資源簡介

(共60張PPT)
第三章
§3.1　導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
課標(biāo)要求
課時(shí)精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實(shí)主干知識
第二部分 探究核心題型
落實(shí)主干知識
第一部分
1.導(dǎo)數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作 或 .
f '(x0)＝____________________.
(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))
f '(x)＝y(tǒng)'＝.
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的 ，相應(yīng)的切線方程為 .
f '(x0)
y'
斜率
y－f(x0)＝f '(x0)(x－x0)
基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù)) f '(x)＝____
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f '(x)＝_______
f(x)＝sin x f '(x)＝_______
f(x)＝cosx f '(x)＝_______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f '(x)＝_______
3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
0
αxα－1
cosx
－sin x
axln a
基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝ex f '(x)＝____
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f '(x)＝______
f(x)＝ln x f '(x)＝____
ex
4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
若f '(x)，g'(x)存在，則有
[f(x)±g(x)]'＝ ；
[f(x)g(x)]'＝ ；
'＝___________________(g(x)≠0)；
[cf(x)]'＝ .
5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x＝
，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
f '(x)±g'(x)
f '(x)g(x)＋f(x)g'(x)
cf '(x)
y'u·u'x
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)f '(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(　　)
(2)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.(　　)
(3)f '(x0)＝[f(x0)]'.(　　)
(4)(e－x) '＝－e－x.(　　)
√
×
×
×
2.若函數(shù)f(x)＝ln x－2x＋1，則f '等于
A.0 B. C. D.
f '(x)＝－2，
所以f '＝2－2＝0.
√
3.(2025·開封模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x，則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為
A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0
C.x·ln 2－y－1＝0 D.x·ln 2－y＋1＝0
函數(shù)f(x)＝2x，求導(dǎo)得f '(x)＝2xln 2，則f '(0)＝ln 2，而f(0)＝1，所以所求切線方程為y－1＝ln 2·(x－0)，即x·ln 2－y＋1＝0.
√
4.設(shè)曲線y＝e2ax在點(diǎn)(0，1)處的切線與直線2x－y＋1＝0垂直，則a的值為　　　　.
－
∵y＝e2ax，∴y'＝e2ax·(2ax) '＝2a·e2ax，
∴在點(diǎn)(0，1)處的切線斜率k＝y(tǒng)'|x＝0＝2ae0＝2a，
又∵切線與直線2x－y＋1＝0垂直，
∴2a×2＝－1，∴a＝－.
1.巧記兩個(gè)常用結(jié)論
(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).
(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f '(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f '(x)|反映了變化的快慢，|f '(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡峭”.
微點(diǎn)提醒
2.明確兩點(diǎn)不同
區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線：在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條.過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條.
3.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)
(1)在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，每一步求導(dǎo)分不清哪個(gè)變量對哪個(gè)變量的求導(dǎo)而致誤.
(2)牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，切忌記錯(cuò)記混.
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微點(diǎn)提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是
A.(ln 7)'＝ B.[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cosx
C.'＝ D.[ln(3x＋2)]'＝
√
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
題型一
√
(ln 7)'＝0，故A錯(cuò)誤；
[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cosx，故B正確；
'＝，故C正確；
[ln(3x＋2)]'＝，故D錯(cuò)誤.
(2)(2024·烏魯木齊模擬)已知函數(shù)f(x)＝2f '(2)x－x2＋ln x，則f '(1)＝　 　.
由函數(shù)f(x)＝2f '(2)x－x2＋ln x，可得f '(x)＝2f '(2)－x＋，
令x＝2，可得f '(2)＝2f '(2)－3＋，解得f '(2)＝，所以f(x)＝5x－x2＋ln x，可得f '(x)＝5－x＋，所以f '(1)＝5－＋1＝.
(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).
(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.
(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)下列命題正確的有
A.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，若f '(1)＝2，則＝2
B.'＝
C.已知函數(shù)f(x)＝xe－x，若f '(x0)＝0，則x0＝1
D.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f '(x)，且f(x)＝x2＋3xf '(2)＋ln x，則f '(2)＝－
√
√
對于A，＝2＝2f '(1)＝4，故A錯(cuò)誤；
對于B，'＝，故B錯(cuò)誤；
對于C，f '(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，若f '(x0)＝0，則(1－x0)＝0，即x0＝1，故C正確；
對于D，f '(x)＝2x＋3f '(2)＋，故f '(2)＝4＋3f '(2)＋，故f '(2)＝－，故D正確.
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
題型二
例2　(2025·福州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝＋2x，則曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為
A.2x－2y＋1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y＋1＝0 D.2x－y＋1＝0
√
命題點(diǎn)1　求切線方程
由題意知f '(x)＝＋2，f(0)＝1，
∴曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率為f '(0)＝＋2＝1，
∴曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0.
例3　(2024·石家莊模擬)若曲線y＝(1－x)ex有兩條過點(diǎn)A(a，0)的切線，則a的取值范圍是
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B.(－3，1)
C.(－∞，－3)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
√
命題點(diǎn)2　求參數(shù)的值(范圍)
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，(1－x0))，
由已知得y'＝－xex，則切線斜率k＝－x0，
切線方程為y－(1－x0)＝－x0(x－x0).
∵直線過點(diǎn)A(a，0)，∴－(1－x0)＝－x0(a－x0)，化簡得－(a＋1)x0
＋1＝0.
∵切線有2條，
∴Δ＝(a＋1)2－4>0，解得a<－3或a>1，
則a的取值范圍是(－∞，－3)∪(1，＋∞).
例4　(2025·廣州模擬)設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝ex上，點(diǎn)Q在直線y＝x上，則|PQ|的最小值為
A. B. C. D.
令y'＝ex＝，得x＝－1，代入曲線y＝ex中，得P，所以|PQ|的最小值即為點(diǎn)到直線y＝x的距離d＝.
√
命題點(diǎn)3　切線的應(yīng)用
(1)處理與切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程：
①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.
(2)注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P的切線”.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)若曲線y＝ex＋x在點(diǎn)(0，1)處的切線也是曲線y＝ln(x＋1)＋a的切線，則a＝　　　　.
ln 2
由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，
當(dāng)x＝0時(shí)，y'＝e0＋1＝2，
故曲線y＝ex＋x在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y＝2x＋1.
由y＝ln(x＋1)＋a得y'＝，
設(shè)切線與曲線y＝ln(x＋1)＋a相切的切點(diǎn)為(x0，y0)，
由兩曲線有公切線得y'＝＝2，
解得x0＝－，代入切線方程y＝2x＋1得y0＝2×＋1＝0，
則y＝ln(x0＋1)＋a＝0，
即ln＋a＝0，解得a＝ln 2.
(2)若函數(shù)f(x)＝x－＋aln x存在與x軸平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　.
(－∞，－2]
f '(x)＝1＋(x>0)，
依題意得f '(x)＝1＋＝0有解，
即－a＝x＋有解，
∵x>0，∴x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號，
∴－a≥2，即a≤－2.
兩曲線的公切線
題型三
例5　直線l與曲線y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，則l的斜率為
A. B.1 C.2 D.e
√
由y＝ex＋1，可得y'＝ex；
由y＝ex＋1，可得y'＝ex＋1，
設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，＋1)和(x2)，直線l的斜率k＝，
故x1＝x2＋1，即x1≠x2，
所以k＝＝1，
即直線l的斜率為1.
公切線問題應(yīng)根據(jù)兩曲線在切點(diǎn)處切線的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解.或者分別求出兩曲線的切線，利用兩切線重合列方程組求解.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(2024·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2與g(x)＝ln x的圖象在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù)a的值為　　　.
設(shè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)(x0>0)，
∵f '(x)＝2ax，g'(x)＝，
則
　
返回
課時(shí)精練
對一對
答案
1
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11
12
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 A C B B AC AD 2
題號 8 11 12 答案 2 答案
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12
(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3－ax2＋b的圖象過點(diǎn)(2，4)，所以b＝4a－4. ①
又f '(x)＝3x2－2ax，f '(1)＝1，
所以f '(1)＝3×12－2a＝3－2a＝1， ②
由①②解得a＝1，b＝0.
9.
答案
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(2)由(1)知f(x)＝x3－x2，
設(shè)所求切線在曲線y＝f(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m3－m2)，則f '(m)＝3m2－2m，
所以切線方程為y－m3＋m2＝(3m2－2m)(x－m)，
又切線過點(diǎn)(0，－1)，所以2m3－m2－1＝0，
可得2m3－2－m2＋1＝0，
即2(m3－1)－(m2－1)＝0，
即(m－1)(2m2＋m＋1)＝0，解得m＝1，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，切線方程為x－y－1＝0.
故曲線y＝f(x)過點(diǎn)(0，－1)的切線方程為x－y－1＝0.
9.
答案
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(1)由導(dǎo)數(shù)公式得f '(x)＝－3x2＋1，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，切線方程為y－1＝k(x－1)，
由題意可得解得
從而切線方程為2x＋y－3＝0或x－4y＋3＝0.
10.
答案
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(2)由(1)可得曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y＝－2x＋3，
由g'(x)＝－2e－2x＋1，
可得曲線y＝g(x)在x＝t(t∈R)處的切線斜率為g'(t)＝－2e－2t＋1，
由題意可得－2e－2t＋1＝－2，從而t＝，
此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線y＝g(x)在x＝處的切線方程為y－1＝－2，
即y＝－2x＋2，符合題意，所以t＝.
10.
一、單項(xiàng)選擇題
1.若f(x)＝ln(－x)，則 f '(－2 026)等于
A.－ B.－2 026 C. D.2 026
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知識過關(guān)
答案
由f(x)＝ln(－x)得f '(x)＝，則f '(－2 026)＝－.
√
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答案
2.一個(gè)做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位移s(m)與時(shí)間t(s)的關(guān)系式為s＝100t－5t2，則該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為0 m/s時(shí)，t等于
A.50 s B.20 s C.10 s D.5 s
由題意知s＝100t－5t2，則s'＝100－10t，令s'＝0，則t＝10，即當(dāng)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為0 m/s時(shí)，時(shí)間t＝10 s.
√
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答案
3.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f '(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是
A.0B.0C.0D.0√
由函數(shù)f(x)的圖象可知f(x)為增函數(shù)，
故函數(shù)在每一處的導(dǎo)數(shù)值f '(x)>0，即得f '(3)>0，f '(2)>0，
設(shè)A(2，f(2))，B(3，f(3))，則直線AB的斜率為
＝f(3)－f(2)，
由于曲線是上升的，故f(3)>f(2)，∴f(3)－f(2)>0，
作出曲線在x＝2，x＝3處的切線，設(shè)為l1，l3，直線AB為l2，它們的斜率分別為k1，k2，k3，
結(jié)合圖象可得l1，l2，l3的斜率滿足k3即01
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答案
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12
答案
4.已知函數(shù)f(x)＝xex＋1，過點(diǎn)P(2，1)可作曲線y＝f(x)的切線條數(shù)為
A.1 B.2 C.3 D.4
由f(x)＝xex＋1，得f '(x)＝(x＋1)ex.
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x0＋1)，
則切線方程為y－x0－1＝(x0＋1)(x－x0)，
把(2，1)代入可得－x0(x0＋1)(2－x0)，即－2x0－2＝0，
因?yàn)棣ぃ?2>0，所以該方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故切線有2條.
√
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答案
二、多項(xiàng)選擇題
5.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是
A.若y＝(x＋1)ln x，則y'＝ln x＋＋1
B.'＝－sin
C.'＝－2xln 2
D.(ln 2x)'＝
√
√
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答案
對于A，若y＝(x＋1)ln x，則y'＝ln x＋＝ln x＋＋1，故A正確；
對于B，'＝0，故B錯(cuò)誤；
對于C，'＝'－2xln 2＝－2xln 2，故C正確；
對于D，(ln 2x)'＝，故D錯(cuò)誤.
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12
答案
6.若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是
A.f(x)＝cosx B.f(x)＝ln x
C.f(x)＝ex D.f(x)＝x2
√
√
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答案
由題意y＝f(x)具有T性質(zhì)，則存在x1，x2，使得f '(x1)f '(x2)＝－1.
對于選項(xiàng)A，因?yàn)閒 '(x)＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f '(x1)f '(x2)＝－1；
對于選項(xiàng)B，因?yàn)閒 '(x)＝>0，不存在x1，x2，使得f '(x1)f '(x2)＝－1；
對于選項(xiàng)C，因?yàn)閒 '(x)＝ex>0，不存在x1，x2，使得f '(x1)f '(x2)＝－1；
對于選項(xiàng)D，因?yàn)閒 '(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f '(x1)f '(x2)＝4x1x2＝－1.
三、填空題
7.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f '(x)，那么在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f(b)－f(a)＝f '(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)f(x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為　　　.
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答案
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答案
∵＝2，f '(x)＝3x2－2，
令3x2－2＝2，
解得x＝－∈[－2，2]或x＝∈[－2，2]，
∴f(x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.
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答案
8.(2025·漢口模擬)已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x－2y＋1＝0，記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f '(x)，則f '(－1)＝　　 　.
因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，
所以f(x)＝f(－x)，
兩邊求導(dǎo)，可得[f(x)]'＝[f(－x)]' f '(x)＝f '(－x)·(－x) ' f '(x)＝－f '(－x).
又f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x－2y＋1＝0，所以f '(1)＝.
所以f '(－1)＝－f '(1)＝－.
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答案
四、解答題
9.已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋b(a，b∈R)的圖象過點(diǎn)(2，4)，且f '(1)＝1.
(1)求a，b的值；
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3－ax2＋b的圖象過點(diǎn)(2，4)，所以b＝4a－4. ①
又f '(x)＝3x2－2ax，f '(1)＝1，
所以f '(1)＝3×12－2a＝3－2a＝1， ②
由①②解得a＝1，b＝0.
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答案
(2)求曲線y＝f(x)過點(diǎn)(0，－1)的切線方程.
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答案
由(1)知f(x)＝x3－x2，
設(shè)所求切線在曲線y＝f(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m3－m2)，則f '(m)＝3m2－2m，
所以切線方程為y－m3＋m2＝(3m2－2m)(x－m)，
又切線過點(diǎn)(0，－1)，所以2m3－m2－1＝0，
可得2m3－2－m2＋1＝0，
即2(m3－1)－(m2－1)＝0，
即(m－1)(2m2＋m＋1)＝0，解得m＝1，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，切線方程為x－y－1＝0.
故曲線y＝f(x)過點(diǎn)(0，－1)的切線方程為x－y－1＝0.
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答案
10.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋x＋1，g(x)＝e－2x＋1.
(1)求曲線y＝f(x)過點(diǎn)(1，1)的切線方程；
由導(dǎo)數(shù)公式得f '(x)＝－3x2＋1，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，切線方程為y－1＝k(x－1)，
由題意可得解得
從而切線方程為2x＋y－3＝0或x－4y＋3＝0.
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答案
(2)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線y＝g(x)在x＝t(t∈R)處的切線平行，求t的值.
由(1)可得曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y＝－2x＋3，
由g'(x)＝－2e－2x＋1，
可得曲線y＝g(x)在x＝t(t∈R)處的切線斜率為g'(t)＝－2e－2t＋1，
由題意可得－2e－2t＋1＝－2，從而t＝，
此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線y＝g(x)在x＝處的切線方程為y－1＝－2，
即y＝－2x＋2，符合題意，所以t＝.
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答案
能力拓展
11.若直線y＝x＋m與曲線y＝ax2和y＝ln x均相切，則a＝　　　.
設(shè)直線y＝x＋m與y＝ln x相切于點(diǎn)(x0，ln x0)，
因?yàn)閥＝ln x的導(dǎo)函數(shù)為y'＝，
所以＝1，且ln x0＝x0＋m，
解得x0＝1，m＝－1.
