資源簡介

(共63張PPT)
第五章
§5.4　復　數(shù)
數(shù)學
大
一
輪
復
習
1.通過方程的解，認識復數(shù).
2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義.
3.掌握復數(shù)的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.復數(shù)的有關概念
(1)復數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中 是復數(shù)的實部， 是復數(shù)的虛部，i為虛數(shù)單位.
(2)復數(shù)的分類：
復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
復數(shù)
a
b
(3)復數(shù)相等：
a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R).
(4)共軛復數(shù)：
a＋bi與c＋di互為共軛復數(shù) (a，b，c，d∈R).
(5)復數(shù)的模：
向量的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模或絕對值，記作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝_________(a，b∈R).
a＝c且b＝d
a＝c，b＝－d
|z|
|a＋bi|
2.復數(shù)的幾何意義
(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 復平面內的點Z(a，b).
(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3.復數(shù)的四則運算
(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則：
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：＝________________(c＋di≠0).
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
i
(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即_____________.
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　)
(2)任意兩個復數(shù)都不能比較大小.(　　)
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數(shù)z為純虛數(shù).(　　)
(4)復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模.(　　)
√
×
×
×
2.(2025·八省聯(lián)考)|2－4i|等于
A.2 B.4 C.2 D.6
|2－4i|＝＝2.
√
3.已知復數(shù)z＝i3(1＋i)，則z在復平面內對應的點位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在復平面內對應的點為(1，－1)，位于第四象限.
√
4.復數(shù)的共軛復數(shù)是　　　　.
－2＋i
＝－2－i，故其共軛復數(shù)是－2＋i.
1.熟記與復數(shù)有關的常用結論
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).
(4)復數(shù)z的方程在復平面內表示的圖形
①a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；
②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓.
微點提醒
2.謹防兩個易誤點
(1)利用復數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件.
(2)兩個不全為實數(shù)的復數(shù)不能比較大小.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(2024·咸陽模擬)已知復數(shù)z＝m2－7m＋6＋(m2－36)i是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為
A.±6 B.1或6 C.－6 D.1
√
復數(shù)的概念
題型一
由題意可得m2－7m＋6＝0且m2－36≠0，則m＝1.
(2)(多選)(2024·銀川模擬)若復數(shù)z滿足z(1－2i)＝10，則
A.＝2－4i
B.z－2是純虛數(shù)
C.復數(shù)z的虛部為4i
D.復數(shù)z在復平面內對應的點在第三象限
√
√
對于A，z＝＝2＋4i，∴＝2－4i，故A正確；
對于B，z－2＝2＋4i－2＝4i，為純虛數(shù)，故B正確；
對于C，z＝2＋4i，虛部為4，故C錯誤；
對于D，z＝2＋4i，其在復平面內對應的點為(2，4)，在第一象限，故D錯誤.
(3)(2024·晉中模擬)已知復數(shù)z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，則|a＋bi|等于
A. B.4 C. D.
由題意得，＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個根，
由根與系數(shù)的關系得1＋2i＋1－2i＝－a，(1＋2i)(1－2i)＝b，
故a＝－2，b＝1－4i2＝1＋4＝5，
故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝.
√
解決復數(shù)概念問題的常用方法
(1)求一個復數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復數(shù)的實部為a，虛部為b.
(2)復數(shù)是實數(shù)的條件：①z＝a＋bi∈R b＝0(a，b∈R)；②z∈R z＝；③z∈R z2≥0.
思維升華
(3)復數(shù)是純虛數(shù)的條件
①z＝a＋bi是純虛數(shù) a＝0且b≠0(a，b∈R)；
②z是純虛數(shù) z＋＝0(z≠0)；③z是純虛數(shù) z2<0.
(4)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數(shù)為＝a－bi，則z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)(2025·海口模擬)下列關于復數(shù)的說法，正確的是
A.復數(shù)i是最小的純虛數(shù)
B.在復數(shù)范圍內，模為1的復數(shù)共有1，－1，i和－i四個
C.i與－i是一對共軛復數(shù)
D.虛軸上的點都表示純虛數(shù)
√
虛數(shù)不能比大小，故A錯誤；
對于復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，但凡滿足a2＋b2＝1，其模均為1，顯然不僅四個，比如a＝，b＝時，|z|＝1，故B錯誤；
由共軛復數(shù)的定義可知C正確；
原點(0，0)也在虛軸上，但不表示純虛數(shù)，故D錯誤.
