資源簡介

(共64張PPT)
第八章
§8.1　直線的方程
數學
大
一
輪
復
習
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.
2.根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式).
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.直線的方向向量
設A，B為直線上的兩點，則就是這條直線的方向向量.
2.直線的傾斜角
(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l_____
的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為 .
向上
0°≤α<180°
3.直線的斜率
(1)定義：把一條直線的傾斜角α的　　　　叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即k＝　　　.(α≠90°)
(2)過兩點的直線的斜率公式
如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝　　　.
正切值
tan α
　
4.直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 ________________ 不含直線x＝x0
斜截式 __________ 不含垂直于x軸的直線
兩點式 __________________________ 不含直線x＝x1和直線y＝y1
截距式 _________ 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 _________________________ 平面直角坐標系內的直線都適用
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
(x1≠x2，y1≠y2)
＝1
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角.(　　)
(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大.(　　)
(3)若直線的傾斜角為α，則斜率為tan α.(　　)
(4)截距一定是正數.(　　)
×
√
×
×
2.直線x－y＋2 025＝0的傾斜角是
A.30° B.45° C.60° D.90°
根據題意，設直線x－y＋2 025＝0的傾斜角為α，
因為其斜率k＝tan α＝，
又由0°≤α<180°，所以α＝60°.
√
3.過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為_________________
　　　　　.
3x－2y＝0或x＋
y－5＝0
當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；
當截距不為0時，設直線方程為＝1，
則＝1，
解得a＝5，直線方程為x＋y－5＝0.
所以直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
4.直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所過的定點坐標為　　　　 .
(1，－1)
直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化為m(y＋1)＋y＋x＝0，
令故所過的定點坐標為(1，－1).
1.傾斜角與斜率的關系
(1)當直線不垂直于x軸時，直線的斜率和直線的傾斜角為一一對應關系.
(2)當直線l的傾斜角α∈時，α越大，直線l的斜率越大；當α∈時，α越大，直線l的斜率越大.
(3)所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率，與x軸垂直的直線的傾斜角為，其斜率不存在.
微點提醒
2.直線的方向向量
當直線的斜率k存在時，直線的方向向量為(1，k).
3.謹記以下兩個關鍵點
(1)“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數.應注意過原點的特殊情況是否滿足題意.
(2)當直線的斜率存在時，可設直線的方程為y＝kx＋b；當直線的斜率不為0時，可設直線的方程為x＝ty＋b.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)已知直線l：x＋y－2＝0，則下列選項中正確的有
A.直線l的斜率為－
B.直線l的傾斜角為
C.直線l不經過第四象限
D.直線l的一個方向向量為v＝(－，3)
√
直線的傾斜角與斜率
題型一
√
由l：x＋y－2＝0，可得y＝－x＋2，故其斜率為k＝－，傾斜角為，故A項正確，B項錯誤；
由直線y＝－x＋2知其斜率k<0，縱截距b＝2>0，所以直線l不經過第三象限，經過第四象限，故C項錯誤；
取直線l上兩點A(0，2)，B(，－1)，可得＝(－，3)，即直線l的一個方向向量為v＝(－，3)，故D項正確.
(2)若直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是　　　　　　　　　　　　，直線l的傾
斜角的取值范圍是　　　　 .
(－∞，－]∪[1，＋∞)
如圖，當直線l過點B時，設直線l的斜率為k1，則k1
＝＝－；當直線l過點A時，設直線l的斜率為
k2，則k2＝＝1，所以要使直線l與線段AB有公共
點，則直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－]∪
[1，＋∞).
方法一　設直線l的傾斜角為α，所以tan α∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，且α∈[0，π)，
所以α的取值范圍是.
方法二　因為k1＝－，k2＝1，
所以直線PA，PB的傾斜角分別為，
由圖可知，直線l的傾斜角的取值范圍是.
直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區間不是正切函數的單調區間，因此根據斜率求傾斜角的范圍時，要分兩種情況討論.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則
A.k1B.k3C.k1D.k3當傾斜角為銳角時，斜率為正，傾斜角越大，傾斜程度越大，斜率越大；當傾斜角為鈍角時，斜率為負，所以k1√
(2)直線(1－a2)x＋y＋1＝0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是
A. B.
C.∪ D.∪
設(1－a2)x＋y＋1＝0的傾斜角為α∈[0，π)，
由題意可知，直線的斜率k＝a2－1≥－1，
即tan α≥－1，且α∈[0，π)，所以α∈∪.
√
求直線的方程
題型二
例2　(1)(多選)下列四個選項中，正確的是
A.經過定點P0(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B.經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(x2－
　x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示
C.兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的直線
D.經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示
√
√
經過定點P0(x0，y0)的直線，當斜率存在時，可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，當斜率不存在時，用方程x＝x0表示，A錯誤；
經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示，B正確；
兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的直線，C正確；
經過定點A(0，b)且垂直于x軸的直線不能用方程y＝kx＋b表示，D錯誤.
(2)(多選)下列說法中，正確的是
A.直線y＝5x－3在y軸上的截距為－3
B.以向量n＝(－3，4)為方向向量且過點(2，－3)的直線方程為4x＋3y－1
?。?
C.A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三點共線
D.經過點(－1，1)且傾斜角是直線y＝2x＋3的傾斜角的兩倍的直線方程為
　4x＋3y＋1＝0
√
√
√
令x＝0，則y＝－3，所以直線y＝5x－3在y軸上的截距為－3，故A正確；
依題意所求直線的斜率為－，又該直線過點(2，－3)，
故所求直線方程為y＋3＝－(x－2)，即4x＋3y＋1＝0，故B錯誤；
因為kAB＝＝2，kAC＝＝2，所以kAB＝kAC，所以A(1，3)，B(2，5)，
C(－2，－3)三點共線，故C正確；
設直線y＝2x＋3的傾斜角為α，則tan α＝2，顯然α是銳角，因此所求直線
的斜率k＝tan 2α＝＝－，所以所求的直線方程為y－1＝
－(x＋1)，即4x＋3y＋1＝0，故D正確.
求直線方程的兩種方法
(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式.
(2)待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數.
思維升華
跟蹤訓練2　求符合下列條件的直線方程：
(1)直線過點A(－1，－3)，且斜率為－；
∵所求直線過點A(－1，－3)，且斜率為－，
∴直線方程為y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)斜率為，且與兩坐標軸圍成的區域的面積為6；
設直線方程為y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b，
令y＝0，得x＝－b，
∴|b|·＝6，解得b＝±3，
∴直線方程為y＝x±3，即3x－4y±12＝0.
(3)直線過點(2，1)，且橫截距為縱截距的兩倍.
當橫截距與縱截距都為0時，可設直線方程為y＝kx，
又直線過點(2，1)，∴1＝2k，解得k＝，
∴直線方程為y＝x，即x－2y＝0；
當橫截距與縱截距都不為0時，
可設直線方程為＝1，
由題意可得
∴直線方程為＝1，即x＋2y－4＝0，
綜上，所求直線方程為x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
直線方程的綜合應用
題型三
例3　已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程.
方法一　設直線l的方程為
y－1＝k(x－2)(k<0)，
則A，B(0，1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝≥
＝×(4＋4)＝4，
當且僅當－4k＝－且k<0，即k＝－時，等號成立.
故直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二　設直線l的方程為＝1，
且a>0，b>0，
因為直線l過點M(2，1)，所以＝1，
則1＝≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值為ab＝×8＝4，
當且僅當，即a＝4，b＝2時，等號成立，
故直線l的方程為＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究　在本例條件下，當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程.
由本例方法二知，＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b
＝(a＋b)·
＝3＋≥3＋2，
當且僅當，
即a＝2＋，b＝1＋時，等號成立，
所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為＝1，即x＋
y－2－＝0.
直線方程綜合問題的兩大類型及解法
(1)與函數相結合的問題：一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)的函數，借助函數的性質解決.
(2)與方程、不等式相結合的問題：一般是利用方程、不等式的有關知識來解決.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)(2025·菏澤模擬)“直線y＝(k－1)x＋2k＋1經過第一、二、四象限”是“－A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
要使y＝(k－1)x＋2k＋1經過第一、二、四象限，
則解得－因此，“直線y＝(k－1)x＋2k＋1經過第一、二、四象限”是“－的充要條件.
(2)已知O是坐標原點，直線l的方程為(m＋1)x＋y－2m－3＝0(m∈R).若直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點，則△AOB的面積最小值為　　　.
4
由題意知m≠－1，又(m＋1)x＋y－2m－3＝0，
令x＝0，得y＝2m＋3，令y＝0，得x＝，
由得到m>－1，
所以S△AOB＝×(2m＋3)××，
令m＋1＝t>0，得到S△AOB＝××≥×8＝4，
當且僅當4t＝，即t＝時取等號，此時m＝－.
返回
課時精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 A C B A C C BCD
題號 8 9 10 11 答案 AD AC 3x－y＝0或x－y+2＝0 題號 12 13 14 答案 C (1，－2) 13
14
一、單項選擇題
1.若向量a＝(，1)是直線l的一個方向向量，則直線l的傾斜角為
A. B. C. D.
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知識過關
答案
√
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答案
設直線l的傾斜角為α(0≤α<π)，
若向量a＝(，1)是直線l的一個方向向量，
則直線l的斜率為k＝tan α＝，
因為0≤α<π，所以α＝.
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答案
2.已知直線(a－)x＋y＋2＝0的傾斜角為30°，則a等于
A.2 B. C. D.0
直線(a－)x＋y＋2＝0的斜率為－a，所以tan 30°＝－a＝，解得a＝.
√
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答案
3.(2024·貴陽模擬)直線l1，l2的傾斜角分別為α，β，則“α＝β”是“tan α＝tan β”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
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答案
因為直線l1，l2的傾斜角分別為α，β，
所以α∈[0，π)，β∈[0，π)，
若tan α＝tan β，則α＝β，
若α＝β＝，則tan α，tan β都不存在，
所以“α＝β”是“tan α＝tan β”的必要不充分條件.
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答案
4.已知直線l傾斜角的余弦值為－，且經過點(2，1)，則直線l的方程為
A.2x＋y－5＝0 B.2x－y－3＝0
C.x－2y＝0 D.x＋2y－4＝0
√
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答案
設直線l的傾斜角為θ∈[0，π)，則cos θ＝－，可得sin θ＝，
則直線l的斜率k＝tan θ＝＝－2，
且直線l經過點(2，1)，
所以直線l的方程為y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
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答案
5.若直線沿x軸向右平移2個單位長度，再沿y軸向上平移1個單位長度后，回到原來的位置，則直線l的斜率為
A.－2 B.－ C. D.2
由題意，設直線方程為y＝kx＋b，直線沿x軸向右平移2個單位長度，再沿y軸向上平移1個單位長度后，直線方程為y＝k(x－2)＋b＋1，化簡得y＝kx－2k＋b＋1，因為平移后與原直線重合，則kx＋b＝kx－2k＋b＋1，
解得k＝.
√
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答案
6.(2024·烏魯木齊模擬)直線l1，l2的斜率分別為1，2，l1，l2的夾角為θ，則sin 2θ等于
A. B. C. D.
√
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答案
設直線l1，l2的傾斜角分別為α，β，
則β>α，tan α＝1，tan β＝2，θ＝β－α，
因此tan θ＝tan(β－α)＝＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝
＝.
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二、多項選擇題
7.下列命題中錯誤的是
A.若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負數
B.任何直線都存在斜率和傾斜角
C.直線的一般式方程為Ax＋By＋C＝0
D.任何一條直線至少要經過兩個象限
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答案
√
√
√
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答案
若直線的傾斜角α∈，則其斜率k＝tan α<0，A正確；
傾斜角為的直線不存在斜率，B錯誤；
直線的一般式方程為Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0，C錯誤；
當直線與x軸或y軸重合時，該直線不經過任何象限，D錯誤.
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答案
8.對于直線l：x＝my＋1，下列說法正確的是
A.直線l恒過定點(1，0)
B.直線l的斜率必定存在
C.當m＝時，直線l的傾斜角為60°
D.當m＝2時，直線l在y軸上的截距為－
√
√
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答案
直線l：x＝my＋1，令y＝0，則x＝1，所以直線l恒過定點(1，0)，故A正確；
當m＝0時，直線l的斜率不存在，故B不正確；
當m＝時，直線l：x＝y＋1，即y＝x－，則直線l的斜率為，
所以直線l的傾斜角為30°，故C不正確；
當m＝2時，直線l：x＝2y＋1，令x＝0，解得y＝－，即直線l在y軸上的截距為－，故D正確.
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答案
9.下列說法正確的是
A.直線y＝ax－2a＋3(a∈R)必過定點(2，3)
B.直線y＋1＝2x在y軸上的截距為1
C.點A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l：mx＋y－m－1＝0與線段AB相交，
　則實數m的取值范圍是
D.方程k＝與方程y－2＝k(x＋1)表示同一條直線
√
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答案
直線y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3過定點(2，3)，A選項
正確；
直線y＋1＝2x即y＝2x－1，在y軸上的截距為－1，B
選項錯誤；
直線l：mx＋y－m－1＝0即m(x－1)＋y－1＝0過定點C(1，1)，畫出圖象
如圖所示，其中kAC＝＝－4，kBC＝，直線l的斜率為－m，所以－m≥或－m≤－4，解得m≤－或m≥4，C選項正確；
方程k＝與方程y－2＝k(x＋1)相比不含點(－1，2)，D選項錯誤.
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三、填空題
10.已知直線y＝(3－2k)x－6不經過第一象限，則k的取值范圍為
　　　　　.
由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則
得k≥.
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答案
11.經過點(1，3)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是_______
　　　　　　　　.
3x－y
＝0或x－y＋2＝0
當直線過原點時，由于斜率為＝3，故直線方程為y＝3x，即3x－y＝0；
當直線不過原點時，設直線方程為＝1，把點(1，3)代入可得a＝－2，
故直線方程為x－y＋2＝0.
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答案
12.(2024·信陽模擬)動點P在函數y＝－(x＋1)的圖象上，以P為切點的切
線的傾斜角的取值范圍是　　　　　.
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答案
設以P點為切點的切線的傾斜角為θ，
因為函數f(x)＝－(x≥0)，
所以f'(x)＝－
＝－≤－×2＝－，
當且僅當3，即x＝時取等號，
又因為θ∈[0，π)，所以tan θ≤－，
所以θ∈.
故傾斜角的取值范圍是.
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答案
能力拓展
13.已知直線l的斜率小于0，且l經過點P(6，8)，并與坐標軸交于A，B兩點，C(4，0)，當△ABC的面積取得最小值時，直線l的斜率為
A.－ B.－ C.－ D.－
√
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答案
由題意可設直線l：y－8＝k(x－6)(k<0)，即y＝kx＋8－6k(k<0).
不妨假設A在x軸上，則A，B(0，8－6k)，易知A在C右側，
記O為坐標原點，因為線段OA與OB的長度分別為6－，8－6k，
所以△ABC的面積S＝(8－6k)＝≥(64＋
2)＝32＋16，
當且僅當－＝－12k(k<0)，即k＝－時，等號成立.
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答案
14.若實數a，b，c成等差數列，則直線ax＋by＋c＝0必經過一個定點，則該定點坐標為　　　　　.
因為實數a，b，c成等差數列，所以a＋c＝2b，即a－2b＋c＝0，
所以直線ax＋by＋c＝0必過點(1，－2).
(1，－2)
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14(共64張PPT)
第八章
§8.2　兩條直線的位置關系
數學
大
一
輪
復
習
1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.
2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.
3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.兩條直線的位置關系
直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關系如下表：
位置 關系 l1，l2滿足的條件 l3，l4滿足的條件
平行 _______________ ____________________________________________________________________________
垂直 __________ _______________
相交 _______ _______________
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2.三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②結論：|P1P2|＝ .
③特例：點P(x，y)到原點O(0，0)的距離|OP|＝ .
(2)點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝ .
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝ .
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　)
(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.(　　)
(4)若點A，B關于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點在直線l上.(　　)
√
×
×
√
2.(2025·福州模擬)若直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：(a－1)x－y－＝0垂直，則實數a的值是
A.－1或2 　 B.－1 C.2 D.
直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：(a－1)x－y－＝0垂直，則有a(a－1)－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
√
3.兩條平行直線x＋y＋4＝0與2x＋2y＋3＝0間的距離為
A. B. C. D.
因為直線x＋y＋4＝0，即2x＋2y＋8＝0，
原問題轉化為求兩條平行直線2x＋2y＋8＝0與2x＋2y＋3＝0間的距離，
由兩條平行直線間的距離公式可得d＝.
√
4.過直線x＋y＋1＝0和3x－y－3＝0的交點，且傾斜角為45°的直線方程為　　　　　　.
x－y－2＝0
聯立，又傾斜角為45°，所以斜率為1，故直線方程為y＋＝x－，即x－y－2＝0.
謹防四個易誤點
(1)兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況.
(2)兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.
(3)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式.
(4)求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x，y的系數對應相等.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)已知直線l1：ax＋y－2＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋2＝0，l3：－2bx＋y＋1＝0，a，b∈R，若l1∥l2，l1⊥l3，則b等于
A.－或 B.
C.或－ D.
√
兩條直線的平行與垂直
題型一
已知直線l1：ax＋y－2＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋2＝0，l3：－2bx＋y＋1＝0，a，b∈R，
由l1∥l2，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1，
當a＝－2時，l1：－2x＋y－2＝0，即2x－y＋2＝0，l2：2x－y＋2＝0，所以l1與l2重合，不符合題意；
當a＝1時，l1：x＋y－2＝0，l2：2x＋2y＋2＝0，即x＋y＋1＝0，所以l1∥l2.
故a＝1，
由l1⊥l3，得－2b＋1＝0，故b＝.
(2)(2025·許昌模擬)已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0，0)，B(3，
－2)，C(5，1)，D(2，3)，則四邊形ABCD的形狀是
A.平行四邊形 B.正方形
C.菱形 D.矩形
√
因為kAB＝－，kBC＝，
kCD＝－，kAD＝，
所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，
所以AB∥CD，BC∥AD，
所以四邊形ABCD是平行四邊形，
又kABkAD＝－1，則AB⊥AD，所以四邊形ABCD是矩形，
又|AB|＝，|BC|＝，即|AB|
＝|BC|，
所以四邊形ABCD是正方形.
判斷兩條直線位置關系的注意點
(1)斜率不存在的特殊情況.
(2)可直接利用直線方程系數間的關系得出結論.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)已知直線l1：a2x－y＋a2－3a＝0，l2：(4a－3)x－y－2＝0，若l1∥l2，則a等于
A.1 B.1或2 C.1或3 D.3
直線l1：a2x－y＋a2－3a＝0，l2：(4a－3)x－y－2＝0，可化為
l1：y＝a2x＋a2－3a，l2：y＝(4a－3)x－2，
因為l1∥l2，
所以解得a＝3.
√
(2)(多選)△ABC的三個頂點坐標為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是
A.邊BC與直線3x－2y＋1＝0平行
B.邊BC上的高所在的直線方程為3x＋2y－12＝0
C.過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為x＋y－13＝0
D.過點A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點D(3，5)
√
√
直線BC的斜率為k＝，而直線3x－2y＋1＝0的斜率為，兩直線不
平行，A錯誤；
邊BC上的高所在直線斜率為－，直線方程為y＝－(x－4)，即3x＋2y－
12＝0，B正確；
過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線不過原點時方程為x＋y－13＝0，過原點時方程為7x－6y＝0，C錯誤；
過點A且平分△ABC面積的直線過邊BC的中點，中點坐標為(3，5)，D正確.
兩直線的交點與距離問題
題型二
例2　(1)(2024·南陽質檢)點P為直線2x－3y＋1＝0和x＋y－2＝0的交點，則點P到直線l：kx－y＋k＋2＝0的最大距離為
A. B. C. D.5
√
由即P(1，1)，
直線l：k(x＋1)＋2－y＝0，所以直線l過定點A(－1，2)，
所以當直線AP與直線l垂直時，點P到直線l的距離最大，
且最大值為|AP|＝.
(2)(2024·武漢模擬)若兩條平行直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與l2：2x＋ny－8＝0之間的距離是2，則m－n＝　　　.
10
由題意可得＝－，解得n＝－4，
此時l1的方程為x－2y＋m＝0，l2的方程為x－2y－4＝0，
則2，
即|m＋4|＝10，解得m＝6或m＝－14，
又m>0，所以m＝6，
故m－n＝10.
利用距離公式應注意的點
(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.
(2)使用兩條平行線間的距離公式前要把兩條直線方程化為一般式且x，y的系數對應相等.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)過兩條直線l1：x＋2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交點，且與直線x＋3y＋1＝0垂直的直線的方程為
A.3x－y－5＝0 B.6x－2y－3＝0
C.x－3y＋3＝0 D.3x＋y－7＝0
√
由
設與直線x＋3y＋1＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則3×2－1＋m＝0，得m＝－5，
所以所求直線方程為3x－y－5＝0.
(2)(多選)(2024·九江模擬)已知兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－3＝0.若直線l被l1，l2截得的線段長為2，則直線l的傾斜角可能是
A.15° B.75° C.105° D.165°
√
√
∵直線l被l1，l2截得的線段長為2，
兩平行直線的距離d＝＝2，
∴直線l和l1，l2的夾角為45°，
又直線l1，l2的傾斜角為150°，
∴直線l的傾斜角可能是15°或105°.
直線系方程
微拓展
常見的直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線系方程為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C).
(2)與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線系方程為Bx－Ay＋C2＝0.
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直線l2.
典例　過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為
A.3x－19y＝0 B.19x－3y＝0
C.19x＋3y＝0 D.3x＋19y＝0
設過兩直線交點的直線系方程為
x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
代入原點坐標，得4＋5λ＝0，解得λ＝－，
故所求直線方程為x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
√
對稱問題
題型三
例3　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：
(1)點A關于直線l的對稱點A'的坐標；
設A'(x，y)，由已知條件得
解得所以A'.
(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l對稱的直線m'的方程；
在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關于直線l的對稱點M'必在直線m'上.
設對稱點M'(a，b)，則
得M'.
設直線m與直線l的交點為Q，
由得Q(4，3).
又m'經過點Q(4，3)，所以直線m'的方程為，即9x－46y＋102＝0.