因?yàn)橹本€y＝x－1與曲線y＝ax2相切，
聯(lián)立得ax2－x＋1＝0，a≠0且Δ＝1－4a＝0，即a＝.
　
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答案
12.我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)x→0時(shí)，型，兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無窮小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法(洛必達(dá)法則)，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.
如：＝1，則＝　　　.
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答案
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由題可得
＝2.(共62張PPT)
第三章
§3.2　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的
單調(diào)性(一)
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.
2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).
課標(biāo)要求
課時(shí)精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實(shí)主干知識
第二部分 探究核心題型
落實(shí)主干知識
第一部分
1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
條件 恒有 結(jié)論
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo) f '(x)>0 f(x)在區(qū)間(a，b)上__________
f '(x)<0 f(x)在區(qū)間(a，b)上__________
f '(x)＝0 f(x)在區(qū)間(a，b)上是__________
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
常數(shù)函數(shù)
2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
第1步，確定函數(shù)f(x)的 ；
第2步，求出導(dǎo)數(shù)f '(x)的 ；
第3步，用f '(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f '(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.
定義域
零點(diǎn)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f '(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.
(　　)
(2)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f '(x)>0.(　　)
(3)在(a，b)內(nèi)f '(x)≤0且f '(x)＝0的根有有限個(gè)，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.
(　　)
(4)函數(shù)f(x)＝x－sin x在R上是增函數(shù).(　　)
√
√
×
√
2.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是
A.f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞增
B.f(x)在(1，3)上單調(diào)遞減
C.f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減
D.f(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增
√
當(dāng)x∈(－3，0)時(shí)，f '(x)<0，故f(x)在(－3，0)上單調(diào)
遞減；
當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f '(x)>0，故f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(2，4)時(shí)，f '(x)<0，故f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，f '(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，
顯然C正確，其他選項(xiàng)錯(cuò)誤.
3.函數(shù)f(x)＝xln x的單調(diào)遞減區(qū)間為
A. B.
C.(1，＋∞) D.(0，1)
函數(shù)f(x)的定義域是(0，＋∞)，由已知f '(x)＝ln x＋1，由f '(x)＝ln x＋1<0得0√
4.(2025·南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則a＝　　　.
3
由題意可得，f '(x)＝2x－a＋<0的解集為，則a＝3.
謹(jǐn)防四個(gè)易誤點(diǎn)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.
(2)不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式.
(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，可得f '(x)≥0(或f '(x)≤0)在該區(qū)間恒成立，而不是f '(x)>0(或f '(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要時(shí)還需對“＝”進(jìn)行檢驗(yàn).
(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f '(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f '(x)<0有解.
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微點(diǎn)提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(2025·鹽城模擬)已知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，f(x)的圖象如圖，則其導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象可能為
函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系
題型一
√
觀察圖象知，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，f '(x)<0，選項(xiàng)B，D不滿足；
當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，然后又
單調(diào)遞增，則f '(x)的值先正，再負(fù)，然后又為正，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，A滿足，C不滿足.
(2)(2024·南京模擬)若定義在R上的函數(shù)y＝x3f '(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
A.[0，1]
B.[0，2]
C.(－∞，0]
D.(－∞，2]
√
由題圖可得，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，由y＝x3f '(x)≥0得f '(x)≥0，y＝f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增；
當(dāng)x>2時(shí)，由y＝x3f '(x)<0得f '(x)<0，y＝f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x<0時(shí)，由y＝x3f '(x)>0得f '(x)<0，y＝f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，
綜上，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，2].
(1)由原函數(shù)圖象識別導(dǎo)函數(shù)圖象的依據(jù)
若f(x)單調(diào)遞增，則f '(x)的圖象一定在x軸的上方；若f(x)單調(diào)遞減，則f '(x)的圖象一定在x軸的下方；若f(x)是常函數(shù)，則f '(x)＝0.
(2)由導(dǎo)函數(shù)圖象識別原函數(shù)圖象的依據(jù)
若f '(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，若f '(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(2025·常州模擬)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f '(x)，則>0的解集為
A.
B.
C.∪
D.∪
√
由題意，>0 f '(x)·f(x)>0，
由圖可知，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f '(x)>0；
當(dāng)x∈時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，f '(x)<0，
所以當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)>0且f(x)>0，
當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)<0且f(x)<0.
綜上，>0的解集為∪.
不含參函數(shù)的單調(diào)性
題型二
例2　(1)若函數(shù)f(x)＝x2－3x－4ln x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
A.(－∞，－1)，(4，＋∞)
B.(－1，4)
C.(0，4)
D.(4，＋∞)
√
因?yàn)閒(x)＝x2－3x－4ln x，定義域?yàn)?0，＋∞)，
所以f '(x)＝x－3－，
令f '(x)<0，解得0則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，4).
(2)若函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　.
(0，1)
f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝，
令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，φ'(x)＝－<0，
φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且φ(1)＝0，
∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ(x)>0，即f '(x)>0，
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ(x)<0，即f '(x)<0，
∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1).
確定不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意兩點(diǎn)，一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
對于A，f '(x)＝2cos2x，f '＝－1<0，不符合題意；
對于B，f '(x)＝(x＋1)ex>0，符合題意；
對于C，f '(x)＝3x2－1，f '＝－<0，不符合題意；
對于D，f '(x)＝－1＋，f '(2)＝－<0，不符合題意.
√
(2)已知定義在區(qū)間[0，π]上的函數(shù)f(x)＝x＋2cosx，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
f '(x)＝1－2sin x，x∈[0，π]，
令f '(x)＝0，得x＝或x＝，
當(dāng)0≤x<0，
當(dāng)∴f(x)在上單調(diào)遞減.
含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
題型三
例3　(2025·揚(yáng)州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x，其中a≠0.試討論f(x)的單調(diào)性.
函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f '(x)＝2ax－(a＋4)＋，
由f '(x)＝0，可得x1＝，x2＝，
①當(dāng)0當(dāng)0時(shí)，f '(x)>0，即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＝4時(shí)，則對任意的x>0，f '(x)＝≥0，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a>4時(shí)，則0<<當(dāng)0時(shí)，f '(x)>0，即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)a<0時(shí)，ax－2<0，當(dāng)00，即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)x>時(shí)，f '(x)<0，即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)0當(dāng)a＝4時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a>4時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減.
(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.
(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.
試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
因?yàn)閒(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，
所以f '(x)＝aex－1，
當(dāng)a≤0時(shí)，f '(x)＝aex－1<0，
則f(x)在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)a>0時(shí)，令f '(x)＝0，得x＝－ln a，
當(dāng)x<－ln a時(shí)，f '(x)<0，
當(dāng)x>－ln a時(shí)，f '(x)>0，
所以f(x)在(－∞，－ln a)上單調(diào)遞減，在(－ln a，＋∞)上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)a>0時(shí)， f(x)在(－∞，－ln a)上單調(diào)遞減，在(－ln a，＋∞)上單調(diào)遞增.
返回
課時(shí)精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 A C C B CD BCD (1，＋∞)
題號 8 11 12 答案 －2 CD 答案
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12
(1) 因?yàn)閒(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x，
所以f '(x)＝x＋a－aln x－＝x－－aln x，
依題意可得
即解得
9.
答案
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12
(2)由(1)可得f(x)＝＋2x－(2x＋1)ln x，則f '(x)＝x－－2ln x，
令g(x)＝f '(x)＝x－－2ln x，x∈(1，＋∞)，
則g'(x)＝1＋>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
又g(1)＝0，
所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)>0，即f '(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.
9.
答案
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(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝(1－x)ex，
∴f(1)＝0，f '(x)＝－xex，
∴f '(1)＝－e，
∴切線方程為y－0＝－e(x－1)，即ex＋y－e＝0.
(2)f '(x)＝(1－a－ax)ex，
當(dāng)a≠0時(shí)，令f '(x)＝0，得x＝，
若a>0，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈時(shí)，
f '(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；
10.
答案
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若a<0，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；
若a＝0，f(x)＝ex，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，
綜上可知，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在
上單調(diào)遞減，
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
10.
一、單項(xiàng)選擇題
1.函數(shù)f(x)＝2x－cosx在R上是
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.先增后減 D.不確定
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知識過關(guān)
答案
∵f(x)＝2x－cosx，
∴f '(x)＝2＋sin x>0在R上恒成立，
∴f(x)在R上是增函數(shù).
√
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答案
2.設(shè)f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f '(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能是
√
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答案
由y＝f '(x)的圖象可知，當(dāng)x<0和x>2時(shí)，f '(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)01
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答案
3.函數(shù)f(x)＝x－2ln(2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
A.(1，＋∞) B.(0，1)
C.(0，2) D.(2，＋∞)
f(x)＝x－2ln(2x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f '(x)＝1－2··2＝1－，
由f '(x)<0，可得x∈(0，2)，
故f(x)＝x－2ln(2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2).
√
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答案
4.(2025·黃山模擬)已知函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象的一部分如圖所示，則關(guān)于函數(shù)g(x)＝單調(diào)性的說法正確的是
A.在(－1，1)上單調(diào)遞減
B.在(0，2－)上單調(diào)遞減
C.在[2－，1]上單調(diào)遞減
D.在[1，2]上單調(diào)遞減
√
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答案
從圖象可以看出過點(diǎn)(2，0)的為f(x)的圖象，過點(diǎn)(1，0)
的為導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象，
g'(x)＝，
當(dāng)x∈(－1，2－)時(shí)，f '(x)－f(x)<0，故g'(x)<0，g(x)
＝在(－1，2－)上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[2－，2]時(shí)，f '(x)－f(x)≥0，故g'(x)≥0，g(x)＝上單調(diào)遞增，故A，C，D錯(cuò)誤，B正確.
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答案
二、多項(xiàng)選擇題
5.如圖為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象，給出下列四個(gè)說法，其中正確的是
A.f(x)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間
B.f(－2)C.f(－1)D.f(x)在[－1，2]上單調(diào)遞增，在(2，4]上單調(diào)遞減
√
√
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答案
對于A，由圖象可以看出，f '(x)的符號是先負(fù)后正，
再負(fù)再正，所以函數(shù)f(x)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，故A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)x∈[－2，－1]時(shí)，f '(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)
遞減，所以f(－2)>f(－1)，故B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)x∈[－1，2]時(shí)，f '(x)≥0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(－1)對于D，當(dāng)x∈(2，4]時(shí)，f '(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，顯然D正確.
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答案
6.下列函數(shù)在定義域上是增函數(shù)的是
A.f(x)＝ B.f(x)＝ln x－
C.f(x)＝ex·2－x D.f(x)＝ex(x2＋1)
√
√
√
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答案
對于A，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝，當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，
f '(x)<0，∴f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；
對于B，f '(x)＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，B正確；
對于C，f(x)＝ex·2－x＝為增函數(shù)，C正確；
對于D，f '(x)＝ex(x2＋1)＋ex·2x＝ex(x2＋2x＋1)＝ex(x＋1)2≥0，∴f(x)為增函數(shù)，D正確.
三、填空題
7.函數(shù)f(x)＝ex－ex的單調(diào)遞減區(qū)間為　　　　　　.
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答案
f '(x)＝e－ex，
令f '(x)<0，解得x>1，
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞).
(1，＋∞)
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答案
8.(2025·麗水模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是
(－3，1)，則m＋n的值為　　　　.
f '(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－3，1)，
得f '(x)<0的解集為(－3，1)，
則－3，1是f '(x)＝0的解，
∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，
可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.
－2
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答案
四、解答題
9.已知函數(shù)f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x在x＝1處的切線方程為y＝bx＋(a，b∈R).
(1)求a，b的值；
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答案
因?yàn)閒(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x，
所以f '(x)＝x＋a－aln x－＝x－－aln x，
依題意可得
即解得
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答案
(2)證明：f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.
由(1)可得f(x)＝＋2x－(2x＋1)ln x，則f '(x)＝x－－2ln x，
令g(x)＝f '(x)＝x－－2ln x，x∈(1，＋∞)，
則g'(x)＝1＋>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
又g(1)＝0，
所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)>0，即f '(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.
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答案
10.(2025·北京模擬)已知函數(shù)f(x)＝(1－ax)ex(a∈R).
(1)若a＝1，求函數(shù)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；
當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝(1－x)ex，
∴f(1)＝0，f '(x)＝－xex，
∴f '(1)＝－e，
∴切線方程為y－0＝－e(x－1)，即ex＋y－e＝0.
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答案
(2)討論f(x)的單調(diào)性.
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答案
f '(x)＝(1－a－ax)ex，
當(dāng)a≠0時(shí)，令f '(x)＝0，得x＝，
若a>0，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；
若a<0，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；
若a＝0，f(x)＝ex，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，
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答案
綜上可知，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在
上單調(diào)遞減，
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
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答案
能力拓展
11.(多選)(2024·青島模擬)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，且在區(qū)間I上單調(diào)遞減，那么稱函數(shù)y＝f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”.則下列函數(shù)是區(qū)間[1，]上的“緩增函數(shù)”的是
A.f(x)＝ex
B.f(x)＝ln x
C.f(x)＝x2－2x＋3
D.f(x)＝－x2＋2x＋3
√
√
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答案
f(x)＝ex在[1，]上單調(diào)遞增，
設(shè)g(x)＝，則g'(x)＝，
當(dāng)x∈[1，]時(shí)，g'(x)>0，
則g(x)在[1，]上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
f(x)＝ln x在[1，]上單調(diào)遞增，設(shè)h(x)＝，則h'(x)＝，當(dāng)x∈[1，]時(shí)，h'(x)>0，h(x)在[1，]上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
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答案
f(x)＝x2－2x＋3在[1，]上單調(diào)遞增，設(shè)k(x)＝＝x－2＋，則k'(x)＝，當(dāng)x∈[1，]時(shí)，k'(x)≤0，k(x)在[1，]上單調(diào)遞減，故C正確；
f(x)＝－x2＋2x＋3在[1，]上單調(diào)遞增，設(shè)q(x)＝＝－x＋2，q'(x)＝－1－，當(dāng)x∈[1，]時(shí)，q'(x)<0，q(x)在[1，]上單調(diào)遞減，故D正確.
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答案
12.函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cosx在(0，π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為　 　　　　　 .
函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cosx，
求導(dǎo)得f '(x)＝2cos2x－2sin x＝2(1－2sin2x)－2sin x＝－2(2sin x－1)
(sin x＋1)，
當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，由f '(x)>0，得sin x<，
解得0所以所求單調(diào)遞增區(qū)間為.
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第三章
§3.3　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的
單調(diào)性(二)
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.會根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍.
2.會利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、比較大小.
課標(biāo)要求
例1　已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)范圍
題型一
因?yàn)閒(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f '(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥恒成立.
設(shè)G(x)＝，x∈[1，4]，
所以a≥G(x)max，
而G(x)＝－1，
因?yàn)閤∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此時(shí)x＝4)，
所以a≥－，
又因?yàn)閍≠0，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪(0，＋∞).
(2)若f(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
因?yàn)閒(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
則f '(x)<0在[1，4]上有解，
所以當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，a>有解，
又當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，＝－1(此時(shí)x＝1)，
所以a>－1，又因?yàn)閍≠0，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1，0)∪(0，＋∞).
由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
(1)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f '(x)≥0(或f '(x)
≤0)恒成立.
(2)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f '(x)>0 (或f '(x)<0)在該區(qū)間上存在解集.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2023·新高考全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝aex－ln x在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為
A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
√
依題可知，f '(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，顯然a>0，
所以xex≥在(1，2)上恒成立，
設(shè)g(x)＝xex，x∈(1，2)，
所以g'(x)＝(x＋1)ex>0，
所以g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，
g(x)>g(1)＝e，故e≥，
即a≥＝e－1，即a的最小值為e－1.