(2)(2025·鹽城四校聯(lián)考)若(1－2i)(z－i)＝5，則等于
A. B.2 C. D.
設z＝a＋bi，a，b∈R，
則(1－2i)(z－i)＝(1－2i)＝a＋(b－1)i－2ai＋2(b－1)＝5，
所以
所以z＝1＋3i，.
√
(3)若復數(shù)z＝的實部與虛部相等，則實數(shù)a的值為
A.－3 B.－1 C.1 D.3
z＝，
因為復數(shù)z＝的實部與虛部相等，
所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，
故實數(shù)a的值為－3.
√
復數(shù)的四則運算
題型二
例2　(1)(2024·新課標全國Ⅰ)若＝1＋i，則z等于
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
√
因為＝1＋＝1＋i，
所以z＝1＋＝1－i.
(2)設復數(shù)z＝，則z等于
A.1 B.－1 C.i D.－i
∵＝i，
∴z＝i2 025＝i4×506＋1＝i.
√
(3)(2024·南陽模擬)已知復數(shù)z滿足＝2i，則z·＝　　　.
因為＝2i，
所以z－3＝2i(z－i)＝2＋2iz，
所以z＝＝1＋2i，
所以＝1－2i，則z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5.
5
復數(shù)四則運算問題的解題策略
思維升華
復數(shù)的加減法 在進行復數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算
復數(shù)的乘法 復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并
復數(shù)的除法 除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式，這里的分母實數(shù)化可類比分母含根式的分母有理化
跟蹤訓練2　(1)(2024·成都模擬)若復數(shù)z滿足z(1＋i)＝2－i，則z等于
A. B.
C.i D.i
依題意，z＝i.
√
(2)(2025·新鄉(xiāng)模擬)在復平面內，復數(shù)z對應的點的坐標為(2，－1)，則＝　　　.
2i
由題意得復數(shù)z對應的點的坐標為(2，－1)，
故z＝2－i，＝2＋i，
故＝2i.
(3)已知i為虛數(shù)單位，則i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝　　　.
i
i＋i2＋i3＋i4＝0，
則i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝506×0＋i＝i.
復數(shù)的幾何意義
題型三
例3　(1)(2024·西寧模擬)已知復數(shù)z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在復平面內對應的點位于第二象限，則a等于
A.－2 B.－ C.2 D.
√
由題意|z|＝＝5，
得5a2－2a－24＝0，解得a＝－2或a＝，
因為z在復平面內對應的點位于第二象限，
所以故a<0，故a＝－2.
(2)(多選)設z為復數(shù)，則下列命題中正確的是
A.若復數(shù)6＋5i與－3＋4i分別對應向量與，則向量對應的復數(shù)為
9＋i
B.若復數(shù)z滿足|z－i|＝|z＋i|，則z在復平面內對應的點的軌跡為一條直線
C.若|z－i|＝1，則|z|的最大值為
D.若復數(shù)z滿足1≤|z|≤，則復數(shù)z在復平面內對應的點所構成的圖形面
積為π
√
√
√
對于A，因為復數(shù)6＋5i與－3＋4i分別表示向量，
所以表示向量的復數(shù)為6＋5i－(－3＋4i)＝9＋i，故A正確；
對于B，因為復數(shù)z滿足|z－i|＝|z＋i|，設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|a＋(b－1)i|
＝|a＋(b＋1)i|，即，整理得b＝0，故在復平面內，z表示實軸，故B正確；
對于C，設z＝a＋bi(a，b∈R)，若|z－i|＝1，即|z－i|＝|a＋(b－1)i|＝＝1，所以a2＋(b－1)2＝1，即z表示以(0，1)為圓心，以1為半徑的圓上的點，且|z|表示圓上的點到原點的距離，所以|z|的最大值為2，故C錯誤；
對于D，若復數(shù)z滿足1≤|z|≤，則復數(shù)z在復平面內對應的點在以原點為圓心，內圓半徑為1，外圓半徑為的圓環(huán)上，故所構成的圖形面積為2π－π＝π，故D正確.
復數(shù)的幾何意義及應用
(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量相互聯(lián)系、一一對應，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .
