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2025年內(nèi)蒙古赤峰市翁牛特旗中考數(shù)學(xué)壓軸試卷（二）
一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.下列四個數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（　　）
A. B. -2025 C. D.
2.如圖，已知a∥b,直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，若∠1=29°46′，則∠2等于（　　）
A. 59°54′
B. 59°14′
C. 60°54′
D. 60°14′
3.一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最多是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.下列計(jì)算正確的是（　　）
A. 3a2+4a2=7a4 B. =1
C. -18+12÷（-）=4 D. -a-1=
5.學(xué)生食品安全引起各級政府的關(guān)注，師生在同一地點(diǎn)吃同樣食物的政策在美安學(xué)校實(shí)行，學(xué)校食堂中午開設(shè)了四個取餐窗口，在校就餐時小明和小紅被隨機(jī)分到同一窗口的概率是（　　）
A. B. C. D.
6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△OAB是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)A（-1，1），將△AOB沿x軸正方向平移得到△DCE，若點(diǎn)E恰好落在直線y=x上，則此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　　）
A. （2，1） B. （3，1） C. （4，1） D. （5，1）
7.小媛在物理實(shí)驗(yàn)課上研究光的折射現(xiàn)象，了解到當(dāng)光從空氣射入介質(zhì)時，折射率（i為入射角，r為折射角）.如圖，一束光從空氣射向橫截面為直角三角形的硫系玻璃透鏡斜面，經(jīng)折射后沿垂直AC邊的方向射出.若i=30°，AB=20cm,BC=5cm,則該玻璃透鏡的折射率n為（　　）
A. 2 B. 1.6 C. 1.5 D. 1.4
8.如圖，在菱形ABCD中，分別以C，D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)E、F，連接EF，若直線EF恰好經(jīng)過點(diǎn)A，與邊CD交于點(diǎn)M，連接BM.有以下四個結(jié)論：①∠ABC=60°，②如果AB=2，那么，③，④；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）
A. 4個
B. 3個
C. 2個
D. 1個
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
9.因式分解：9m2+6m+1= ______.
10.已知最簡二次根式與二次根式是同類二次根式，則x= ______.
11.已知圓內(nèi)接正三角形的邊心距為1，則這個三角形的面積為______．
12.如圖，反比例函數(shù)的圖象上有一動點(diǎn)A，連接AO并延長交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，點(diǎn)C始終在函數(shù)的圖象上運(yùn)動，tan∠CBA=3，則k= ______.
三、解答題：本題共6小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
13.(本小題10分)
（1）解方程；
（2）解不等式組.
14.(本小題10分)
2025年春晚節(jié)目《秧BOT》以機(jī)器人表演傳統(tǒng)秧歌為主題，廣受好評.演出結(jié)束后，節(jié)目組隨機(jī)抽取了50名現(xiàn)場觀眾進(jìn)行評分，同時統(tǒng)計(jì)出5000名線上觀眾評分（滿分10分）.并根據(jù)得分繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖：
兩個觀眾群體對《秧BOT》打分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：
平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)
現(xiàn)場 7.6 8 8
線上 a b 7
（1）直接寫出m,a,b的值；
（2）請你計(jì)算出線上觀眾評分不低于8分的總?cè)藬?shù)；
（3）小明認(rèn)為線上觀眾群體對《秧BOT》打分樣本數(shù)據(jù)更能貼合實(shí)際，你同意他的說法嗎？簡要說明理由.
15.(本小題8分)
某品牌烤箱新增一種安全烤制模式，即在烤箱內(nèi)溫度勻速升至240℃時烤箱停止加熱，隨后烤箱內(nèi)溫度下降至初始溫度，如圖所示的是該品牌烤箱安全烤制模式下烤箱內(nèi)溫度y（℃）隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象.
（1）求該圖象的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若食物在130℃及以上的溫度中烤制6分鐘以上才可健康食用，請問該模式下烤制的食物能否健康食用？請說明理由.
16.(本小題11分)
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=10，過點(diǎn)A作AE∥BC，交⊙O的直徑BD的延長線于點(diǎn)E，連結(jié)CD.
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若tan∠ABE=，求CD和DE的長.
17.(本小題12分)
如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．
（1）求證：AE⊥BF；
（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP交BA的延長線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；
（3）將△ABE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時，求四邊形GHMN的面積．
18.(本小題13分)
如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn).