(2)(2025·滄州模擬)若函數(shù)f(x)＝2x－－tln x在(1，3)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是
A.(2，7) B.(7，＋∞)
C.[7，＋∞) D.[2，7]
√
函數(shù)f(x)＝2x－－tln x，求導(dǎo)得f '(x)＝2＋，
依題意，f '(x)在(1，3)上有變號零點(diǎn)，由f '(x)＝0，得t＝2x＋，
函數(shù)t＝2x＋上單調(diào)遞減，2利用單調(diào)性比較大小
題型二
例2　(1)(多選)(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)2(x－4)，則
A.x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)
B.當(dāng)0C.當(dāng)1D.當(dāng)－1f(x)
√
√
√
對于A，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，
f '(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，
易知當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，f '(x)<0；
當(dāng)x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)時(shí)，f '(x)>0，
所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，
在(1，3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，
故x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)，故A正確；
對于B，當(dāng)00，所以1>x>x2>0，
由A選項(xiàng)分析可知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，
所以f(x)>f(x2)，故B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)1由A選項(xiàng)分析可知，函數(shù)f(x)在(1，3)上單調(diào)遞減，
所以f(1)>f(2x－1)>f(3)，
即－4對于D，當(dāng)－1f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)>0，
所以f(2－x)>f(x)，故D正確.
(2)若a＝ln ，b＝ln ，c＝－，則
A.cC.c√
因?yàn)閏＝－ln ，a＝ln ln ，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xln x，x∈(0，＋∞)，
則f '(x)＝ln x＋1，令f '(x)>0，解得x>；
令f '(x)<0，解得0可得f(x)在<<，
所以c＝f 即c常見組合函數(shù)的圖象
微拓展
在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中常用到以下函數(shù)，記住以下的函數(shù)圖象對解題有事半功倍的效果.
典例　(多選)如果函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意兩實(shí)數(shù)x1，x2(x1≠x2)都有>0，則稱函數(shù)y＝f(x)為“F函數(shù)”.下列函數(shù)不是“F函數(shù)”的是
A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x
√
√
√
依題意，函數(shù)g(x)＝xf(x)為定義域上的增函數(shù).
對于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，
當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，g'(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，故A中函數(shù)不是“F函數(shù)”；
對于B，g(x)＝x3在R上為增函數(shù)，故B中函數(shù)為“F函數(shù)”；
對于C，g(x)＝xln x，g'(x)＝1＋ln x，x>0，
當(dāng)x∈時(shí)，g'(x)<0，
∴g(x)在上單調(diào)遞減，
故C中函數(shù)不是“F函數(shù)”；
對于D，g(x)＝xsin x，g'(x)＝sin x＋xcosx，
當(dāng)x∈時(shí)，g'(x)<0，
∴g(x)在上單調(diào)遞減，
故D中函數(shù)不是“F函數(shù)”.
利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件判斷已知(或構(gòu)造后的)函數(shù)的單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知函數(shù)f(x)＝ln x－，設(shè)a＝f ，b＝f(2)，c＝f ，則
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
易知f '(x)＝，
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f '(x)＝>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
故f>f(2)>f ，即c>b>a.
√
(2)(2024·貴州模擬)已知a＝ln(e)，b＝，c＝＋1，則a，b，c的大小關(guān)系為
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.b>c>a
√
由題意，a＝＋1，b＝＋1，c＝＋1，
設(shè)f(x)＝，則f '(x)＝，
當(dāng)00，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時(shí)，f '(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
故f(x)max＝f(e)＝.
則>>，即b>c，b>a；
由<0，
可知ca>c.
利用單調(diào)性解不等式
題型三
例3　(2024·南充模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，則滿足f(x)＋f(3－2x)
<0的x的取值范圍是
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(－∞，3)
√
f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，
∴f(－x)＝－sin x＋e－x－ex＋x＝－f(x)，
∴f(x)為R上的奇函數(shù)，
又f '(x)＝cosx＋ex＋e－x－1≥cosx＋2－1＝1＋cosx≥0，
則f(x)在R上單調(diào)遞增，
又f(x)＋f(3－2x)<0，
∴f(x)<－f(3－2x)，
又f(x)為R上的奇函數(shù)，
∴f(x)又f(x)在R上單調(diào)遞增，
∴x<2x－3，∴x>3，
故滿足f(x)＋f(3－2x)<0的x的取值范圍是(3，＋∞).
利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后把不等式兩邊化成函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值即可，易忽視函數(shù)的定義域.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(2025·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋ln x.若f(a＋1)≥
f(2a－1)，則a的取值范圍是
A.(－∞，－1] B.(－1，2] C.[2，＋∞) D.
因?yàn)閒(x)＝x2－2x＋ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f '(x)＝x－2＋≥0，
所以f(x)是增函數(shù)，
所以若f(a＋1)≥f(2a－1)，
則a＋1≥2a－1>0，解得√
課時(shí)精練
對一對
答案
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12
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C D D CD BC a>c>b
題號 8 11 12 答案 C B 答案
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12
(1)當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝，
f '(x)＝，
∴f(1)＝－，f '(1)＝，
∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＋(x－1)，
即2x－2ey－3＝0.
9.
答案
1
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12
(2)∵f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴f '(x)＝≤0在(2，＋∞)上恒成立，
可得2a≤在(2，＋∞)上恒成立，
令u(x)＝，u'(x)＝>0，
∴u(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴u(x)>u(2)＝0，2a≤0，即a≤0，
因此a的取值范圍為(－∞，0].
9.
答案
1
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12
(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝，
依題意f '(x)＝≥0恒成立，即k≥(x>0).
令φ(x)＝(x>0)，∴φ'(x)＝，
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ'(x)>0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ'(x)<0，
∴φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴φ(x)max＝φ(1)＝，
∴k≥，故k的取值范圍為.
10.
答案
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12
(2)由(1)可知，當(dāng)k＝時(shí)，f(x)＝為增函數(shù)，
由0f>，
即>ln x1－ln x2＝－ln ，即證原不等式成立.
10.
一、單項(xiàng)選擇題
1.(2024·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋x＋4，則“a≥0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
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知識過關(guān)
答案
√
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答案
由題意知，f '(x)＝ax2＋2x＋1，
若f(x)在R上單調(diào)遞增，則f '(x)≥0恒成立，
則解得a≥1，
故“a≥0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.
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答案
2.函數(shù)f(x)＝x2－9ln x在區(qū)間[m，m＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A.[0，2) B.[0，2]
C.(0，2] D.(0，2)
√
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12
答案
函數(shù)f(x)＝x2－9ln x的導(dǎo)數(shù)f '(x)＝x－，x>0，
令f '(x)≤0，解得0因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－9ln x在區(qū)間[m，m＋1]上單調(diào)遞減，
則[m，m＋1] (0，3]，即解得01
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答案
3.若a＝，b＝，c＝，則
A.aC.c√
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答案
因?yàn)閍＝，b＝，c＝，
所以令g(x)＝，
則a＝g(e)，b＝g(8)，c＝g(9)，g'(x)＝，
當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，g'(x)<0，
所以函數(shù)g(x)在(，＋∞)上單調(diào)遞減.
又所以g(e)>g(8)>g(9)，即c1
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答案
4.(2024·蘇州模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex＋sin x，則不等式f(2x－1)A. B.
C. D.
√
當(dāng)x≥0時(shí)，f '(x)＝ex＋cosx，
因?yàn)閑x≥1，cosx∈[－1，1]，
所以f '(x)＝ex＋cosx≥0在[0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
又因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，
所以f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，
所以f(－π)＝f(π)＝eπ，
所以由f(2x－1)解得x∈.
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答案
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答案
二、多項(xiàng)選擇題
5.(2025·常州模擬)若函數(shù)f(x)＝x－－aln x存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值可以是
A.2 B.2 C.3 D.4
√
√
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答案
因?yàn)閒(x)＝x－－aln x存在單調(diào)遞減區(qū)間，
所以f '(x)＝1＋<0在(0，＋∞)上有解，
即a>，
因?yàn)椋玿≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號成立，
故a>2.
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答案
6.已知0A.>ln x2－ln x1
B.x2·>x1·
C.D.x2·√
√
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答案
令f(x)＝ex＋ln x(0所以f '(x)＝ex＋>0，
故f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，
因?yàn)?所以＋ln x1<＋ln x2，
可得1
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答案
令g(x)＝(0所以g'(x)＝，
因?yàn)?因?yàn)?g(x2)，
所以>，
即x2·>x1·，故B正確，D錯(cuò)誤.
三、填空題
7.已知函數(shù)f(x)＝3x＋2cosx.若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，則a，b，c的大小關(guān)系為　　　　.
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答案
a>c>b
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答案
由題意，得f '(x)＝3－2sin x.
因?yàn)椋?≤sin x≤1，所以f '(x)>0恒成立，所以f(x)是增函數(shù).
因?yàn)?1，所以3>3.
又log24所以2所以f(2)c>b.
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答案
8.已知函數(shù)f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函數(shù)f(x)在[1，2]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
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答案
f '(x)＝－4x＋，若函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)，
即f '(x)＝－4x＋≥0或f '(x)＝－4x＋≤0在[1，2]上恒成立，
即≥4x－≤4x－在[1，2]上恒成立.
令h(x)＝4x－，則h(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以≥h(2)或≤h(1)，即≥≤3，
又a>0，所以0因?yàn)閒(x)在[1，2]上不單調(diào)，所以1
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答案
四、解答題
9.已知函數(shù)f(x)＝(a∈R).
(1)當(dāng)a=時(shí)，求此時(shí)曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；
當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝，f '(x)＝，
∴f(1)＝－，f '(1)＝，
∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＋(x－1)，
即2x－2ey－3＝0.
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答案
(2)若f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.
∵f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴f '(x)＝≤0在(2，＋∞)上恒成立，
可得2a≤在(2，＋∞)上恒成立，
令u(x)＝，u'(x)＝>0，
∴u(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，∴u(x)>u(2)＝0，2a≤0，即a≤0，
因此a的取值范圍為(－∞，0].
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答案
10.(2025·中山模擬)已知函數(shù)f(x)＝kln x＋(k∈R).
(1)若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，求k的取值范圍；
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答案
f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝，
依題意f '(x)＝≥0恒成立，即k≥(x>0).
令φ(x)＝(x>0)，∴φ'(x)＝，
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ'(x)>0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ'(x)<0，
∴φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴φ(x)max＝φ(1)＝，
∴k≥，故k的取值范圍為.
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答案
(2)已知0－ln .
由(1)可知，當(dāng)k＝時(shí)，f(x)＝為增函數(shù)，
由0f>，
即>ln x1－ln x2＝－ln ，即證原不等式成立.
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答案
能力拓展
11.若對任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1A. B.
C. D.
√
對任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1易知m≥0，x1>0，x2>0，
則x1ln x2－x2ln x1<2x2－2x1，
所以x1(ln x2＋2)即>.
令f(x)＝，
則函數(shù)f(x)在(m，＋∞)上單調(diào)遞減.
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答案
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答案
因?yàn)閒 '(x)＝－，
由f '(x)<0，可得x>，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以(m，＋∞) ，故m≥，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
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答案
12.已知a＝，b＝，c＝ln，則a，b，c的大小關(guān)系為
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
√
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答案
設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－x－1，x∈R，
則f '(x)＝ex－1，
當(dāng)x<0時(shí)，f '(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x>0時(shí)，f '(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
故f(x)≥f(0)＝0，
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答案
即ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號，
∵ex≥1＋x，∴>1－，∴b>a，
由以上分析可知當(dāng)x>0時(shí)，有ex－1≥x成立，當(dāng)x＝1時(shí)取等號，
即ln x≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號，
∴l(xiāng)n<－1＝，
∴a>c，故b>a>c.(共83張PPT)
第三章
§3.4　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.
2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.
3.會利用極值點(diǎn)(極值)求參數(shù).
課標(biāo)要求
課時(shí)精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實(shí)主干知識
第二部分 探究核心題型
落實(shí)主干知識
第一部分
1.函數(shù)的極小值
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f '(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.
2.函數(shù)的極大值
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f '(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.
3.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為 ，極小值和極大值統(tǒng)稱為 .
f '(x)<0
f '(x)>0
f '(x)>0
f '(x)<0
極值點(diǎn)
極值
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有.(　　)
(2)函數(shù)的極小值一定小于函數(shù)的極大值.(　　)
(3)單調(diào)函數(shù)沒有極值.(　　)
(4)極值點(diǎn)出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，端點(diǎn)不能是極值點(diǎn).(　　)
√
√
×
√
2.如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象，則f(x)的極小
值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A.1 B.2
C.3 D.4
√
由導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象知，
在x＝－2處，f '(－2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)f '(x)的符
號為左正右負(fù)，所以－2是f(x)的極大值點(diǎn)；
在x＝－1處，f '(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)f '(x)的符號為左負(fù)右正，所以－1是f(x)的極小值點(diǎn)；
在x＝0處，f '(0)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)f '(x)的符號均為正，所以0不是f(x)的極值點(diǎn)；
在x＝2處，f '(2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)f '(x)的符號為左正右負(fù)，所以2是f(x)的極大值點(diǎn).
綜上，f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.
3.函數(shù)f(x)＝x3－x2－14x的極小值點(diǎn)為　　　，極大值為　　　.
由f(x)＝x3－x2－14x得，f '(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，
令f '(x)>0，解得x>或x<－2，
令f '(x)<0，解得－2故f(x)在(－∞，－2)，上單調(diào)遞減，
故f(x)在x＝處取得極小值，在x＝－2處取得極大值，
故f(x)極大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.
　
18
4.若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋2x－1有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________________________.
(－∞，－)∪(，＋∞)
f '(x)＝3x2－2ax＋2，由題意知f '(x)有兩個(gè)變號零點(diǎn)，
即方程3x2－2ax＋2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
解題時(shí)靈活應(yīng)用以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)極值點(diǎn)不是點(diǎn)，若函數(shù)f(x)在x＝x1處取得極大值，則x1為極大值點(diǎn)，極大值為f(x1).
(2)極值是個(gè)“局部”概念，只能在定義域內(nèi)部取得.
(3)有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).
(4)f '(x0)＝0是x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的必要不充分條件.例如，f(x)＝x3，f '(0)＝0，但0不是極值點(diǎn).
返回
微點(diǎn)提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(多選)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f '(x)，且函數(shù)g(x)＝xf '(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是
A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)
B.f(0)為f(x)的極大值
C.f(x)有兩個(gè)極小值點(diǎn)
D.f(－1)為f(x)的極小值
√
根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值
題型一
√
根據(jù)g(x)＝xf '(x)的圖象，可得當(dāng)x<－2時(shí)，g(x)＝xf '(x)>0，
可得f '(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)－20，即f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)0當(dāng)x>1時(shí)，g(x)＝xf '(x)>0，可得f '(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增，
因此f(x)在x＝－2和x＝1處取得極小值，在x＝0處取得極大值，共3個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，C正確；
f(0)為f(x)的極大值，B正確；
f(－1)不是f(x)的極小值，D錯(cuò)誤.
由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f '(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f '(x)的圖象可以看出y＝f '(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　已知定義在(0，3]上的函數(shù)f(x)的圖象如圖，則不等式f '(x)<0的解集為
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.∪
√
觀察圖象可得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2，3]上單調(diào)遞增，則1為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，2為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，
所以當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f '(x)<0；
當(dāng)x∈(0，1)∪(2，3]時(shí)，f '(x)>0；
當(dāng)x＝1或x＝2時(shí)，f '(x)＝0，
所以不等式f '(x)<0的解集為(1，2).
求已知函數(shù)的極值點(diǎn)、極值
題型二
例2　已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－mx，求函數(shù)f(x)的極值.
f(x)＝ln(1＋x)－mx，則f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)，
f '(x)＝－m(x>－1).
①當(dāng)m≤0時(shí)，f '(x)>0，
則f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f(x)無極值.