(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)(2024·南充模擬)當1A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
由1所以復數(shù)m－1＋(m－2)i在復平面內對應的點Z(m－1，m－2)位于第四象限.
(2)已知復數(shù)z滿足|z－2|＝1，則|z－i|的最小值為
A.1 B.－1 C.＋1 D.3
√
設z＝x＋yi(x，y∈R)，
因為|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，即z在復平面內對應點的軌跡為
圓C：(x－2)2＋y2＝1，如圖，
又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝，
所以|z－i|表示圓C上的點到點A(0，1)的距離，所以|z－i|min＝CA－1＝－1.
返回
課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B A A ACD AC
題號 8 11 12 答案 i(或－i) B B 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)因為z是純虛數(shù)，
所以解得m＝－2.
(2)若m＝2，則z＝4＋i，
故i＝a＋bi，所以a＝，b＝，所以a＋b＝.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
所以
(2)由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0.
設另一個根為x2，由根與系數(shù)的關系，
得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，
所以x2＝－1－i是方程的另一個根.
10.
一、單項選擇題
1.(2025·沈陽模擬)已知a，b∈R，a－3i＝(b－i)i(i為虛數(shù)單位)，則
A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3
C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知識過關
答案
因為a－3i＝(b－i)i＝1＋bi，所以a＝1，b＝－3.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
2.(2024·臺州模擬)已知復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，則
A.z的實部為2 B.|z|＝
C.＝2－i D.z在復平面內對應的點位于第一象限
z＝＝－(2＋i)i＝1－2i，故實部為1，|z|＝＝1＋2i，z在復平面內對應的點為(1，－2)，位于第四象限.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
3.(2025·瀘州模擬)已知z＝(a∈R)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為
A.2 B.1 C.－1 D.－2
因為z＝i，
因為z為純虛數(shù)，所以則a＝2.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
4.(2024·銀川模擬)在復平面內，已知復數(shù)z1＝1－i對應的向量為，現(xiàn)將向量繞點O逆時針旋轉90°，并將其長度變?yōu)樵瓉淼?倍得到向量，設對應的復數(shù)為z2，則等于
A.2i B.2i C.2 D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
依題意，＝(1，－1)，
設將向量繞點O逆時針旋轉90°所得向量坐標為(x，y)，x>0，
則有解得y＝x＝1，
因此＝2(1，1)＝(2，2)，即z2＝2＋2i，
所以＝2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、多項選擇題
5.(2024·長沙模擬)設z1，z2為復數(shù)，則下列結論中正確的是
A.z1 B.
C.若＝0，則z1＝0 D.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2，＝a2＋b2，A正確；
＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi，而＝c2＋d2，B錯誤；
若＝(a＋bi)2＝(a2－b2)＋2abi＝0，可得a2－b2＝2ab＝0，解得a＝b＝0，即z1＝0，故C正確；
＝a2－b2－2abi，＝(a－bi)2＝a2－b2－2abi，所以，故D正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
6.(2025·臨汾模擬)下列說法正確的是
A.若z＝－2＋i，則z在復平面內對應的點位于第二象限
B.若z滿足z·i＝－1＋2i，則的虛部為1
C.若z是方程x2＋3＝0的根，則z＝±i
D.若z滿足|z－1＋2i|＝2，則|z|的最大值為
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
對于A，z＝－2＋i在復平面內對應的點為(－2，1)，位于第二象限，故A正確；
對于B，因為z·i＝－1＋2i，所以z＝＝2＋i，則＝2－i，所以的虛部為－1，故B錯誤；
對于C，方程x2＋3＝0的根為±i，故C正確；
對于D，設z＝x＋yi(x，y∈R)，若z滿足|z－1＋2i|＝2，即|(x－1)＋(y＋2)i|＝2，所以＝2，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4，則點(x，y)在以(1，－2)為圓心，2為半徑的圓上，又圓心到坐標原點的距離為，所以|z|的最大值為＋2，故D錯誤.
三、填空題
7.(2025·遼陽模擬)若復數(shù)z＝＋|3－4i|，則|z|＝　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
z＝＋|3－4i|＝＋5＝＋5＝8－4i，
|z|＝＝4.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
8.寫出一個同時滿足①②的復數(shù)z＝　　　　.