(3)直線l關于點A的對稱直線l'的方程.
方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，
如P(1，1)，Q(4，3)，則P，Q關于點A(－1，－2)的對稱點P'，Q'均在直線l'上，
易得P'(－3，－5)，Q'(－6，－7)，
所以l'的方程為，即2x－3y－9＝0.
方法二　因為l∥l'，
所以設l'的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1).
因為點A(－1，－2)到兩直線l，l'的距離相等，
所以由點到直線的距離公式，
得，得C＝－9，所以l'的方程為2x－3y－9＝0.
對稱問題的求解策略
(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數法將幾何關系轉化為代數關系求解.
(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)直線3x－2y＝0關于點對稱的直線方程為
A.2x－3y＝0 B.3x－2y－2＝0
C.x－y＝0 D.2x－3y－2＝0
√
方法一　設所求直線上任一點為(x，y)，則其關于點，
因為點在直線3x－2y＝0上，
所以3－2(－y)＝0，
化簡得3x－2y－2＝0，
所以所求直線方程為3x－2y－2＝0.
方法二　在直線3x－2y＝0上任取兩點O(0，0)，
M(2，3)，
設點O，M關于點的對稱點分別為O'，M'，
則O'，M'，
所以所求直線方程為，
即3x－2y－2＝0.
(2)設直線l1：x－2y－2＝0與l2關于直線l：2x－y－4＝0對稱，則直線l2的方程是
A.11x＋2y－22＝0 B.11x＋y＋22＝0
C.5x＋y－11＝0 D.10x＋y－22＝0
√
聯立
取直線l1：x－2y－2＝0上一點(0，－1)，設點(0，－1)關于直線l：2x－y－4＝0的對稱點為(a，b)，則
直線l2的斜率k＝＝－，
所以直線l2的方程為y＝－(x－2)，
整理為11x＋2y－22＝0.
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課時精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A D D D C BCD
題號 8 9 10 11 答案 ACD AC x+y－1＝0 3x+y－20＝0和3x+y+10＝0 題號 12 13 14 答案 C 13
14
一、單項選擇題
1.已知直線l1：x＋(a－1)y－3＝0與直線l2：x＋2y＋3＝0相互垂直，則a的值為
A. B.1 C.3 D.－
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知識過關
答案
∵l1⊥l2，∴1×1＋(a－1)·2＝0，解得a＝.
√
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答案
2.“m＝－3”是“直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
由直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，得≠且m≠0，解得m＝2或m＝－3，所以“m＝－3”是“直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行”的充分不必要條件.
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答案
3.直線3x－(k＋2)y＋k＋5＝0與直線kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，則k的取值范圍是
A.{k|k≠1} B.{k|k≠－9}
C.{k|k≠1且k≠9} D.{k|k≠1且k≠－9}
由題意得3(2k－3)－k·[－(k＋2)]≠0，
解得k≠1且k≠－9.
√
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答案
4.(2025·綿陽模擬)已知A(－2，0)，B(4，m)兩點到直線l：x－y＋1＝0的距離相等，則m等于
A.－2 B.6
C.－2或4 D.4或6
√
點A到直線l的距離為，
點B到直線l的距離為，
因為點A到直線l的距離和點B到直線l的距離相等，
所以|5－m|＝1，所以m＝4或m＝6.
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答案
5.(2024·紹興模擬)原點O到直線l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距離的最大值為
A. B. C. D.
√
直線l：λx＋y－λ＋1＝0，可化為l：λ(x－1)＋y＋1＝0，
令
所以直線l過定點P(1，－1)，
當OP⊥l時，原點到直線l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距離最大，最大值為|OP|＝.
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答案
6.過定點M(1，2)作兩條相互垂直的直線l1，l2，設原點到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，則d1＋d2的最大值為
A. B.2 C. D.
√
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答案
如圖所示，作OP⊥l1交l1于點P，作OQ⊥l2交l2于點Q，
可得四邊形OPMQ為矩形，連接OM，
所以＝|OM|2＝12＋22＝5，
又由基本不等式可知，≤，
所以≤，
即d1＋d2≤，當且僅當d1＝d2＝時，等號成立，
故d1＋d2的最大值為.
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二、多項選擇題
7.(2024·南平模擬)已知直線l1：4x－3y－3＝0，直線l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋m＝0(m∈R)，則
A.當m＝－1時，l1⊥l2
B.當m＝2時，l1∥l2
C.當l1∥l2時，l1與l2之間的距離為1
D.直線l1與l2不可能重合
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答案
√
√
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答案
當m＝－1時，l2：x－1＝0，顯然與l1不垂直，A不正確；
當m＝2時，l2：4x－3y＋2＝0，因為≠，所以l1∥l2，B正確；
當l1∥l2時，4m＋4＝3m＋6且3m≠－3m－3，解得m＝2，此時l2：4x－3y
＋2＝0，l1與l2之間的距離為d＝＝1，C正確；
若兩直線重合，則，該方程無解，所以兩直線不可
能重合，D正確.
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答案
8.若三條不同的直線l1：ax＋y＋2＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：x－y＋3＝0不能圍成一個三角形，則a的取值可能為
A.－1 B.－ C.1 D.4
√
√
√
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答案
若l1∥l2，則a＝1；
若l1∥l3，則－a＝1，解得a＝－1；
若l1，l2，l3交于一點，聯立方程組
代入ax＋y＋2＝0，得－a＋2＋2＝0，解得a＝4，
綜上，a的取值集合為{4，－1，1}.
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答案
9.(2024·太原模擬)已知直線l1：x＋y＝0，l2：2x－3y－6＝0，則下列說法正確的是
A.直線l1與l2相交于點
B.直線l1，l2和x軸圍成的三角形的面積為
C.直線l2關于原點O對稱的直線方程為2x－3y＋6＝0
D.直線l2關于直線l1對稱的直線方程為3x－2y＋6＝0
√
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答案
由
，所以A選項正確；
直線l2：2x－3y－6＝0與x軸的交點為(3，0)，與y軸的交點為(0，－2)，直線l1過原點，由圖可知，直線l1，l2和x軸圍成的三角形的面積為×3×，所以B選項錯誤；
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答案
由上述分析可知，直線l2關于原點O對稱的直線過
點(－3，0)，(0，2)，所以直線l2關于原點O對稱的
直線方程為y－2＝(x－0)，即2x－3y＋6＝0，
所以C選項正確；
點(3，0)關于直線x＋y＝0的對稱點是(0，－3)，點(0，－2)關于直線x＋y
＝0的對稱點是(2，0)，所以直線l2關于直線l1對稱的直線方程為＝
1，即3x－2y－6＝0，所以D選項錯誤.
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三、填空題
10.經過點P(1，0)和兩直線l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交點的直線方程為　　　　　　.
x＋y－1＝0
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14
設所求直線方程為x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，點P(1，0)在直線上，
∴1－2＋λ(3＋2)＝0，解得λ＝，
∴所求直線方程為x＋2y－2＋×(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0.
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答案
11.已知兩條平行直線分別過點A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉，平行線之間的距離最大時兩平行直線方程分別為______________
　　　　　　　　.
3x＋y－20＝0
和3x＋y＋10＝0
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答案
兩條平行直線分別過點A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉，
當直線AB與兩平行直線垂直時，兩平行線之間的距離最大，
因為直線AB的斜率kAB＝，
故這兩條平行直線的斜率為－3，
則兩平行直線方程分別為y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
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答案
12.(2024·貴州模擬)“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”這是唐代邊塞詩人李頎的《古從軍行》中的詩句，詩句中隱含著一個著名的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍觀望烽火之后，從山腳下的某處返回軍營，途中須到河邊讓馬飲水然后再趕回軍營，將軍怎樣走才能使返回總路程最短？已知在平面直角坐標系中，軍營所在位置為坐標原點O(0，0)，將軍從山腳下的點P(1，1)處出發返回軍營，河岸線所在直線方程為x－y＋2＝0.則返回總路程最短為　　　 .
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答案
過P作關于直線x－y＋2＝0對稱的點Q，如圖，
設Q(a，b)，
所以
解得
所以Q(－1，3)，故最短距離為|QO|＝.
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答案
能力拓展
13.設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是
A. B. C.5 D.10
√
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答案
顯然x＋my＝0過定點A(0，0)，直線mx－y－m＋3＝0可
化成y＝m(x－1)＋3，則經過定點B(1，3)，
根據兩條直線垂直的一般式方程的條件，得1×m＋m×
(－1)＝0，
于是直線x＋my＝0和直線mx－y－m＋3＝0垂直，
又P為兩條直線的交點，則PA⊥PB，
又|AB|＝，
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答案
由勾股定理和基本不等式，
|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10≥2|PA|·|PB|，則|PA|·|PB|≤5，
當且僅當|PA|＝|PB|＝時，等號成立，所以|PA|·|PB|
的最大值是5.
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答案
14.正方形ABCD的兩個頂點A，B在直線x＋y－4＝0上，另兩個頂點C，D分別在直線2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的邊長為
　　　　　　.
2或14
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答案
返回
設直線CD的方程為x＋y＋m＝0，
聯立得C，
聯立得D，
∴由兩點間的距離公式可得|CD|＝|m＋11|，
又直線AB與CD的距離為d＝，∴|m＋11|＝，
解得m＝－8或m＝－32，即|CD|＝2或14.
即正方形的邊長為2或14.
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14(共74張PPT)
第八章
§8.3　圓的方程
數學
大
一
輪
復
習
1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程.
2.能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.圓的定義和圓的方程
定義 平面上到定點的距離等于　　　的點的集合叫做圓 方 程 標準 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C_______
半徑為___
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圓心C____________
半徑r＝________________
定長
(a，b)
r
2.點與圓的位置關系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：
(1)|MC|>r M在　　　，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圓外；
(2)|MC|＝r M在　　　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圓上；
(3)|MC|圓外
圓上
圓內
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(　　)
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)為圓心，a為半徑的圓.(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
√
√
×
√
2.在平面直角坐標系中，圓心為(1，0)，半徑為2的圓的標準方程是
A.(x－1)2＋y2＝2 B.(x＋1)2＋y2＝2
C.(x－1)2＋y2＝4 D.(x＋1)2＋y2＝4
√
3.(多選)已知圓C：x2＋y2－4x＋6y＋11＝0與點A(0，－5)，則
A.圓C的半徑為2
B.點A在圓C外
C.點A在圓C內
D.點A與圓C上任一點距離的最小值為
√
√
因為x2＋y2－4x＋6y＋11＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝2，所以圓心為C(2，－3)，半徑r＝，故A錯誤；
又|AC|＝＝2>r，所以點A在圓C外，故B正確，C錯誤；
因為|AC|＝2，所以點A與圓C上任一點距離的最小值為|AC|－r＝，故D正確.
4.若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍為
A.R B.a≤1
C.a<1 D.a>1
√
根據題意，若方程表示圓，則有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1.
1.掌握圓的兩個性質
(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；
(2)圓心在任一弦的中垂線上.
2.牢記一個相關結論
圓的“直徑式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　設☉M的圓心M在直線2x＋y－1＝0上，點(3，0)和(0，1)均在☉M上，則☉M的方程為　　　　　　　　　　.
圓的方程
題型一
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
方法一　設☉M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
則
∴☉M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二　設☉M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
則M，
∴
∴☉M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三　設A(3，0)，B(0，1)，☉M的半徑為r，
則kAB＝＝－，線段AB的中點坐標為，
∴線段AB的垂直平分線方程為y－＝3，
即3x－y－4＝0.
聯立∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴☉M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圓的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.
(2)待定系數法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值.
思維升華
跟蹤訓練1　(2025·邢臺模擬)已知圓C與y軸相切于點A(0，2)，且與直線4x－3y＋9＝0相切，則圓C的標準方程為
A.(x－3)2＋(y－2)2＝9
B.(x＋3)2＋(y－2)2＝9
C.(x－3)2＋(y－2)2＝9或＋(y－2)2＝
D.(x＋3)2＋(y－2)2＝9或＋(y－2)2＝
√
因為圓C與y軸相切于點A(0，2)，所以可設圓C的標準方程為(x－a)2＋(y－2)2＝a2.
因為圓C與直線4x－3y＋9＝0相切，所以圓心(a，2)到該直線的距離d＝＝|a|，所以a＝3或a＝－，
所以圓C的標準方程為(x－3)2＋(y－2)2＝9或＋(y－2)2＝.
與圓有關的軌跡問題
題型二
例2　已知點A(－2，0)，B(2，0)，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍，則△MAB面積的最大值為
A.8 B.8 C.4 D.
√
命題點1　直接法
設M(x，y)，因為A(－2，0)，B(2，0)，
由|MA|＝|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2，
化簡得M的軌跡方程為圓(x－6)2＋y2＝32，半徑r＝4，
如圖，有S△MAB≤·|AB|·r＝8.
所以△MAB面積的最大值為8.
命題點2　定義法
例3　已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，點M是圓上的動點，AM與圓相切，且|AM|＝2，則點A的軌跡方程是
A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0
C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x
√
因為圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圓心C(1，1)，半徑r＝1，
因為點M是圓上的動點，所以|MC|＝1，
又AM與圓相切，且|AM|＝2，
則|AC|＝，
故點A的軌跡是以點C為圓心，為半徑的圓，
所以點A的軌跡方程為(x－1)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－2x－2y－3＝0.
命題點3　相關點法
例4　(2024·新課標全國Ⅱ)已知曲線C：x2＋y2＝16(y>0)，從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，P'為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為
A.＝1(y>0) B.＝1(y>0)
C.＝1(y>0) D.＝1(y>0)
√
設點M(x，y)，
則P(x，y0)，P'(x，0)，
因為M為PP'的中點，
所以y0＝2y，即P(x，2y)，
又P在曲線x2＋y2＝16(y>0)上，
所以x2＋4y2＝16(y>0)，
即＝1(y>0)，
即點M的軌跡方程為＝1(y>0).
求與圓有關的軌跡問題的常用方法
(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程.
(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程.
(3)相關點法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式.
思維升華
跟蹤訓練2　已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：
(1)直角頂點C的軌跡方程；
方法一　設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.
因為AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝·＝－1，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
方法二　設線段AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，由直角三角形的性質知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點).
所以直角頂點C的軌跡方程為
(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.
設M(x，y)，C(x0，y0)，
因為B(3，0)，且M是線段BC的中點，
所以由中點坐標公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點C的軌跡方程為
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
因此直角邊BC的中點M的軌跡方程為
(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
命題點1　利用幾何性質求最值
與圓有關的最值問題
題型三
例5　(多選)已知實數x，y滿足x2＋y2－4y＋3＝0，則
A.當x≠0時，的最小值是－
B.x2＋y2的最小值是1
C.y－x的最小值是2－
D.|x＋y＋3|的最小值為2
√
√
由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.該方程表示圓心
為C(0，2)，半徑r＝1的圓.
設＝k(x≠0)，則k表示圓上的點(除去點(0，1)和(0，3))
與原點O(0，0)連線的斜率，
由y＝kx(x≠0)，則≤1，
解得k≥或k≤－，故A錯誤；
因為x2＋y2表示圓上的點到原點的距離的平方，又圓心在y軸上，
所以當x＝0，y＝1時，x2＋y2取得最小值，且最小值為1，故B正確；
設y－x＝b，則y＝x＋b，b表示當直線y＝x＋b與圓有公共點時，直線在y軸上的截距，
則≤1，
解得2－≤b≤2＋，
即y－x的最小值是2－，故C正確；
|x＋y＋3|表示圓上的點到直線x＋y＋3＝0距離的倍，
圓心(0，2)到直線x＋y＋3＝0的距離為d＝，
則|x＋y＋3|的最小值為×＝5－，故D錯誤.
圓的參數方程
微拓展
圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的參數方程為其中θ為參數.
典例　利用圓的參數方程求解例5選項B和C.
x2＋y2－4y＋3＝0可化為x2＋(y－2)2＝1，
令其中θ為參數.
對于B項，x2＋y2＝cos2θ＋(2＋sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ＋4sin θ＋4＝4sin θ＋5，
∵sin θ∈[－1，1]
∴(x2＋y2)min＝4×(－1)＋5＝1.
對于C項，y－x＝2＋sin θ－cos θ＝sin＋2，∵sin∈[－1，1]，
∴(y－x)min＝×(－1)＋2＝2－.
命題點2　利用函數求最值
例6　設點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2，0)，B(－2，0).則·的最大值為　　　　.
12
方法一　由題意，得＝(2－x，－y)，
＝(－2－x，－y)，
所以·＝x2＋y2－4，
由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程
x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以當y＝4時，·的值最大，最大值為6×4－12＝12.
方法二　(向量極化恒等式)
因為O為AB的中點，則＝－，
所以·＝()·()＝－4，
設圓心坐標為C，則||max＝||＋1＝4，
所以(·)max＝42－4＝12.
與圓有關的最值問題的求解方法
(1)借助幾何性質求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題.
(2)建立函數關系式求最值：列出關于所求目標式子的函數關系式，然后根據關系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.
思維升華
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)(2024·濟南模擬)已知點Q(－1，1)，P為圓(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的動點，則線段PQ的長度的取值范圍為　　 　　　　；點P到直線3x＋4y－14＝0的距離的最大值為　　.
[2－2，2＋2]
5
圓(x－1)2＋(y＋1)2＝4的圓心為C(1，－1)，半徑r＝2，
∴|QC|＝2，
∴2－2≤|PQ|≤2＋2，
∴線段PQ的長度的取值范圍為[2－2，2＋2].
又圓心C(1，－1)到直線3x＋4y－14＝0的距離為d＝＝3，
∴圓(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的動點P到直線3x＋4y－14＝0的距離的最大值為3＋2＝5.
(2)(2024·商洛模擬)已知P(x0，y0)是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一點，則的最大值為　　　　 .
設k＝，
變形可得k(x0－3)－y0－1＝0，則的幾何意義為直線k(x－3)－y－1＝
0的斜率，
圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓C的圓心為C(1，1)，半徑為1.
因為P(x0，y0)是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一點，
所以圓C與直線k(x－3)－y－1＝0有公共點，
即圓C的圓心C(1，1)到直線k(x－3)－y－1＝0的距離不大于圓C的半徑，
所以≤1，
解得≤k≤，
即.
返回
課時精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D C C ACD AD
題號 8 11 12 答案 (3，5) ACD 850 答案
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(1)由題意可知，線段AB的中點為(2，3)，kAB＝0，所以線段AB的垂直平分線方程為x＝2，
它與x軸的交點為圓心C(2，0)，
又半徑r＝|AC|＝，
所以圓C的方程為
(x－2)2+y2＝10.
9.
答案
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(2)設P(x0，y0)，Q(x，y)，
由＝3，
得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
所以
又點P在圓C上，故(x0－2)2+＝10，
所以(3x－18)2+(3y)2＝10，
化簡得點Q的軌跡方程為(x－6)2+y2＝.
9.
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(1)依題意，設圓C1的方程為(x－a)2+(y－3)2＝a2，
又圓心(a，3)在直線3x－2y＝0上，
∴3a－6＝0，∴a＝2，
∴圓C1的方程為
(x－2)2+(y－3)2＝4.
10.
答案
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(2)注意到點C1(2，3)和點C2(－3，－4)在直線x+y＝0的兩側，
直線x+y＝0與兩圓分別相離，如圖所示.
∴|PM|+|PN|≥|PC1|－2+|PC2|－3≥|C1C2|－5＝－5，
當且僅當M，N，P在線段C1C2上時等號成立，
則|PM|+|PN|的最小值為－5.
10.
一、單項選擇題
1.(2025·重慶模擬)已知A(－1，0)，B(3，6)，則以AB為直徑的圓的一般方程為
A.x2＋y2－2x－6y＋3＝0 B.x2＋y2－2x－6y－3＝0
C.x2＋y2＋2x－6y＋3＝0 D.x2＋y2＋2x－6y－3＝0
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知識過關
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答案
已知A(－1，0)，B(3，6)，則線段AB中點的坐標為，即(1，3).
|AB|＝＝2，
所以以AB為直徑的圓的圓心坐標為(1，3)，半徑為.
所以該圓的標準方程為(x－1)2＋(y－3)2＝13，
整理得一般方程為x2＋y2－2x－6y－3＝0.
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答案
2.圓心在y軸上，半徑為2，且過點(2，4)的圓的方程為
A.x2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－4)2＝4 D.x2＋(y－4)2＝4
依題意設圓心坐標為(0，b)，則圓的方程為x2＋(y－b)2＝4，又22＋(4－b)2＝4，解得b＝4，所以圓的方程為x2＋(y－4)2＝4.
√
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答案
3.已知等腰三角形ABC的底邊BC對應的頂點是A(4，2)，底邊的一個端點是B(3，5)，則底邊另一個端點C的軌跡方程是
A.(x－4)2＋(y－2)2＝10
B.(x＋4)2＋(y－2)2＝10
C.(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)兩點)
D.(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3且x≠5)
√
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10
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答案
設C(x，y)，由題意知，
|AB|＝，
因為△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，于是有|CA|＝|AB|＝，
即點C的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，
又點A，B，C構成三角形，即三點不可共線，
則軌跡中需去掉點B(3，5)及點B關于點A對稱的點(5，－1)，
所以點C的軌跡方程為(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)兩點).
1
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12
答案
4.若直線x－y－3＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，動點P在圓C：x2＋(y－1)2＝1上，則△ABP面積的最大值為
A.2 B.2 C.3 D.3
√
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答案
因為直線x－y－3＝0與坐標軸的交點為A(，0)，B(0，－3)，
則|AB|＝＝2，
圓x2＋(y－1)2＝1的圓心為C(0，1)，半徑r＝1，
則圓心C(0，1)到直線x－y－3＝0的距離d＝＝2，
所以圓C上的點P到直線x－y－3＝0的最大距離為d＋r＝2＋1＝3，
所以△ABP面積的最大值為×2×3＝3.
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答案
二、多項選擇題
5.已知圓E：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對稱，則下列結論中正確的是
A.圓E的圓心為(－1，2)
B.圓E的半徑為4
C.a＋b＝1
D.ab的取值范圍是
√
√
√
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答案
將圓E的方程化為標準方程可得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以該圓的圓心為(－1，2)，半徑為2，故選項A正確，選項B不正確；
由已知可得，直線2ax－by＋2＝0經過圓心，所以2a×(－1)－2b＋2＝0，整理可得a＋b＝1，故選項C正確；
由選項C知a＋b＝1，
所以ab≤，當且僅當a＝b＝時取等號，故選項D正確.