②當(dāng)m>0時(shí)，由f '(x)>0，得－1由f '(x)<0，得x>－1.
所以f(x)在上單調(diào)遞減.
故當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)有極大值f ＝m－1－ln m，無極小值.
綜上所述，當(dāng)m≤0時(shí)，f(x)無極值；
當(dāng)m>0時(shí)，f(x)有極大值m－1－ln m，無極小值.
運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.
(2)求導(dǎo)函數(shù)f '(x).
(3)解方程f '(x)＝0，求出導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的所有零點(diǎn).
(4)判斷f '(x)的正負(fù)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(5)求出極值.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)函數(shù)f(x)＝x3(3x－4)的極值點(diǎn)是
A.0 B.1
C.1或0 D.(1，－1)
√
函數(shù)f(x)＝x3(3x－4)的定義域?yàn)镽，
導(dǎo)函數(shù)為f '(x)＝12x3－12x2＝12x2(x－1)，
令f '(x)＝0，可得x＝0或x＝1，
當(dāng)x<0時(shí)，f '(x)<0，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減；
當(dāng)0當(dāng)x>1時(shí)，f '(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，函數(shù)f(x)沒有極大值，
所以函數(shù)f(x)＝x3(3x－4)的極值點(diǎn)是1.
(2)(2025·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eax＋(a≥0).設(shè)g(x)＝f '(x)·x2，求函數(shù)g(x)的極大值.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，
f '(x)＝aeax－，
則g(x)＝f '(x)·x2＝ax2eax－1(x≠0)，
則g'(x)＝2axeax＋a2x2eax＝ax(ax＋2)eax(x≠0)，
當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝－1，此時(shí)函數(shù)g(x)無極值；
當(dāng)a>0時(shí)，令g'(x)>0，則x<－或x>0；
令g'(x)<0，則－所以函數(shù)g(x)在，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以g(x)的極大值為g－1.
綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)g(x)無極大值；當(dāng)a>0時(shí)，g(x)的極大值為－1.
已知極值(點(diǎn))求參數(shù)
題型三
例3　(1)(2025·肇慶模擬)若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝－2處取極小值，則c等于
A.－6 B.－2
C.－6或－2 D.－4
√
由函數(shù)f(x)＝x(x－c)2，
可得f '(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，
可得f '(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6，
當(dāng)c＝－2時(shí)，令f '(x)>0，解得x<－2或x>－；令f '(x)<0，解得－2所以函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以f(x)在x＝－2處取極大值，不符合題意，舍去；
當(dāng)c＝－6時(shí)，令f '(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f '(x)<0，可得－6所以函數(shù)f(x)在(－∞，－6)上單調(diào)遞增，在(－6，－2)上單調(diào)遞減，在
(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x)在x＝－2處取極小值，符合題意，
綜上可得，c＝－6.
(2)(2024·蘇州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)在(0，＋∞)上有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.
f '(x)＝ln x＋1－2ax，
由題意知方程ln x＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則2a＝，
設(shè)g(x)＝，x>0，則g'(x)＝－.
當(dāng)00，g(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，
所以g(x)的極大值為g(1)＝1，
又當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，
當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0，
當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→－∞，
所以0<2a<1，即0根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)
(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.
(2)驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知函數(shù)f(x)＝aex＋bx在x＝0處取得極小值1，則f '(2)等于
A.e2－2 B.2－e2 C.e2－1 D.e2
√
由f(x)＝aex＋bx，得f '(x)＝aex＋b，
因?yàn)閒(x)在x＝0處取得極小值1，
所以 f '(x)＝ex－1，
當(dāng)x>0時(shí)，f '(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x<0時(shí)，f '(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
所以f(x)在x＝0處取得極小值，故a＝1，b＝－1滿足題意，于是有f '(2)＝e2－1.
(2)(2024·北京模擬)若函數(shù)f(x)＝2＋axln x存在極大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.a<0 B.a>0 C.a≤0 D.a≥0
√
函數(shù)f(x)＝2＋axln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，
又f '(x)＝a(ln x＋1)，
當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2為常數(shù)函數(shù)，不存在極值，故舍去；
當(dāng)a>0時(shí)，令f '(x)＝0，解得x＝，
則當(dāng)0當(dāng)x>時(shí)，f '(x)>0，
所以f(x)在上單調(diào)遞增，
則f(x)在x＝處取得極小值，不存在極大值，不符合題意；
當(dāng)a<0時(shí)，令f '(x)＝0，解得x＝，
則當(dāng)00，
當(dāng)x>時(shí)，f '(x)<0，
所以f(x)在上單調(diào)遞減，
則f(x)在x＝處取得極大值，符合題意.
綜上可得，a<0.
三次函數(shù)的性質(zhì)
微拓展
三次函數(shù)是一類重要的函數(shù)，其規(guī)律性強(qiáng)，內(nèi)容相對獨(dú)立，且有一些獨(dú)有的結(jié)論和技巧.如果能得當(dāng)運(yùn)用三次函數(shù)的有關(guān)結(jié)論，可以大大簡化解題過程.
典例　(多選)已知三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則下列選項(xiàng)正確的是
A.三次函數(shù)的對稱中心是
B.若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(m，n)對稱，則y＝f '(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱
C.若函數(shù)y＝f(x)有極值，則對稱中心是兩個(gè)取極值的點(diǎn)的中點(diǎn)
D.若f(x)＝0的三個(gè)根分別為x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝－
√
√
√
對于A，設(shè)f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，得[a(m－x)3＋b(m－x)2＋c(m－x)＋d]＋[a(m＋x)3＋b(m＋x)2＋c(m＋x)＋d]＝2n，整理得(6ma＋2b)x2＋(2am3＋2bm2＋2cm＋2d)＝2n.根據(jù)多項(xiàng)式恒等對應(yīng)系數(shù)相等，可得m＝－且n＝am3＋bm2＋cm＋d，從而三次函數(shù)是中心對稱曲線，且由n＝f(m)知其對稱中心(m，f(m))仍然在曲線上.故對稱中心為，A正確；
對于B，由y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(m，n)對稱，得f(x)＋f(2m－x)＝2n.求導(dǎo)可得f '(2m－x)＝f '(x)，即y＝f '(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱，B正確；
對于C，設(shè)f '(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1x2＝.設(shè)f(x)的兩個(gè)取極值的點(diǎn)分別為A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，
則f(x1)＋f(x2)＝(a＋b＋cx1＋d)＋(a＋b＋cx2＋d)＝a()＋b()＋c(x1＋x2)＋2d＝a(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋b[(x1＋x2)2－2x1x2]＋c(x1＋x2)＋2d＝a＋b＋2d＝＋2d.
2f＝2＝＋2d，
所以f(x1)＋f(x2)＝2 f，AB的中點(diǎn)P即為對稱中心，C正確；
對于D，若f(x)＝0的三個(gè)根分別為x1，x2，x3，則ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－x1)
(x－x2)(x－x3)＝ax3－a(x1＋x2＋x3)x2＋a(x1x2＋x2x3＋x3x1)x－ax1x2x3.比較系數(shù)可得x1＋x2＋x3＝－，D錯(cuò)誤.
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課時(shí)精練
對一對
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題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D B B AC BCD 3
題號 8 11 12 答案 (2，＋∞) C BD 答案
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(1)由已知得f '(x)＝ex－，
則f '(0)＝e0－a＝1－a，又f(0)＝1，
所以f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝(1－a)x＋1，
將點(diǎn)(2，1)代入得1＝2(1－a)＋1，解得a＝1.
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(2)由(1)知f(x)＝ex－ln(x＋1)，定義域?yàn)?－1，＋∞)，
所以f '(x)＝ex－，
令g(x)＝(x＋1)ex－1(x>－1)，則g'(x)＝(x＋2)ex，
易得g'(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，
又g(0)＝0，所以當(dāng)－1當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0，即f '(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x)的極小值為f(0)＝1，無極大值.
9.
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(1)當(dāng)a＝1時(shí)，則f(x)＝ex－x－1，
f '(x)＝ex－1，
可得f(1)＝e－2，f '(1)＝e－1，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，e－2)，
切線斜率k＝e－1，
所以切線方程為y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0.
10.
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(2)方法一　因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，
且f '(x)＝ex－a，
若a≤0，則f '(x)>0對任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；
若a>0，令f '(x)>0，解得x>ln a，
令f '(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，
在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，
則f(x)有極小值f(ln a)＝a－aln a－a3，無極大值，
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由題意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
則g'(a)＝2a＋>0，
可知g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等價(jià)于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范圍為(1，＋∞).
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方法二　因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，
且f '(x)＝ex－a，若f(x)有極小值，
則f '(x)＝ex－a有零點(diǎn)，
令f '(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex與y＝a有交點(diǎn)，則a>0，
令f '(x)>0，解得x>ln a；
令f '(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，
在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，
10.
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則f(x)有極小值f(ln a)＝a－aln a－a3，
無極大值，符合題意，
由題意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因?yàn)閥＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均單調(diào)遞增，
所以g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
且g(1)＝0，不等式a2＋ln a－1>0等價(jià)于g(a)>g(1)，
解得a>1，所以a的取值范圍為(1，＋∞).
10.
一、單項(xiàng)選擇題
1.(2025·楚雄模擬)已知定義域?yàn)閇－3，5]的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f '(x)，且
f '(x)的圖象如圖所示，則
A.f(x)在(－2，2)上先增后減
B.f(x)有極小值f(2)
C.f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)
D.f(x)在x＝－3處取得最大值
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知識過關(guān)
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由f '(x)的圖象可知，當(dāng)x∈(－2，2)或x∈(4，5)時(shí)，
f '(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈(－3，－2)或x∈(2，4)時(shí)，f '(x)>0，則f(x)單
調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值f(2)，故B正確；
由f '(x)的圖象結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)x＝－2，2，4時(shí)，f(x)有極值，所以f(x)有3個(gè)極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈(－3，－2)時(shí)，f '(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，所以f(－3)1
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2.已知函數(shù)f(x)＝aln x－的極值點(diǎn)為1，且f '(2)＝1，則f(x)的極小值為
A.－1 B.－a C.b D.4
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f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝，由題意知，f '(1)＝0，
f '(2)＝1，
所以解得f(x)＝4ln x＋，
所以f '(x)＝，令f '(x)＝0，得x＝1，
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f '(x)<0，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)>0，
所以x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，極小值為f(1)＝4.
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3.(2024·赤峰模擬)已知函數(shù)f(x)＝xln x－ax有極值－e，則a等于
A.1 B.2 C.e D.3
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由題目條件可得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝ln x＋1－a.
令f '(x)>0，得x>ea－1；
令f '(x)<0，得0所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，ea－1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ea－1，＋∞)上單調(diào)遞增.
則函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)是ea－1，無極大值點(diǎn)，
故f(ea－1)＝ea－1ln ea－1－aea－1＝－e，
解得a＝2.
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4.若函數(shù)f(x)＝aex－x2－2x＋b有兩個(gè)不相等的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可以是
A.e B.2 C.3 D.0
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答案
由f(x)＝aex－x2－2x＋b得f '(x)＝aex－x－2，
由于f(x)＝aex－x2－2x＋b有兩個(gè)不相等的極值點(diǎn)，
則方程f '(x)＝aex－x－2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即a＝，
記g(x)＝，則g'(x)＝，
故當(dāng)x>－1時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，
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答案
當(dāng)x<－1時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝－1時(shí)，g(x)取得極大值g(－1)＝e，
又當(dāng)x>－2時(shí)，g(x)>0恒成立，
則函數(shù)y＝g(x)的圖象與直線y＝a如圖所示，
故01
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二、多項(xiàng)選擇題
5.(2025·武漢模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f '(x)，且函數(shù)g(x)＝x·f '(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是
A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)
B.f(－2)為函數(shù)的極大值
C.f(x)有一個(gè)極大值
D.f(－1)為f(x)的極小值
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答案
g(x)＝x·f '(x)，并結(jié)合其圖象，可得到如下情況，
當(dāng)x<－2時(shí)，g(x)>0，f '(x)<0，f(x)在(－∞，－2)上
單調(diào)遞減；
當(dāng)－20，f(x)在(－2，0)上單調(diào)遞增；
當(dāng)00，f '(x)>0，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0，f '(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴f(x)在x＝－2處取得極小值，在x＝1處取得極大值，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B，D錯(cuò)誤，A，C正確.
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答案
6.(2023·新高考全國Ⅱ)若函數(shù)f(x)＝aln x＋(a≠0)既有極大值也有極小值，則
A.bc>0 B.ab>0
C.b2＋8ac>0 D.ac<0
√
√
√
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答案
函數(shù)f(x)＝aln x＋的定義域?yàn)?0，＋∞)，
則f '(x)＝，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值，
則函數(shù)f '(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，
而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x1，x2，
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答案
于是
即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，
顯然a2bc<0，即bc<0，故A錯(cuò)誤，B，C，D正確.
三、填空題
7.已知函數(shù)f(x)＝(x2＋x－5)e3－x，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為　　　.
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答案
由題意，函數(shù)f(x)＝(x2＋x－5)e3－x，
則f '(x)＝－(x2－x－6)·e3－x＝－(x－3)(x＋2)·e3－x，
令f '(x)>0，得－2令f '(x)<0，得x<－2或x>3，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2，3)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－2)，(3，＋∞)，
當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，即函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為3.
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答案
8.若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　.
(2，＋∞)
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答案
f(x)＝x2－ax＋ln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝x－a＋，
要使函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有極值，則f '(x)＝x－a＋在(0，2)上有變號零點(diǎn)，
令g(x)＝x＋，x∈(0，2)，
則g(x)＝x＋≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號成立，所以a≥2.
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答案
當(dāng)a＝2時(shí)，f '(x)＝x－a＋＝x＋－2≥0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
則函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上沒有極值，故a>2，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞).
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答案
四、解答題
9.(2025·鹽城模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－aln(x＋1)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線過點(diǎn)(2，1).
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
由已知得f '(x)＝ex－，
則f '(0)＝e0－a＝1－a，又f(0)＝1，
所以f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝(1－a)x＋1，
將點(diǎn)(2，1)代入得1＝2(1－a)＋1，解得a＝1.
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答案
由(1)知f(x)＝ex－ln(x＋1)，定義域?yàn)?－1，＋∞)，
所以f '(x)＝ex－，
令g(x)＝(x＋1)ex－1(x>－1)，則g'(x)＝(x＋2)ex，
易得g'(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，
又g(0)＝0，所以當(dāng)－1當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0，即f '(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x)的極小值為f(0)＝1，無極大值.
(2)求f(x)的極值.
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答案
10.(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－a3.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；
當(dāng)a＝1時(shí)，則f(x)＝ex－x－1，f '(x)＝ex－1，
可得f(1)＝e－2，f '(1)＝e－1，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，e－2)，
切線斜率k＝e－1，
所以切線方程為y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0.
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答案
(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.
方法一　因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，
且f '(x)＝ex－a，
若a≤0，則f '(x)>0對任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上單調(diào)遞增，
無極值，不符合題意；
若a>0，令f '(x)>0，解得x>ln a，
令f '(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，
在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，
則f(x)有極小值f(ln a)＝a－aln a－a3，無極大值，
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答案
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答案
由題意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
則g'(a)＝2a＋>0，
可知g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等價(jià)于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范圍為(1，＋∞).
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答案
方法二　因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，
且f '(x)＝ex－a，若f(x)有極小值，
則f '(x)＝ex－a有零點(diǎn)，
令f '(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex與y＝a有交點(diǎn)，則a>0，
令f '(x)>0，解得x>ln a；
令f '(x)<0，解得x可知f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，
在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，
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答案
則f(x)有極小值f(ln a)＝a－aln a－a3，
無極大值，符合題意，
由題意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因?yàn)閥＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均單調(diào)遞增，
所以g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
且g(1)＝0，不等式a2＋ln a－1>0等價(jià)于g(a)>g(1)，
解得a>1，所以a的取值范圍為(1，＋∞).