①z3＝；②z R.
因為z R，不妨設z＝bi(b∈R，b≠0)，
則(bi)3＝－b3i＝－bi，
解得b＝±1，即z＝±i符合.
i(或－i)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
四、解答題
9.已知復數(shù)z＝m2＋m－2＋(m－1)i(m∈R)，其中i為虛數(shù)單位.
(1)若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；
因為z是純虛數(shù)，
所以解得m＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
(2)若m＝2，設＝a＋bi(a，b∈R)，試求a＋b的值.
若m＝2，則z＝4＋i，
故i＝a＋bi，所以a＝，b＝，所以a＋b＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
10.已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個根.
(1)求實數(shù)a，b的值；
把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
所以
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
(2)結合根與系數(shù)的關系，猜測方程的另一個根，并給予證明.
由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0.
設另一個根為x2，由根與系數(shù)的關系，
得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，
所以x2＝－1－i是方程的另一個根.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
能力拓展
11.(2025·銀川模擬)在復平面內，復數(shù)z＝a＋bi(a∈R，b∈R)對應向量(O為坐標原點)，設|OZ|＝r，以射線Ox為始邊，OZ為終邊逆時針旋轉的角為θ，則z＝r(cos θ＋isin θ)，數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，則z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理導出了復數(shù)乘方公式：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
當z＝－1＋i時，r＝2，取θ＝，
故＝210＝210＝－512＋512i.
顯然在復平面內所對應的點在第二象限.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
12.已知復數(shù)z1，z2和z滿足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|，則|z|的最大值為
A.2 B.3 C. D.1
根據(jù)題意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3，
當z1＝－1，z2＝1，z＝3時，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，此時|z|＝3，
所以|z|max＝3.
√
返回(共74張PPT)
第五章
§5.2　平面向量基本定理及
坐標表示
數(shù)學
大
一
輪
復
習
1.了解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個 向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝ .
若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個 的向量，叫做把向量作正交分解.
不共線
λ1e1＋λ2e2
互相垂直
3.平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，
|a|＝__________.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則 坐標即為向量的坐標.
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝ ，||＝
________________________.
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
終點
(x2－x1，y2－y1)
4.平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b .
x1y2－x2y1＝0
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一個基底.(　　)
(2)設{a，b}是平面內的一個基底，若實數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成.
(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝b x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.(　　)
√
×
√
×
2.設平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，則2a－3b等于
A.(6，3) B.(－2，－6)
C.(2，1) D.(7，2)
2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).
√
3.在正方形ABCD中，E為DC的中點，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為
A. B.－ C.1 D.－1
因為E為DC的中點，所以＝－，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.
√
4.已知平行四邊形ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標為　　　　.
(1，5)
設D(x，y)，則，
得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，
即即D(1，5).
1.熟記以下常用結論
(1)基底{e1，e2}給定，同一向量的分解形式唯一.特別地，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0.
(2)已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為.
(3)已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則G點坐標為.
微點提醒
2.謹防三個易誤點
(1)基底{e1，e2}必須是同一平面內的兩個不共線向量.因為零向量平行于任意向量，所以零向量不能作為基底中的向量.
(2)向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(2025·鹽城模擬)若{a，b}是平面內的一個基底，則下列能作為平面向量的基底的是
A.{a－b，b－a} B.
C.{2b－3a，6a－4b} D.{a＋b，a－b}
√
平面向量基本定理的應用
題型一
A選項，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共線，不能作為基底向量.
B選項，2a＋b＝2，所以2a＋b，a＋b共線，不能作為基底向量.
C選項，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共線，不能作為基底向量.
D選項，易知a＋b，a－b不共線，可以作為基底向量.
(2)(2024·贛州模擬)在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別滿足＝2＝4＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝　　　.
以{}為基底向量，則可得
，
所以＝λ＋μ＝λ＋μ，
可得(λ＋μ)＝，可得λ＋μ＝.
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)(2024·北京模擬)在△ABC中，M，N分別是AB，AC的中點，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
，
故＝λ＋μ
＝λ＋μ
＝，
故
所以λ＋μ＝－＝－2.
(2)已知e1與e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且{a，b}是一個基底，則
實數(shù)λ的取值范圍是　 　　　　.
