資源簡介

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中考數學一輪復習 相交線與平行線
一．選擇題（共10小題）
1．（2021 東港區校級三模）如圖，直線AB∥CD，∠C＝44°，∠E為直角，則∠1等于（　　）
A．132° B．134° C．136° D．138°
2．（2025 威遠縣校級模擬）如圖，ABCD為一長條形紙帶，AB∥CD，將ABCD沿EF折疊，A、D兩點分別與A′、D′對應，若∠1＝2∠2，則∠AEF的度數為（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
3．（2015 棗莊）如圖，把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．（2025春 肇慶月考）如圖所示，點E在AC的延長線上，下列條件中能判斷AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
5．（2024 恩施市模擬）如圖，能判定EC∥AB的條件是（　　）
A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
6．（2023春 白銀區校級期末）下列說法不正確的是（　　）
A．過任意一點可作已知直線的一條平行線
B．同一平面內兩條不相交的直線是平行線
C．在同一平面內，過直線外一點只能畫一條直線與已知直線垂直
D．平行于同一直線的兩直線平行
7．（2021春 莆田期末）在數學課上，同學們在練習過點B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數一數，錯誤的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．（2024秋 沈丘縣期末）如圖，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，則∠4的值為（　　）
A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2
C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
9．（2024春 沂源縣期末）如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點E是邊DC上一點，連接AE交BC的延長線于點H．點F是邊AB上一點．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點G，若∠DEH＝100°，則∠BEG的度數為（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．（2023秋 輝縣市期末）如圖，AB∥EF，設∠C＝90°，那么x、y和z的關系是（　　）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°
C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
二．填空題（共5小題）
11．（2023秋 市北區期末）如圖a，已知長方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b，若∠DEF＝72°，則∠GMN＝　 　 °．
12．（2011 曲靖）珠江流域某江段江水流向經過B、C、D三點拐彎后與原來相同，如圖，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，則∠CDE＝　 　 度．
13．（2023秋 衡山縣期末）如圖，下列條件中：
①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；
則一定能判定AB∥CD的條件有　 　 （填寫所有正確的序號）．
14．（2015 泰州）如圖，直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，則∠2＝　 　 ．
15．（2023春 清江浦區期末）如圖，AB∥CD，∠DCE的角平分線CG的反向延長線和∠ABE的角平分線BF交于點F，∠E﹣∠F＝33°，則∠E＝　 　 ．
三．解答題（共5小題）
16．（2025春 瀘州期末）已知AM∥CN，點B為平面內一點，AB⊥BC于B．
（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數量關系 　 　 ；
（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；
（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度數．
17．（2019春 越秀區校級期中）如圖，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD與AE相交于F，∠CFE＝∠E．求證：AD∥BC．
18．（2021春 奉化區校級期末）已知，直線AB∥DC，點P為平面上一點，連接AP與CP．
（1）如圖1，點P在直線AB、CD之間，當∠BAP＝60°，∠DCP＝20°時，求∠APC．
（2）如圖2，點P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，寫出∠AKC與∠APC之間的數量關系，并說明理由．
（3）如圖3，點P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∠AKC與∠APC有何數量關系？并說明理由．
19．（2025春 新城區校級月考）已知：如圖所示，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1+∠2＝90°．
（1）求證：AB∥CD；
（2）試探究∠2與∠3的數量關系．
20．（2024春 榕城區期末）如圖，已知AB∥CD，現將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點E，PN交CD于點F
（1）當△PMN所放位置如圖①所示時，則∠PFD與∠AEM的數量關系為 　 　 ；
（2）當△PMN所放位置如圖②所示時，求證：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度數．
中考數學一輪復習 相交線與平行線
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2021 東港區校級三模）如圖，直線AB∥CD，∠C＝44°，∠E為直角，則∠1等于（　　）
A．132° B．134° C．136° D．138°
【考點】平行線的性質．
【專題】幾何直觀；推理能力．
【答案】B
【分析】過E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
【解答】解：
過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，
∵∠C＝44°，∠AEC為直角，
∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，
∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，
故選：B．
【點評】本題考查了平行線的性質的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵．
2．（2025 威遠縣校級模擬）如圖，ABCD為一長條形紙帶，AB∥CD，將ABCD沿EF折疊，A、D兩點分別與A′、D′對應，若∠1＝2∠2，則∠AEF的度數為（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【考點】平行線的性質．
【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；推理能力．
【答案】C
【分析】由題意∠1＝2∠2，設∠2＝x，易證∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，構建方程即可解決問題．