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答案
能力拓展
11.已知ab≠0，若x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點(diǎn)，則
A.ab
C.abb2
√
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答案
由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點(diǎn)，則
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則0當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(2)所示，則b綜上，ab1
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答案
12.(多選)(2025·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝2ex－ax2＋2存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x1A.0C.若x2＝2x1，則a＝2ln 2 D.ln x1＋x2>0
√
√
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答案
由題可得f '(x)＝2ex－2ax，f(x)的定義域?yàn)镽，
則f '(x)＝0，即方程ex－ax＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1顯然x≠0，即方程a＝有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1令g(x)＝，x≠0，
則g(x)＝的圖象與直線y＝a有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)分別為x1，x2(x1又g'(x)＝，
所以由g'(x)<0可得x∈(－∞，0)∪(0，1)，
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答案
由g'(x)>0可得x∈(1，＋∞)，
所以g(x)在(－∞，0)，(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
且當(dāng)x<0時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0.
對于A，要使函數(shù)f(x)＝2ex－ax2＋2存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x1g(1)＝e，A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)a>e時(shí)，g(x)的圖象與直線y＝a如圖，易知0對于C，若x2＝2x1，則a＝，得x1＝ln 2，故a＝，C錯(cuò)誤；
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答案
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對于D，因?yàn)椋詘1＝x2，又01，又x2>1，所以x2>1，故x1>1，所以ln x1＋x2>0，D正確.(共68張PPT)
第三章
§3.5　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.理解函數(shù)最值與極值的關(guān)系.
2.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法.
3.會用導(dǎo)數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.
課標(biāo)要求
課時(shí)精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實(shí)主干知識
第二部分 探究核心題型
落實(shí)主干知識
第一部分
1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件
如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.
2.求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟
(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的 .
(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值 比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
極值
f(a)，f(b)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上一定存在最值.(　　)
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上不存在最值.(　　)
(3)函數(shù)的極大值不一定是最大值，但一定不是最小值.(　　)
(4)有極值的函數(shù)一定有最值，但有最值的函數(shù)不一定有極值.(　　)
×
√
×
√
2.函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3，0]上的最大值、最小值分別是
A.1，－1 B.1，－17
C.3，－17 D.9，19
f '(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令f '(x)>0，得x>1或x<－1，令f '(x)<0，得－1故f(x)在x＝－1處取得極大值，在x＝1處取得極小值，
且f(－1)＝－1＋3＋1＝3，f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
所以函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3，0]上的最大值、最小值分別是3，－17.
√
3.函數(shù)y＝的最大值為
A.e－1 B.e C.e2 D.10
由題意得函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，
令y'＝＝0 x＝e.
當(dāng)x>e時(shí)，y'<0；當(dāng)00，
所以函數(shù)在x＝e處取得極大值為e－1，
因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以ymax＝e－1.
√
4.函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0，2]上的最大值是3，則a的值為　　　.
1
由題意可知，f '(x)＝3x2－2x－1，
令f '(x)＝0，解得x＝1或x＝－(舍去).
當(dāng)0≤x<1時(shí)，f '(x)<0；當(dāng)10，
所以函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，在(1，2]上單調(diào)遞增.
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
則f(2)最大，
所以當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為f(2)＝a＋2＝3，
解得a＝1.
解題時(shí)靈活應(yīng)用以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.
(2)對于一般函數(shù)而言，函數(shù)的最值必在下列各點(diǎn)中取得：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、端點(diǎn).
返回
微點(diǎn)提醒
探究核心題型
第二部分
例1　已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2.
(1)若a＝e，求f(x)在[0，2]上的最值；
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題型一
函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2，
求導(dǎo)得f '(x)＝xex－ax＝x(ex－a).
∵a＝e，∴f(x)＝(x－1)ex－ex2，f '(x)＝x(ex－e)，
當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，令f '(x)＝0，得x＝1(舍去x＝0)，
∵f(1)＝－e，
f(0)＝－1，f(2)＝e2－2e，
∴f(x)min＝f(1)＝－e，
f(x)max＝f(2)＝e2－2e.
(2)若a>0，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值.
若a>0，則
①當(dāng)ln a≥2，即a≥e2時(shí)，ex－a≤0，f '(x)≤0，函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值為f(2)＝e2－2a；
②當(dāng)1因此函數(shù)f(x)的最小值為f(ln a)＝a(ln a－1)－a(ln a)2；
③當(dāng)ln a≤1，即0因此函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值為f(1)＝－a.
綜上，當(dāng)a≥e2時(shí)，f(x)在[1，2]上的最小值為e2－2a；
當(dāng)e當(dāng)0求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　已知函數(shù)f(x)＝－ln x(a∈R)，求f(x)在(0，e]上的最大值.
函數(shù)f(x)＝－ln x(a∈R)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
則f '(x)＝＝－.
當(dāng)a≤0時(shí)，對任意的x>0，f '(x)<0恒成立，此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，
所以f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，故f(x)在(0，e]上無最大值.
當(dāng)a>0時(shí)，由f '(x)>0，可得0由f '(x)<0，可得x>a.
此時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a，＋∞).
當(dāng)a≥e時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，
所以f(x)max＝f(e)＝－.
當(dāng)0所以f(x)max＝f(a)＝－ln a.
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，e]上無最大值；當(dāng)0已知函數(shù)的最值求參數(shù)
題型二
例2　(2024·淮安模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x，a∈R.若f(x)在[1，e]上的最小值為－2a，求a的取值范圍.
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f '(x)＝2x－(2a＋1)＋.
①當(dāng)a≤1時(shí)，x∈[1，e]，f '(x)>0，所以f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，f(x)的最小值為f(1)＝－2a，滿足題意；
②當(dāng)1令f '(x)>0，則x>a或0令f '(x)<0，則所以f(x)在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，e]上單調(diào)遞增，
此時(shí)，f(x)的最小值為f(a)③當(dāng)a≥e時(shí)，x∈[1，e]，f '(x)<0，所以f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，f(x)的最小值為f(e)綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].
含參數(shù)最值問題，關(guān)鍵是先討論函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性畫出草圖，借助函數(shù)圖象，分類討論最值問題，由最值求參數(shù)的值時(shí)，要注意檢驗(yàn)所求的值是否滿足分類討論的條件.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝xln x－(a＋1)x＋1(a>0)，若f(x)在，求實(shí)數(shù)a的值.
f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝ln x＋x·－(a＋1)＝ln x－a，
當(dāng)0ea時(shí)，f '(x)>0，
所以f(x)在(0，ea)上單調(diào)遞減，在(ea，＋∞)上單調(diào)遞增.
因?yàn)閍>0，則ea>1，當(dāng)ea≤e，即0則 f(x)min＝f(ea)＝ealn ea－(a＋1)ea＋1＝1－ea＝1－2e，解得a＝1＋ln 2(舍去)；
當(dāng)ea>e，即a>1時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以f(1)＝－a＝－2，f(e)＝1－ae＝1－2e，解得a＝2，符合題意.
綜上所述，a＝2.
生活中的優(yōu)化問題
題型三
例3　我國是一個(gè)人口大國，產(chǎn)糧、儲糧是關(guān)系國計(jì)民生的大事.現(xiàn)某儲糧機(jī)構(gòu)擬在長100米，寬80米的長方形地面建立兩座完全相同的糧倉(設(shè)計(jì)要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑之比為1∶10，糧倉高為50米，兩座糧倉連體緊靠矩形一邊)，已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計(jì)，估算兩個(gè)糧倉最多能儲存稻谷(π取近似值3)
A.105 000噸 B.68 160噸
C.157 000噸 D.146 500噸
√
由于糧倉高50米，頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑之比為1∶10，
設(shè)糧倉頂部圓錐形的高為x米，底面直徑為10x米，圓柱的高為(50－x)米，
兩座糧倉總的容積為V(x)＝2
＝x2(75－x).
若靠矩形長邊建造，則
所以0若靠矩形寬邊建造，則
所以0因?yàn)閂 '(x)＝100π(50x－x2)，當(dāng)00，V(x)在(0，5]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝5時(shí)，V(x)取得最大值，
兩個(gè)糧倉最多能儲存稻谷×0.6≈105 000(噸).
解決最優(yōu)化問題，應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手
(1)設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域.
(2)在實(shí)際應(yīng)用問題中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則它就是最值點(diǎn).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(2025·寧德模擬)為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，某村在對口幫扶單位的支持下擬建一個(gè)生產(chǎn)農(nóng)機(jī)產(chǎn)品的小型加工廠.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品當(dāng)年需投入固定成本10萬元，每年需另投入流動(dòng)成本c(x)(單位：萬元)與ln 成正比(其中x(單位：臺)表示產(chǎn)量)，并知當(dāng)生產(chǎn)20臺該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品時(shí)，需要流動(dòng)成本0.7萬元，每件產(chǎn)品的售價(jià)p(x)(單位：萬元)與產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系為p(x)＝－(其中x≥10).若生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完，則該工廠的最大年利潤為　　 　萬元.
(參考數(shù)據(jù)：取ln 2為0.7，ln 3為1.1，ln 5為1.6)
24.4
記當(dāng)年銷售該產(chǎn)品x臺獲得的利潤為f(x)(單位：萬元).
依題設(shè)，c(x)＝kln ，k>0，
當(dāng)生產(chǎn)20臺該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品時(shí)，需要流動(dòng)成本0.7萬元得，0.7＝kln ，可得
k＝1，∴c(x)＝ln ，
∴f(x)＝p(x)x－c(x)－10＝x－ln －10
＝－x2＋x－ln x＋ln 10(x≥10).
∴f '(x)＝－x＋＝－，
∵x≥10，∴當(dāng)x∈[10，50)時(shí)，f '(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈(50，＋∞)時(shí)，f '(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＝50時(shí)，f(x)取得極大值也是最大值，
f(50)＝－×502＋×50－ln 50＋ln 10＝24.4，
∴當(dāng)年產(chǎn)量為50臺時(shí)，利潤f(x)最大，最大利潤是24.4萬元.
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課時(shí)精練
對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B C B AC AC －1
題號 8 11 12 答案 1 A 0 (1)由題意，當(dāng)0當(dāng)x≥4時(shí)，P(x)＝6x－2－＝25－x－.
所以P(x)＝
(2)當(dāng)0令P'(x)＝0，解得x＝2.
易得P(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，4)上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)0答案
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當(dāng)x≥4時(shí)，P(x)＝25－≤25－2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，
即x＝8時(shí)取等號.
綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，所獲年利潤最大，最大年利潤是9萬元.
9.
答案
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(1)∵f '(x)＝，
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f '(x)≤0恒成立，
即2x2＋ax－1≤0恒成立，
即a≤－2x＋恒成立，
又函數(shù)y＝－2x＋在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，＝－，
故a的取值范圍是.
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答案
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(2)∵f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R，
∴g(x)＝f(x)－x2＝ax－ln x，x∈(0，e]，
∴g'(x)＝a－(0當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，
解得a＝，不合題意，舍去；
當(dāng)0<0，g(x)在上單調(diào)遞增，
10.
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∴g(x)min＝g＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，滿足題意；
當(dāng)≥e，x∈(0，e]時(shí)，g'(x)≤0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，
解得a＝，不合題意，舍去，
綜上，存在實(shí)數(shù)a＝e2，使得當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，g(x)的最小值是3.
10.
一、單項(xiàng)選擇題
1.已知函數(shù)f(x)＝－x＋2sin x，x∈[0，π]，則函數(shù)f(x)的最大值為
A.0 B.2－
C. D.
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知識過關(guān)
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答案
f(x)＝－x＋2sin x，x∈[0，π]，
∴f '(x)＝－1＋2cosx，
令f '(x)＝0，得x＝，
∴f ，
又f(0)＝0，f(π)＝－π，
∴f(x)max＝f .
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答案
2.函數(shù)f(x)＝(3x－1)e2x的最小值為
A.－3 B.－ C.0 D.－4e－2
由f(x)＝(3x－1)e2x，得f '(x)＝e2x，
令f '(x)<0，得x<－；令f '(x)>0，得x>－，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，
所以f(x)＝(3x－1)e2x的最小值為f ＝－.
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答案
3.已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax在(0，1)上有最大值，則a的取值范圍是
A.(0，＋∞) B.(0，1)
C.(－∞，－1) D.(－1，0)
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答案
因?yàn)閒 '(x)＝＋a，x>0，
所以當(dāng)a≥0時(shí)，f '(x)>0恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不存在最大值；
當(dāng)a<0時(shí)，令f '(x)＝0，得x＝－，
所以當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f ，
所以0<－<1，解得a<－1.
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答案
4.某海上油田A到海岸線(近似直線)的垂直距離為10海里，垂足為B，海岸線上距離B處100海里有一原油廠C，現(xiàn)計(jì)劃在BC之間建一石油管道中轉(zhuǎn)站M.已知海上修建石油管道的單位長度費(fèi)用是陸地上的3倍，要使從油田A處到原油廠C修建管道的費(fèi)用最低，則中轉(zhuǎn)站M到B處的距離應(yīng)為
A.5 海里 B. 海里
C.3 海里 D.10 海里
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答案
設(shè)BM＝x(0則AM＝，MC＝100－x，
所以總費(fèi)用為f(x)＝3＋100－x(0令f '(x)>0，則令f '(x)<0，則0所以當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最小值.
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答案
二、多項(xiàng)選擇題
5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f '(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是
A.f(a)B.函數(shù)f(x)在x＝c處取得最大值，在x＝e處取得最小值
C.函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值，在x＝e處取得極小值
D.函數(shù)f(x)的最小值為f(d)
√
√
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答案
由題圖可知，當(dāng)x≤c時(shí)，f '(x)≥0，
所以函數(shù)f(x)在(－∞，c]上單調(diào)遞增，
又a因?yàn)閒 '(c)＝0，f '(e)＝0，且當(dāng)x0；
當(dāng)ce時(shí)，f '(x)>0.
所以函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，但不一定是最小值，故B不正確，C正確；
由題圖可知，當(dāng)d≤x≤e時(shí)，f '(x)≤0，所以函數(shù)f(x)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而f(d)>f(e)，故D不正確.
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答案
6.(2025·莆田模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x2－3x＋1)ex，則下列說法中正確的是
A.f(x)在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)
B.f(x)無最大值、無最小值
C.f(x)有最小值、無最大值
D.函數(shù)f(x)在R上有三個(gè)零點(diǎn)
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答案
∵f(x)的定義域?yàn)镽，
f '(x)＝(x2－x－2)ex＝(x－2)(x＋1)ex，
∴當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)時(shí)，f '(x)>0；
當(dāng)x∈(－1，2)時(shí)，f '(x)<0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，
在(－1，2)上單調(diào)遞減，
∴f(x)的極大值為f(－1)＝，極小值為f(2)＝－e2，
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答案
當(dāng)x<0時(shí)，x2－3x＋1>0，ex>0，
∴f(x)>0在(－∞，0)上恒成立，
可作出f(x)的圖象如圖所示，
對于A，f(x)的極大值點(diǎn)為－1，極小值點(diǎn)為2，A正確；
對于B，C，f(－1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，
B錯(cuò)誤，C正確；
對于D，由圖象可知，f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.
三、填空題
7.已知函數(shù)y＝(x＋a)ex的最小值為－1，則實(shí)數(shù)a＝　　　.
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答案
y'＝(x＋a＋1)ex，
當(dāng)x∈(－∞，－a－1)時(shí)，y'<0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(－a－1，＋∞)時(shí)，y'>0，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)x＝－a－1時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值，為－e－a－1，
故－e－a－1＝－1，所以a＝－1.
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答案
8.(2024·雅安模擬)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x，若f(m)＝g(n)，則m－n的最小值為　　　　.