∪
因為e1與e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，
若a與b共線，則a＝μb，μ∈R，
即a＝e1＋2e2＝μ(λe1＋e2)，
所以
因為{a，b}是一個基底，
所以a與b不共線，
所以實數(shù)λ的取值范圍是∪.
平面向量的坐標運算
題型二
例2　(1)(多選)(2025·沈陽模擬)如圖，已知A(2，1)，B(－3，4)，O為坐標原點，四邊形OACB為平行四邊形，下列結論正確的是
A.點C坐標為(－1，5)
B.＝60
C.若，則點E的坐標為
D.△ABC重心的坐標為
√
√
設點C的坐標為(a，b)，＝(2，1)，＝(－3，4)，＝(a，b)，
∵四邊形OACB為平行四邊形，∴＝
(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，
∴點C的坐標為(－1，5)，選項A正確；
又＝(－5，3)，∴＝1＋25＋25＋9＝60，選項B正確；
由重心公式可得，△ABC重心的坐標為，選項D錯誤.
設點E(x，y)，∵，則(x－2，y－1)＝(－5，3)，
∴
∴點E，選項C錯誤；
(2)(2025·山西聯(lián)考)圖1是古代中國的太極八卦模型圖，圖2(正八邊形ABCDEFGH)是由圖1抽象并以正八邊形ABCDEFGH的中心O為旋轉中心順時針旋轉而得到的，若
＝x＋y，則x＋y等于
A. B.
C.2 D.
√
分別以射線OE，OG為x軸，y軸的正半軸建立平面直角坐標系，
設OE＝OG＝2，則G(0，2)，
∵∠HOG＝∠FOG＝，
∴F()，H(－)，
由＝x＋y，
得(0，2)＝x(－)＋y()，
∴
解得x＝y(tǒng)＝，∴x＋y＝.
(1)利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解.
(2)向量的坐標表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉化為我們熟知的數(shù)量運算.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)(2024·成都模擬)在正方形ABCD中，M是BC的中點.若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為
A. B. C. D.2
√
在正方形ABCD中，以點A為原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖，
令AB＝2，則B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，＝(2，2)，＝(2，1)，＝(－2，2)，λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，
因為＝λ＋μ，
所以
解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝，
所以λ＋μ的值為.
(2)在△ABC中，頂點A的坐標為(3，1)，邊BC的中點D的坐標為(－3，1)，則△ABC重心的坐標為　　　　　.
(－1，1)
設△ABC的重心為G(x，y)，因為A(3，1)，D(－3，1)，所以＝
(－6，0)，＝(x－3，y－1)，
由題意知，
所以(x－3，y－1)＝(－6，0)，
即解得
即G(－1，1)，
即△ABC重心的坐標為(－1，1).
向量共線的坐標表示
題型三
例3　(1)(2024·漢中模擬)已知向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)，若m與n共線且同向，則實數(shù)λ的值為
A.2 B.4
C.－2 D.－2或4
√
∵m與n共線，
∴2×(－4)－λ(2－λ)＝0，
即λ2－2λ－8＝0，
解得λ＝4或λ＝－2，
當λ＝4時，m＝(2，4)，n＝(－2，－4)，
∴m＝－n，∴m與n反向，不符合題意；
當λ＝－2時，m＝(2，－2)，n＝(4，－4)，
∴n＝2m，∴m與n同向，符合題意.
(2)已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標原點，則AC與OB的交點P的坐標為　　　　.
(3，3)
方法一　＝(4，0)，＝(4，4)，＝(2，6)，
由O，P，B三點共線，可設＝λ＝(4λ，4λ)，則＝
(4λ－4，4λ).又＝(－2，6)，
由共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝＝(3，3)，
所以點P的坐標為(3，3).
方法二　設點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4，4)，且，即x＝y(tǒng).又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點P的坐標為(3，3).
平面向量共線的坐標表示問題的解題策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.
(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R).
思維升華
跟蹤訓練3　(1)(2025·景德鎮(zhèn)模擬)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，則tan α的值為
A.2 B.－2 C. D.－
因為a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，
所以a＋b＝(4，sin α)，
又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c，
所以4cos α＝2sin α，則tan α＝＝2.
√
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若點A(1，2)，B(2，1)，
C(4，2)，則點D的坐標為　　　　　.