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答案
6.設圓C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，則下列命題正確的是
A.任意k∈R，圓的面積都是4π
B.存在k∈R，使得圓C過點(3，0)
C.經過點(2，2)的圓C有且只有一個
D.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上
√
√
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答案
由于對任意k∈R，圓的半徑都是2，故面積都是4π，A正確；
由于(3－k)2＋(0－k)2＝2k2－6k＋9＝2≥>4，故圓C必定不過點(3，0)，B錯誤；
對k＝2－和k＝2＋，均有(2－k)2＝2，故(2－k)2＋(2－k)2＝4，即圓C經過點(2，2)，C錯誤；
圓心C(k，k)始終在直線y＝x上，D正確.
三、填空題
7.已知P(m，n)是圓C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上一點，則的最小值是　　　.
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答案
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答案
表示圓上的點P(m，n)到點(1，0)的距離，
由x2＋y2－8x－6y＋23＝0可化為(x－4)2＋(y－3)2＝2，
則圓心為(4，3)，半徑為，
點(1，0)到圓心的距離為＝3，
所以點P(m，n)到點(1，0)的距離的最小值為3＝2，
即的最小值是2.
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答案
8.(2024·西安模擬)若過點P(0，1)可作圓x2＋y2－2x－4y＋a＝0的兩條切線，則a的取值范圍是　　　　.
圓x2＋y2－2x－4y＋a＝0，即圓(x－1)2＋(y－2)2＝5－a，則5－a>0，解得a<5.又過點P(0，1)可作圓的兩條切線，則點P在圓外，所以>，即2>5－a，解得a>3，故3(3，5)
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答案
四、解答題
9.已知圓C的圓心在x軸上，并且過A(1，3)，B(3，3)兩點.
(1)求圓C的方程；
由題意可知，線段AB的中點為(2，3)，kAB＝0，所以線段AB的垂直平分線方程為x＝2，
它與x軸的交點為圓心C(2，0)，
又半徑r＝|AC|＝，
所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.
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答案
(2)若P為圓C上任意一點，定點M(8，0)，點Q滿足＝3，求點Q的軌跡方程.
設P(x0，y0)，Q(x，y)，
由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
所以
又點P在圓C上，故(x0－2)2＋＝10，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
化簡得點Q的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝.
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答案
10.已知圓C1的圓心在直線3x－2y＝0上，且與y軸相切于點(0，3).
(1)求圓C1的方程；
依題意，設圓C1的方程為(x－a)2＋(y－3)2＝a2，
又圓心(a，3)在直線3x－2y＝0上，
∴3a－6＝0，∴a＝2，
∴圓C1的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝4.
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答案
(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的點，點P是直線x＋y＝0上的點，求|PM|＋|PN|的最小值.
注意到點C1(2，3)和點C2(－3，－4)在直線x＋y＝0的兩側，
直線x＋y＝0與兩圓分別相離，如圖所示.
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－2＋|PC2|－3
≥|C1C2|－5＝－5，
當且僅當M，N，P在線段C1C2上時等號成立，
則|PM|＋|PN|的最小值為－5.
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答案
能力拓展
11.(多選)已知圓C：x2＋(y－2)2＝2，點P是圓C上的一個動點，點A(2，0)，則
A.≤|AP|≤3
B.∠PAC的最大值為
C.△PAC面積的最大值為2
D.·的最大值為12
√
√
√
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12
答案
圓C的圓心為C(0，2)，半徑r＝，
圓心C(0，2)到A(2，0)的距離d＝2，
∴2－r≤|AP|≤2＋r，
即≤|AP|≤3，故A正確；
根據題意，如圖，當CP⊥AP時，∠PAC取得最大值，
此時△APC為直角三角形，由于|AC|＝2|CP|＝2，
∴∠PAC＝，
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12
答案
故∠PAC的最大值為，故B錯誤；
由于|AC|＝2|CP|＝2，
∴當AC⊥CP時，△PAC的面積最大，
即△PAC面積的最大值為×2×＝2，故C正確；
如圖，當·取最大值，
||＝2，||＝3，
∴·＝12，故D正確.
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答案
12.(2025·桂林模擬)點P為圓x2＋y2＝152上一點，點A(5，0)，B(0，5)，記P到A，B兩點的距離分別為l與m.則l2＋m2的最大值為　　　.
850
A(5，0)，B(0，5)，
設P(15cos θ，15sin θ)，θ∈[0，2π)，
則l2＋m2＝＋(15sin θ)2＋(15cos θ)2＋(15sin θ－5)2
＝225×2＋100－150(cos θ＋sin θ)
＝550－300sin，
故當θ＋，即θ＝時，l2＋m2取最大值，最大值為850.
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第八章
§8.4　直線與圓的位置關系
數學
大
一
輪
復
習
1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系.
2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)
相離 相切 相交
圖形
量化 方程 觀點 Δ　　0 Δ　　0 Δ　　0
幾何 觀點 d　　r d　　r d　　r
<
＝
>
>
＝
<
2.直線被圓截得的弦長
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝　　　　　　.
(2)代數法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝___________________
.
3.直線與圓相切
圓C的圓心為C，半徑為r，切線為l，切點為P，則|CP|＝r，CP⊥l.
2
·
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)過點P有兩條與圓C相切的直線.(　　)
(2)過任意一點作直線與圓相交，且弦長等于半徑，這樣的直線有兩條.
(　　)
(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實數解，則直線與圓相切.(　　)
(4)在圓中最長的弦是直徑.(　　)
√
×
×
√
2.直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關系是
A.相交且直線經過圓心 B.相切
C.相離 D.相交且直線不經過圓心
圓心到直線的距離d＝＝1<4，
且直線3x＋4y＝5不過點(0，0)，
所以直線與圓相交，且不經過圓心.
√
3.直線2x－y＋1＝0與圓x2＋y2＝2交于A，B兩點，則弦AB的長度為
A. B. C. D.
設圓x2＋y2＝2的圓心為C(0，0)，半徑r＝，
因為C(0，0)到直線2x－y＋1＝0的距離
d＝，
所以|AB|＝2＝2.
√
4.若點A(0，1)在圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上，則過點A的圓的切線方程為　　　　　　.
y＝x＋1
因為點A(0，1)在圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上，
所以過A的圓的切線和AC垂直，
因為A(0，1)，C(1，0)，所以kAC＝＝－1，
所以切線方程的斜率為1，
所以切線方程為y＝1×(x－0)＋1，
即y＝x＋1.
牢記三個相關結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　已知直線l：y＝kx＋1與圓C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)，則“ k∈R，直線l與圓C有公共點”是“r>”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
直線與圓位置關系的判斷
題型一
方法一　易知圓C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的圓心為C(－1，0)，半徑為r，
當 k∈R，直線l與圓C有公共點時，
≤r恒成立，
即(r2－1)k2＋2k＋r2－1≥0恒成立，
則r2－1>0且Δ＝4－4≤0，
解得r2－1≥1，即r≥或r≤－(舍去)，
所以“ k∈R，直線l與圓C有公共點”是“r>”的必要不充分條件.
方法二　直線l恒過定點P(0，1)，要使對任意直線l與圓C有公共點，只需點P(0，1)在圓內或圓上即可，
即(0＋1)2＋12≤r2，即r≥，
所以“ k∈R，直線l與圓C有公共點”是“r>”的必要不充分條件.
判斷直線與圓的位置關系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關系判斷.
(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷.
(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交.
思維升華
跟蹤訓練1　(多選)已知圓C：(x－2)2＋y2＝16，直線l：mx＋y－3m－1＝0，則下列結論中正確的是
A.直線l恒過定點(3，1) B.直線l與圓C相切
C.直線l與圓C相交 D.直線l與圓C相離
√
√
圓C：(x－2)2＋y2＝16的圓心C(2，0)，半徑r＝4，直線l：m(x－3)＋y－1＝0恒過定點(3，1)，顯然<4＝r，因此點(3，1)在圓C內，直線l與圓C相交，B，D錯誤，A，C正確.
直線與圓的弦長問題
題型二
例2　(1)(2025·贛州模擬)若圓C的圓心為C(3，1)，y軸被圓C截得的弦長為8，則圓C的一般方程為
A.x2＋y2－6x＋2y－15＝0
B.x2＋y2－6x＋2y－7＝0
C.x2＋y2－6x－2y－15＝0
D.x2＋y2－6x－2y－7＝0
√
如圖，設y軸被圓C截得的弦為AB，過點 C 作CD⊥AB
于D，
依題意，|BD|＝|AB|＝4，因為C(3，1)，故|CD|＝3，
從而圓的半徑為 |BC|＝＝5，故所求圓的方程
為(x－3)2＋(y－1)2＝25，
即x2＋y2－6x－2y－15＝0.
(2)一條直線經過點M，被圓x2＋y2＝25截得的弦長等于8，則這條直線的方程為
A.x＝－3或3x＋6y＋5＝0
B.x＝－3或y＝－
C.3x＋6y＋5＝0
D.x＝－3或3x＋4y＋15＝0
√
由圓的方程，得圓心坐標為(0，0)，半徑r＝5，
∵直線被圓截得的弦長為8，∴弦心距d＝＝3，
若此弦所在的直線的斜率不存在，即直線方程為x＝－3，滿足題意；
若此弦所在的直線的斜率存在，設斜率為k，
∴所求直線的方程為y＋＝k(x＋3)，即kx－y－＋3k＝0，
∴圓心到所設直線的距離d＝＝3，解得k＝－，
此時直線方程為y＋＝－(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0，
綜上，所求直線的方程為x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
弦長的兩種求法
(1)代數法：將直線和圓的方程聯立方程組，根據弦長公式求弦長.
(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2.
思維升華
跟蹤訓練2　(2025·江西省重點中學盟校聯考)已知直線l過點P(1，－1)，且與圓C：x2＋y2－6x＋6y＝0交于A，B兩點，則線段AB的長度的取值范圍是
A. B.
C. D.
√
圓C：x2＋y2－6x＋6y＝0可得圓心C(3，－3)，半徑r＝3，
因為12＋(－1)2－6－6<0，所以定點P在圓C內，
設圓心C到直線l的距離為d，則弦長|AB|＝2，
當d＝0時，弦長最大，這時過點P的最長弦長為圓的直
徑2r＝6；
當d最大時，這時dmax＝|PC|＝＝2，
所以弦長的最小值|AB|min＝2＝2＝2，
所以弦長|AB|的取值范圍為.
直線與圓的切線問題
題型三
例3　(多選)過點A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，所得切線方程為
A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0
C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0
√
√
由圓心為(3，1)，半徑為1，當過點A(4，－3)的切線斜率存在時，設切線方程為y＝k(x－4)－3，
則圓心到切線的距離d＝＝1，
可得k＝－，
所以y＝－(x－4)－3，
即15x＋8y－36＝0；
當切線斜率不存在時，切線方程為x＝4，顯然與圓相切，
綜上，切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.
當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法
(1)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.
(2)代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.
注意驗證斜率不存在的情況.
思維升華
跟蹤訓練3　在平面直角坐標系中，已知圓C：(x－1)2＋y2＝4，若直線l：x＋y＋m＝0上有且只有一個點P滿足：過點P作圓C的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實數m的值為
A.1 B.2 C.3 D.7
√
由(x－1)2＋y2＝4可知圓心C(1，0)，半徑為2，
因為四邊形PMCN為正方形，且邊長為圓C的半徑2，所以|PC|＝2，
所以直線l：x＋y＋m＝0上有且只有一個點P，使得|PC|＝2，即PC⊥l，
所以圓心C到直線l的距離為2，
所以＝2，
解得m＝3或m＝－5，
又m>0，所以m＝3.
直線與圓位置關系中的最值問題
題型四
例4　已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，則四邊形PACB面積的最小值為　　　 .
2
圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
即圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圓心C(1，1)，半徑r＝1，
如圖，連接PC，因為S四邊形PACB＝2S△PAC
＝2××|AP|·|AC|＝|AP|＝，
所以求S四邊形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圓心C到直線3x＋4y＋8＝0的距離d，
即d＝＝3，
所以四邊形PACB面積的最小值為＝2.
涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(最值)問題，解題關鍵是能夠把所求線段長表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數的形式，利用求函數值域的方法求得結果.
思維升華
跟蹤訓練4　(2024·邵陽模擬)已知直線l：x－y－2＝0與圓O：x2＋y2＝1，過直線l上的任意一點P作圓O的切線PA，PB，切點分別為A，B，則∠APB的最大值為
A. B. C. D.
√
由題意可知，圓O：x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑為1，
則圓心O到直線l的距離為>1，
可知直線l與圓O相離，
因為∠APB∈(0，π)，
所以∠APO＝∠APB∈，
且sin∠APO＝，
當|OP|最小時，sin∠APO最大，可得∠APO最大，即∠APB最大，
又因為|OP|的最小值即為圓心O到直線l的距離為，
此時sin∠APO＝，∠APO＝，
所以∠APB的最大值為.
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課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6
答案 D A C C ABD BC
題號 7 8 11 12
答案 m2+n2＝1 A
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由題意，設圓心C的坐標為(a，0)(a≥0)，
因為直線l1：3x+4y+15＝0，半徑為3的圓C與l1相切，則＝3，又a≥0，所以a＝0，
因此圓C的方程為x2+y2＝9.
9.
答案
1
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11
12
(2)由勾股定理可知，圓心C到直線l2的距離為d＝＝1.
當直線l2的斜率不存在時，直線l2的方程為x＝1，此時圓心C到直線l2的距離為1，符合題意；
當直線l2的斜率存在時，設直線l2的方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y+2－k＝0，
則d＝＝1，解得k＝，
此時，直線l2的方程為y－2＝(x－1)，即3x－4y+5＝0.
綜上所述，直線l2的方程為x＝1或3x－4y+5＝0.
9.
答案
1
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3
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5
6
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8
9
10
11
12
(1)由題意可知圓C的圓心為C(a，0)，半徑r＝|a－1|.
因為∠APB＝，AP⊥AC，
所以∠APC＝，
從而|PC|＝2|AC|＝2r，
即＝2|a－1|，
兩邊平方整理得a2－2a＝0，
又a>0，所以a＝2.
10.
答案
1
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9
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11
12
(2)由(1)知圓C：(x－2)2+y2＝1，點D(1，0)在圓C上，
又因為MD⊥ND，所以線段MN為圓C的直徑，即直線MN過圓心C(2，0)，|MN|＝2.
顯然直線MN的斜率不為0，
設其方程為x－2＝ty，
點D(1，0)到直線MN的距離為d＝.
根據三角形的面積公式可得d＝.
10.
答案
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所以，解得t＝±1，
所以直線MN的方程為
x－y－2＝0或x+y－2＝0.
10.
一、單項選擇題
1.(2025·焦作模擬)若圓C：(x－2)2＋＝a(a>0)與x軸相切，則a等于
A.1 B. C.2 D.4
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知識過關
答案
圓C：(x－2)2＋＝a(a>0)的圓心坐標為，
因為圓C與x軸相切，所以＝a且a>0，解得a＝4.
√
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答案
2.(2024·吳忠模擬)直線l：xcos θ＋ysin θ－2＝0與圓O：x2＋y2＝1的位置關系為
A.相離 B.相切
C.相交 D.無法確定
由題意知，圓心O(0，0)，半徑r＝1，所以圓心O到直線l的距離d＝
＝2>r＝1，故圓O與直線l相離.
√
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答案
3.(2024·重慶模擬)已知從點P(1，－1)發出的光線經y軸反射，反射光線與圓C：x2＋y2－6x－6y＋＝0相切，其反射光線的斜率為
A. B.2
C.或2 D.－或
√
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答案
點P(1，－1)關于y軸的對稱點P'(－1，－1)，由反射光線的性質知，反射
光線即為過點P'(－1，－1)的圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝的切線，由題意
知，切線的斜率必存在，設切線的斜率為k，則切線l：y＋1＝k(x＋1)，
由，得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或2.
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答案
4.(2025·南京模擬)設直線x＋ay＋2＝0與圓C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B兩點，且△ABC的面積為8，則a等于
A.－ B.－1 C.1 D.
√
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答案
由三角形的面積公式可得S△ABC＝×42sin∠ACB＝8，
得sin∠ACB＝1，由0<∠ACB<π，得∠ACB＝，
所以△ABC為等腰直角三角形，
所以圓心C(0，2)到直線x＋ay＋2＝0的距離為d＝4sin ＝2，
由點到直線的距離公式得d＝＝2，解得a＝1.
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答案
二、多項選擇題
5.已知直線l：y＝kx－k，k∈R，圓C：x2＋y2＝4，則下列結論正確的有
A.直線l過定點(1，0)
B.直線l與圓C恒相交
C.直線l被圓C截得的弦長最短為2
D.若直線l被圓C截得的弦長為，則k＝±1
√
√
√
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答案
對于A，直線l：y＝kx－k，即y＝k(x－1)，則直線l過定點(1，0)，故A正確；
對于B，因為12＋02＝1<4，所以定點(1，0)在圓C：x2＋y2＝4內部，所以直線l與圓C恒相交，故B正確；
對于C，當直線l與x軸垂直時，直線l被圓C截得的弦長最短，此時l：x＝1，直線l被圓C截得的弦長為2＝2，但此時直線l的斜率不存在，不符合題意，故C錯誤；
對于D，直線l：kx－y－k＝0，圓心C(0，0)到直線l的距離d＝，得k＝±1，故D正確.
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答案
6.(2025·重慶模擬)已知動點P在直線l：x＋y－6＝0上，動點Q在圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝4上，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則下列說法正確的有
A.直線l與圓C相交
B.|PQ|的最小值為2－2
C.四邊形PACB面積的最小值為4
D.存在P點，使得∠APB＝
√
√
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答案
圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝4的圓心C(1，1)，半徑r＝2，
連接PC，
對于A，點C到直線l：x＋y－6＝0的距離d＝＝2>
2＝r，直線l與圓C相離，A錯誤；
對于B，點Q在圓C上，則|PQ|min＝d－r＝2－2，B正確；
對于C，由切線長定理知，四邊形PACB的面積
S＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|＝2|PA|＝2≥2＝4，
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答案
當且僅當PC⊥l時取等號，因此四邊形PACB面積的最
小值為4，C正確；
對于D，由切線長定理知，∠APB＝2∠APC，而
sin∠APC＝≤，
又∠APC是銳角，正弦函數y＝sin x在上單調遞增，則∠APC的最大值為，
當且僅當PC⊥l時取等號，因此∠APB的最大值為，D錯誤.
三、填空題
7.圓x2＋y2－6y＝0在點P(，1)處的切線方程為　　　　　　　　.
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答案
x－2y－3＝0
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答案
因為＋12－6×1＝0，
所以P(，1)在圓x2＋y2－6y＝0上，
設x2＋y2－6y＝0的圓心為A(0，3)，
故kAP＝＝－，
切線斜率為k＝，
所求的切線方程為y－1＝(x－)，
即x－2y－3＝0.
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答案
8.直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如x＝ty＋1表示過點(1，0)且斜率不為0的直線，直線的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.若圓C1：x2＋y2＝1是直線族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包絡曲線，則m，n滿足的關系式為　　　　　　　.
由定義可知，mx＋ny＝1與x2＋y2＝1相切，則圓C1的圓心(0，0)到直線mx
＋ny＝1的距離等于1，則d＝＝1，m2＋n2＝1.
m2＋n2＝1
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答案
四、解答題
9.(2024·邢臺模擬)已知直線l1：3x＋4y＋15＝0，半徑為3的圓C與l1相切，圓心C在x軸的非負半軸上.
(1)求圓C的方程；
由題意，設圓心C的坐標為(a，0)(a≥0)，
因為直線l1：3x＋4y＋15＝0，半徑為3的圓C與l1相切，則＝3，
又a≥0，所以a＝0，
因此圓C的方程為x2＋y2＝9.
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答案
(2)設過點P(1，2)的直線l2被圓C截得的弦長等于4，求直線l2的方程.
由勾股定理可知，圓心C到直線l2的距離為d＝＝1.
當直線l2的斜率不存在時，直線l2的方程為x＝1，此時圓心C到直線l2的距離為1，符合題意；
當直線l2的斜率存在時，設直線l2的方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
則d＝＝1，解得k＝，
此時，直線l2的方程為y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
綜上所述，直線l2的方程為x＝1或3x－4y＋5＝0.
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答案
10.(2024·河南省部分名校聯考)已知圓C：(x－a)2＋y2＝(a－1)2(a>0)，過點P(1，)作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，且∠APB＝.
(1)求a的值；
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答案
由題意可知圓C的圓心為C(a，0)，半徑r＝|a－1|.
因為∠APB＝，AP⊥AC，
所以∠APC＝，從而|PC|＝2|AC|＝2r，
即＝2|a－1|，
兩邊平方整理得a2－2a＝0，
又a>0，所以a＝2.
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答案
(2)過點D(1，0)作兩條互相垂直的直線，分別與圓C交于不同于點D的兩點M，N，若|MD||ND|＝，求直線MN的方程.
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答案
由(1)知圓C：(x－2)2＋y2＝1，點D(1，0)在圓C上，
又因為MD⊥ND，所以線段MN為圓C的直徑，即直線MN過圓心C(2，0)，|MN|＝2.
顯然直線MN的斜率不為0，
設其方程為x－2＝ty，
點D(1，0)到直線MN的距離為d＝.
根據三角形的面積公式可得
d＝.
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答案
所以，解得t＝±1，
所以直線MN的方程為
x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
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能力拓展
11.(2024·山西天一名校模擬)已知O是坐標原點，若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0上有且僅有2個點到直線2x－y－1＝0的距離為2，則實數a的取值范圍為
A.(－4－4，4－4) B.[－4－4，4－4]
C.(－2－2，2－2) D.[－2－2，2－2]
√
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答案
圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a<5)的圓心C(－1，2)，半徑r＝，
設與直線l：2x－y－1＝0平行且距離為2的直線方程為2x－y－t＝0(t≠1)，
則＝2，
解得t＝±2＋1，
直線l1：2x－y＋2－1＝0，
l2：2x－y－2－1＝0，
點C(－1，2)到直線l1的距離d1＝－2，
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答案
到直線l2的距離d2＝＋2，
由圓C上有且僅有2個點到直線2x－y－1＝0的距離
為2，得圓C與直線l1相交，且與直線l2相離，
則
解得－4－4所以實數a的取值范圍為(－4－4，4－4).