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方的拋物線上時，連接AP、BP，BP交AC于點(diǎn)D，若S△APD=kS△ABD，求k的取值范圍；
（3）已知M是直線AC上一動點(diǎn)，將點(diǎn)M繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q恰好落在二次函數(shù)的圖象上，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
1.解：A：是分?jǐn)?shù)，可表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)；
B：-2025是整數(shù)，屬于有理數(shù)；
C：表示8的三次方根，因23=8，結(jié)果為整數(shù)2，屬于有理數(shù)；
D：中，11不是完全平方數(shù)，其平方根無法表示為分?jǐn)?shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)；
故選：D．
2.解：∵直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，∠1=29°46′，
∴∠3=90°-29°46′=60°14′，
∵a∥b,
∴∠2=∠3=60°14′；
故選：D．
3.解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個數(shù)最多分布的情況如圖所示：
即組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最多是7．
故選：D．
4.解：3a2+4a2=7a2，故選項(xiàng)A錯誤；
當(dāng)a＞0時，=a=1，當(dāng)a＜0時，=-a=-1，故選項(xiàng)B錯誤；
-18+12÷（-）=-18-8=-26，故選項(xiàng)C錯誤；
-a-1=-（a+1）===，故選項(xiàng)D正確；
故選：D．
5.解：設(shè)學(xué)校食堂開設(shè)的四個窗口分別為1、2、3、4，由題意可得表格如下：
小紅小明 1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
由列表可知：在校就餐時小明和小紅被隨機(jī)分到同一窗口的概率是；
故選：C．
6.解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，1），
∴OA==，
∵△OAB是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．
∵點(diǎn)E是點(diǎn)B向右平移得到的點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2．
當(dāng)y=2時，x=2，
解得：x=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2），
∴點(diǎn)E是點(diǎn)B向右平移4個單位長度得到的點(diǎn)，
∴點(diǎn)D是點(diǎn)A向右平移4個單位長度得到的點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，1）．
故選：B．
7.解：如圖，
∵折射光線沿垂直AC邊的方向射出β+∠A=90°，
∵法線垂直于AB，
∴r+β=90°，
∴r=∠A，
∴，
∵折射率，
故選：A．
8.解：連接AC，如圖，
由作法得AM垂直平分CD，
∴AC=AD，CM=DM，AM⊥CD，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB=BC=CD，AB∥CD，
∴AB=AC=BC=CD=AD，
∴△ABC和△ADC都為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，所以①正確；
∵AB=2，
∴AD=CD=2，DM=1，
在Rt△ADM中，AM===，
∵AM⊥CD，AB∥CD，
∴AM⊥AB，
∴∠BAM=90°，
∴BM===，所以②正確；
∵BC=2，CM=1，
∴BC=2CM，所以③錯誤；
∵S△ADM=AM DM，S△ABM=AM AB，
而DM=AB，
∴S△ADM=S△ABM，所以④正確．
故選：B．
9.解：9m2+6m+1=（3m+1）2，
故答案為：（3m+1）2．
10.解：=2，
根據(jù)題意可知，
x-1=3，
解得x=4．
故答案為：4．
11.解：如圖所示：
作AD⊥BC與D，連接OB，
則AD經(jīng)過圓心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=，
∴AB==2，
∴BC=2，
∴△ABC的面積=BC AD=×2×3=3；
故答案為3．
12.解：連接OC，作CM⊥x軸于點(diǎn)M，AN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖，
由題意可知，點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA=OB，
∵AC=BC
∴OC⊥AB，∠CBA=∠CAO，
∴，
∵∠COM+∠AON=90°，∠AON+∠OAN=90°，
∴∠COM=∠OAN，
∴Rt△OCM∽Rt△AON，
∴
而，
∴，
∵，
而k＜0，
∴k=-9
故答案為：-9．
13.解：（1）原方程可化為：2+2x-2=3．
解得．
檢驗(yàn)：把代入2（x-1）=1≠0，且原方程左邊=右邊．
∴原方程的解為．
（2），
解第一個不等式得x≤3，
解第二個不等式得x＜1，
所以不等式組的解集為x＜1．
14.解：（1）現(xiàn)場打分的平均數(shù)a=×（6×9+7×12+8×21+9×6+10×2）=7.6（分），
∵線上觀眾打分為6分的占12%，7分的占40%，
∴線上打分的中位數(shù)b=7分，
m%=1-（12%+40%+30%+6%）=12%，即m=12；
（2）線上觀眾評分不低于8分的總?cè)藬?shù)為5000×（12%+6%+30%）=2400（人）；
（3）同意，因?yàn)榫€上觀眾群體對《秧BOT》打分樣本數(shù)據(jù)樣本容量大，更能體現(xiàn)實(shí)際情況．
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