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答案
由題設(shè)f(m)＝g(n)＝t，則ln m＝n＝t，
得m＝et，n＝t，則m－n＝et－t，
設(shè)h(x)＝ex－x，h'(x)＝ex－1，
令h'(x)＝0，得x＝0，
當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取得最小值，h(0)＝1，
所以m－n的最小值為1.
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答案
四、解答題
9.小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，當(dāng)年產(chǎn)量為x萬件時(shí)，需另投入流動(dòng)成本W(wǎng)(x)萬元.已知在年產(chǎn)量不足4萬件時(shí)，W(x)＝x3＋2x，在年產(chǎn)量不小于4萬件時(shí)，W(x)＝7x＋－27.每件產(chǎn)品售價(jià)6元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.
(1)寫出年利潤P(x)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)解析式；(年利潤＝年銷售收入－年固定成本－流動(dòng)成本)
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答案
由題意，當(dāng)0當(dāng)x≥4時(shí)，P(x)＝6x－2－＝25－x－.
所以P(x)＝
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(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？
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答案
當(dāng)0令P'(x)＝0，解得x＝2.
易得P(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，4)上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)0當(dāng)x≥4時(shí)，P(x)＝25－≤25－2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝8時(shí)取等號.
綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，所獲年利潤最大，最大年利潤是9萬元.
∵f '(x)＝，
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f '(x)≤0恒成立，
即2x2＋ax－1≤0恒成立，即a≤－2x＋恒成立，
又函數(shù)y＝－2x＋在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，＝－，
故a的取值范圍是.
10.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
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答案
(2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0，e](e是自然對數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.
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答案
∵f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R，
∴g(x)＝f(x)－x2＝ax－ln x，x∈(0，e]，
∴g'(x)＝a－(0當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，
g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，
解得a＝，不合題意，舍去；
當(dāng)0<0，g(x)在上單調(diào)遞增，
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答案
∴g(x)min＝g＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，滿足題意；
當(dāng)≥e，x∈(0，e]時(shí)，g'(x)≤0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，
解得a＝，不合題意，舍去，
綜上，存在實(shí)數(shù)a＝e2，使得當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，g(x)的最小值是3.
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能力拓展
11.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，x∈(a，a＋4)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
A.[－2，1) B.(－2，1)
C.[－3，1) D.(－3，1)
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答案
∵f(x)＝x3－3x，∴f '(x)＝3x2－3，
令f '(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
且當(dāng)x<－1時(shí)，f '(x)>0；當(dāng)－11時(shí)，f '(x)>0，∴f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
又f(－1)＝2，f(1)＝－2，令f(x)＝x3－3x＝－2，
解得x＝－2或x＝1，
∴其圖象如圖所示，
由圖可知，當(dāng)x∈(a，a＋4)時(shí)，f(x)存在最小值，
∴－2≤a<1即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－2，1).
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答案
12.已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x＋1－xex，則函數(shù)f(x)的最大值為　　　　.
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答案
f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f '(x)＝＋1－(x＋1)ex＝，
設(shè)g(x)＝1－xex(x>0)，
則g'(x)＝－(x＋1)ex<0，
故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
由于g(0)＝1>0，g(1)＝1－e<0，
故存在x0∈(0，1)，使g(x0)＝0，
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答案
返回
即g(x0)＝1－x0＝0，即，
故當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g(x)>0，則f '(x)>0，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，g(x)<0，則
f '(x)<0，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，x0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(x0，＋∞).
即函數(shù)f(x)的最大值為f(x0)＝ln x0＋x0＋1－x0＝ln ＋x0＋1－x0·＝0.(共50張PPT)
第三章
§3.6　函數(shù)中的構(gòu)造問題
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.
2.同構(gòu)函數(shù)問題是指在不等式、方程、函數(shù)中，通過等價(jià)變形形成相同形式，再構(gòu)造函數(shù)，同構(gòu)法主要解決含有指數(shù)、對數(shù)混合的等式或不等式問題.
重點(diǎn)解讀
例1　(2024·綿陽模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(－x)，且當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)＋xf '(x)>0成立，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log3·f ，則a，b，c的大小關(guān)系是
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
√
導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造函數(shù)
題型一
命題點(diǎn)1　利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)
令g(x)＝xf(x)，x∈R，
因?yàn)閒(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
所以g(x)為奇函數(shù)，
又因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)＋xf '(x)>0，
所以當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，g'(x)＝f(x)＋xf '(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，
又g(x)為奇函數(shù)，
所以g(x)在R上單調(diào)遞增，
又因?yàn)閍＝30.2·f(30.2)＝g(30.2)，
b＝ln 2·f(ln 2)＝g(ln 2)，
c＝log3·f ＝g＝g(－2)，
又－2<0所以g(－2)b>c.
(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf '(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x).
(2)出現(xiàn)xf '(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf '(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，則f(ex)－ex>0的解集是
A.(－∞，ln 2) B.(ln 2，＋∞)
C.(0，e2) D.(e2，＋∞)
√
令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，
則g'(x)＝<0，
故g(x)＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
結(jié)合f(2)＝2，得g(2)＝＝1，
由f(ex)－ex>0，得>1，
即g(ex)>g(2)，∴ex<2，則x即f(ex)－ex>0的解集是(－∞，ln 2).
例2　已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f '(x)>0，且有f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為　 　　　.
設(shè)F(x)＝f(x)·ex，則F '(x)＝f '(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f '(x)]>0，
∴F(x)是增函數(shù).
又f(3)＝3，則F(3)＝f(3)·e3＝3e3.
∵f(x)>3e3－x等價(jià)于f(x)·ex>3e3，
即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集為(3，＋∞).
(3，＋∞)
命題點(diǎn)2　利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)
(1)出現(xiàn)f '(x)＋nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝enxf(x).
(2)出現(xiàn)f '(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　已知f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，f '(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且f(x)A.f(2 025)B.ef(2 025)C.ef(2 025)＝f(2 026)
D.ef(2 025)>f(2 026)
√
設(shè)g(x)＝，則g'(x)＝，
因?yàn)閒(x)即f '(x)－f(x)>0恒成立，
所以g'(x)>0恒成立，g(x)為增函數(shù)，
則g(2 025)則<，
即ef(2 025)例3　(2025·杭州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)sin x＋f '(x)cosx
>0，則
A. f < B. f <
C. f > D. f >
命題點(diǎn)3　利用f(x)與sin x，cos x構(gòu)造函數(shù)
√
令F(x)＝，x≠＋kπ，k∈Z，
故F '(x)＝>0恒成立，
故F(x)＝，k∈Z上單調(diào)遞增，
故F函數(shù)f(x)與sin x，cosx相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式
F(x)＝f(x)sin x，F(xiàn) '(x)＝f '(x)sin x＋f(x)cosx；
F(x)＝，F(xiàn) '(x)＝；
F(x)＝f(x)cosx，F(xiàn) '(x)＝f '(x)cosx－f(x)sin x；
F(x)＝，F(xiàn) '(x)＝.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(2024·齊齊哈爾模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，π)，其導(dǎo)函數(shù)是f '(x).若對任意的x∈(0，π)，有f '(x)sin x－f(x)cosx<0，則關(guān)于x的不等式f(x)>2f sin x的解集為
A. B. C. D.
√
令函數(shù)g(x)＝，x∈(0，π)，
則g'(x)＝<0，
因此函數(shù)g(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，不等式f(x)>2f sin x >，
即g(x)>g，解得0所以原不等式的解集為.
同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)
題型二
例4　已知α，β均為銳角，且α＋β－>sin β－cosα，則
A.sin α>sin β B.cosα>cosβ
C.cosα>sin β D.sin α>cosβ
√
命題點(diǎn)1　雙變量同構(gòu)
∵α＋β－>sin β－cosα，∴β－sin β>－α－sin，
令f(x)＝x－sin x，x∈，
則f '(x)＝1－cosx>0，
∴f(x)在上單調(diào)遞增，
∵α，β均為銳角，則－α∈，β∈，∴β>－α，
∴cosβsin，
∴cosβcosα.
例5　(多選)若ea＋a>b＋ln b(a，b為變量)成立，則下列選項(xiàng)正確的是
A.a>ln b B.aC.ea>b D.ea命題點(diǎn)2　指對同構(gòu)
√
√
方法一　由ea＋a>b＋ln b，
可得ea＋a>eln b＋ln b，
令f(x)＝ex＋x，則f(a)>f(ln b)，
因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，
所以a>ln b，即ea>b.
方法二　由ea＋a>b＋ln b，
可得ea＋ln ea>b＋ln b，
令g(x)＝x＋ln x，則g(ea)>g(b)，
因?yàn)間(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
所以ea>b，即a>ln b.
指對同構(gòu)的常用形式
(1)積型：aea≤bln b，一般有三種同構(gòu)方式：
①同左構(gòu)造形式：aea≤ln beln b，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xex；
②同右構(gòu)造形式：ealn ea≤bln b，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xln x；
③取對構(gòu)造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(ln b)(a>0，b>1)，構(gòu)造函數(shù)f(x)
＝x＋ln x.
思維升華
(2)商型：≤，一般有三種同構(gòu)方式：
①同左構(gòu)造形式：≤，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝；
②同右構(gòu)造形式：≤，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝；
③取對構(gòu)造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(a>0，b>1)，構(gòu)造函數(shù)f(x)
＝x－ln x.
思維升華
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有兩種同構(gòu)方式：
①同左構(gòu)造形式：ea±a>eln b±ln b，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex±x；
②同右構(gòu)造形式：ea±ln ea>b±ln b，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x±ln x.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練4　(1)若2x－2y<3－x－3－y，則
A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，
令f(t)＝2t－3－t，
∵y＝2t為增函數(shù)，y＝3－t為減函數(shù)，
∴f(t)為增函數(shù)，∴x∴y－x＋1>1，∴l(xiāng)n(y－x＋1)>0，故A正確，B錯(cuò)誤；
∵|x－y|與1的大小不確定，故C，D無法確定.
√
由ax－exln a≤0得≤，
設(shè)f(x)＝，則f '(x)＝，
當(dāng)x>1時(shí)，f '(x)<0，所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
則≤，即f(x)≤f(ln a)，
又x，ln a∈(1，＋∞)，所以x≥ln a恒成立，
又x∈[2，＋∞)，即ln a≤2，
所以e(2)(2024·鹽城模擬)若不等式ax－exln a≤0(a>e)在x∈[2，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為　　　　.
e2
課時(shí)精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B D B BC BC (2，＋∞)
題號 8 9 10 答案 e C 一、單項(xiàng)選擇題
1.已知a>0，b>0，則“a>b”是“l(fā)n >”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
1
2
3
4
5
6
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8
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10
知識過關(guān)
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
ln >，
即ln a－>ln b－，
記f(x)＝ln x－，x>0，
顯然f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
因?yàn)閒(a)>f(b)，所以a>b>0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.已知f '(x)是函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，且 x∈R，f '(x)>2x，f(2)＝5，則不等式f(x)>x2＋1的解集為
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－∞，) D.(，＋∞)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
令g(x)＝f(x)－x2，
則g'(x)＝f '(x)－2x>0，
所以g(x)在R上單調(diào)遞增，
又f(2)＝5，所以g(2)＝f(2)－22＝1，
不等式f(x)>x2＋1，即f(x)－x2>1，
即g(x)>g(2)，所以x>2，
即不等式f(x)>x2＋1的解集為(2，＋∞).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
3.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f '(x)sin x＋f(x)cosx>0，則下列說法正確的是
A.f <－f <－f
B.－f C.－f <－f D.－f √
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
令g(x)＝f(x)sin x，
因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，則g(x)為偶函數(shù)，
g'(x)＝f '(x)sin x＋f(x)cosx，
又當(dāng)x>0時(shí)，f '(x)sin x＋f(x)cosx>0，
則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
則有g(shù)＝g即－ f <<－ f ，
即－f 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
4.設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若aeaA.ab>e B.b>ea
C.ab√
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
答案
由aea得ealn ea設(shè)f(x)＝xln x(x>0)，
因?yàn)閍>0，則ea>1，
因?yàn)閎>0，且bln b>aea>0，則b>1.
當(dāng)x>1時(shí)，f '(x)＝ln x＋1>0，
則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
ealn ea所以ea1
2
3
4
5
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7
8
9
10
答案
二、多項(xiàng)選擇題
5.(2025·滁州模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f '(x)，且對任意的x∈R，都有f(x)＋f '(x)>0，則下列說法正確的是
A.ef(1)f(0)
C.2f(ln 2)ef(1)
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
令g(x)＝exf(x)，
所以g'(x)＝exf(x)＋exf '(x)＝ex[f(x)＋f '(x)]>0，
所以g(x)在R上是增函數(shù)，所以g(0)又g(ln 2)所以eln 2f(ln 2)即2f(ln 2)1
2
3
4
5
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7
8
9
10
答案
6.已知正數(shù)a，b滿足2a＋log2a＝4b＋2log4b，則
A.a>2b B.a<2b
C.a>b D.a√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
原等式可化為2a＋log2a＝22b＋log2b，令f(x)＝2x＋log2x，
顯然f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∵2b>b>0，
∴2a＋log2a＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，
∴f(a)∴a<2b，故A錯(cuò)誤，B正確；
又2a＋log2a＝22b＋log2b>2b＋log2b，
∴f(a)>f(b)，
∴a>b，故C正確，D錯(cuò)誤.
三、填空題
7.已知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)<－xf '(x)，則不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是　　　　　　.
1
2
3
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9
10
答案
(2，＋∞)
1
2
3
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10
答案
根據(jù)題意，
構(gòu)造函數(shù)y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
則y'＝f(x)＋xf '(x)<0，
所以函數(shù)y＝xf(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.
又因?yàn)閒(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
所以02.所以不等式
f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).
1
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10
答案
8.若關(guān)于x的不等式ex＋x≥mx＋ln m－ln 恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為　　　.
e
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10
答案
由題意得，ex＋x≥mx＋ln(mx)，m>0，
即ex＋ln ex≥mx＋ln(mx)，
令f(x)＝x＋ln x，x>0，則f '(x)＝1＋>0，
所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
則不等式轉(zhuǎn)化為f(ex)≥f(mx)，
所以ex≥mx，則≥m.
令g(x)＝，x>0，
1
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答案
則g'(x)＝，
則當(dāng)01時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)有最小值，
即g(x)min＝g(1)＝e，
則01
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10
答案
9.(2024·南通模擬)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f '(x)的定義域均為(0，＋∞)，若xf '(x)<2f(x)，則
A.4e2f(2)<16f(e)B.e2f(4)<4e2f(2)<16f(e)
C.e2f(4)<16f(e)<4e2f(2)
D.16f(e)能力拓展
√
方法一　設(shè)g(x)＝，x∈(0，＋∞)，
∵xf '(x)<2f(x)，
∴g'(x)＝<0，
則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴g(2)>g(e)>g(4)，
∴>>，
即4e2f(2)>16f(e)>e2f(4)，故C正確.
方法二　設(shè)f(x)＝1，又e2<16<4e2，C正確.
1
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答案
1
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答案
10.設(shè)實(shí)數(shù)k>0，對于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，則k的最小值為　　　.
1
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10
答案
由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，
即kxekx≥eln x·ln x，
令f(x)＝xex，則f(kx)≥f(ln x).
因?yàn)閒 '(x)＝(x＋1)ex，
所以f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，
因?yàn)閗x>0，ln x>0，
所以kx≥ln x，即k≥，
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
答案
令h(x)＝(x>1)，則h'(x)＝，
當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，
所以h(x)max＝h(e)＝，即k≥，
所以k的最小值為.(共56張PPT)
第三章
§3.7　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
導(dǎo)數(shù)的綜合問題是高考的熱點(diǎn)，常考查恒(能)成立、不等式的證明、函數(shù)的零點(diǎn)等問題，解題方法靈活，難度較大，一般以壓軸題的形式出現(xiàn).