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答案
12.已知圓C：x2＋y2－6x＝0，直線l1，l2都經過原點O，且l1⊥l2，若l1與l2
被圓C所截得的弦長之比為2∶1，則直線l1的斜率為　　　.
±
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答案
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由題可得圓的圓心為C(3，0)，半徑r＝3，
顯然直線l1的斜率存在，且不為0，
設l1的斜率為k，則直線l2的斜率為－，
則直線l1的方程為y＝kx，直線l2的方程為y＝－x，
設圓心到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，則d1＝，d2＝，
由題意可知2＝2×2，
整理得4＝27，所以＝27，解得k＝±.(共66張PPT)
第八章
§8.5　圓與圓的位置關系
數學
大
一
輪
復
習
1.能根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系.
2.能根據圓與圓的位置關系求公共弦方程、公共弦長、切線等一些簡單問題.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
圓與圓的位置關系(☉O1，☉O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)
圖形 量的關系
外離 _________
外切 _________
相交 ________________
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2| 圖形 量的關系
內切 ___________
內含 ___________
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若兩圓沒有公共點，則兩圓一定外離.(　　)
(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(　　)
(3)若兩圓相切，則兩圓有三條公切線.(　　)
(4)若兩圓C1，C2相交于A，B兩點，則線段C1C2與線段AB互相垂直平分.
(　　)
×
×
×
×
2.圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關系是
A.外切 B.相交 C.外離 D.內切
圓C1的圓心C1(0，0)，半徑r1＝2，
圓C2可化為(x－4)2＋(y－3)2＝9，
∴圓心C2(4，3)，半徑r2＝3，
∴|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，
故兩圓外切.
√
3.設a>0，若圓(x－a)2＋y2＝1與圓x2＋y2＝25有公共點，則a的取值范圍為
A.(0，4) B.{4}
C.(4，6) D.[4，6]
圓(x－a)2＋y2＝1，圓心為(a，0)，半徑為1，圓x2＋y2＝25，圓心為(0，0)，半徑為5，若圓(x－a)2＋y2＝1與圓x2＋y2＝25有公共點，則4≤|a|≤6，又a>0，所以4≤a≤6.
√
4.(2024·哈爾濱模擬)已知圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，兩圓的公共弦所在的直線方程為　　　　　　.
x＋y－2＝0
由圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，兩式作差得，4x＋4y－4＝4，即x＋y－2＝0，所以兩圓的公共弦所在的直線方程是x＋y－2＝0.
靈活應用兩圓相交時公共弦的性質
圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時：
(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在的直線方程；
(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2).
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)(2024·合肥模擬)已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，則
A.兩圓的圓心距|OC|的最小值為1
B.若圓O與圓C相切，則a＝±2
C.若圓O與圓C恰有兩條公切線，則－2D.若a＝，且P，Q分別是圓O和圓C上的動點，則|PQ|的取值范圍是[1，7]
√
圓與圓的位置關系的判斷
題型一
√
√
根據題意，可得圓O：x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑r＝1，圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圓心為C(a，1)，半徑R＝2，因為兩圓的圓心距d＝|OC|＝≥1，所以A項正確；
當兩圓內切時，圓心距d＝|OC|＝R－r＝1，即＝1，解得a＝0；當兩圓外切時，圓心距d＝|OC|＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2.綜上所述，若兩圓相切，則a＝0或a＝±2，故B項不正確；
若圓O與圓C恰有兩條公切線，則兩圓相交，d＝|OC|∈(R－r，R＋r)，即∈
(1，3)，可得1<<3，解得－2當a＝時，兩圓的圓心距d＝|OC|＝4>R＋r，故兩圓外離，則|OC|－R－r≤|PQ|≤|OC|＋R＋r，即1≤|PQ|≤7，故D項正確.
(2)圓C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圓C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切線方程是
A.y＝－x＋1
B.y＝－x＋1或y＝x＋5
C.y＝－x＋5
D.y＝x＋1或y＝2x＋5
√
圓C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝8，圓心C1(－4，1)，半徑r1＝2，
圓C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，圓心C2(－3，2)，半徑r2＝，
因為|C1C2|＝＝r1－r2，
所以兩圓內切，公切線只有一條，
因為兩圓圓心連線與切線相互垂直，且＝1，
所以切線的斜率為－1，
由方程組解得
故圓C1與圓C2的切點坐標為(－2，3)，
故公切線方程為y－3＝－(x＋2)，
即y＝－x＋1.
判斷兩圓的位置關系的兩種方法
(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值、半徑之和進行比較，進而判斷出兩圓的位置關系，這是解析幾何中主要使用的方法.
(2)代數法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據方程組解的個數進而判斷兩圓的位置關系.
思維升華
跟蹤訓練1　(2024·聊城模擬)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝4恰有一條公切線，則下列直線一定不經過點(a，b)的是
A.2x＋y－＝0 B.2x－y＋2＝0
C.x＋y－＝0 D.x－y＋2＝0
√
圓C1：x2＋y2＝1的圓心C1(0，0)，半徑r1＝1，圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝4的圓心C2(a，b)，半徑r2＝2，若圓C1與圓C2恰有一條公切線，則兩圓內切，所以|C1C2|＝|r1－r2|，即＝1，所以點(a，b)的軌跡為圓x2＋
y2＝1.圓心(0，0)到直線2x＋y－＝0的距離為<1，則該
直線可能過點(a，b)，故A不符合；
圓心(0，0)到直線2x－y＋2＝0的距離為<1，則該直線可能
過點(a，b)，故B不符合；
圓心(0，0)到直線x＋y－＝0的距離為＝1，則該直線可能過點(a，b)，故C不符合；
圓心(0，0)到直線x－y＋2＝0的距離為>1，則該直線一定不
過點(a，b)，故D符合.
公共弦問題
題型二
例2　(多選)(2024·白城模擬)已知圓O：x2＋y2＝4與圓C：(x－3)2＋(y－2)2＝9交于A，B兩點，則下列說法正確的是
A.線段AB的垂直平分線所在的直線方程為2x－3y＝0
B.直線AB的方程為3x＋2y－4＝0
C.|AB|＝
D.若點P是圓O上的一點，則△PAB面積的最大值為
√
√
√
由圓C：(x－3)2＋(y－2)2＝9知圓心為C(3，2)，所以直線OC的方程為y＝x，即2x－3y＝0，所以線段AB的垂直平分線所在的直線方程為2x－3y＝0，故A正確；
因為圓O：x2＋y2＝4與圓C：(x－3)2＋(y－2)2＝9，兩圓的方程作差，可得直線AB的方程為3x＋2y－4＝0，故B正確；
點O到直線AB的距離d＝，又圓O的半徑r＝2，所以|AB|＝2＝2，故C錯誤；
點P到直線AB的距離的最大值為d＋r＝＋2，則△PAB面積的最大值為×
×，故D正確.
(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦長的求法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長.
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解.
思維升華
跟蹤訓練2　(多選)若圓O：x2＋y2＝4與圓C1：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的長度為2，則下列結論正確的有
A.m2＋n2＝4
B.直線AB的方程為mx＋ny－2＝0
C.線段AB中點的軌跡方程為x2＋y2＝3
D.四邊形AOBC1的面積為
√
√
兩圓的方程相減可得直線AB的方程為2mx＋2ny－m2－n2＝0，因為圓O的圓心為O(0，0)，半徑為2，且公共弦AB的長度為2，則O(0，0)到直線2mx＋2ny
－m2－n2＝0的距離為1，所以＝1，解得m2＋n2＝4，所以直線AB的
方程為mx＋ny－2＝0，故A，B正確；
由圓的性質可知直線OC1垂直平分線段AB，所以O(0，0)到直線mx＋ny－2＝0的距離即為線段AB的中點與點O的距離，設線段AB中點的坐標為(x，y)，則＝1，即x2＋y2＝1，故C錯誤；
易得四邊形AOBC1為菱形，且|AB|＝2，|OC1|＝2，則四邊形AOBC1的面積為
×2×2＝2，故D錯誤.
隱　圓
微拓展
隱圓是指條件中某些點或點的軌跡在某個圓上，常見的隱圓形式有：
(1)阿氏圓：平面上兩定點A，B，則平面上所有滿足＝λ(λ>0且λ≠1)的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為·|AB|的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓.
(2)直角頂點在以斜邊為直徑的圓上：在△PAB中，若PA⊥PB，則點P的軌跡是以線段AB為直徑的圓(除去A，B兩點).
典例　(多選)(2024·銅仁模擬)古希臘數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值m(m>0且m≠1)的點的軌跡是圓”.人們將這個圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，
簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0)，點P滿足.設點P的軌跡為曲線C，則下列結論正確的是
A.曲線C的方程為(x＋4)2＋y2＝16
B.|PB|的最大值為12
C.曲線C上總存在兩個點到點A的距離為1
D.過點B作曲線C的兩條切線，切點分別為M，N，則直線MN的方程為x＝－2
√
√
√
如圖，因為在平面直角坐標系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0)，點P滿足.設P(x，y)，則，化簡可得(x＋4)2＋y2＝16，故選項A
正確；
由(x＋4)2＋y2＝16可得圓心C(－4，0)，半徑r1＝4，
所以|PB|max＝|BC|＋r1＝12，故選項B正確；
到點A的距離為1的點在以A為圓心，半徑r2＝1的圓上，即圓A：(x＋2)2＋y2＝1，又|AC|＝2<|r2－r1|＝3，所以圓C與圓A內含，故曲線C上不存在點到點A的距離為1，所以選項C錯誤；
依題意，在四邊形CMBN中，∠BMC＝∠BNC＝90°，所以C，M，B，N四點共圓，且直徑為BC，該圓的方程為x2＋y2＝16，故MN為圓C與圓x2＋y2＝16的公共弦，其方程為x＝－2，所以選項D正確.
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課時精練
對一對
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題號 1 2 3 4 5 6 答案 A C B D BCD ABC 題號 7 8 11 12
答案 2x－y－5＝0 D ABD
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(1)由x2+y2－4x－6y＝0可得(x－2)2+(y－3)2＝13，圓心為(2，3)，半徑為r＝，
圓心C(2，3)到直線y＝2x的距離為d＝，
所以直線y＝2x被圓C截得的弦長為2＝2.
9.
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(2)設圓M的方程為(x－a)2+(y－b)2＝R2(R>0)，
則
解得
因為圓M與圓C相切于原點，且圓M過點(－4，0)，所以兩圓外切，
所以R+＝，
9.
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即
＝，
解得b＝－3，所以R＝，
所以圓M的方程為(x+2)2+(y+3)2＝13.
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(1)因為圓C1：x2+y2+6x－10y+25＝0與C2：x2+y2－8y+7＝0交于A，B兩點，
所以兩圓方程作差得直線AB的方程為3x－y+9＝0.
又圓C2：x2+(y－4)2＝9，
所以點C2到直線AB的距離
d＝，
所以|AB|＝2.
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(2)圓C1：(x+3)2+(y－5)2＝9，
圓C2：x2+(y－4)2＝9，
則C1(－3，5)，C2(0，4)，
則＝－，
則直線C1C2的方程為y＝－x+4，
即x+3y－12＝0，
由解得
10.
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所以C(3，3)，
所以點C到直線AB的距離
d1＝，
設圓C的半徑為r，
所以r＝，
所以圓C的方程為(x－3)2+(y－3)2＝29.
10.
一、單項選擇題
1.(2024·長春模擬)已知圓E：(x－2)2＋(y－4)2＝25，圓F：(x－2)2＋(y－2)2＝1，則這兩圓的位置關系為
A.內含 B.相切 C.相交 D.外離
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知識過關
答案
圓E：(x－2)2＋(y－4)2＝25的圓心為E(2，4)，半徑r1＝5，圓F：(x－2)2＋
(y－2)2＝1的圓心為F(2，2)，半徑r2＝1，則|EF|＝＝
2，故|EF|√
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答案
2.若半徑為1的動圓與圓C：(x－1)2＋y2＝4相切，則動圓圓心的軌跡方程為
A.(x－1)2＋y2＝9
B.(x－1)2＋y2＝3
C.(x－1)2＋y2＝9或(x－1)2＋y2＝1
D.(x－1)2＋y2＝3或(x－1)2＋y2＝5
√
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答案
設動圓圓心為A(x，y)，半徑為1，已知圓C的圓心為C(1，0)，半徑為2.
若兩圓外切，則|AC|＝＝1＋2＝3，即圓A：(x－1)2＋y2＝9；
若兩圓內切，則|AC|＝＝2－1＝1，即圓A：(x－1)2＋y2＝1.
綜上，動圓圓心的軌跡方程是(x－1)2＋y2＝9或(x－1)2＋y2＝1.
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3.(2024·駐馬店模擬)設圓O：x2＋y2＝4和圓C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝4交于A，B兩點，則四邊形OACB的面積為
A.2 B.4 C.6 D.4
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答案
由題意可知O(0，0)，C(－2，－2)，且兩圓半徑均為2，
將兩圓方程相減，得直線AB的方程為x＋y＋2＝0，
易知四邊形OACB為邊長為2的正方形，
所以S四邊形OACB＝2×2＝4.
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答案
4.(2025·濟南模擬)已知圓O：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圓O上有且僅有一點P，使PA⊥PB，則正實數a的取值為
A.2或4 B.2或3
C.4或5 D.3或5
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答案
由題意可知，圓O：x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑r＝1，且a>0，
因為PA⊥PB，可知點P的軌跡為以線段AB的中點M(4，0)為圓心，半徑R＝a的圓，
又因為點P在圓O：x2＋y2＝1上，
可知圓O與圓M有且僅有一個公共點，
則|OM|＝r＋R或|OM|＝|r－R|，
即4＝1＋a或4＝|1－a|，
解得a＝3或a＝5.
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答案
二、多項選擇題
5.(2024·齊齊哈爾模擬)已知圓C1：(x－3)2＋y2＝1，圓C2：x2＋(y－a)2＝16，則下列結論正確的有
A.若圓C1和圓C2無公共點，則a>4
B.若圓C1和圓C2外切，則a＝±4
C.若兩圓有一條公切線，則a＝0
D.當a＝－2時，圓C1和圓C2相交，且公共弦所在直線的方程為3x＋2y－10
?。?
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√
√
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答案
由題意得圓C1的圓心為C1(3，0)，半徑為r1＝1，圓C2的圓心為C2(0，a)，半徑為r2＝4，|C1C2|＝.
若圓C1和圓C2無公共點，則兩圓外離或內含，則|C1C2|＝>r1＋r2＝5，或|C1C2|＝4或a<－4，故A錯誤；
若C1和C2外切，則|C1C2|＝＝r1＋r2＝5，解得a＝±4，故B正確；
若兩圓有一條公切線，則兩圓內切，則|C1C2|＝＝r2－r1＝3，解得a＝0，故C正確；
當a＝－2時，r2－r1＝3<|C1C2|＝<5＝r1＋r2，則圓C1和圓C2相交，將兩圓方程相減得3x＋2y－10＝0，故D正確.
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答案
6.已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)，P，Q分別是圓O與圓C上的動點，則
A.直線4x＋3y＝0平分圓O和圓C
B.當r＝2時，|PQ|的取值范圍為[2，8]
C.存在點P，使∠OPC＝
D.當r＝3時，過P點作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則∠APB不可
　能等于
√
√
√
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答案
易知圓O：x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑r1＝1，圓C：
(x－3)2＋(y＋4)2＝r2的圓心為C(3，－4)，半徑為r.
平分兩圓的直線為直線OC，其方程為4x＋3y＝0，故A正確；
當r＝2時，|OC|＝5>1＋2＝3，可知兩圓外離，|PQ|的取值
范圍為[|OC|－3，|OC|＋3]，即|PQ|的取值范圍為[2，8]，故B正確；
若存在點P，使∠OPC＝，則點P在以OC為直徑的圓M上，又點P為圓O
上的動點，故點P為圓M與圓O的公共點，顯然圓M與圓O有兩個公共點，故C正確；
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答案
若∠APB＝，可知四邊形ACBP為正方形，如圖所示，
則可得|PC|＝3，而|PC|的取值范圍是[|OC|－1，|OC|＋1]，
即|PC|的取值范圍是[4，6]，
而3∈[4，6]，所以存在P滿足∠APB＝，故D錯誤.
三、填空題
7.(2024·沈陽模擬)已知圓O：x2＋y2＝4與圓C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0關于直線l對稱，則直線l的方程為　　　　　　　.
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答案
2x－y－5＝0
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答案
由題意知，l是圓O和圓C圓心連線的垂直平分線，
∵O(0，0)，C(4，－2)，
則OC的中點為(2，－1)，
圓心OC連線的斜率為kOC＝－，則直線l的斜率為2，
故直線l的方程為y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
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答案
8.(2025·泰州模擬)已知點A(－2，0)，B(2，0)，若圓(x－a)2＋(y－a－3)2＝1上
存在點M滿足·＝5，則實數a的取值范圍是　　　　　　　　　.
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答案
設M(x，y)，則＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，
因為·＝5，則(－2－x)(2－x)＋(－y)(－y)＝5，
即x2＋y2＝9，圓心坐標為(0，0)，半徑為3，
因為M也在圓(x－a)2＋(y－a－3)2＝1上，圓心坐標為(a，a＋3)，半徑為1，
故(3－1)2≤a2＋(a＋3)2≤(3＋1)2，
整理得解得≤a≤，
所以實數a的取值范圍是.
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四、解答題
9.已知圓C：x2＋y2－4x－6y＝0.
(1)求直線y＝2x被圓C截得的弦長；
由x2＋y2－4x－6y＝0可得(x－2)2＋(y－3)2＝13，圓心為(2，3)，半徑為r＝，
圓心C(2，3)到直線y＝2x的距離為d＝，
所以直線y＝2x被圓C截得的弦長為2＝2.
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(2)已知圓M過點(－4，0)且與圓C相切于原點，求圓M的方程.
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答案
設圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝R2(R>0)，
則解得
因為圓M與圓C相切于原點，且圓M過點(－4，0)，所以兩圓外切，
所以R＋，
即，
解得b＝－3，所以R＝，
所以圓M的方程為(x＋2)2＋(y＋3)2＝13.
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答案
10.(2024·延邊模擬)已知圓C1：x2＋y2＋6x－10y＋25＝0與圓C2：x2＋y2－8y＋7＝0交于A，B兩點，圓C經過A，B兩點，且圓心在直線4x－3y－3＝0上.
(1)求|AB|；
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因為圓C1：x2＋y2＋6x－10y＋25＝0與C2：x2＋y2－8y＋7＝0交于A，B兩點，
所以兩圓方程作差得直線AB的方程為3x－y＋9＝0.
又圓C2：x2＋(y－4)2＝9，
所以點C2到直線AB的距離
d＝，
所以|AB|＝2.
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(2)求圓C的方程.
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答案
圓C1：(x＋3)2＋(y－5)2＝9，圓C2：x2＋(y－4)2＝9，
則C1(－3，5)，C2(0，4)，則＝－，
則直線C1C2的方程為y＝－x＋4，
即x＋3y－12＝0，
由
所以C(3，3)，所以點C到直線AB的距離d1＝，
設圓C的半徑為r，所以r＝，
所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝29.
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能力拓展
11.(2024·鷹潭模擬)已知m∈R，若直線l1：mx＋y＋2m＝0與l2：x－my＋4m＝0的交點P在圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，則r的最大值是
A.4 B.3 C.2 D.3
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答案
易知直線l1：mx＋y＋2m＝0恒過定點A(－2，0)，
直線l2：x－my＋4m＝0恒過定點B(0，4)，
且m×1＋1×(－m)＝0，易知直線l1與l2互相垂直，即可得∠APB＝90°，
所以P點軌跡是以AB為直徑的圓，圓心為AB的中點(－1，2)，半徑為，可得P點軌跡方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
又因為P點在圓C上，所以可得圓(x＋1)2＋(y－2)2＝5與圓C有公共點，
當兩圓內切(圓C在外)時，r取得最大值，
此時滿足＝r－，解得r＝3.
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答案
12.(多選)(2024·宜春模擬)在平面直角坐標系Oxy中，已知A(－4，0)，B(2，0)，點M滿足|MA|＝2|MB|，則下列說法正確的是
A.點M的軌跡方程為(x－4)2＋y2＝16
B.△AMB面積的最大值為12
C.若Q(8，8)，則|MA|＋2|MQ|的最小值為10
D.當點M不在x軸上時，MO始終平分∠AMB
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答案
設點M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，得＝2，化為(x－4)2＋y2＝16，所以點M的軌跡是
以點(4，0)為圓心，4為半徑的圓，A正確；
△AMB面積的最大值為×|AB|×r＝×6×4＝12，故
B正確；
顯然點Q(8，8)在圓外，點B(2，0)在圓內，|MA|＋2|MQ|＝2|MB|＋2|MQ|
＝2(|MB|＋|MQ|)≥2|BQ|＝2＝20，當B，M，Q三點共線且
點M在線段BQ之間時，(|MA|＋2|MQ|)min＝20，故C錯誤；
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答案
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由|OA|＝4，|OB|＝2，有＝2＝，當點M不在x軸上時，由三角形內角平分線分線段成比例定理的逆定理知，MO是△AMB中∠AMB的角平分線，故D正確.(共81張PPT)
第八章
§8.6　橢　圓
數學
大
一
輪
復
習
1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程.
2.掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).
3.掌握橢圓的簡單應用.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.橢圓的定義
把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于　　　(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的　　 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的 　　.
注意：(1)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數>|F1F2|時，動點M的軌跡為橢圓；
(2)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數＝|F1F2|時，動點M的軌跡為以F1，F2為兩端點的線段；
(3)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數<|F1F2|時，動點M的軌跡不存在.