【解答】解：由翻折的性質可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，設∠2＝x，則∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故選：C．
【點評】本題考查平行線的性質，翻折變換等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型．
3．（2015 棗莊）如圖，把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【考點】平行線的性質．
【答案】C
【分析】根據兩直線平行，內錯角相等求出∠3，再求解即可．
【解答】解：∵直尺的兩邊平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣20°＝25°．
故選：C．
【點評】本題考查了兩直線平行，內錯角相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．
4．（2025春 肇慶月考）如圖所示，點E在AC的延長線上，下列條件中能判斷AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【考點】平行線的判定．
【答案】B
【分析】根據平行線的判定分別進行分析可得答案．
【解答】解：A、∠3＝∠A，無法得到，AB∥CD，故此選項錯誤；
B、∠1＝∠2，根據內錯角相等，兩直線平行可得：AB∥CD，故此選項正確；
C、∠D＝∠DCE，根據內錯角相等，兩直線平行可得：BD∥AC，故此選項錯誤；
D、∠D+∠ACD＝180°，根據同旁內角互補，兩直線平行可得：BD∥AC，故此選項錯誤；
故選：B．
【點評】此題主要考查了平行線的判定，關鍵是掌握平行線的判定定理．
5．（2024 恩施市模擬）如圖，能判定EC∥AB的條件是（　　）
A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
【考點】平行線的判定．
【答案】D
【分析】根據平行線的判定定理即可直接判斷．
【解答】解：A、兩個角不是同位角、也不是內錯角，故選項錯誤；
B、兩個角不是同位角、也不是內錯角，故選項錯誤；
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是內錯角，故選項錯誤；
D、正確．
故選：D．
【點評】本題考查了判定兩直線平行的方法，正確理解同位角、內錯角和同旁內角的定義是關鍵．
6．（2023春 白銀區校級期末）下列說法不正確的是（　　）
A．過任意一點可作已知直線的一條平行線
B．同一平面內兩條不相交的直線是平行線
C．在同一平面內，過直線外一點只能畫一條直線與已知直線垂直
D．平行于同一直線的兩直線平行
【考點】平行線．
【答案】A
【分析】根據平行線的定義及平行公理進行判斷．
【解答】解：A中，若點在直線上，則不可以作出已知直線的平行線，而是與已知直線重合，錯誤．
B、C、D正確．
故選：A．
【點評】本題主要考查平行線的定義及平行公理，熟練掌握公理、定理是解決本題的關鍵．
7．（2021春 莆田期末）在數學課上，同學們在練習過點B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數一數，錯誤的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】垂線．
【專題】幾何直觀．
【答案】D
【分析】根據垂線段的定義直接觀察圖形進行判斷．
【解答】解：從左向右第一個圖形中，垂線段是線段，圖中畫的是射線，故錯誤；
第二個圖形中，BE不垂直AC，所以錯誤；
第三個圖形中，是過點A作的AC的垂線，所以錯誤；
第四個圖形中，過點B作的BC的垂線，也錯誤．
故選：D．
【點評】過點B作線段AC所在直線的垂線段，是一條線段，且垂足應在線段AC所在的直線上．
8．（2024秋 沈丘縣期末）如圖，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，則∠4的值為（　　）
A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2
C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
【考點】平行線的性質．
【專題】幾何直觀．
【答案】D
【分析】先過點E作EG∥AB，過點F作FH∥CD，利用平行線的性質求得∠GEF和∠EFH，最后根據∠CFH＝∠3﹣∠EFH，求得∠4即可．
【解答】解：過點E作EG∥AB，過點F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠1＝∠AEG，
∴∠GEF＝∠2﹣∠1，
∵EG∥FH，
∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1，
∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
∵FH∥CD，
∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
故選：D．
【點評】本題主要考查了平行線的性質，解決問題的關鍵是作輔助線，構造平行線，利用平行線的性質進行推導．
9．（2024春 沂源縣期末）如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點E是邊DC上一點，連接AE交BC的延長線于點H．點F是邊AB上一點．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點G，若∠DEH＝100°，則∠BEG的度數為（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考點】平行線的性質．
【專題】壓軸題；推理能力．
【答案】B
【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，則AB∥CD，則∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．
【解答】解：設FBE＝∠FEB＝α，則∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分線為EG，設∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，則∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，80°+2α+180°﹣2β＝180°
故β﹣α＝40°，
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
故選：B．
【點評】本題考查的是平行線的性質，涉及到角平分線、外角定理，本題關鍵是落腳于△AEF內角和為180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，題目難度較大．
10．（2023秋 輝縣市期末）如圖，AB∥EF，設∠C＝90°，那么x、y和z的關系是（　　）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°
C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
【考點】平行線的性質．
【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．
【答案】B
【分析】過C作CM∥AB，延長CD交EF于N，根據三角形外角性質求出∠CNE＝y﹣z，根據平行線性質得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．
【解答】解：過C作CM∥AB，延長CD交EF于N，
則∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故選：B．
【點評】本題考查了平行線的性質和三角形外角性質的應用，注意：平行線的性質有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內錯角相等，③兩直線平行，同旁內角互補，題目比較好，難度適中．