重點(diǎn)解讀
例1　已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex.
(1)求f(x)在[－1，3]上的最值；
利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題
題型一
依題意f '(x)＝(x－1)ex，
令f '(x)＝0，解得x＝1，
當(dāng)x<1時(shí)，f '(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f '(x)>0，
∴f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，在(1，3]上單調(diào)遞增，
而f(1)＝－e，f(3)＝e3，f(－1)＝－3∴f(x)在[－1，3]上的最小值為－e，最大值為e3.
(2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2對x∈[2，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
方法一　依題意，2(x－2)ex＋2ax≥ax2在[2，＋∞)上恒成立.
當(dāng)x＝2時(shí)，4a≥4a，∴a∈R；
當(dāng)x>2時(shí)，原不等式化為a≤，
令g(x)＝，則g'(x)＝，
∵x>2，∴g'(x)>0，∴g(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴g(x)>g(2)＝e2，∴a≤e2，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，e2].
方法二　依題意，當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，2(x－2)ex＋2ax－ax2≥0恒成立，
令φ(x)＝2(x－2)ex＋2ax－ax2，x∈[2，＋∞)，
∴φ(x)≥0恒成立，
φ'(x)＝2(x－1)ex＋2a－2ax＝2(x－1)(ex－a)，
又x≥2，∴x－1>0，ex≥e2，
①當(dāng)a≤e2時(shí)，φ'(x)≥0，
∴φ(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴φ(x)min＝φ(2)＝0，
∴φ(x)≥0恒成立，故a≤e2符合題意.
②當(dāng)a>e2時(shí)，令φ'(x)＝0 x＝ln a，
當(dāng)x∈[2，ln a)時(shí)，φ'(x)<0，
x∈(ln a，＋∞)時(shí)，φ'(x)>0，
∴φ(x)在[2，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴φ(x)min＝φ(ln a)<φ(2)＝0，與φ(x)≥0恒成立矛盾，
∴a>e2不成立，
綜上，a的取值范圍是(－∞，e2].
恒(能)成立問題的解法
(1)若f(x)在區(qū)間I上有最值，則
①恒成立： x∈I，f(x)>0 f(x)min>0； x∈I，f(x)<0 f(x)max<0.
②能成立： x∈I，f(x)>0 f(x)max>0； x∈I，f(x)<0 f(x)min<0.
(2)若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為a>f(x)(或a①恒成立：a>f(x) a>f(x)max；a②能成立：a>f(x) a>f(x)min；a思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(2024·河南省TOP二十名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－x－ln x.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－x－ln x，其定義域?yàn)?0，＋∞).
f '(x)＝2x－1－，
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f '(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f '(x)>0，
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞).
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤0在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
不等式f(x)≤0在上有解等價(jià)于a≤上有解，
令g(x)＝，x∈，則a≤g(x)max，x∈.
g'(x)＝－，
令h(x)＝1－2ln x－x，x∈，易知h(x)在上單調(diào)遞減，且h(1)＝0，
所以當(dāng)x∈[e－1，1)時(shí)，h(x)>0，即g'(x)>0，當(dāng)x∈(1，e2]時(shí)，h(x)<0，即g'(x)<0，
所以g(x)在[e－1，1)上單調(diào)遞增，在(1，e2]上單調(diào)遞減.
所以g(x)max＝g(1)＝1，所以a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1].
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
題型二
例2　(2025·大連模擬)已知函數(shù)f(x)＝xln x＋ax＋1(a∈R).
(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；
由已知得，－a≤ln x＋在(0，＋∞)上恒成立，
設(shè)g(x)＝ln x＋，g'(x)＝，
令g'(x)>0，解得x>1，
令g'(x)<0，解得0∴g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴g(x)≥g(1)＝1，即－a≤1，∴a≥－1.
(2)當(dāng)x>1時(shí)，證明：exln x>e(x－1).
方法一　當(dāng)x>1時(shí)，若證exln x>e(x－1)成立，即證ln x>，x>1.
設(shè)G(x)＝ln x－，x>1，
G '(x)＝，
設(shè)m(x)＝ex－1＋x2－2x，x>1，
m '(x)＝ex－1＋2x－2＝ex－1＋2(x－1)，
當(dāng)x>1時(shí)，m '(x)>0，∴m(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.
∴m(x)>m(1)＝0，∴G '(x)>0，
∴G(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，G(x)>G(1)＝0，
由此可證，當(dāng)x>1時(shí)，exln x>e(x－1)成立.
方法二　由(1)知，當(dāng)a≥－1時(shí)，f(x)≥0恒成立，取a＝－1，得ln x≥成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號.
∴當(dāng)x>1時(shí)，exln x>，
設(shè)h(x)＝ex－ex，
h'(x)＝ex－e，故當(dāng)x>1時(shí)，h'(x)>0，
∴h(x)＝ex－ex在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴h(x)>h(1)＝0，∴ex>ex.
∴當(dāng)x>1時(shí)，>e，即>e(x－1).
由此可證，當(dāng)x>1時(shí)，exln x>>e(x－1).
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的解題策略
(1)待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時(shí)對復(fù)雜的式子要進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)研究最值即可得證.
(2)若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的.
思維升華
(3)對于函數(shù)中含有ex和ln x與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，可以考慮先對ex和ln x進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明.常見的放縮公式如下：①ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號；②ln x≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝eln x－ax(a∈R).
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
f '(x)＝－a(x>0)，
①若a≤0，則f '(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
②若a>0，則當(dāng)00，
當(dāng)x>時(shí)，f '(x)<0，
故f(x)在上單調(diào)遞減.
(2)當(dāng)a＝e時(shí)，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
因?yàn)閤>0，所以只需證f(x)≤－2e.
當(dāng)a＝e時(shí)，由(1)知，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以f(x)max＝f(1)＝－e.
記g(x)＝－2e(x>0)，則g'(x)＝，
所以當(dāng)0當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，
所以g(x)min＝g(1)＝－e.
綜上，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≤g(x)，
即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0得證.
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)
題型三
例3　已知函數(shù)f(x)＝，a∈R.
(1)若a＝0，求f(x)的最大值；
若a＝0，則f(x)＝，其定義域?yàn)?0，＋∞)，
∴f '(x)＝，由f '(x)＝0，得x＝e，
當(dāng)00；當(dāng)x>e時(shí)，f '(x)<0，
∴f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(e)＝.
(2)若0f '(x)＝，由(1)知，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，
∵0e時(shí)，f(x)＝＝a＋>0，
故f(x)在(e，＋∞)上無零點(diǎn)；
當(dāng)00，
且f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，
∴f(x)在(0，e)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
函數(shù)的零點(diǎn)問題有兩種常見方法，一是分離參數(shù)法，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；二是利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定參數(shù)的范圍或零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋1)，a∈R.
(1)若f(x)在[0，1]上不單調(diào)，求a的取值范圍；
函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋1)，
則f '(x)＝ex－a，
∵f(x)在[0，1]上不單調(diào)，
故函數(shù)f(x)在(0，1)上存在極值，
∴f '(x)在(0，1)上存在變號零點(diǎn)，
即ex－a＝0在(0，1)上有解，
即直線y＝a與曲線y＝ex的圖象在(0，1)上有交點(diǎn)，令h(x)＝ex，
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h(x)∈(1，e)，
∴a的取值范圍為(1，e).
(2)當(dāng)a>0時(shí)，試討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
f(x)＝0等價(jià)于，
故f(x)＝0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為直線y＝與曲線y＝的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
令g(x)＝，則g'(x)＝，
令g'(x)>0，得x<0，令g'(x)<0，得x>0，
故g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
∵g(0)＝1，當(dāng)x→－∞時(shí)，g(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0，
函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，∴當(dāng)0<<1，即a>1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)＝1，即a＝1時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)>1，即0課時(shí)精練
答案
1
2
3
4
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex－x2，
則f '(x)＝ex－2x，
令h(x)＝ex－2x，則h'(x)＝ex－2，
由h'(x)＝0，得到x＝ln 2，
當(dāng)x∈(－∞，ln 2)時(shí)，h'(x)<0，當(dāng)x∈(ln 2，＋∞)，h'(x)>0，
所以h(x)≥h(ln 2)＝2－2ln 2>0，即f '(x)>0恒成立，
所以f(x)＝ex－x2在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
故f(x)≥f(0)＝e0＝1，命題得證.
1.
答案
1
2
3
4
(2)因?yàn)閒(x)＝ex－ax2，
令f(x)＝0，得ex＝ax2，
又x∈(0，＋∞)，所以＝a，
令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，
則g'(x)＝，
當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，g'(x)>0，
所以g(x)≥g(2)＝，
1.
答案
1
2
3
4
又當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→＋∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→＋∞，
又f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以a>，即a的取值范圍為.
1.
答案
1
2
3
4
(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f '(x)＝，
因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極大值，
所以
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，f(x)在x＝1處有極大值，
所以a＝1，b＝0.
2.
答案
1
2
3
4
(2)由(1)知，f(x)＝，當(dāng)x>0時(shí)，要證f(x)<，
即證<，即證ex>x＋1.
設(shè)g(x)＝ex－x－1，則g'(x)＝ex－1，
因?yàn)閤>0，所以g'(x)＝ex－1>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以g(x)>g(0)＝0，即ex－x－1>0，即ex>x＋1，
故當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<.
2.
答案
1
2
3
4
3.
(1)易知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
因?yàn)閍＝1，所以f(x)＝－x2＋ln x，
f '(x)＝－2x＋(x>0)，
令f '(x)>0，得x∈，令f '(x)<0，得x∈，
所以f(x)在上單調(diào)遞減.
答案
1
2
3
4
3.
(2)由f(x)>－a，得a(x2－1)－ln x<0，
因?yàn)閤∈(1，＋∞)，所以－ln x<0，x2－1>0，
當(dāng)a≤0時(shí)，a(x2－1)－ln x<0，符合題意；
設(shè)g(x)＝a(x2－1)－ln x(x>1)，則g'(x)＝.
當(dāng)a≥時(shí)，則g'(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以g(x)>g(1)＝0，不符合題意；
當(dāng)00，得x∈，所以g(x)在上單調(diào)遞增，
答案
1
2
3
4
3.
令g'(x)<0，得x∈，所以g(x)在上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g則存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，滿足題意.
綜上，a的取值范圍是.
答案
1
2
3
4
4.
(1)由題意f '(x)＝1＋cosx－xsin x－2cosx＝－xsin x－cosx＋1，
則f '(π)＝2，即切線的斜率k＝2，
且f(π)＝0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(π，0)，
所以曲線y＝f(x)在x＝π處的切線方程為y＝2(x－π)，即2x－y－2π＝0.
(2)因?yàn)間(x)＝x2－3x＋a(a∈R)的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝，
則g(x)在上單調(diào)遞增，
可得g(x)max＝g(1)＝g(2)＝a－2.
答案
1
2
3
4
4.
由(1)可設(shè)h(x)＝f '(x)，
則h(x)＝－cosx－xsin x＋1，
所以h'(x)＝－xcosx，
當(dāng)x∈時(shí)，h'(x)<0；
當(dāng)x∈時(shí)，h'(x)>0，
則h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
且h(0)＝0，h＝1－<0，h(π)＝2，
答案
1
2
3
4
4.
可知h(x)，即f '(x)在區(qū)間(0，π)上只有一個(gè)零點(diǎn)x0，則x0∈，
當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f '(x)<0；當(dāng)x∈(x0，π)時(shí)，f '(x)>0，
所以f(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x0，π)上單調(diào)遞增，
且f(0)＝0，f(π)＝0，可得當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)max＝0，
所以02，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞).
1
2
3
4
知識過關(guān)
答案
1.(2025·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2.
(1)若a＝1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；
1
2
3
4
答案
當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex－x2，
則f '(x)＝ex－2x，
令h(x)＝ex－2x，則h'(x)＝ex－2，
由h'(x)＝0，得到x＝ln 2，
當(dāng)x∈(－∞，ln 2)時(shí)，h'(x)<0，當(dāng)x∈(ln 2，＋∞)，h'(x)>0，
所以h(x)≥h(ln 2)＝2－2ln 2>0，即f '(x)>0恒成立，
所以f(x)＝ex－x2在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
故f(x)≥f(0)＝e0＝1，命題得證.
1
2
3
4
答案
(2)若f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
1
2
3
4
答案
因?yàn)閒(x)＝ex－ax2，
令f(x)＝0，得ex＝ax2，
又x∈(0，＋∞)，所以＝a，
令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，
則g'(x)＝，
當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，g'(x)>0，
所以g(x)≥g(2)＝，
1
2
3
4
答案
又當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→＋∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→＋∞，
又f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以a>，即a的取值范圍為.
1
2
3
4
答案
2.(2024·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極大值.
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f '(x)＝，
因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極大值，
所以
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，f(x)在x＝1處有極大值，
所以a＝1，b＝0.
1
2
3
4
答案
(2)當(dāng)x>0時(shí)，證明：f(x)<.
由(1)知，f(x)＝，當(dāng)x>0時(shí)，要證f(x)<，
即證<，即證ex>x＋1.
設(shè)g(x)＝ex－x－1，則g'(x)＝ex－1，
因?yàn)閤>0，所以g'(x)＝ex－1>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以g(x)>g(0)＝0，即ex－x－1>0，
即ex>x＋1，故當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<.
1
2
3
4
答案
3.(2025·眉山模擬)已知函數(shù)f(x)＝－ax2＋ln x(a∈R).
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；
易知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
因?yàn)閍＝1，所以f(x)＝－x2＋ln x，
f '(x)＝－2x＋(x>0)，
令f '(x)>0，得x∈，令f '(x)<0，得x∈，
所以f(x)在上單調(diào)遞減.
1
2
3
4
答案
(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范圍.
由f(x)>－a，得a(x2－1)－ln x<0，
因?yàn)閤∈(1，＋∞)，所以－ln x<0，x2－1>0，
當(dāng)a≤0時(shí)，a(x2－1)－ln x<0，符合題意；
設(shè)g(x)＝a(x2－1)－ln x(x>1)，則g'(x)＝.
當(dāng)a≥時(shí)，則g'(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以g(x)>g(1)＝0，不符合題意；
當(dāng)00，得x∈，所以g(x)在上單
調(diào)遞增，
1
2
3
4
答案
令g'(x)<0，得x∈，所以g(x)在上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g則存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，滿足題意.
綜上，a的取值范圍是.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
4.(2025·曲靖模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋xcosx－2sin x.
(1)求曲線y＝f(x)在x＝π處的切線方程；
由題意f '(x)＝1＋cosx－xsin x－2cosx＝－xsin x－cosx＋1，
則f '(π)＝2，即切線的斜率k＝2，
且f(π)＝0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(π，0)，
所以曲線y＝f(x)在x＝π處的切線方程為y＝2(x－π)，即2x－y－2π＝0.
能力拓展
1
2
3
4
答案
(2)g(x)＝x2－3x＋a(a∈R)，若對任意x1∈[0，π]，均存在x2∈[1，2]，使得f(x1)1
2
3
4
答案
因?yàn)間(x)＝x2－3x＋a(a∈R)的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝，
則g(x)在上單調(diào)遞增，
可得g(x)max＝g(1)＝g(2)＝a－2.