常數
焦點
焦距
2.橢圓的簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
范圍 ______________________ ______________________
頂點 ________________________________________________ ________________________________________________
軸長 短軸長為　　，長軸長為____ －a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
焦點 ____________________ ____________________
焦距 |F1F2|＝____ 對稱性 對稱軸：　　　　　，對稱中心：_____ 離心率 ____________ a，b，c的關系 __________ F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
x軸和y軸
原點
e＝(0a2＝b2＋c2
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡是橢圓.(　　)
(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.(　　)
(3)＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓.(　　)
(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(　　)
×
×
√
×
2.已知平面內一動點P到兩定點F1(－2，0)，F2(2，0)的距離之和為8，則動點P的軌跡方程為
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
因為平面內一動點P到兩定點F1(－2，0)，F2(2，0)的距離之和為8，且8>|F1F2|＝4，
所以動點P的軌跡為焦點位于x軸的橢圓，
設橢圓方程為＝1(a>b>0)，焦距為2c(c>0)，則
故動點P的軌跡方程為＝1.
3.(2024·黔東南模擬)橢圓＝1(m>0)的離心率為
A. B. C. D.
由橢圓的標準方程可得a2＝5m，b2＝3m，
所以離心率e＝
＝.
√
4.若橢圓C：＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為　　　.
3
由題意知a＝2，b＝，所以c＝1，則橢圓上的點到焦點距離的最大值為a＋c＝3.
橢圓中常見結論：
P為橢圓上任意一點，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，設∠F1PF2＝θ，如圖所示.
(1)當P為短軸端點時，θ最大，最大；當點P為長軸端點時，θ最小為0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦點三角形的周長為2(a＋c).
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微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)已知動圓M和圓C1：(x＋1)2＋y2＝36內切，并和圓C2：(x－1)2＋y2＝4外切，則動圓圓心M的軌跡是
A.直線
B.圓
C.焦點在x軸上的橢圓
D.焦點在y軸上的橢圓
√
橢圓的定義及其應用
題型一
設動圓的圓心M的坐標為(x，y)，半徑為r，
因為動圓M與圓C1：(x＋1)2＋y2＝36內切，且與圓C2：(x－1)2＋y2＝4外切，
可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r＋2，
所以|MC1|＋|MC2|＝8>|C1C2|＝2，
根據橢圓的定義知，動點M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝8，2c＝2，
可得a＝4，c＝1，則b＝，
所以動點M的軌跡方程為＝1，
所以其軌跡為焦點在x軸上的橢圓.
(2)(2025·長沙模擬)已知點O為坐標原點，橢圓＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上，設線段PF1的中點為M，且|OF2|＝|OM|，則△PF1F2的面積為
A. B. C.3 D.4
√
由題意可得a＝3，b＝，c＝＝2.
如圖，因為O，M分別是F1F2和PF1的中點，
所以|PF2|＝2|OM|＝
2|OF2|＝2c＝4，
根據橢圓定義，可得|PF1|＝2a－|PF2|＝2，又因為|F1F2|＝2c＝4，
所以△PF1F2為等腰三角形，且F2到PF1的距離為h＝，
故△PF1F2的面積為|PF1|·h＝.
橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程，求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等.
(2)通常將定義和余弦定理結合使用求解關于焦點三角形的周長和面積問題.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)(2024·惠州模擬)已知橢圓的方程為＝1，過橢圓中心的直線交橢圓于A，B兩點，F2是橢圓的右焦點，則△ABF2的周長的最小值為
A.8 B.6＋2
C.10 D.8＋2
√
橢圓的方程為＝1，
則a＝3，b＝2，
設橢圓的左焦點為F1，連接AF1，BF1，如圖.
則由橢圓的中心對稱性可知|OA|＝|OB|，|OF1|＝|OF2|，
可知四邊形AF1BF2為平行四邊形，
則|BF2|＝|AF1|，
可得△ABF2的周長為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|AF1|＋|AB|＝2a＋|AB|，
當A，B分別位于短軸的端點時，|AB|取最小值，
最小值為2b＝4，
所以周長為2a＋|AB|≥6＋4＝10.
(2)設F1，F2為橢圓C：＋y2＝1的兩個焦點，點P在橢圓C上，若·＝0，則△PF1F2的面積為　　　.
1
因為橢圓C：＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
又因為·＝0，
所以⊥，即PF1⊥PF2，
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝4， ①
且m2＋n2＝， ②
由①2－②得到2mn＝4，即mn＝2，
所以mn＝1.
橢圓的標準方程
題型二
例2　(1)過點P(2，)且與橢圓＋y2＝1有相同焦點的橢圓的方程為
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
方法一　依題意，所求橢圓的焦點為F1(－3，0)，F2(3，0)，
∴2a＝|PF1|＋|PF2|
＝
＝4，
∴a＝2，又c＝3，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴所求橢圓的方程為＝1.
方法二　橢圓＋y2＝1的焦點為(±3，0)，
∴設與橢圓＋y2＝1共焦點的橢圓的方程為＝1，a2>9，
代入點(2，＝1，
解得a2＝12(a2＝3舍去)，
故所求橢圓的方程為＝1.
(2)已知橢圓C的焦點在坐標軸上，且經過A(－，－2)和B(－2，1)兩
點，則橢圓C的標準方程為　　　　　　.
＝1
設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，將A和B的坐標代入方程得
則所求橢圓的標準方程為＝1.
根據條件求橢圓方程的主要方法
(1)定義法：根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義.
(2)待定系數法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，
n>0，m≠n)；與橢圓＝1(a>b>0)共焦點的橢圓方程可設為＝1(a>b>0，m>－b2)；與橢圓＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設為＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0).
思維升華
跟蹤訓練2　(1)(2025·九江模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且傾斜角為的直線交C于第一象限內一點A.若線段AF1的中點在y軸上，△AF1F2的面積為2，則橢圓C的方程為
A.＋y2＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
如圖，∵O為線段F1F2的中點，B為線段AF1的中點，
∴OB∥AF2，又OB⊥x軸，∴AF2⊥x軸.
在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝，
設|AF2|＝t(t>0)，則|AF1|＝2t，|F1F2|＝t.
∵△AF1F2的面積為2，∴×t×t＝2，t＝2.
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3t＝6，a＝3，
2c＝|F1F2|＝t＝2，c＝，b2＝a2－c2＝6，
則橢圓C的方程為＝1.
(2)(2025·開封模擬)已知橢圓C的中心為原點，焦點在坐標軸上，長軸長是
短軸長的3倍，且經過點P(3，0)，則橢圓C的標準方程為______________
　　　　　　.
＋y2＝1或
＝1
當橢圓C的焦點在x軸上時，設橢圓C的標準方程為＝1(a>b>0)，
由題可知
則橢圓C的標準方程為＋y2＝1；
當橢圓C的焦點在y軸上時，設橢圓C的標準方程為＝1(a>b>0)，
由題可知
則橢圓C的標準方程為＝1.
命題點1　離心率
橢圓的幾何性質
題型三
例3　(2024·衡水模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2向圓x2＋y2＝b2引切線交橢圓于點P，O為坐標原點，若|OP|＝|OF2|，則橢圓的離心率為
A. B. C. D.
√
由橢圓的對稱性，設P位于x軸上方，畫出圖形如圖，設切點為M，連接PF1，OM，
由已知|OP|＝|OF2|＝|OF1|，∴PF1⊥PF2，
∵OM⊥PF2，∴OM∥PF1，
又O是F1F2的中點，
圓x2＋y2＝b2的半徑為b，
則|PF1|＝2|OM|＝b，|PF2|＝2a－b，
∴b2＋(2a－b)2＝4c2＝4(a2－b2)，
即2a＝3b，得，
故e＝.
求橢圓離心率或其范圍的方法
(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解.
(2)由a與b的關系，利用變形公式e＝求解.
(3)構造a，c的方程.可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e.
思維升華
命題點2　與橢圓有關的范圍(最值)
例4　(多選)已知橢圓＝1，F1，F2為左、右焦點，B為上頂點，P為橢圓上任一點，則
A.的最大值為4
B.|PF1|的取值范圍是[4－2，4＋2]
C.不存在點P使PF1⊥PF2
D.|PB|的最大值為2
√
√
對于A，依題意知a＝4，b＝2，c＝2，當P為短軸端點時，()max
＝×2c×b＝4，故A正確；
對于B，由橢圓的性質知|PF1|的取值范圍是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正確；
對于C，sin∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值為，最小值為0，所以存在點P使PF1⊥PF2，故C錯誤；
對于D，設P(x0，y0)，所以|PB|＝＝1，所以＝16－4，所以|PB|＝
＝，又－2≤y0≤2，故當y0＝－時，|PB|max＝，故D錯誤.
與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法
(1)利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質.
(2)利用函數，尤其是二次函數.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)(多選)已知橢圓＝1(0A.橢圓的短軸長為
B.|AF2|＋|BF2|的最大值為8
C.離心率為
D.橢圓上不存在點P，使得∠F1PF2＝
√
√
易知當AB⊥x軸時，即線段AB為通徑時，|AB|最短，
∴|AB|＝＝4，解得b2＝6，∴橢圓方程為＝1.
對于A，橢圓的短軸長為2b＝2，故A錯誤；
對于B，∵△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋
|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，且|AB|min＝4，∴＝12－|AB|min＝8，故B正確；
對于C，∵c＝，a＝3，∴離心率e＝，故C錯誤；
對于D，易知當點P位于短軸端點時，∠F1PF2最大，
此時|PF1|＝|PF2|＝a＝3，
|F1F2|＝2c＝2，∴cos∠F1PF2＝>0，
又∠F1PF2為三角形內角，∴∠F1PF2∈，
∴橢圓上不存在點P，使得∠F1PF2＝，故D正確.
(2)(2024·湛江模擬)已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，若橢圓C上存在一點
P滿足|PF1|＝3|PF2|，則橢圓C的離心率的取值范圍是　　　　 .
因為|PF1|＝3|PF2|，
則2a＝|PF1|＋|PF2|＝4|PF2|，
解得|PF2|＝，
又因為|PF2|＝∈[a－c，a＋c]，
則e＝，
又0所以橢圓C的離心率的取值范圍是.
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課時精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6
答案 B D D B BC BCD
題號 7 8 11 12 答案 (4，6)∪(6，8) B 答案
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12
(1)由已知|PN|＝|PA|，
故|PM|+|PN|＝|PM|+|PA|＝|AM|
＝8>|MN|＝6，
所以點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，
設點P的軌跡方程為＝1(a>b>0)，
則2a＝8，即a＝4，c＝3，b2＝a2－c2＝7，
所以點P的軌跡方程為＝1.
9.
答案
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12
(2)不妨設|MQ|＝m，
由橢圓定義可得|QN|＝2a－m＝8－m，又|MN|＝2c＝6，
則在△MNQ中，由余弦定理可得
cos∠QMN＝
＝，解得m＝.
故△QMN的面積S＝·sin∠QMN·m·2c
＝cm＝×3×.
9.
答案
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(1)由題意，令x＝c，
可得y2＝b2，
解得y＝±，可得c，
又由c2＝a2－b2，
整理得6a2－6c2＝ac，
即6－6e2＝e，
即6e2+e－6＝0，解得e＝，
即橢圓C的離心率為.
10.
答案
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12
(2)由橢圓C的方程，
不妨設M(0，b)，N(0，－b)，
設P(x0，y0)，
所以b2+a2＝a2b2，
則直線MP的方程為y＝x+b，
令y＝0，可得xR＝，
同理直線NP的方程為y＝x－b，
10.
答案
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12
令y＝0，可得xQ＝，
因為|OR|·|OQ|＝＝a2＝4，解得a＝2，
又因為e＝，所以c＝，
則b＝＝1，
所以橢圓C的方程為+y2＝1.
10.
一、單項選擇題
1.若橢圓的焦點在x軸上且經過點(－4，0)，焦距為6，則該橢圓的標準方程為
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
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知識過關
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答案
由題意得a＝4，2c＝6，則c＝3，b2＝a2－c2＝7，所以該橢圓的標準方程為＝1.
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答案
2.(2025·哈爾濱模擬)已知F1是橢圓C：＋y2＝1的左焦點，直線x＝1與C交于A，B兩點，則△F1AB的周長為
A. B. C.2 D.4
由于＝1，故AB經過橢圓的右焦點，
故△F1AB的周長為4a＝4×＝4.
√
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答案
3.若橢圓＝1(a>0)的離心率為，則該橢圓的半焦距為
A. B.
C.3或 D.3或
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答案
若橢圓的焦點在x軸上，則離心率e＝，得a2＝12，此時半焦距c＝＝3；
若橢圓的焦點在y軸上，則離心率e＝，此時半焦距c＝.
所以該橢圓的半焦距為3或.
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答案
4.(2024·廣州模擬)已知點F，A分別是橢圓＝1(a>b>0)的左焦點、右頂點，B(0，b)滿足·＝0，則橢圓的離心率等于
A. B.
C. D.
√
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答案
∵·＝0，∴FB⊥AB，
∴|FB|2＋|AB|2＝|AF|2，
即b2＋c2＋a2＋b2＝(a＋c)2，
整理得ac－b2＝0，即c2＋ac－a2＝0，
等號兩邊同時除以a2，得－1＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝，
∵01
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答案
二、多項選擇題
5.(2025·汕頭模擬)已知橢圓C：＝1的兩個焦點分別為F1，F2，P是橢圓C上任意一點，則下列結論正確的是
A.橢圓C的離心率為
B.|PF1|的最小值為2
C.|PF1|·|PF2|的最大值為16
D.可能存在點P，使得∠F1PF2＝65°
√
√
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答案
橢圓C：＝1的長半軸長a＝4，短半軸長b＝2，半焦距c＝＝2，則橢圓C的離心率e＝，A錯誤；
因為a－c≤|PF1|≤a＋c，因此|PF1|min＝a－c＝2，B正確；
|PF1|·|PF2|≤＝a2＝16，當且僅當|PF1|＝|PF2|＝4時取等號，
C正確；
當P點在短軸端點時，∠F1PF2最大，此時sin，所以∠F1PF2
＝60°，因此∠F1PF2最大為60°，D錯誤.
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答案
6.已知圓O：x2＋y2＝3經過橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2，且P為圓O與橢圓C在第一象限內的公共點，且△PF1F2的面積為1，則下列結論正確的是
A.橢圓C的焦距為 B.橢圓C的短軸長為2
C.△PF1F2的周長為4＋2 D.點P的坐標為
√
√
√
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答案
因為圓O：x2＋y2＝3經過橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2，
所以c＝，故焦距為2，A錯誤；
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，
因為P在圓上，則∠F1PF2＝，則mn＝1，解得mn＝2，
又由勾股定理知m2＋n2＝＝12，
所以(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝16，
所以m＋n＝4，即2a＝4，a＝2，
所以b＝＝1，所以短軸長為2，B正確；
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答案
△PF1F2的周長為|PF1|＋|PF2|＋2c＝2a＋2c＝4＋2，C正確；
又P為圓O與橢圓C在第一象限內的公共點，
則|F1F2|·xP＝×2·xP＝1，
故xP＝，
代入圓的方程可得＝3，所以yP＝，
故點P的坐標為，D正確.
三、填空題
7.已知方程＝1表示的曲線是橢圓，則實數k的取值范圍是　　　　　　 .
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答案
因為方程＝1表示的曲線是橢圓，
所以解得4所以實數k的取值范圍是(4，6)∪(6，8).
(4，6)∪(6，8)
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答案
8.設F1，F2分別是橢圓E：＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓E于P，Q兩點，且PF1⊥PQ，|PF2|＝2|QF2|，則橢圓E的離心率
為　　　.
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答案
設|QF2|＝m(m>0)，
則|PF2|＝2m，|PQ|＝3m，
根據橢圓定義，|PF1|＝2a－2m，|QF1|＝2a－m，
又因為PF1⊥PQ，
所以在Rt△PF1Q中，＋|PQ|2＝，
即(2a－2m)2＋(3m)2＝(2a－m)2，解得m＝a，
則|PF2|＝a，|PF1|＝a，
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答案
則在Rt△PF1F2中，，
即＝(2c)2，
所以e2＝，e＝.
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四、解答題
9.已知圓M：(x＋3)2＋y2＝64的圓心為M，定點N(3，0)，動點A在圓M上，線段AN的垂直平分線交線段MA于點P.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
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答案
由已知|PN|＝|PA|，
故|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|
＝8>|MN|＝6，
所以點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，
設點P的軌跡方程為＝1(a>b>0)，
則2a＝8，即a＝4，c＝3，b2＝a2－c2＝7，
所以點P的軌跡方程為＝1.
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答案
(2)若點Q是曲線C上一點，且∠QMN＝60°，求△QMN的面積.
不妨設|MQ|＝m，
由橢圓定義可得|QN|＝2a－m＝8－m，
又|MN|＝2c＝6，
則在△MNQ中，由余弦定理可得
cos∠QMN＝，
解得m＝.
故△QMN的面積S＝·sin∠QMN·m·2c＝cm＝×3×.
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答案
10.(2024·西安模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c，0)，F2(c，0)，過F2作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，且滿足|AF2|＝c.
(1)求橢圓C的離心率；
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答案
由題意，令x＝c，可得y2＝b2，
解得y＝±c，
又由c2＝a2－b2，整理得6a2－6c2＝ac，
即6－6e2＝e，
即6e2＋e－6＝0，解得e＝，
即橢圓C的離心率為.
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12
答案
(2)M，N是橢圓C短軸的兩個端點，設點P是橢圓C上一點(異于橢圓C的頂點)，直線MP，NP分別與x軸相交于R，Q兩點，O為坐標原點，若|OR|·
|OQ|＝4，求橢圓C的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由橢圓C的方程，不妨設M(0，b)，N(0，－b)，
設P(x0，y0)，所以b2＋a2＝a2b2，
則直線MP的方程為y＝x＋b，
令y＝0，可得xR＝，
同理直線NP的方程為y＝x－b，
令y＝0，可得xQ＝，
因為|OR|·|OQ|＝＝a2＝4，解得a＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
又因為e＝，所以c＝，
則b＝＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
能力拓展
11.已知橢圓C：＝1的右焦點為F，P為橢圓C上任意一點，點A的坐標為，則|PA|＋|PF|的最大值為
A. B.5 C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
易知點A位于橢圓內部，如圖，設橢圓C的左焦點為F1(－1，0)，
由橢圓定義可得，|PF|＝4－|PF1|，
所以|PA|＋|PF|＝4＋|PA|－|PF1|≤4＋|AF1|
＝4＋＝4＋1＝5.
所以|PA|＋|PF|的最大值為5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
12.已知F1，F2分別是橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，則C的離
心率的取值范圍是　　　　 .
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
12
答案
返回
由點P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點，延長PF1交橢圓于另一交點，記為A，
由PF1∥QF2再結合橢圓的對稱性，
易知|AF1|＝|QF2|，所以|PF1|＋|QF2|＝|PA|，
橢圓過焦點的弦中通徑最短，
所以當PA垂直于x軸時，|PA|最短，
所以b≤|PA|min＝，所以ab≤2b2，即，
又0第八章
§8.7　雙曲線
數學
大
一
輪
復
習
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.
2.掌握雙曲線的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率).
3.了解雙曲線的簡單應用.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.雙曲線的定義
把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的　　　　等于非零常數(_______
|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的　　　，兩焦點間的距離叫做雙曲線的　　　.
注意：(1)若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條射線(包括端點)；若將其改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點軌跡不存在.
(2)若將絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡是雙曲線的一支.
(3)若將“等于非零常數”改為“等于零”，則此時動點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.
絕對值
小于
焦點
焦距
2.雙曲線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程
圖形
性質 焦點 ____________________ ____________________
焦距 __________ 范圍 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：　　　??；對稱中心：_____ F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
x≤－a
x≥a
坐標軸
原點
標準方程
性質 頂點 _____________________ _____________________
軸 實軸：線段 ，長： ；虛軸：線段B1B2，長： ；實半軸長： ，虛半軸長：___ 漸近線 __________ __________
離心率 a，b，c的關系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
A1A2
2a
2b
a
b
y＝±x
y＝±x
(1，＋∞)
a2＋b2
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內到點F1(0，4)，F2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(　　)
(2)方程＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.(　　)
(3)雙曲線＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是±＝0.(　　)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　)
√
×
×
√
2.雙曲線x2－4y2＝1的離心率為
A. B. C. D.
因為x2－4y2＝1，即x2－＝1，
所以a＝1，b＝，c＝，
所以e＝.
√
3.(多選)已知雙曲線方程＝1，下列說法中正確的有
A.焦點坐標為(0，±5)
B.虛軸長為6
C.焦距為10
D.漸近線方程為y＝±x
√
√
由雙曲線方程＝1，
得a＝4，b＝3，c＝＝5，
又焦點在x軸上，所以焦點坐標為(±5，0)，A選項錯誤；
所以虛軸長為2b＝6，B選項正確；
焦距為2c＝10，C選項正確；
漸近線方程為y＝±x＝±x，D選項錯誤.
4.已知點P在雙曲線＝1(a>0，b>0)上，雙曲線的左、右焦點分別記為F1，F2，焦距為2，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，則該雙曲線的實軸長為　　　　　　.
2
因為|PF1|＝2|PF2|，
由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
因為PF1⊥PF2，
所以(4a)2＋(2a)2＝＝20，
解得a＝1，則實軸長為2.
1.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
2.若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3.同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為
A.x2－＝1(x≥1) B.x2－＝1
C.x2－＝1(x≤－1) D.－x2＝1
雙曲線的定義及應用
題型一
√
設動圓M的半徑為r，
則|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3，
則|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|＝6，
根據雙曲線的定義知，動圓的圓心M的軌跡為雙曲線x2－＝1的左半支.
(2)(2025·永州模擬)已知F1，F2分別是雙曲線E：＝1的左、右焦點，M是雙曲線E的左支上一點，過F2作∠F1MF2平分線的垂線，垂足為N，O為坐標原點，則|ON|等于
A.4 B.2 C.3 D.1
√
雙曲線＝1的實半軸長為a＝2，
延長F2N，MF1交于點H，
由題意△MNH≌△MNF2，則|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|，
又O是F1F2的中點，
所以|ON|＝|F1H|＝(|MH|－|MF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＝a＝2.
平面內到一個定點和相應一條定直線l的距離之比為常數e的點的軌跡：
(1)當0(2)當e>1時，軌跡為雙曲線.
①定點為焦點，定直線l叫準線，左焦點對應左準線，右焦點對應右準線.
②焦點在x軸上的橢圓(雙曲線)的準線方程為x＝±.
