，
因為，所以，
由，
得，
則，
因為，所以，
所以．
（2）解：由，
得，
所以的單調遞減區間為．
（3）解：因為不等式在上恒成立，
所以，
又因為，
所以，
當時，，
則，
所以m的取值范圍為．
【解析】【分析】（1）根據函數圖象的最高點的縱坐標確定A的值，再利用特殊點的坐標得出的值，從而得出函數的解析式.
（2）根據換元法和正弦函數的單調性，從而得出正弦型函數的單調性，則得出函數的單調遞減區間.
（3）根據x的取值范圍結合正弦型函數求最值的方法得出函數在的最小值，再利用不等式恒成立問題求解方法，從而得出實數m的取值范圍.
（1）由函數圖象可知，，
則，因為，所以．
由，得，
即，
因為，所以，所以．
（2）由，得，
所以的單調遞減區間為．
（3）因為不等式在上恒成立，所以，
因為，所以，
當時，，
則，即m的取值范圍為．
18．【答案】（1）因為，
，
兩式相加得，得證.
（2）當時，，滿足.
令，，故無最大值，
因為
，
，
則，
，
，
則或，
由，有，則.
①時，，時取等號，
②時，
，
時取等號，
因為，則的最小值是，
綜上，有最小值，無最大值.
（3）①時，，則.
②時，
在中，由正弦定理有，則，，
則，
由函數在上單調遞減，有，
∴
綜上，的面積的取值范圍是.
【解析】【分析】（1）利用，展開化簡即可證明；
（2）取，利用極限思想證明出無最大值，接著對式子進行化簡，結合基本不等式進行求解即可得到結果；
（3）結合面積公式與正弦定理轉化成求，進而利用函數在求出最值即可得到結果.
（1）因為，
，
兩式相加得，得證.
（2）當時，，滿足.
令，，故無最大值，
因為
，
，
則，
，
，
則或，
由，有，則.
①時，，時取等號，
②時，
，
時取等號，
因為，則的最小值是，
綜上，有最小值，無最大值.
（3）①時，，
則.
②時，
在中，由正弦定理有，則，，
則，
由函數在上單調遞減，有，
∴
綜上，的面積的取值范圍是.
19．【答案】（1）解：已知，由正弦定理可得，
又，所以，則，又，所以；
因為，由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
所以，
則，
所以，
即，即，即，
又，所以，所以，則；
（2）解：①由（1）可知，因為，由正弦定理，所以，，
在中，由余弦定理可得
，則，
因為，所以，
∵，∴，
∴，∴的周長為.
②已知如圖所示：
設，
在中，，
由正弦定理，得，
又在中，由正弦定理可得，得，
所以
，
所以當且僅當，即時，的面積取最小值為.
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理將邊化角可得，即可求出，再利用余弦定理可得再利用正弦定理將邊化角，即可求出；
（2）①利用余弦定理可求出的長，推導出，可求出、的長，即可得出的周長；
②設，由正弦定理得出，利用三角形的面積公式結合三角恒等變換、三角函數的基本性質可求出面積的最小值及其對應的值.
（1）因為，由正弦定理可得，
又，所以，則，又，所以；
因為，由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
所以，
則，
所以，
即，即，即，
又，所以，所以，則；
（2）①由（1）可知，
因為，由正弦定理，所以，，
在中，由余弦定理可得
，則，
因為，所以，
∵，∴，
∴，∴的周長為.
②設，
在中，，
由正弦定理，得，
又在中，由正弦定理可得，得，
所以
，
所以當且僅當，即時，的面積取最小值為.
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一輪復習——三角函數測試卷（培優卷）
一、選擇題(共8題；共40分)
1．已知點在角的終邊上，且，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
2．的奇偶性是（　?。?br/>A．偶函數 B．奇函數
C．既奇又偶函數 D．非奇非偶函數
3．定義：，其中為向量的夾角.若，則（　?。?br/>A．8 B．16 C． D．
4．函數與的圖象在區間上的交點個數為（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．設，，，則（　?。?br/>A． B． C． D．
6．將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則下列結論正確的是（　?。?br/>A．是奇函數
B．的圖象關于直線對稱
C．在上的值域為
D．在上單調遞增
7．已知函數 ，其中 ， ，其圖象關于直線 對稱，對滿足 的 ， ，有 ，將函數 的圖象向左平移 個單位長度得到函數 的圖象，則函數 的單調遞減區間是（　?。?br/>A． B．
C． D．
8．已知函數的對稱軸方程為，且函數在內恰有個零點，則滿足條件的有序實數對（　　）
A．只有2對 B．只有3對 C．只有4對 D．有無數對
二、多項選擇題(共3題；共18分)
9．已知函數，則（　?。?br/>A．是偶函數 B．的最小正周期為
C．的最大值為4 D．的最小值為0
10．已知函數的部分圖像如圖所示，為的圖像與軸的交點，為圖像上的最高點，是邊長為1的等邊三角形，.則（　?。?br/>A．
B．直線是圖像的一條對稱軸
C．的單調遞減區間為
D．的單調遞增區間為
11．高斯是德國著名數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設 ，用 表示不超過的最大整數，則 稱為高斯函數，例如 ，. 已知函數 ，函數 ，則下列4個命題中，其中正確結論的選項是（　?。?br/>A．函數 不是周期函數；
B．函數 的值域是
C．函數 的圖象關于 對稱：
D．方程 只有一個實數根；
三、填空題(共3題；共15分)
12．已知函數的周期為，則函數圖象的一條對稱軸方程為　 ?。?br/>13．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的面積為　 ?。?br/>14．函數的非負零點按照從小到大的順序分別記為，．，若，則的值可以是　 　．（寫出符合條件的一個值即可）
四、解答題(共5題；共77分)
15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：的周長為9．
16．在中，內角的對邊分別為，向量，且．
（1）求；
（2）若的外接圓半徑為2，且，求的面積．
17．已知函數的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）求的單調遞減區間；
（3）若不等式在上恒成立，求m的取值范圍.
18．已知內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.
（1）證明：；
（2）求的最值；
（3）若，，求的面積S的取值范圍.
19．在中，內角，，的對邊分別為，，，且，.
（1）求角和；
（2）已知，設、為線段上的兩個動點（靠近點），且.
①若，求的周長；
②當為何值時，的面積最小，最小面積是多少？
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