由(1)可設(shè)h(x)＝f '(x)，
則h(x)＝－cosx－xsin x＋1，
所以h'(x)＝－xcosx，
當(dāng)x∈時(shí)，h'(x)<0；
1
2
3
4
答案
當(dāng)x∈時(shí)，h'(x)>0，
則h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
且h(0)＝0，h＝1－<0，h(π)＝2，
可知h(x)，即f '(x)在區(qū)間(0，π)上只有一個(gè)零點(diǎn)x0，則x0∈，
當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f '(x)<0；當(dāng)x∈(x0，π)時(shí)，f '(x)>0，
所以f(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x0，π)上單調(diào)遞增，
1
2
3
4
答案
且f(0)＝0，f(π)＝0，可得當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)max＝0，
所以02，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞).(共22張PPT)
第三章
必刷大題6　導(dǎo)數(shù)的綜合問題
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
答案
1
2
3
4
(1)易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，
則f '(x)＝ex(x＋2)(x－a)，
又因?yàn)閍>－2，所以當(dāng)x∈(－2，a)時(shí)，f '(x)<0；
當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(a，＋∞)時(shí)，f '(x)>0，
因此可得f(x)在(－2，a)上單調(diào)遞減，在(－∞，－2)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增.
1.
答案
1
2
3
4
(2)若a≥0，由(1)可知f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝a處取得極小值，
所以m＝f(－2)＝e－2(4＋a)，n＝f(a)＝－aea，即m－n＝e－2(4＋a)＋aea.
設(shè)函數(shù)g(a)＝aea＋e－2(4＋a)，a≥0，則g'(a)＝(a＋1)ea＋e－2>0，
所以g(a)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(a)≥g(0)＝4e－2，
即m－n的取值范圍為[4e－2，＋∞).
1.
答案
1
2
3
4
(1)依題意x>0，
f '(x)＝a－，當(dāng)a≤0時(shí)，f '(x)<0，
當(dāng)a>0時(shí)，由f '(x)>0得x>，
由f '(x)<0得0即當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)是減函數(shù)；
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增.
2.
答案
1
2
3
4
(2)由(1)知當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的最小值為f ＝1＋a2＋ln a，
1＋a2＋ln a－(3ln a＋2)＝a2－2ln a－1，
設(shè)g(x)＝x2－2ln x－1(x>0)，則g'(x)＝2x－，
當(dāng)01時(shí)，g'(x)>0，
∴函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
即g(x)的最小值為g(1)＝12－2ln 1－1＝0，
即g(x)≥g(1)＝0，∴g(a)≥0，
即f(x)的最小值f ＝1＋a2＋ln a≥3ln a＋2，∴f(x)≥3ln a＋2.
2.
答案
1
2
3
4
(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝a＋，
若a≤0，則f '(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
若a>0，則當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈時(shí)，
f '(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增.
3.
答案
1
2
3
4
(2)若a≤0，f ＋1－a＋e－2＝a＋e－1>0，f(1)＝a－1<0.
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)有唯一零點(diǎn).
若a>0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在上單調(diào)遞增，所以要使得函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)，只需f(x)min＝f ＝1－(a－1)ln a＋a－2＝(a－1)(1－ln a)＝0，解得a＝1或a＝e.
綜上，a≤0或a＝1或a＝e.
3.
(1)易知f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)，
由f(x)＝x－aln(1＋x)，得f '(x)＝1－，
當(dāng)a≤0時(shí)，f '(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；
當(dāng)a>0時(shí)，令f '(x)＝0，得x＝a－1，
當(dāng)x∈(－1，a－1)時(shí)，f '(x)<0，當(dāng)x∈(a－1，＋∞)時(shí)，f '(x)>0，
即f(x)在(－1，a－1)上單調(diào)遞減，在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(－1，
a－1)上單調(diào)遞減，在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增.
答案
1
2
3
4
4.
(2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－ln(1＋x)，
由(1)知，f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x)＝x－ln(1＋x)≥f(0)＝0，得到x≥ln(x＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號成立，
對于任意正整數(shù)n，令x＝，
則>ln＝ln(2n＋1)－ln(2n－1)，
所以2>ln 3－ln 1＋ln 5－ln 3＋ln 7－ln 5＋…＋ln(2n＋1)－ln(2n－1)＝ln(2n＋1)，
即1＋＋…＋>ln(2n＋1)，本題得證.
答案
1
2
3
4
4.
1
2
3
4
答案
1.(2025·廣東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ex(x2－ax－a)，a∈R.
(1)當(dāng)a>－2時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；
易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，
則f '(x)＝ex(x＋2)(x－a)，
又因?yàn)閍>－2，所以當(dāng)x∈(－2，a)時(shí)，f '(x)<0；
當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(a，＋∞)時(shí)，f '(x)>0，
因此可得f(x)在(－2，a)上單調(diào)遞減，在(－∞，－2)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增.
1
2
3
4
答案
(2)若a≥0，當(dāng)x＝x1時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值m；當(dāng)x＝x2時(shí)，f(x)有極小值n，求m－n的取值范圍.
若a≥0，由(1)可知f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝a處取得極小值，
所以m＝f(－2)＝e－2(4＋a)，n＝f(a)＝－aea，即m－n＝e－2(4＋a)＋aea.
設(shè)函數(shù)g(a)＝aea＋e－2(4＋a)，a≥0，則g'(a)＝(a＋1)ea＋e－2>0，
所以g(a)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(a)≥g(0)＝4e－2，
即m－n的取值范圍為[4e－2，＋∞).
依題意x>0，
f '(x)＝a－，當(dāng)a≤0時(shí)，f '(x)<0，
當(dāng)a>0時(shí)，由f '(x)>0得x>，
由f '(x)<0得0即當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)是減函數(shù)；
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增.
1
2
3
4
答案
2.(2024·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝a(x＋a)－ln x(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
1
2
3
4
答案
(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)≥3ln a＋2.
1
2
3
4
答案
由(1)知當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的最小值為f ＝1＋a2＋ln a，
1＋a2＋ln a－(3ln a＋2)＝a2－2ln a－1，
設(shè)g(x)＝x2－2ln x－1(x>0)，
則g'(x)＝2x－，
當(dāng)01時(shí)，g'(x)>0，
∴函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
即g(x)的最小值為g(1)＝12－2ln 1－1＝0，
1
2
3
4
答案
即g(x)≥g(1)＝0，∴g(a)≥0，
即f(x)的最小值f ＝1＋a2＋ln a≥3ln a＋2，
∴f(x)≥3ln a＋2.
1
2
3
4
答案
3.已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a－1)ln x＋－2，a∈R.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f '(x)＝a＋，
若a≤0，則f '(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
若a>0，則當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈時(shí)，f '(x)>
0，f(x)單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增.
1
2
3
4
答案
(2)若f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
若a≤0，f ＋1－a＋e－2＝a＋e－1>0，f(1)＝a－1<0.
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)有唯一零點(diǎn).
若a>0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在上單調(diào)遞增，所以要使得函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)，只需f(x)min＝f ＝1－(a－1)ln a＋a－2＝(a－1)(1－ln a)＝0，解得a＝1或a＝e.
綜上，a≤0或a＝1或a＝e.
1
2
3
4
答案
4.已知函數(shù)f(x)＝x－aln(1＋x)，a∈R.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
易知f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)，
由f(x)＝x－aln(1＋x)，得f '(x)＝1－，
當(dāng)a≤0時(shí)，f '(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；
當(dāng)a>0時(shí)，令f '(x)＝0，得x＝a－1，
當(dāng)x∈(－1，a－1)時(shí)，f '(x)<0，當(dāng)x∈(a－1，＋∞)時(shí)，f '(x)>0，
即f(x)在(－1，a－1)上單調(diào)遞減，在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(－1，
a－1)上單調(diào)遞減，在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增.
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
(2)證明：對于任意正整數(shù)n，都有1＋＋…＋>ln(2n＋1).
1
2
3
4
答案
當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－ln(1＋x)，
由(1)知，f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x)＝x－ln(1＋x)≥f(0)＝0，得到x≥ln(x＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號成立，
對于任意正整數(shù)n，令x＝，
則>ln＝ln(2n＋1)－ln(2n－1)，
1
2
3
4
答案
所以2>ln 3－ln 1＋ln 5－ln 3＋ln 7－ln 5＋…＋ln(2n＋1)－ln(2n－1)＝ln(2n＋1)，
即1＋＋…＋>ln(2n＋1)，
本題得證.(共30張PPT)
第三章
必刷小題5　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
對一對
答案
1
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10
11
12
13
14
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D B A A A D A BC
題號 10 11 12 13 14 答案 BD ABD 一、單項(xiàng)選擇題
1.下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果正確的是
A.'＝1＋ B.(xln x)'＝ln x＋1
C.(sin π)'＝cosπ D.'＝
√
1
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3
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5
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14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
對于A，'＝1－，故A錯(cuò)誤；
對于B，(xln x)'＝x'ln x＋(ln x)'x＝ln x＋·x＝ln x＋1，故B正確；
對于C，(sin π)'＝0，故C錯(cuò)誤；
對于D，'＝，故D錯(cuò)誤.
1
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4
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14
答案
2.(2025·永州模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋aln x在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x－y＝0，則a等于
A. B.e C. D.2
√
因?yàn)閒(x)＝＋aln x，則f '(x)＝，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x－y＝0，則f '(1)＝a－1＝1，解得a＝2，符合題意.
因此a＝2.
3.函數(shù)y＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為
A.(0，e) B.(0，1)
C.[1，＋∞) D.(0，＋∞)
√
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14
由題意知，x>0，y'＝x－，
令y'<0，得0所以其單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1).
答案
4.已知函數(shù)y＝f(x)的大致圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y＝f '(x)大致的圖象可能是
1
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14
答案
√
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2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
13
14
答案
由圖可知，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，則f '(x)<0，由此排除B，D選項(xiàng)；
當(dāng)x<0時(shí)，從左向右，f(x)先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的符號為＋，－，＋，由此排除C選項(xiàng)，所以A選項(xiàng)正確.
5.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種液體材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑.已知每售出1 mL的液體材料，制造商可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為8 cm，則當(dāng)每瓶液體材料的利潤最大時(shí)，瓶子的半徑為
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
√
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答案
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14
答案
依題意知，每瓶液體材料的利潤f(r)＝0.3×πr3－0.1πr4＝0.1π(4r3－r4)，0則f '(r)＝0.4πr2(3－r)，
令f '(r)＝0，得r＝3，
當(dāng)r∈(0，3)時(shí)，f '(r)>0，
當(dāng)r∈(3，8]時(shí)，f '(r)<0，
因此函數(shù)f(r)在(0，3)上單調(diào)遞增，在(3，8]上單調(diào)遞減，即當(dāng)r＝3時(shí)，f(r)取最大值，
所以當(dāng)每瓶液體材料的利潤最大時(shí)，r＝3.
6.(2025·武漢模擬)若函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2－2，x∈存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.(－2，＋∞) B.
C. D.[－2，＋∞)
√
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答案
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4
5
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7
8
9
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11
12
13
14
易知f(x)的定義域?yàn)椋琭 '(x)＝＋2ax，
若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，
則f '(x)>0在上有解，
故a>－上有解，
令g(x)＝－，
而g(x)＝－上單調(diào)遞增，
g(x)>g＝－2，故a>－2.
答案
7.(2024·重慶模擬)已知曲線C1：f(x)＝ex＋a和曲線C2：g(x)＝ln(x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率為1的直線與C1，C2同時(shí)相切，則b的取值范圍是
A. B.[0，＋∞)
C.(－∞，1] D.
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12
13
14
√
答案
f '(x)＝ex，g'(x)＝，
設(shè)斜率為1的切線在C1，C2上的切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1，x2，
由題知＝1，∴x1＝0，x2＝1－b，
則f(0)＝1＋a，g(1－b)＝a2，
則兩點(diǎn)處的切線方程分別為y－(1＋a)＝x和y－a2＝x－(1－b)，故a＋1＝a2－1＋b，
即b＝2＋a－a2＝－≤.
1
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14
答案
8.已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，若a＝
f(ln 1.04)，b＝f(1.04)，c＝f(e0.04)，則
A.aC.c√
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14
答案
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13
14
因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，
所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，ln 1.04令h(x)＝ex－(x＋1)，
當(dāng)x>0時(shí)，h'(x)＝ex－1>0，
則h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以h(0.04)＝e0.04－(0.04＋1)＝e0.04－1.04>h(0)＝0，
即e0.04>1.04，所以e0.04>1.04>ln 1.04.
而f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
故有f(ln 1.04)答案
二、多項(xiàng)選擇題
9.下列說法中正確的有
A.(sin 2x)'＝cos2x
B.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f '(1)＝1，則＝1
C.一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動(dòng)，位移s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系為
s(t)＝t2＋1，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度是4 m/s
D.若h(x)＝f(x)·g(x)，則h'(x)＝f '(x)·g'(x)
1
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14
√
√
答案
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13
14
答案
對于A選項(xiàng)，(sin 2x)'＝2cos2x，故A錯(cuò)誤；
對于B選項(xiàng)，由導(dǎo)函數(shù)定義可知＝f '(1)＝1，故B正確；
對于C選項(xiàng)，s'(t)＝2t，故s'(2)＝4，故該質(zhì)點(diǎn)在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度是
4 m/s，故C正確；
對于D選項(xiàng)，若h(x)＝f(x)·g(x)，則h'(x)＝f '(x)·g(x)＋f(x)·g'(x)，故D錯(cuò)誤.
10.已知f '(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)－xf '(x)>0恒成立，則下列不等式一定成立的是
A.f >2f B.f <2f
C.f >2f(1) D.2f >f(1)
1
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構(gòu)造函數(shù)g(x)＝，其中x>0，
則g'(x)＝<0，
所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
對于A，B選項(xiàng)，g即2f <4f ，可得f <2f ，A錯(cuò)，B對；
對于C，D選項(xiàng)，g>g(1)，
即2f >f(1)，D對，C無法判斷.
答案
11.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x－1，則
A.f(x)在x＝－1處取得極小值
B.f(x)有3個(gè)零點(diǎn)
C.f(x)在區(qū)間(－2，2)上的值域?yàn)?－3，1)
D.函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為點(diǎn)(0，－1)
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答案
由f '(x)＝－3x2＋3，
令f '(x)>0，解得－11，
所以函數(shù)f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，1)上單調(diào)遞增，
所以f(x)在x＝－1處取得極小值，故A正確；
又f(－2)＝1，f(－1)＝－3，f(1)＝1，f(2)＝－3，
所以f(－2)·f(－1)<0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
同理函數(shù)f(x)在(－1，1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在(1，＋∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)f(x)共有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；
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由前面得f(x)在(－2，2)上的值域?yàn)閇－3，1]，故C錯(cuò)誤；
設(shè)g(x)＝－x3＋3x，x∈R，g(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝x3－3x＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對稱，
又f(x)＝－x3＋3x－1的圖象是由g(x)的圖象向下平移1個(gè)單位長度得到的，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為點(diǎn)(0，－1)，故D正確.
三、填空題
12.函數(shù)f(x)＝x－cosx，x∈的值域是　　 　　　　.
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答案
因?yàn)閒(x)＝x－cosx，x∈，
所以f '(x)＝＋sin x，令f '(x)＝0，得x＝－，
又f ＝－，f ＝－，f ，
從而f(x)max＝f ，f(x)min＝f ＝－，
所以函數(shù)f(x)＝x－cosx，x∈.
13.已知函數(shù)f(x)＝aex－x2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為　　　　　.
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答案
f '(x)＝aex－2x，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于f '(x)有兩個(gè)變號零點(diǎn)，
令f '(x)＝aex－2x＝0，有a＝，
令g(x)＝，則g'(x)＝，
當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x<1時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取得極大值也是最大值，為g(1)＝，
當(dāng)x→－∞時(shí)，g(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0，函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示，
所以a的取值范圍是.
14.定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在x1，x2(a　　　　.
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答案
由于f(x)＝x3－x2＋a，
則f '(x)＝x2－2x，
因?yàn)閒(x)在[0，a]上存在x1，x2(0滿足f '(x1)＝f '(x2)＝，
即x2－2x＝a2－a，
則關(guān)于x的一元二次方程x2－2x－a2＋a＝0在(0，a)上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
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答案
令g(x)＝x2－2x－a2＋a，
則所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

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