圓錐曲線的第二定義
微拓展
典例　(1)橢圓＝1(a>b>0)，焦距為4，P為橢圓上任一點，若P到點(2，0)的距離與到直線x＝的距離之比為，則橢圓方程為 .
＝1
依題意，右焦點F2(2，0)，右準線x＝，
由橢圓第二定義知，
∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
∴橢圓方程為＝1.
(2)已知雙曲線＝1的右焦點為F2，M是雙曲線右支上一點，定點A(9，2)，則|MA|＋|MF2|的最小值為　　 .
設M到直線x＝的距離為d，由雙曲線第二定義知，
＝e＝，∴d＝|MF2|，
∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d，
如圖，可知(|MA|＋d)min＝xA－＝9－.
在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯系，利用三角形的面積公式求解.對于選擇題或填空題直接利用焦點三角形的面積公式計算即可.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)設P是雙曲線＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于
A.1 B.17 C.1或17 D.5或13
√
由雙曲線＝1得
a＝4，b＝2，c＝6，
由雙曲線的定義可得||PF1|－|PF2||＝2a＝8.
因為|PF1|＝9，所以|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17，
若|PF2|＝1，則P在雙曲線的右支上，應有|PF2|≥c－a＝2，不成立；
若|PF2|＝17，則P在雙曲線的左支上，應有|PF2|≥c＋a＝10，成立.所以|PF2|＝17.
(2)F1，F2分別為雙曲線C：＝1(a>0)的左、右焦點，P是雙曲線C右支上的一點，PF1與雙曲線C的左支交于點Q.已知△PQF2是等邊三角形，則雙曲線C的實軸長為　　　　.
2
由雙曲線的對稱性，設點P在第一象限，如圖.
因為△PQF2是等邊三角形，
所以|PQ|＝|PF2|＝|QF2|，
所以|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，
又|QF2|－|QF1|＝2a，則|QF2|＝4a，|PF1|＝6a，
在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝
＝，
整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a2＝6，解得a＝1，所以實軸長為2.
雙曲線的標準方程
題型二
例2　(1)(2024·濟南模擬)已知雙曲線C1過點A(－，1)，且與雙曲線C2：x2－3y2＝1有相同的漸近線，則雙曲線C1的標準方程為
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
由雙曲線C1與雙曲線C2：x2－3y2＝1有相同的漸近線，
故可設雙曲線C1的方程為x2－3y2＝λ(λ≠0)，
又因為C1過點A(－，1)，
代入雙曲線C1的方程得15－3＝λ，
解得λ＝12，所以雙曲線C1的標準方程是＝1.
(2)中心在原點，焦點在坐標軸上，且一個焦點在直線3x－4y＋12＝0上的
等軸雙曲線的標準方程是　　　　　　 .
＝1或＝1
直線3x－4y＋12＝0與坐標軸的交點為(－4，0)，(0，3)，若雙曲線的焦點在x軸上，
∴等軸雙曲線的一個焦點為(－4，0)，
即c＝4，∴a2＝b2＝c2＝8，
故等軸雙曲線的標準方程為＝1.
若雙曲線的焦點在y軸上，
∴等軸雙曲線的一個焦點為(0，3)，
即c＝3，∴a2＝b2＝c2＝，
故等軸雙曲線的標準方程為＝1.
求雙曲線的標準方程的方法
(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.
(2)待定系數法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可
將雙曲線方程設為＝λ(λ≠0)，與雙曲線＝1(a>0，b>0)有公共焦點的雙曲線方程可設為＝1(－a2<λ思維升華
跟蹤訓練2　江西景德鎮青花瓷始創于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映，怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是
A.＝1 B.－y2＝1
C.＝1 D.＝1
√
由題意可知該雙曲線的焦點在x軸上，實軸長為4，點(4，3)在該雙曲線上.
設該雙曲線的方程為＝1(a>0，b>0)，
則
故該雙曲線的標準方程是＝1.
命題點1　漸近線
雙曲線的幾何性質
題型三
例3　(2025·石家莊質檢)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的實半軸長為，其上焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為3，則雙曲線C的漸近線方程為
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
√
設雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的上焦點為(0，c)(c>0)，雙曲線的漸
近線方程為by±ax＝0，
由點到直線的距離公式可得
＝b＝3，
又雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的實半軸長為，所以a＝，
所以雙曲線C的漸近線方程為3y±x＝0，即y＝±x.
(1)漸近線方程的求法：求雙曲線＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令＝0，即得兩漸近線方程±＝0.
(2)在雙曲線的幾何性質中，重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±，滿足關系式e2＝1＋k2.
思維升華
命題點2　離心率
例4　(1)(2024·武漢模擬)已知焦點在x軸上的雙曲線的兩條漸近線所成的角為，則雙曲線的離心率為
A. B.
C.2或 D.2或
√
依題意，雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，
所以＝tan ＝tan ，
即，
所以e＝或e＝＝2，
綜上，雙曲線的離心率為或2.
(2)(2024·武漢模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△ABF1的周長為10a，則雙曲線離心率的取值范圍為
A. B.
C. D.
√
根據雙曲線定義知，△ABF1的周長為4a＋2|AB|，
所以4a＋2|AB|＝10a，所以|AB|＝3a，
又|AB|≥，所以3a≥，
即3a2≥2b2，
所以3a2≥2(c2－a2)，
即5a2≥2c2，
解得e≤，
故雙曲線離心率的取值范圍是.
求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉化為關于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍).
思維升華
跟蹤訓練3　(1)已知雙曲線E：＝1(a>0，b>0)的焦點恰好為矩形ABCD的長邊中點，且該矩形的頂點都在雙曲線上，矩形的長寬比為2∶1，則雙曲線的離心率為
A.2＋2 B.3＋2
C.1＋ D.2－1
√
如圖，連接CF1，
由題意知C(c，2c)，
|CF2|＝2c，|F1F2|＝2c，
則|CF1|＝2c，
則由雙曲線的定義知
|CF1|－|CF2|＝2a，
即2c－2c＝2a，a＝(－1)c，
所以雙曲線的離心率e＝＋1.
(2)(2024·紹興模擬)若雙曲線C1：＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓C2：(x－2)2＋y2＝1有公共點，則C1的離心率的取值范圍為
A. B.
C.(1，2) D.(1，2]
√
∵雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，且漸近線與圓(x－2)2＋y2＝1有公共點，
∴圓心到漸近線的距離小于等于半徑，
即≤1，∴3b2≤a2，∴c2＝a2＋b2≤a2，
∴1返回
課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B D B AD BC
題號 8 11 12 答案 C 5 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)因為a＝2，且雙曲線的焦點在x軸上，
可設雙曲線的標準方程為
＝1(b>0)，
將點A(－5，2)代入雙曲線的方程得＝1，解得b2＝16，
因此，雙曲線的標準方程為＝1.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)在橢圓＝1中，
c＝，
所以橢圓的焦點坐標為F1(－，0)，F2(，0)，
設雙曲線的標準方程為＝1(a>0，b>0)，
因為雙曲線與橢圓有相同焦點，
所以a2+b2＝c2＝5，
點P(－，2)代入雙曲線方程，
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
可得＝1，
聯立解得
所以雙曲線的標準方程為x2－＝1.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)＝1的漸近線的方程為y＝±x，即bx±ay＝0，
由雙曲線的對稱性不妨取漸近線為bx－ay＝0，則點F(c，0)到bx－ay＝0
的距離d＝＝b＝4，
又因為焦距2c＝10，所以c＝5，
所以a2＝c2－b2＝9，
所以雙曲線C的方程為＝1.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)記雙曲線C的左焦點為F0，則F0(－5，0)，
|PA|+|PF|＝|PA|+|PF0|+2a＝|PA|+|PF0|+6，
當F0，P，A三點共線時，
|PA|+|PF0|最小，
且最小值為|AF0|＝17.
故|PA|+|PF|的最小值為
17+6＝23.
10.
一、單項選擇題
1.(2025·八省聯考)雙曲線x2－＝1的漸近線方程為
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±3x D.y＝±4x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知識過關
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
2.“m>2”是“方程＝1表示雙曲線”的
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為方程＝1表示雙曲線，所以(2－m)(m＋1)<0，解得m<－1
或m>2.
即m∈(－∞，－1)∪(2，＋∞).
因為(2，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，
所以“m>2”是“方程＝1表示雙曲線”的充分不必要條件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
3.若動圓過定點A(2，0)，且和定圓C：(x＋2)2＋y2＝1外切，則動圓圓心P的軌跡方程為
A.x2－＝1 B.x2－＝1
C.4x2－＝1 D.4x2－＝1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
定圓C的半徑為1，圓心為C(－2，0)，與A(2，0)關于原點對稱.設動圓的半徑為r，
則|PA|＝r，由兩圓外切可得|PC|＝1＋r，
所以|PC|－|PA|＝1<|AC|＝4，
所以P的軌跡為雙曲線的右支.
設P的軌跡方程為＝1(a>0，b>0)，
則a＝，c＝2，b2＝c2－a2＝，
所以動圓圓心P的軌跡方程為4x2－＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
4.(2025·天津市河西區模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，O為坐標原點，過F1作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且|MF2|＝3|OM|，則雙曲線C的離心率為
A. B. C.2 D.3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由題意得F1(－c，0)，|MF1|＝b，由勾股定理得|OM|＝a，
因為MF1垂直于漸近線，所以cos∠MOF1＝，
因為|MF2|＝3|OM|，所以|MF2|＝3a，而|OF2|＝c，
在△MOF2中，由余弦定理得cos∠MOF2＝，
因為∠MOF1＋∠MOF2＝π，
所以＝0，
化簡得c2＝6a2，所以c＝a，故e＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、多項選擇題
5.(2024·南通調研)已知雙曲線C：＝1(b>0)的右焦點為F，直線l：x＋by＝0是C的一條漸近線，P是l上一點，則
A.C的虛軸長為2
B.C的離心率為
C.|PF|的最小值為2
D.直線PF的斜率不等于－
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
雙曲線C：＝1的漸近線方程為bx±2y＝0，依題意得－＝－，解得b＝，
對于A，C的虛軸長為2b＝2，A正確；
對于B，C的離心率e＝，B錯誤；
對于C，點F(，0)到直線l：x＋y＝0的距離為，即|PF|的最小值為，C錯誤；
對于D，直線l：x＋y＝0的斜率為－，而點F不在l上，點P在l上，則直線PF的斜率不等于－，D正確.
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答案
6.(2025·泉州模擬)已知雙曲線C：－x2＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，上、下焦點分別為F1，F2，則
A.雙曲線C的方程為－x2＝1
B.雙曲線C的離心率為2
C.雙曲線C上的點到焦點的最小距離為
D.若點M(2，t)為雙曲線C上支上的一點，則△MF1F2的內切圓面積為2π
√
√
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答案
對于A，雙曲線C：－x2＝1(a>0)的漸近線方程為y＝±ax，則a＝，
于是雙曲線C的方程為－x2＝1，故A錯誤；
對于B，雙曲線C的離心率e＝＝2，故B正確；
對于C，c＝，雙曲線C上的點到焦點的最小距離為c－a＝，故C正確；
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答案
對于D，F1，F2，由點M(2，t)
在雙曲線上支上，得t＝，
|F1F2|·2，
△MF1F2的周長為|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝，
設△MF1F2的內切圓半徑為r，
則×r＝，解得r＝，
因此△MF1F2的內切圓面積為π，故D錯誤.
三、填空題
7.(2024·新課標全國Ⅰ)設雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|＝13，|AB|
＝10，則C的離心率為　　 .
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答案
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答案
|F1A|＝13，|AF2|＝|AB|＝5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|＝＝12.
由雙曲線定義可得2a＝|F1A|－|AF2|＝8，
2c＝|F1F2|＝12，
化簡得a＝4，c＝6，
則C的離心率e＝.
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答案
8.(2024·撫順模擬)已知雙曲線C：＝1的左、右焦點分別為F1，F2.過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P，則|PF1|＝　　　 .
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答案
依題意，a＝，b＝2，c＝，
∴|PF2|＝b＝2，|OF2|＝c＝(O為坐標原點)，
∴cos∠PF2F1＝，
在△PF2F1中，由余弦定理得|PF1|＝
＝
＝2.
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答案
四、解答題
9.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.
(1)焦點在x軸上，a＝2，經過點A(－5，2)；
因為a＝2，且雙曲線的焦點在x軸上，
可設雙曲線的標準方程為＝1(b>0)，
將點A(－5，2)代入雙曲線的方程得
＝1，解得b2＝16，
因此，雙曲線的標準方程為＝1.
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答案
(2)過點P(－，2)，且與橢圓＝1有相同焦點的雙曲線方程.
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答案
在橢圓＝1中，
c＝，
所以橢圓的焦點坐標為F1(－，0)，F2(，0)，
設雙曲線的標準方程為＝1(a>0，b>0)，
因為雙曲線與橢圓有相同焦點，
所以a2＋b2＝c2＝5，
點P(－，2)代入雙曲線方程，可得＝1，
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答案
聯立
所以雙曲線的標準方程為x2－＝1.
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答案
10.已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的焦距為10，F為雙曲線的右焦點，且點F到漸近線的距離為4.
(1)求雙曲線C的方程；
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答案
＝1的漸近線的方程為
y＝±x，即bx±ay＝0，
由雙曲線的對稱性不妨取漸近線為bx－ay＝0，則點F(c，0)到bx－ay＝0的距離
d＝＝b＝4，
又因為焦距2c＝10，所以c＝5，所以a2＝c2－b2＝9，
所以雙曲線C的方程為＝1.
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答案
(2)若點A(12，0)，點P為雙曲線C左支上一點，求|PA|＋|PF|的最小值.
記雙曲線C的左焦點為F0，則F0(－5，0)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6，
當F0，P，A三點共線時，|PA|＋|PF0|最小，且最小
值為|AF0|＝17.
故|PA|＋|PF|的最小值為17＋6＝23.
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答案
能力拓展
11.(2024·天津)已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2.P是雙曲線右支上一點，且直線PF2的斜率為2，△PF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
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答案
由題意可知，∠F1PF2＝90°，
又直線PF2的斜率為2，
可得tan∠PF2F1＝＝2，
根據雙曲線定義|PF1|－|PF2|＝2a，
得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，
又＝8，所以a2＝2，
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答案
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2
＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.
又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，
又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，
所以雙曲線的方程為＝1.
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答案
12.已知點P是雙曲線＝1右支上的一點，點A，B分別是圓(x＋6)2＋y2＝4和圓(x－6)2＋y2＝1上的點.則|PA|－|PB|的最小值為　　　.
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答案
由雙曲線＝1可知，
a＝4，b＝2，c＝＝6，
且圓(x＋6)2＋y2＝4的圓心為F1(－6，0)，半徑r1＝2，
圓(x－6)2＋y2＝1的圓心為F2(6，0)，半徑r2＝1，
由圓的性質可知|PA|≥|PF1|－r1＝|PF1|－2，
|PB|≤|PF2|＋r2＝|PF2|＋1，
可得|PA|－|PB|≥(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝|PF1|－|PF2|－3，
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答案
返回
可知F1(－6，0)，F2(6，0)為雙曲線的焦點，
則|PF1|－|PF2|＝2a＝8，
可得|PA|－|PB|≥|PF1|－|PF2|－3＝5，
所以|PA|－|PB|的最小值為5.(共70張PPT)
第八章
§8.8　拋物線
數學
大
一
輪
復
習
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程.
2.掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).
3.了解拋物線的簡單應用.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.拋物線的概念
把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離　　　的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的　　　，直線l叫做拋物線的　　　.
注意：定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F且垂直于直線l的一條直線.
相等
焦點
準線
2.拋物線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0，
x∈R
焦點 ________ __________ ________ __________
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
準線 方程 ________ ______ ________ ______
對稱軸 _____ _____ 頂點 ________ 離心率 e＝___ x＝－
x＝
y＝－
y＝
x軸
y軸
(0，0)
1
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線.
(　　)
(2)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是(1，0).(　　)
(3)標準方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點到準線的距離.(　　)
(4)焦點在y軸上的拋物線的標準方程x2＝±2py(p>0)，也可以寫成y＝ax2(a≠0)，這與以前學習的二次函數的解析式是一致的.(　　)
√
×
×
√
2.(多選)關于拋物線y2＝－2x，下列說法正確的是
A.開口向左 B.焦點坐標為(－1，0)
C.準線為x＝1 D.對稱軸為x軸
√
√
對于拋物線y2＝－2x，開口向左，焦點坐標為，準線方程為x＝，對稱軸為x軸，故AD正確.
3.(2024·駐馬店模擬)已知點P(6，y0)在焦點為F的拋物線C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝，則p等于
A.3 B.6 C.9 D.12
拋物線C：y2＝2px(p>0)，準線方程為x＝－，P(6，y0)，由拋物線的定
義可知
|PF|＝6＋，解得p＝3.
√
4.(2024·寶雞模擬)拋物線y2＝2px(p>0)過點A(2，2)，則點A到拋物線準線
的距離為　　 .
由題意22＝2p×2，解得p＝1，所以拋物線的準線方程為x＝－，故所求距離為2＋.
拋物線焦點弦的幾個常用結論
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標原點，則
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；
(3)；
(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；
(5)通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦；
(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(2025·東北三省精準教學聯考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，若拋物線上一點M滿足|MF|＝2，∠OFM＝60°，則p等于
A.3 B.4 C.6 D.8
√
拋物線的定義及應用
題型一
如圖，過點M分別向x軸和準線作垂線，垂足分別為A，N，
根據拋物線定義，
有|MF|＝|MN|＝2，
所以p＝|MN|＋|MF|·cos 60°＝3.
(2)記拋物線E：y2＝4x的焦點為F，點A在E上，B(2，1)，則|AF|＋|AB|的最小值為
A.2 B.3 C.4 D.5
√
過點A作準線x＝－1的垂線，垂足為D，則|AF|＝|AD|，則|AF|＋|AB|＝|AD|＋|AB|≥3，如圖所示，所以|AF|＋|AB|的最小值為3.
延伸探究　本例(2)中，點B坐標改為(2，3)，點A到準線的距離為d，求|AB|＋d的最小值.
令x＝2，y2＝8<9，
故點B在拋物線外部.
由拋物線定義，d＝|AF|，
∴|AB|＋d＝|AB|＋|AF|
≥|BF|＝，如圖所示，
當且僅當B，A，F三點共線時等號成立，
∴|AB|＋d的最小值為.
“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據定義獲得簡捷、直觀的求解.“由數想形，由形想數，數形結合”是靈活解題的一條捷徑.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)(2024·貴陽模擬)拋物線y2＝4x上一點M到焦點的距離是10，則M到x軸的距離是
A.4 B.6 C.7 D.9
拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，由拋物線定義可得xM＋1＝10，故xM＝10－1＝9，則|yM|＝＝6，即M到x軸的距離為6.
√
(2)已知點P為拋物線y2＝－4x上的動點，設點P到直線l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是
A. B. C.2 D.
√
直線l：x＝1為拋物線y2＝－4x的準線，點P到準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線x＋y－4＝0的垂線，如圖所示，當點P為所作直線與拋物線的交點時，d1＋d2的值最小，為點F到直線x＋y－4＝0的距離.
∵F(－1，0)，
∴(d1＋d2)min＝.
拋物線的標準方程
題型二
例2　(1)若拋物線過點(3，－4)，則拋物線的標準方程為______________
　　　.
y2＝x或x2＝
－y
∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，
設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
則2p＝，2p1＝.
∴所求拋物線的標準方程為
y2＝x或x2＝－y.
(2)“米”是象形字，數學探究課上，某同學用拋物線C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)構造了一個類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線C1，C2的焦點分別為F1，F2，點P在拋物線C1上，過點P作x軸的平行線交拋物線C2于點Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，則p等于
A.4 B.6 C.8 D.12
√
方法一　如圖，過點P作PM⊥F1F2于點M，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴|OM|＝2，則xP＝－2，
又點P在拋物線C1：y2＝－2px(p>0)上，
∴＝4p，
則|PM|＝2，
在Rt△PMF1中，|MF1|＝－2，
∵|PM|2＋，
∴＝82，
∴p＝12(p＝－20舍去).
方法二　設P(x0，y0)，則x0<0，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴－x0＋＝2(－2x0)＝8，
∴x0＝－2，p＝12.
求拋物線的標準方程的方法
(1)定義法.
(2)待定系數法：當焦點位置不確定時，分情況討論.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)動點P到點A(0，2)的距離比它到直線l：y＝－4的距離小2，則動點P的軌跡方程為
A.y2＝4x B.y2＝8x
C.x2＝4y D.x2＝8y
因為動點P到點A(0，2)的距離比它到直線l：y＝－4的距離小2，所以動點P到點A(0，2)的距離與它到直線y＝－2的距離相等，根據拋物線的定義可得點P的軌跡為以A(0，2)為焦點，以直線y＝－2為準線的拋物線，其標準方程為x2＝8y.
√
(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，點A在拋物線C上且位于第一象限，AB⊥l于點B，若|AF|＝|BF|＝4，則拋物線C的標準方程為　　　　 .
y2＝4x
∵|AF|＝|AB|且|AF|＝|BF|＝4，
∴△ABF為等邊三角形，∴∠ABF＝60°，
設拋物線的準線與x軸交于點E，∴∠FBE＝30°，
∴|EF|＝|BF|·sin 30°＝4×＝2，即p＝2，
∴拋物線C的標準方程為y2＝4x.
拋物線的幾何性質
題型三
例3　(1)若拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點到焦點的距離恒大于1，則p的取值范圍是
A.p<1 B.p>1 C.p<2 D.p>2
√
設P為拋物線上任意一點，則P到焦點的距離等于到準線：x＝－的距離，顯然當P為拋物線的頂點時，P到準線的距離取得最小值.∴>1，即p>2.
(2)(多選)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝8x過焦點的弦的兩個端點，焦點為F，則
A.焦點F的坐標為(4，0)
B.|AB|＝x1＋x2＋4
C.y1y2＝－8
D.
√
√
由拋物線y2＝8x，可得焦點為F(2，0)，故A錯誤；
由拋物線的性質可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正確；
方法一　設直線AB的方程為x＝my＋2，與拋物線的方程聯立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，
則y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
＝
＝
＝
＝
＝，故C錯誤，D正確.