二．填空題（共5小題）
11．（2023秋 市北區期末）如圖a，已知長方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b，若∠DEF＝72°，則∠GMN＝　72　 °．
【考點】平行線的性質．
【專題】矩形 菱形 正方形；平移、旋轉與對稱；幾何直觀；推理能力．
【答案】見試題解答內容
【分析】先根據∠DEF＝72°求出∠EFC的度數，進而可得出∠EFB和∠BFH的度數，根據∠H＝90°和三角形的內角和可得∠HMF的度數，再由折疊的性質可得∠GMN．
【解答】解：∵AD∥CB，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，
即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，
∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．
∵∠H＝∠D＝90°，
∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
由折疊可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，
∴∠GMN＝72°．
故答案為：72．
【點評】本題考查的是平行線的性質，由折疊的性質得到角相等是解題關鍵．
12．（2011 曲靖）珠江流域某江段江水流向經過B、C、D三點拐彎后與原來相同，如圖，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，則∠CDE＝　20　 度．
【考點】平行線的性質．
【專題】計算題；壓軸題．
【答案】見試題解答內容
【分析】由已知珠江流域某江段江水流向經過B、C、D三點拐彎后與原來相同，得AB∥DE，過點C作CF∥AB，則CF∥DE，由平行線的性質可得，∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，繼而求出∠DCF，
又由CF∥DE，所以∠CDE＝∠DCF．
【解答】解：過點C作CF∥AB，
已知珠江流域某江段江水流向經過B、C、D三點拐彎后與原來相同，
∴AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC＝180°，
∴∠BCF＝60°，
∴∠DCF＝20°，
∴∠CDE＝∠DCF＝20°．
故答案為：20．
【點評】此題考查的知識點是平行線的性質，關鍵是過C點先作AB的平行線，由平行線的性質求解．
13．（2023秋 衡山縣期末）如圖，下列條件中：
①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；
則一定能判定AB∥CD的條件有　①③④　 （填寫所有正確的序號）．
【考點】平行線的判定．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據平行線的判定方法：同旁內角互補，兩直線平行可得①能判定AB∥CD；
根據內錯角相等，兩直線平行可得③能判定AB∥CD；
根據同位角相等，兩直線平行可得④能判定AB∥CD．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
故答案為：①③④．
【點評】此題主要考查了平行線的判定，關鍵是熟練掌握平行線的判定定理．
14．（2015 泰州）如圖，直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，則∠2＝　140°　 ．
【考點】平行線的性質．
【專題】計算題．
【答案】見試題解答內容
【分析】先根據平行線的性質，由l1∥l2得∠3＝∠1＝40°，再根據平行線的判定，由∠α＝∠β得AB∥CD，然后根據平行線的性質得∠2+∠3＝180°，再把∠1＝40°代入計算即可．
【解答】解：如圖，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．
故答案為140°．
【點評】本題考查了平行線性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．
15．（2023春 清江浦區期末）如圖，AB∥CD，∠DCE的角平分線CG的反向延長線和∠ABE的角平分線BF交于點F，∠E﹣∠F＝33°，則∠E＝　82°　 ．
【考點】平行線的性質．
【專題】線段、角、相交線與平行線．
【答案】見試題解答內容
【分析】過F作FH∥AB，依據平行線的性質，可設∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根據四邊形內角和以及∠E﹣∠F＝33°，即可得到∠E的度數．
【解答】解：如圖，過F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分線CG的反向延長線和∠ABE的角平分線BF交于點F，
∴可設∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，
∴四邊形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC＝180°，①
又∵∠E﹣∠BFC＝33°，
∴∠BFC＝∠E﹣33°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°，
解得∠E＝82°，
故答案為：82°．
【點評】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵，即①兩直線平行 同位角相等，②兩直線平行 內錯角相等，③兩直線平行 同旁內角互補．
三．解答題（共5小題）
16．（2025春 瀘州期末）已知AM∥CN，點B為平面內一點，AB⊥BC于B．
（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數量關系 　∠A+∠C＝90°　 ；
（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；
（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度數．
【考點】平行線的判定與性質；余角和補角．
【專題】方程思想；線段、角、相交線與平行線．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據平行線的性質以及直角三角形的性質進行證明即可；
（2）先過點B作BG∥DM，根據同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根據平行線的性質，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；
（3）先過點B作BG∥DM，根據角平分線的定義，得出∠ABF＝∠GBF，再設∠DBE＝α，∠ABF＝β，根據∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根據AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程組即可得到∠ABE＝15°，進而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【解答】解：（1）如圖1，AM與BC的交點記作點O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案為：∠A+∠C＝90°；
（2）如圖2，過點B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如圖3，過點B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
設∠DBE＝α，∠ABF＝β，則
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②聯立方程組，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【點評】本題主要考查了平行線的性質的運用，解決問題的關鍵是作平行線構造內錯角，運用等角的余角（補角）相等進行推導．余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯．解題時注意方程思想的運用．