方法二　因為p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，
，故C錯誤，D正確.
應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現了數形結合思想解題的直觀性.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)(多選)對于拋物線x2＝y，下列描述正確的是
A.開口向上，焦點為(0，2)
B.開口向上，焦點為
C.焦點到準線的距離為4
D.準線方程為y＝－4
√
√
由拋物線x2＝y，即x2＝8y，可知拋物線開口向上，焦點坐標為(0，2)，焦點到準線的距離為4，準線方程為y＝－2.
(2)(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)經過點M(1，2)，其焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于兩個不同的點A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標原點，設直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則
A.p＝2 B.|AB|≥4
C.·＝－4 D.k1k2＝－4
√
√
√
因為拋物線y2＝2px(p>0)經過點M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正確；
所以拋物線方程為y2＝4x，則焦點為F(1，0)，
設直線l：x＝my＋1，聯立
消去x整理得y2－4my－4＝0，
則Δ＝16m2＋16>0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
則x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)
＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正確；
因為＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C錯誤；
由題意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝·＝－4，故D正確.
返回
課時精練
對一對
答案
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3
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11
12
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C C A ABC ABD 8
題號 8 11 12 答案 D y2＝3x 答案
1
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11
12
(1)由題意知動點M到F(2，0)的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以動點M的軌跡為以F(2，0)為焦點，以直線x＝－2為準線的拋物線，因此動點M的軌跡方程為y2＝8x.
9.
答案
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12
(2)設M，
由兩點間的距離公式得
|MA|＝
＝，
當m2＝16，即m＝±4時，|MA|min＝4，
即當M的坐標為(2，4)或(2，－4)時，點M與點A的距離最小，最小值為4.
9.
答案
1
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11
12
(1)設圓心C的坐標為(x，y)，
則半徑r＝，
又動圓在y軸上截得的弦長為8，
所以42+x2＝(x－4)2+y2，
化簡得y2＝8x，
即動圓圓心C的軌跡方程為y2＝8x.
10.
答案
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11
12
(2)如圖，設軌跡C的焦點為F(2，0)，點P到直線y＝x+4的距離為|PP1|，到y軸的距離為|PP2|，點F到直線
y＝x+4的距離為|FF1|，
由拋物線的定義，
可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|+|PP2|
＝|PP1|+|PF|－2，
10.
答案
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
由圖可知|PP1|+|PF|的最小值為點F到直線y＝x+4的距離，
所以(|PP1|+|PF|)min
＝|FF1|＝＝3，
所以|PP1|+|PP2|的最小值為
3－2.
即點P到直線y＝x+4和y軸的距離之和的最小值為3－2.
10.
一、單項選擇題
1.(2025·德州模擬)拋物線x＝－2y2的焦點坐標為
A. B.
C. D.
1
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知識過關
答案
由拋物線方程x＝－2y2，可知拋物線標準方程為y2＝－x，
則p＝.
√
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答案
2.(2024·重慶模擬)已知點P(x，y)滿足＝|x＋1|，則點P的軌跡為
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓
表示點P(x，y)到點(1，0)的距離；|x＋1|表示點P(x，y)到直線x＝－1的距離.因為＝|x＋1|，所以點P(x，y)到點(1，0)
的距離等于點P(x，y)到直線x＝－1的距離，所以點P的軌跡為拋物線.
√
1
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11
12
答案
3.已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于
A. B. C.3 D.2
√
1
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3
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12
答案
過點Q作QQ'⊥l于點Q'，如圖.
∵＝4，
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦點F到準線l的距離為4，
∴|QF|＝|QQ'|＝×4＝3.
1
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11
12
答案
4.(2024·?？谀M)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線x＝1與拋物線E交于A，B兩點，直線x＝4與E交于C，D兩點，若A，B，C，D四點構成的梯形的面積為18，則|FA|＋|FB|＋|FC|＋|FD|等于
A.14 B.12 C.16 D.18
√
1
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12
答案
將x＝1代入y2＝2px，得y＝±，
將x＝4代入y2＝2px，得y＝±2，
所以|AB|＋|CD|＝2＋4＝6，
因為A，B，C，D四點構成的梯形的面積為18，
所以(|AB|＋|CD|)×(4－1)＝9＝18，
解得p＝2，則E的準線方程為x＝－1，
故由拋物線定義知|FA|＋|FB|＋|FC|＋|FD|＝(1＋1)＋(1＋1)＋(4＋1)＋(4＋1)＝14.
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12
答案
二、多項選擇題
5.(2025·八省聯考)已知F(2，0)是拋物線C：y2＝2px的焦點，M是C上的點，O為坐標原點.則
A.p＝4
B.|MF|≥|OF|
C.以M為圓心且過F的圓與C的準線相切
D.當∠OFM＝120°時，△OFM的面積為2
√
√
√
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答案
由題意得＝2，則p＝4，A正確；
設M(x0，y0)，則|MF|＝x0＋，|OF|＝，
又因為x0≥0，所以|MF|≥|OF|，B正確；
由拋物線的定義知M到F的距離與M到C的準線的距離相等，故以M為圓心且過F的圓與C的準線相切，C正確；
當∠OFM＝120°時，設M在第一象限，則x0>2，y0>0，
故kMF＝＝tan 60°＝，即x0＝＋2，
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答案
又＝8x0，
所以－8y0－16＝0，
解得y0＝4或y0＝－(舍去)，
所以S△OFM＝|OF|×|y0|＝×2×4＝4，D錯誤.
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12
答案
6.(2024·茂名模擬)過拋物線C：y2＝4x的焦點F作直線l交C于A，B兩點，則
A.|AB|的最小值為4
B.以AB為直徑的圓與C的準線相切
C.若|AB|＝5，則線段AB中點的橫坐標為2
D.＝1
√
√
√
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答案
結合拋物線的焦點弦中通徑最短，可得|AB|≥2p＝4，
故選項A正確；
設AB的中點為M，且A，B，M在準線上的投影分別為
A'，B'，M'，
由拋物線的定義可知|AA'|＝|AF|，|BB'|＝|BF|，
易知四邊形ABB'A'為直角梯形，所以|MM'|＝，
故以AB為直徑的圓與C的準線相切，故選項B正確；
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答案
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因為|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA'|＋|BB'|＝x1＋＋x2＋＝x1
＋x2＋p＝5，
所以x1＋x2＝3，所以線段AB中點的橫坐標為
，故選項C錯誤；
由拋物線的焦點弦的性質知，＝1，故選項D正確.
三、填空題
7.(2025·成都模擬)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓＝1的一個頂點，則p的值為　　　.
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答案
因為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為＝1的右頂點為
(4，0)，
由題意可得＝4，解得p＝8.
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答案
8.已知拋物線C：y2＝2x，焦點為F，準線為l，過拋物線C上一點P作PQ⊥l于點Q，若∠FPQ＝，則|PF|＝　　　.
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答案
如圖，設|PF|＝t，
∴|PQ|＝t，
則△QPF為等腰三角形，且∠QPF＝，∴∠PQF＝，
由余弦定理得|QF|＝t，
在Rt△QMF中，∠MQF＝，|MF|＝p＝1，
∴|MF|＝|QF|sin∠MQF＝t×＝1，
解得t＝，∴|PF|＝.
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答案
四、解答題
9.已知動點M與點F(2，0)的距離與其到直線x＝－2的距離相等.
(1)求動點M的軌跡方程；
由題意知動點M到F(2，0)的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以動點M的軌跡為以F(2，0)為焦點，以直線x＝－2為準線的拋物線，因此動點M的軌跡方程為y2＝8x.
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答案
(2)求點M與點A(6，0)的距離的最小值，并指出此時M的坐標.
設M，
由兩點間的距離公式得
|MA|＝
＝，
當m2＝16，即m＝±4時，|MA|min＝4，
即當M的坐標為(2，4)或(2，－4)時，點M與點A的距離最小，最小值為4.
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答案
10.已知動圓過定點(4，0)，且在y軸上截得的弦長為8.
(1)求動圓圓心C的軌跡方程；
設圓心C的坐標為(x，y)，
則半徑r＝，
又動圓在y軸上截得的弦長為8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化簡得y2＝8x，
即動圓圓心C的軌跡方程為y2＝8x.
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答案
(2)已知P為軌跡C上的一動點，求點P到直線y＝x＋4和y軸的距離之和的最小值.
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答案
如圖，設軌跡C的焦點為F(2，0)，點P到直線y＝x＋4的距離為|PP1|，到y軸的距離為|PP2|，點F到直線y＝x＋4的距離為|FF1|，
由拋物線的定義，可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由圖可知|PP1|＋|PF|的最小值為點F到直線y＝x＋4的距離，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3，
所以|PP1|＋|PP2|的最小值為3－2.
即點P到直線y＝x＋4和y軸的距離之和的最小值為3－2.
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答案
能力拓展
11.已知拋物線y2＝2px(p>0)上不同的三點A，B，C的橫坐標成等差數列，P為拋物線的焦點，則
A.A，B，C的縱坐標成等差數列
B.A，B，C到x軸的距離成等差數列
C.A，B，C到原點的距離成等差數列
D.A，B，C到點P的距離成等差數列
√
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答案
設點A，B，C的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，P，準線方程為x＝－，
因為拋物線y2＝2px(p>0)上不同的三點A，B，C的橫坐標成等差數列，所
以有2x2＝x1＋x3，于是有2，
根據拋物線定義可得2|BP|＝|AP|＋|CP|，顯然選項D正確；
當三點A，B，C的坐標分別為(0，0)，(2，2)，(4，2)時，因為p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此選項A不正確；
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答案
因為A，B，C到x軸的距離分別為0，2，2，p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此選項B不正確；
因為|AO|＝0，|BO|＝，|CO|＝，p>0，所以2×＝0＋不成立，因此選項C不正確.
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答案
12.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線分別交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為　　　　.
y2＝3x
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答案
返回
如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D，
準線與x軸交于點G，
設|BF|＝a，則|BC|＝2a，由拋物線的定義得|BD|＝a，故
∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝3＋3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴，∴p＝，
因此拋物線的方程為y2＝3x.(共84張PPT)
第八章
§8.9　直線與圓錐曲線的
　　　位置關系
數學
大
一
輪
復
習
1.了解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法.
2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.
3.能利用方程及數形結合思想解決焦點弦、中點弦問題.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.直線與圓錐曲線的位置判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交 Δ 0；直線與圓錐曲線相切 Δ 0；直線與圓錐曲線相離 Δ 0.
特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點.
②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點.
>
＝
<
2.弦長公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝
＝|x1－x2|
＝ ，
或|AB|＝|y1－y2|＝____________________________.
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)過點＋y2＝1相交.(　　)
(2)直線與拋物線只有一個公共點，則該直線與拋物線相切.(　　)
(3)與雙曲線漸近線平行的直線一定與雙曲線有公共點.(　　)
(4)圓錐曲線的通徑是所有的焦點弦中最短的弦.(　　)
√
√
×
√
2.若直線y＝kx＋2與橢圓＝1有且只有一個交點，則k的值是
A. B.－
C.± D.±
由
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由題意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
√
3.已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的長是
A.2 B.4 C.8 D.16
聯立
消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝×＝8.
√
4.已知點A，B是雙曲線C：＝1上的兩點，線段AB的中點是M(3，
2)，則直線AB的斜率為　　　.
方法一　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵點A，B是雙曲線C上的兩點，
∴＝1，＝1，
兩式相減得
，
∵M(3，2)是線段AB的中點，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴，
∴kAB＝.
方法二　由kAB·kOM＝，
得kAB＝·×.
1.已知M，N是橢圓C：＝1(a>b>0)上的兩點，點O為坐標原點，且P是M，N的中點，則kMN·kOP＝－.
2.若曲線為雙曲線＝1(a>0，b>0)，其余條件不變，則kMN·kOP＝.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)已知直線l的方程為mx＋y＋2m＝1，橢圓C的方程為＝1，則直線l與橢圓C的位置關系為
A.相離 B.相交
C.相切 D.不能確定
√
直線與圓錐曲線的位置關系
題型一
直線l：mx＋y＋2m＝1，
即m(x＋2)＋y－1＝0，
令
則直線l過定點(－2，1)，
因為<1，
則該定點在橢圓內，
則直線l與橢圓C的位置關系為相交.
(2)(2024·肇慶模擬)已知雙曲線E：＝1，則過點P(2，)與雙曲線E有且只有一個公共點的直線共有
A.4條 B.3條 C.2條 D.1條
√
分析條件可得，點P(2，)在雙曲線的漸近線y＝x上，
且位于第一象限，和雙曲線的右頂點有相同的橫坐標，
如圖，所以過P(2，)且與雙曲線E有且只有一個公共
點的直線只有兩條：一條是切線x＝2，一條是過點P(2，)且與另一條漸近線平行的直線.
(1)直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.
(2)直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行(或重合).
思維升華
跟蹤訓練1　(1)(2025·宿遷模擬)已知拋物線C：x2＝y，點M(m，1)，則“m>1”是“過M且與C僅有一個公共點的直線有3條”的
A.充分條件 B.必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
由于過M且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條，則當直線的斜率不存在時符合題意，此時直線為x＝m；
當直線的斜率存在時，設直線為y－1＝k(x－m)，
則
消去y整理得x2－kx＋km－1＝0，
所以Δ＝0，即關于k的方程k2－4km＋4＝0有兩個不同的解，
所以Δ1>0即16m2－16>0，
解得m<－1或m>1，
所以“m>1”是“過M且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條”的充分條件.
(2)已知直線y＝x與雙曲線＝1(a>0，b>0)無公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是　　　　 .
(1，]
雙曲線的一條漸近線為y＝x，因為直線y＝x與雙曲線無公共點，則0<≤1，
又＝e2－1，且e>1，
所以1弦長問題
題型二
例2　已知拋物線G：y2＝4x的焦點與橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點F重合，橢圓E的長軸長為4.
(1)求橢圓E的方程；
∵拋物線G：y2＝4x的焦點為(1，0)，
∴c＝1，又a＝2，則b2＝a2－c2＝3，
故橢圓E的方程為＝1.
(2)過點F且斜率為k的直線l交橢圓E于A，B兩點，交拋物線G于M，N兩點，求的值.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
直線l的方程為y＝k(x－1)，與橢圓E的方程聯立
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝144(k2＋1)>0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·，
直線l的方程y＝k(x－1)與拋物線G的方程聯立
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16(k2＋1)>0，
∴x3＋x4＝，x3x4＝1，
∴|MN|＝x3＋x4＋2＝.
故·.
(1)弦長公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點的弦長都可以用弦長公式求(過兩點的直線的斜率存在且不等于0).
(2)拋物線的焦點弦的弦長應選用更簡捷的弦長公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)設直線方程時應注意討論是否存在斜率.
思維升華
跟蹤訓練2　(2024·亳州模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，點P為橢圓C上任意一點，且△PF1F2的周長為6＋4.
(1)求橢圓C的方程；
由題意知
解得
則橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)直線l1：y＝x＋與直線l2：y＝x－分別交橢圓C于點A，B和點C，D，求四邊形ABCD的面積.
易知四邊形ABCD為平行四邊形，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立
消去y并整理得5x2＋9x＋9＝0，Δ＝63>0，
由根與系數的關系得x1＋x2＝－，x1x2＝，
則|AB|＝，
因為AB與CD平行，所以這兩條直線的距離d＝，
則平行四邊形ABCD的面積S＝|AB|·d＝×.
中點弦問題
題型三
例3　(1)已知直線l交拋物線C：x2＝－18y于M，N兩點，且MN的中點為(3，－2)，則直線l的斜率為
A.－3 B.－ C. D.－
√
由題意知直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則
兩式相減得＝－18(y1－y2)，
整理得＝－，
因為MN的中點為(3，－2)，
則x1＋x2＝2×3＝6，
所以k＝＝－＝－，
即直線l的斜率為－.
(2)(2024·肇慶模擬)已知直線l：x－y＋3＝0與雙曲線C：＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點，點P(1，4)是弦AB的中點，則雙曲線C的漸近線方程是
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±x D.y＝±4x
√
方法一　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得＝1，＝1，
兩式相減可得
，
由點P(1，4)是弦AB的中點，且直線l：x－y＋3＝0，
可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，
即有b2＝4a2，即b＝2a，
所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x.
方法二　由題意知kAB＝1，kOP＝4(O為坐標原點)，
則＝kAB·kOP＝4，
所以b2＝4a2，b＝2a，
故雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x.
解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路
(1)根與系數的關系法：聯立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數的關系及中點坐標公式求解.
(2)點差法：設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為C(x0，y0)，將這兩點坐標分別代入圓錐曲線(焦
點在x軸上)的方程，并對所得兩式作差，化簡得橢圓：kAB＝－·，雙曲線：kAB＝·.
思維升華
跟蹤訓練3　(2024·六安模擬)已知橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點，若AB的中點坐標為(1，－1)，則橢圓E的方程為
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
方法一　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
兩式相減可得，
整理可得＝－，
根據題意可知直線AB的斜率為，
由AB的中點坐標為(1，－1)可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
因此＝－＝－，可得a2＝2b2，
方法二　設AB的中點為P，O為坐標原點，
kAB＝，kOP＝＝－1，
則kAB·kOP＝－＝－，所以a2＝2b2，
由右焦點為F(3，0)可得a2－b2＝c2＝9，
解得b2＝9，a2＝18，
所以橢圓E的方程為＝1.
返回
課時精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D D D BCD BCD
題號 8 11 12 答案 50 C 24 答案
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(1)由橢圓C：+y2＝1，
可得a＝，b＝1，
則c＝＝1，
所以橢圓的離心率為e＝，
左焦點為F(－1，0).
9.
答案
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(2)由橢圓C：+y2＝1，
可得＝1，即＝1－，
當y0＝0時，
直線l的方程為x＝或x＝－，此時直線l與橢圓C相切；
當y0≠0時，
聯立方程組
9.
答案
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可得(2)x2－4x0x+4－4＝0，即x2－2x0x+＝0，
則Δ＝－4
＝4－4＝0，
所以直線l與橢圓C相切，
綜上可得，直線l：x0x+2y0y＝2與橢圓C相切.
9.
答案
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(1)因為雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，
所以雙曲線C為等軸雙曲線，
所以設所求雙曲線方程為
x2－y2＝m(m≠0)，
又雙曲線C經過點P(2，－)，
所以4－2＝m，即m＝2，
所以雙曲線C的方程為x2－y2＝2，
即標準方程為＝1.
10.
答案
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(2)根據題意可知直線l的斜率存在，又直線l過點Q(0，2)，所以設直線l的方程為y＝kx+2，
E(x1，y1)，F(x2，y2)，
所以原點O到直線l的距離d＝，
聯立
得(k2－1)x2+4kx+6＝0，
10.
答案
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所以k2≠1且Δ＝16k2－24(k2－1)＝24－8k2>0，
所以k2<3，且k2≠1，
x1+x2＝－，
x1x2＝，
所以|EF|＝·
＝·，
10.
答案
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所以△OEF的面積為·|EF|·d
＝···＝2，
所以＝1，
解得k2＝2，所以k＝±，
所以直線l的方程為y＝x+2或y＝－x+2.
10.
一、單項選擇題
1.已知直線2x＋y－2＝0與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，則|AB|等于
A. B.5 C.3 D.4
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知識過關
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答案
將2x＋y－2＝0與拋物線C：y2＝4x聯立得x2－3x＋1＝0，Δ>0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝3，
顯然拋物線焦點坐標為(1，0)，
令x＝1，即2＋y－2＝0，
得y＝0，則直線過焦點，
則|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
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答案
2.(2025·江西省部分高中學校聯考)若直線l：y＝x＋m與橢圓C：＝1沒有公共點，則m的取值范圍為
A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－，) D.(－∞，－)∪(，＋∞)
√
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答案
由
可得14x2＋18mx＋9m2－45＝0，
故Δ＝324m2－56(9m2－45)<0，
故m<－或m>.
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答案
3.(2025·張掖模擬)已知傾斜角為的直線l與橢圓C：＋y2＝1交于A，B兩點，P為AB的中點，O為坐標原點，則直線OP的斜率為
A.－1 B.－ C.－ D.－
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答案
方法一　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
則kAB＝＝1，x0＝，y0＝，
所以kOP＝，
所以kABkOP＝，
將A，B兩點坐標代入橢圓方程可得
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答案
兩式作差可得＝0，
所以kABkOP＝＝－，
則kOP＝－.
方法二　由題意得a2＝4，b2＝1，kAB＝1，
由kAB·kOP＝－，
即1×kOP＝－，所以kOP＝－.
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答案
4.已知雙曲線C：－x2＝1的下焦點和上焦點分別為F1，F2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點，若△F2AB面積是△F1AB面積的4倍，則m等于
A.3 B.－3 C. D.－
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答案
由C：－x2＝1可知F1(0，－2)，F2(0，2)，
聯立
消元得2x2－2mx＋3－m2＝0，
則Δ＝4m2－8(3－m2)>0，即m2>2，
由△F2AB面積是△F1AB面積的4倍，可知F2到直線AB的距離是F1到直線
AB距離的4倍，即＝4×，
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答案
化簡可得15m2＋68m＋60＝0，
即(3m＋10)(5m＋6)＝0，
解得m＝－或m＝－(舍去).
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答案
二、多項選擇題
5.平面直角坐標系中橢圓C的中心為原點，焦點在坐標軸上，點，均在橢圓C上，則
A.橢圓C的離心率為
B.直線l：kx＋y－k＝0與橢圓C相交
C.橢圓C的短軸長為2
D.若橢圓C上弦AB的中點坐標為，則直線AB的斜率為－
√
√
√
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答案
設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，且m≠n)，
則
所以橢圓方程為＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，e＝，故A錯誤；
直線l的方程可整理為k(x－1)＋y＝0，
令
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答案
所以直線l恒過定點(1，0)，
因為＋0<1，所以點(1，0)在橢圓＋y2＝1內，所以直線l與橢圓相交，
故B正確；
2b＝2，所以短軸長為2，故C正確；
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
兩式相減得＝－(y1＋y2)(y1－y2)，
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答案
因為弦AB的中點為，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
所以＝－(y1－y2)，
整理得kAB＝＝－，故D正確.
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答案
6.已知拋物線C：y＝4x2的焦點為F，A，B為C上的兩點，過A，B作C的兩條切線交于點P，設兩條切線的斜率分別為k1，k2，直線AB的斜率為k3，則
A.C的準線方程為y＝－1
B.k1，k3，k2成等差數列
C.若P在C的準線上，則k1k2＝－1
D.若P在C的準線上，則|AF|＋4|BF|的最小值為
√
√
√
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答案
拋物線C：x2＝y，拋物線C的準線方程為y＝－，A選項錯誤；
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵y'＝8x，∴k1＝8x1，k2＝8x2，
k3＝＝4(x2＋x1)，
∴k1＋k2＝2k3，B選項正確；
由上可知直線PA：y＝8x1x－4，
直線PB：y＝8x2x－4，
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答案
解得P，又P在C的準線上，
所以4x1x2＝－，x1x2＝－，k1k2＝64x1x2＝－1，
C選項正確；
|AF|＋4|BF|＝y1＋4y2＋＝4＋16≥16|x1x2|＋，
當且僅當x1＝－2x2時取等號，D選項正確.
三、填空題
7.已知A，B為雙曲線x2－＝1上兩點，且線段AB的中點坐標為(－1，
－4)，則直線AB的斜率為　　　.
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答案
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答案
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則兩式相減得
(x1＋x2)(x1－x2)＝，
由線段AB的中點坐標為(－1，－4)，
即－2(x1－x2)＝，
∴kAB＝.
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答案
8.已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A，B為C上的兩點.若直線FA的斜率
為，且·＝0，延長AF，BF分別交C于P，Q兩點，則四邊形ABPQ的
面積為　　　.
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答案
由題可知，拋物線的焦點為F(1，0)，
因為直線FA的斜率為，
所以直線AP的方程為y＝(x－1)，
與拋物線C的方程聯立，得x2－18x＋1＝0，
所以Δ＝(－18)2－4>0，
設A(x1，y1)，P(x2，y2)，
則x1＋x2＝18，x1x2＝1，
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答案
故|AP|＝·
＝×8＝20.
因為·＝0，所以FA⊥FB，
所以直線FB的斜率為－2，直線BQ的方程為y＝－2(x－1)，
與拋物線C的方程聯立，得x2－3x＋1＝0.
所以Δ＝(－3)2－4>0，
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答案
設B(x3，y3)，Q(x4，y4)，
則x3＋x4＝3，x3x4＝1，
故|BQ|＝·×＝5.
所以四邊形ABPQ的面積為
|AP|·|BQ|＝50.
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答案
四、解答題
9.已知點M(x0，y0)為橢圓C：＋y2＝1上任意一點，直線l：x0x＋2y0y＝2，
點F為橢圓C的左焦點.
(1)求橢圓C的離心率及左焦點F的坐標；
由橢圓C：＋y2＝1，
可得a＝，b＝1，則c＝＝1，
所以橢圓的離心率為e＝，
左焦點為F(－1，0).
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答案
(2)求證：直線l與橢圓C相切.
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答案
由橢圓C：＋y2＝1，
可得＝1，即＝1－，
當y0＝0時，直線l的方程為x＝或x＝－，此時直線l與橢圓C相切；
當y0≠0時，聯立方程組
可得(2)x2－4x0x＋4－4＝0，
即x2－2x0x＋＝0，
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答案
則Δ＝－4＝4－4＝0，
所以直線l與橢圓C相切，
綜上可得，直線l：x0x＋2y0y＝2與橢圓C相切.
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答案
10.已知雙曲線C的中心為坐標原點O，點P(2，－)在雙曲線C上，且其兩條漸近線相互垂直.
(1)求雙曲線C的標準方程；
因為雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，
所以雙曲線C為等軸雙曲線，
所以設所求雙曲線方程為x2－y2＝m(m≠0)，
又雙曲線C經過點P(2，－)，
所以4－2＝m，即m＝2，
所以雙曲線C的方程為x2－y2＝2，即標準方程為＝1.
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答案
(2)若過點Q(0，2)的直線l與雙曲線C交于E，F兩點，△OEF的面積為2，求直線l的方程.
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答案
根據題意可知直線l的斜率存在，又直線l過點Q(0，2)，所以設直線l的方程為y＝kx＋2，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
所以原點O到直線l的距離d＝，
聯立得(k2－1)x2＋4kx＋6＝0，
所以k2≠1且Δ＝16k2－24(k2－1)＝24－8k2>0，
所以k2<3，且k2≠1，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
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答案
所以|EF|＝··，
所以△OEF的面積為·|EF|·d
＝···＝2，
所以＝1，
解得k2＝2，所以k＝±，
所以直線l的方程為y＝x＋2或y＝－x＋2.
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答案
能力拓展
11.(2024·內江模擬)已知雙曲線C的方程為5x2－y2＝1，過點P(0，－1)作直
線l與雙曲線左、右兩支交于點M，N.若＝2，則直線l的方程為
A.y＝x－1 B.y＝x－1或y＝－x－1
C.y＝x－1或y＝－x－1 D.y＝x－1
√
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝kx－1，
聯立 (5－k2)x2＋2kx－2＝0，
則x1＋x2＝， ①
x1x2＝， ②
因為＝2，則－x1＝2x2， ③
①③聯立解得x1＝，x2＝，
代入②得k2＝1 k＝±1，
則直線l的方程為y＝x－1或y＝－x－1.
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答案
12.已知O為坐標原點，橢圓C：＝1的右焦點為F2，過點F2作與兩坐標軸既不平行也不重合的直線l與C交于不同的兩點A，B，若y軸上存在點Q，使得|AQ|＝|BQ|，則的最小值為　　　　.
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答案
由題意知F2(1，0)，設直線l的方程為x＝ty＋1，t≠0，
聯立消去x得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，Δ>0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝，y1y2＝，所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2＝，
|AB|＝·|y1－y2|＝·.
設線段AB的中點為P，則P，則線段AB的垂直平分線的方程為y＋＝－t，
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答案
返回
又|AQ|＝|BQ|，所以點Q在線段AB的垂直平分線上，令x＝0，得y＝，即Q，
所以＝12≥24，當且僅當|t|＝，即t＝±1時取等號，所以當t＝±1時，取得最小值24.(共72張PPT)
第八章
§8.10　圓錐曲線中的綜合
　　　 問題
數學
大
一
輪
復
習
1.圓錐曲線中的綜合問題是高考考查的重點內容，常見熱點題型有求值、證明問題，定點、定值問題，范圍、最值問題以及探索性問題.
2.以解答題的形式壓軸出現，難度較大.
重點解讀
例1　(2024·六盤水模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)過點M(3，4)，左、右頂點分別為A，B，直線MA與直線MB的斜率之和為3.
(1)求雙曲線C的標準方程；
求值與證明問題
題型一
依題意雙曲線的左、右頂點分別為A(－a，0)，B(a，0)，
所以kMA＋kMB＝＝3，
解得a2＝1，
將M(3，4)代入x2－＝1，得9－＝1，
解得b2＝2，
故雙曲線C的標準方程為x2－＝1.
(2)過雙曲線右焦點F2的直線l交雙曲線右支于P，Q(P在第一象限)兩點，＝3，E是雙曲線上一點，△PQE的重心在x軸上，求點E的坐標.
易知F2(，0)，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l的方程為x＝ty＋，
將x＝ty＋代入x2－＝1，
整理得(2t2－1)y2＋4ty＋4＝0，
則2t2－1≠0，且Δ＝16(t2＋1)>0，
則t2≠，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
又由＝3 y1＝－3y2，
代入上式得
得t2＝，－3＝－ y2＝－，
因為△PQE的重心在x軸上，所以yE＋y1＋y2＝0，
所以yE＝2y2＝－，
代入雙曲線的方程得xE＝±，
故E或E.
(1)求值問題即是根據條件列出對應的方程，通過解方程求解.
(2)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如：某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數量關系(相等或不等).
思維升華
跟蹤訓練1　(2024·雅安模擬)設F1，F2分別為橢圓C：＝1(a>b>0)
的左、右焦點，橢圓的短軸長為2，M是直線x＝2上除(2，0)外的任意一點，且直線MF2的斜率與直線MF1的斜率之比為3.
(1)求橢圓C的方程；
由已知得2b＝2，所以b＝1.
設M(2，y0)(y0≠0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
則·＝3，
所以c＝1，a＝，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)過右焦點F2且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點，設直線MA，MF2，MB的斜率分別為k1，k2，k3，證明：k1，k2，k3成等差數列.
如圖，設直線AB的方程為x＝my＋1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2，t)(t≠0)，
由得
(m2＋2)y2＋2my－1＝0，Δ＝8m2＋8>0，
則y1＋y2＝－，y1y2＝－，
k1＋k3＝
＝＝2t，
又k2＝t，所以k1＋k3＝2k2.所以k1，k2，k3成等差數列.
定點與定值問題
題型二
例2　(2024·北京模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的
離心率為，左、右頂點分別為A，B，左、右焦點分別為
F1，F2.過右焦點F2的直線l交橢圓于點M，N，且△F1MN
的周長為16.
(1)求橢圓C的標準方程；
由△F1MN的周長為16，
及橢圓的定義，可知4a＝16，即a＝4，
又離心率為e＝，
所以c＝2，
b2＝a2－c2＝16－4＝12.
所以橢圓C的標準方程為＝1.
(2)記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，證明：為定值.
依題意，直線l與x軸不重合，F2(2，0)，
設l的方程為x＝my＋2.
聯立
得(3m2＋4)y2＋12my－36＝0，
因為點F2在橢圓C內，所以Δ>0，
即(12m)2＋4(3m2＋4)×36>0，易知該不等式恒成立，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根與系數的關系，得
y1＋y2＝，y1y2＝.
又A(－4，0)，B(4，0)，則，
又，即my1y2＝3(y1＋y2)，
故
＝，為定值.
(1)求解直線或曲線過定點問題的基本思路
①把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數都成立，這時參數的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點.
②由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y＝kx＋m，則直線必過定點(0，m).
思維升華
(2)圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略
①求代數式為定值.依題設條件，得出與代數式參數有關的等式，代入代數式，化簡即可求得.
②求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形即可求得.
③求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據題設條件對解析式進行化簡、變形即可求得.
思維升華
跟蹤訓練2　已知拋物線E：y2＝4x，點A，B，C，D都在拋物線E上.
(1)若點A與點C的縱坐標之和為2，求直線AC的斜率；
設A(x1，y1)，C(x2，y2)，
則y1＋y2＝2，
由＝4(x1－x2)，
即＝2，
所以直線AC的斜率為2.
(2)若直線AC，BD均過定點(2，0)，且AC⊥BD，M，N分別為AC，BD的中點，證明：直線MN過定點.
由題意可知直線AC，BD的斜率均存在，設直線AC的方程為x＝my＋2(m≠0)，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
則由得y2－4my－8＝0，
Δ＝16m2＋32>0，則y1＋y2＝4m，
設線段AC的中點M的坐標為(xM，yM)，
則yM＝＝2m，
xM＝myM＋2＝2m2＋2，所以M(2m2＋2，2m)，
同理N，
①當m＝±1時，M，N兩點的坐標為(4，2)和(4，－2)，直線MN的方程為x＝4；
②當m≠±1時，直線MN的斜率為kMN＝，
則直線MN的方程為y－2m＝(x－2m2－2)，
即y＝x－(x－4)，
所以直線MN過定點(4，0)，
綜合①②可知直線MN過定點(4，0).
范圍與最值問題
題型三
例3　(2025·商洛模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的離心率為2，實軸的左、右頂點分別為A1，A2，虛軸的上、下頂點分別為B1，B2，且四邊形A1B1A2B2的面積為2.
(1)求雙曲線C的標準方程；
由雙曲線的幾何性質可知，四邊形A1B1A2B2是菱形，且|A1A2|＝2a，|B1B2|＝2b，
∴四邊形A1B1A2B2的面積為×2a×2b＝2， ①
又離心率為e＝＝2， ②
a2＋b2＝c2， ③
聯立①②③可得a＝1，b＝，c＝2，
∴雙曲線C的標準方程為x2－＝1.
(2)已知直線l：y＝kx＋m(km≠0)與雙曲線C交于P，Q兩點，若|B1P|＝|B1Q|，求實數m的取值范圍.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，B1(0，)，
線段PQ的中點為M(x0，y0)，
聯立
消去y整理可得(k2－3)x2＋2kmx＋m2＋3＝0，
∴
即m2－k2＋3>0且k≠±， ④
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x0＝，y0＝kx0＋m＝.
∵|B1P|＝|B1Q|，∴B1M⊥PQ.
∴＝－，
∴3－k2＝m， ⑤
又k2＝3－m>0， ⑥
由④⑤⑥得m<－或0∴實數m的取值范圍是∪.
圓錐曲線中最值的求法
(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決.
(2)代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值，求函數最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數的單調性法等.
思維升華
跟蹤訓練3　(2024·咸陽模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上的點(4，a)到其準線的距離為5.
(1)求拋物線C的方程；
由拋物線C的方程可得其準線方程為x＝－，
依題意得＋4＝5，解得p＝2.
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)過點(2，1)的直線與拋物線C交于A，B兩點，與x軸交于點H(x0，0)，圓H：＋y2＝4與x軸交于點M，求△ABM面積的最小值.
依題意可設直線AB的方程為x＝m(y－1)＋2，
聯立
消去x得y2－4my＋4m－8＝0，
Δ＝16m2－16m＋32>0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－8.
∴|y1－y2|＝＝4.
依題意知|MH|＝2，
∴S△ABM＝×|y1－y2|×|MH|＝4.
∵m2－m＋2＝，
∴S△ABM≥2，
即△ABM面積的最小值為2.
課時精練
答案
1
2
3
4
(1)由題意知b＝1，
所以橢圓C的方程為+y2＝1，
代入點，得a2＝2，
所以橢圓C的標準方程為
+y2＝1.
1.
答案
1
2
3
4
(2)△EMN為直角三角形，證明如下：
設直線l：
y＝kx－，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯立
消去y得(9+18k2)x2－12kx－16＝0，易知Δ>0，
1.
答案
1
2
3
4
則x1+x2＝，
x1x2＝－，
又因為＝(x1，y1－1)，
＝(x2，y2－1)，
所以·
＝x1x2+(y1－1)(y2－1)
1.
答案
1
2
3
4
＝x1x2+
＝(1+k2)x1x2－k(x1+x2)+＝(1+k2)
·＝0，
所以EM⊥EN，故△EMN為直角三角形.
1.
答案
1
2
3
4
(1)由題可得16＝8p，
解得p＝2，所以F(1，0)，
S△MOF＝|OF|yM
＝×1×4＝2.
(2)由(1)可知拋物線C的方程為y2＝4x.
由題意可知直線AB不與x軸平行，設直線AB的方程為
x＝my+b，
2.
答案
1
2
3
4
A，B，
則y1，y2≠±4.
聯立方程
整理可得y2－4my－4b＝0，
則Δ＝16m2+16b>0，
且y1+y2＝4m， ①
y1y2＝－4b. ②
2.
答案
1
2
3
4
kMA＝，
同理可得kMB＝.
由題意得kMA·kMB＝×＝－2，
即4(y1+y2)+y1y2+24＝0，
將①②代入可得16m－4b+24＝0，即b＝4m+6.
2.
答案
1
2
3
4
故直線AB的方程可化為
x＝my+4m+6，
即x－6＝m(y+4)，
所以直線AB過定點(6，－4).
2.
答案
1
2
3
4
(1)雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為
y＝±x，
又一條漸近線方程為x+2y＝0，
所以，
又焦點到漸近線的距離為1，
即＝1，
所以c＝，
3.
答案
1
2
3
4
又c＝，
所以a2＝4，b2＝1，
則雙曲線C的方程為－y2＝1.
3.
答案
1
2
3
4
(2)由(1)可得A(2，0)，B(0，－1)，
則直線AB的方程為y＝x－1，設l：y＝kx，
E(x1，y1)，F(－x1，－y1)，M(x2，y2)，
由題意可知0由△AFM的面積是△AEM面積的5倍，
可得|FM|＝5|EM|，
即x1+x2＝5(x2－x1)，
3.
答案
1
2
3
4
所以x2＝x1，由
消去y可得kx＝x－1，
解得x2＝，由
消去y可得(1－4k2)x2＝4，
解得x1＝，
3.
答案
1
2
3
4
由x2＝x1，
可得52k2－36k+5＝0，
解得k＝或k＝(舍去)，
當k＝時，x2＝，x1＝，
符合題意，
所以直線l的斜率為.
3.
答案
1
2
3
4
(1)∵橢圓C：＝1(a>b>0)過點(2，1)，且離心率為，
∴解得
∴橢圓C的方程為＝1.
4.
答案
1
2
3
4
(2)由題得圓的圓心為(0，0)，
半徑為，
當切線斜率不存在時，切點即為Q，此時|OQ|＝；
當切線斜率存在時，設切線方程為y＝kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立方程得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2－6＝0，
4.
答案
1
2
3
4
∴x1+x2＝－，
x1x2＝，
∴y1+y2＝k(x1+x2)+2m
＝，
∴Q，
∵直線AB與圓O相切，
4.
答案
1
2
3
4
∴，
即m2＝2(1+k2)，
∴|OQ|2＝
＝
＝2，
當k＝0時，|OQ|＝；
4.
答案
1
2
3
4
當k≠0時，
|OQ|＝，
∵4k2+≥2＝4，
當且僅當4k2＝時等號成立，
∴<|OQ|≤，
∴當切線斜率存在時，≤|OQ|≤，
4.
答案
1
2
3
4
綜上可得，|OQ|的最大值為，
此時4k2＝，即k＝±，
∴m2＝2(1+k2)＝3，即m＝±，
∴直線AB的方程為
y＝x±或y＝－x±.
4.
1.已知橢圓C：＝1(a>b>0)的上頂點為E(0，1)，且經過點.
(1)求橢圓C的標準方程；
1
2
3
4
知識過關
答案
由題意知b＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1，
代入點，得a2＝2，
所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.
(2)過點且斜率存在的直線l與橢圓C交于M，N兩點，判斷△EMN的形狀并給出證明.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
△EMN為直角三角形，證明如下：
設直線l：y＝kx－，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯立
消去y得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，易知Δ>0，
則x1＋x2＝，x1x2＝－，
又因為＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
1
2
3
4
答案
＝x1x2＋
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·＝0，
所以EM⊥EN，故△EMN為直角三角形.
1
2
3
4
答案
2.(2025·安康模擬)已知M(4，4)為拋物線C：y2＝2px(p>0)上的一點，F為C的焦點，O為坐標原點.
(1)求△MOF的面積；
由題可得16＝8p，解得p＝2，
所以F(1，0)，S△MOF＝|OF|yM＝×1×4＝2.
1
2
3
4
答案
(2)若A，B為拋物線C上的兩個動點，直線MA與MB的斜率之積恒等于－2，證明：直線AB過定點.
1
2
3
4
答案
由(1)可知拋物線C的方程為y2＝4x.
由題意可知直線AB不與x軸平行，設直線AB的方程為x＝my＋b，
A，B，
則y1，y2≠±4.
聯立方程
整理可得y2－4my－4b＝0，
則Δ＝16m2＋16b>0，且y1＋y2＝4m， ①
y1y2＝－4b. ②
1
2
3
4
答案
kMA＝，
同理可得kMB＝.
由題意得kMA·kMB＝×＝－2，
即4(y1＋y2)＋y1y2＋24＝0，
將①②代入可得16m－4b＋24＝0，即b＝4m＋6.
故直線AB的方程可化為x＝my＋4m＋6，
即x－6＝m(y＋4)，
所以直線AB過定點(6，－4).
1
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3
4
答案
3.(2024·酒泉模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x＋2y＝0，且焦點到漸近線的距離為1.
(1)求雙曲線C的方程；
1
2
3
4
答案
雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，
又一條漸近線方程為x＋2y＝0，
所以，
又焦點到漸近線的距離為1，
即＝1，
所以c＝，
又c＝，所以a2＝4，b2＝1，
則雙曲線C的方程為－y2＝1.
1
2
3
4
答案
(2)若雙曲線C的右頂點為A，B(0，－b)，過坐標原點的直線l與C交于E，F兩點，與直線AB交于點M，且點E，M都在第一象限，△AFM的面積是△AEM面積的5倍，求直線l的斜率.
1
2
3
4
答案
由(1)可得A(2，0)，B(0，－1)，
則直線AB的方程為y＝x－1，設l：y＝kx，
E(x1，y1)，F(－x1，－y1)，M(x2，y2)，
由題意可知0由△AFM的面積是△AEM面積的5倍，
可得|FM|＝5|EM|，即x1＋x2＝5(x2－x1)，
所以x2＝x1，
由
1
2
3
4
答案
消去y可得kx＝x－1，
解得x2＝，
由
消去y可得(1－4k2)x2＝4，
解得x1＝，
由x2＝x1，
可得52k2－36k＋5＝0，
1
2
3
4
答案
解得k＝或k＝(舍去)，
當k＝時，x2＝，x1＝，符合題意，
所以直線l的斜率為.
1
2
3
4
答案
4.(2024·晉中模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)過點(2，1)，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
能力拓展
1
2
3
4
答案
∵橢圓C：＝1(a>b>0)過點(2，1)，且離心率為，
∴
解得
∴橢圓C的方程為＝1.
1
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3
4
答案
(2)已知圓的方程為x2＋y2＝2，過圓上任意一點作圓的切線，切線與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，設Q為AB的中點，當|OQ|取最大值時，求直線AB的方程.
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2
3
4
答案
由題得圓的圓心為(0，0)，半徑為，
當切線斜率不存在時，切點即為Q，此時|OQ|＝；
當切線斜率存在時，設切線方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立方程得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
1
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3
4
答案
∴Q，
∵直線AB與圓O相切，
∴，
即m2＝2(1＋k2)，
∴|OQ|2＝＝2，
當k＝0時，|OQ|＝；
當k≠0時，|OQ|＝，
1
2
3
4
答案
∵4k2＋≥2＝4，
當且僅當4k2＝時等號成立，
∴<|OQ|≤，
∴當切線斜率存在時，≤|OQ|≤，
綜上可得，|OQ|的最大值為，
此時4k2＝，即k＝±，
∴m2＝2(1＋k2)＝3，即m＝±，
∴直線AB的方程為y＝x±或y＝－x±.

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