17．（2019春 越秀區校級期中）如圖，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD與AE相交于F，∠CFE＝∠E．求證：AD∥BC．
【考點】平行線的判定．
【專題】證明題．
【答案】見試題解答內容
【分析】首先利用平行線的性質以及角平分線的定義得到滿足關于AD∥BC的條件，內錯角∠2和∠E相等，得出結論．
【解答】證明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BC．
【點評】本題考查角平分線的定義以及平行線的判定定理．
18．（2021春 奉化區校級期末）已知，直線AB∥DC，點P為平面上一點，連接AP與CP．
（1）如圖1，點P在直線AB、CD之間，當∠BAP＝60°，∠DCP＝20°時，求∠APC．
（2）如圖2，點P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，寫出∠AKC與∠APC之間的數量關系，并說明理由．
（3）如圖3，點P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∠AKC與∠APC有何數量關系？并說明理由．
【考點】平行線的性質．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）先過P作PE∥AB，根據平行線的性質即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根據∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP進行計算即可；
（2）過K作KE∥AB，根據KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，進而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根據角平分線的定義，得出∠BAK+∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP+∠DCP）∠APC，進而得到∠AKC∠APC；
（3）過K作KE∥AB，根據KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，進而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根據角平分線的定義，得出∠BAK﹣∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP﹣∠DCP）∠APC，進而得到∠AKC∠APC．
【解答】解：（1）如圖1，過P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；
（2）∠AKC∠APC．
理由：如圖2，過K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
過P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，
∴∠BAK+∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP+∠DCP）∠APC，
∴∠AKC∠APC；
（3）∠AKC∠APC．
理由：如圖3，過K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
過P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，
∴∠BAK﹣∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP﹣∠DCP）∠APC，
∴∠AKC∠APC．
【點評】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是作平行線構造內錯角，依據兩直線平行，內錯角相等進行計算．
19．（2025春 新城區校級月考）已知：如圖所示，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1+∠2＝90°．
（1）求證：AB∥CD；
（2）試探究∠2與∠3的數量關系．
【考點】平行線的判定；角平分線的定義．
【專題】證明題；探究型．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根據同旁內角互補，可得兩直線平行．
（2）已知∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°；那么∠3+∠FDE＝90°，將等角代換，即可得出∠3與∠2的數量關系．
【解答】證明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1∠ABD，∠2∠BDC；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°；
∴AB∥CD；（同旁內角互補，兩直線平行）
解：（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BED＝180﹣（∠1+∠2）＝90°＝∠DEF＝90°；
∴∠3+∠FDE＝90°；
∴∠2+∠3＝90°．
【點評】此題主要考查了角平分線的性質以及平行線的判定，難度不大．
20．（2024春 榕城區期末）如圖，已知AB∥CD，現將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點E，PN交CD于點F
（1）當△PMN所放位置如圖①所示時，則∠PFD與∠AEM的數量關系為 　∠PFD+∠AEM＝90°　 ；
（2）當△PMN所放位置如圖②所示時，求證：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度數．
【考點】平行線的性質．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由平行線的性質得出∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，即可得出結果；
（2）由平行線的性質得出∠PFD+∠1＝180°，再由角的互余關系即可得出結果；
（3）由角的互余關系求出∠PHE，再由平行線的性質得出∠PFC的度數，然后由三角形的外角性質即可得出結論．
【解答】解：（1）作PG∥AB，如圖①所示：
則PG∥CD，
∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，
∵∠1+∠2＝∠P＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°，
故答案為：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）證明：如圖②所示：
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠BHF+∠2＝90°，
∵∠2＝∠AEM，
∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，
∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）如圖③所示：
∵∠P＝90°，
∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣15°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC＝∠PHE＝75°，
∵∠PFC＝∠N+∠DON，
∴∠N＝75°﹣30°＝45°．
【點評】本題考查了平行線的性質、角的互余關系；熟練掌握平行線的性質，弄清角之間的數量關系是解決問題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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