(2，4)
∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴＝2，
設點D的坐標為(x，y)，則＝(4－x，2－y)，
又＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即∴
∴點D的坐標為(2，4).
返回
課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6
答案 B C B D AD ABD
題號 7 8 11 12 答案 CD 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)方法一　a＋b＝(2，4)，令d－c＝λ(a＋b)，
∴|d－c|＝|λ|·|a＋b|＝2|λ|＝，
∴λ＝±，∴d＝c±(a＋b)，
∴d＝(3，－1)或d＝(5，3).
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二　設d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝，
∴
解得
∴d的坐標為(3，－1)或(5，3).
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.
(1)如圖，以A點為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則D(0，1)，B(2，0)，M，N，
所以＝(2，0)，＝(0，1)，
所以＝λ＋μ＝(2λ，μ)，
所以
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.
(2)由(1)可知C(2，1)，設＝t＝t(2，1)，
所以E(2t，t)，
又M，
又，
且M，N，E三點共線，所以∥，
所以·(t－1)＝0，
解得t＝.
一、單項選擇題
1.下列各組向量中，{e1，e2}不能作為平面的一個基底的是
A.e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2) B.e1＝(4，－2)，e2＝(－2，1)
C.e1＝(3，3)，e2＝(－1，1) D.e1＝(2，3)，e2＝(－1，3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知識過關
答案
√
對于A，C，D，因為兩向量不共線，所以{e1，e2}能作為一個基底；
對于B，因為e1＝－2e2，所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作為一個基底.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
2.在平行四邊形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，則的坐標為
A. B.
C. D.
因為在平行四邊形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，所以＝－＝－)＝.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
3.(2024·合肥模擬)已知向量a，b滿足a＋b＝(1，m)，a－b＝(3，1).若a∥b，則實數(shù)m等于
A.－ B. C.3 D.－3
因為a＋b＝(1，m)，a－b＝(3，1)，
所以a＝，b＝，
若a∥b，則2×＝－，所以m＝.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
4.(2025·石家莊模擬)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點，若以{}為基底表示向量，則下列結論正確的是
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
令＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
∵，＝－，
，
∴＝λ＋μ，
∴
∴.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、多項選擇題
5.(2024·武威統(tǒng)考)若e1，e2是平面α內兩個不共線的向量，則下列說法正確的是
A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內的所有向量
B.對于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數(shù)λ，μ有無數(shù)多對
C.若λ1，μ1，λ2，μ2均為實數(shù)，且向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且
只有一個實數(shù)λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D.若存在實數(shù)λ，μ，使λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由題意可知，{e1，e2}可以看成平面α內的一個基底，根據(jù)平面向量基本定理可知，A項、D項正確，B項不正確；
對于C項，當λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時，則λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2＝0，此時對任意實數(shù)λ均有λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)，故C項不正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
6.(2025·昆明模擬)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m可以是
A.－2 B. C.1 D.－1
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).
假設A，B，C三點共線，則1×(m＋1)－2m＝0，
即m＝1.
所以只要m≠1，A，B，C三點即可構成三角形.
三、填空題
7.(2024·南京模擬)已知點A(1，3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位
向量的坐標是　　 　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
∵點A(1，3)，B(4，－1)，∴＝(3，－4)，
可得||＝＝5，
因此，與向量同方向的單位向量為·(3，－4)＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
8.(2024·赤峰模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝120°，∠DAC＝30°，AB＝1，AC＝3，AD＝2，＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y＝　　　　.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
以A為坐標原點，以AD所在直線為x軸，過點A作AD的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖，
則A(0，0)，B，C，D(2，0)，
故＝(2，0)，
則由＝x＋y＝x＋y(2，0)，
即∴故x＋y＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
四、解答題
9.平面內給定三個向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k；
a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
方法一　a＋b＝(2，4)，
令d－c＝λ(a＋b)，
∴|d－c|＝|λ|·|a＋b|＝2|λ|＝，
∴λ＝±，
∴d＝c±(a＋b)，
∴d＝(3，－1)或d＝(5，3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
方法二　設d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝，
∴
解得
∴d的坐標為(3，－1)或(5，3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
10.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，，AC與MN相交于點E.
(1)若＝λ＋μ，求實數(shù)λ和μ的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
如圖，以A點為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則D(0，1)，B(2，0)，M，N，
所以＝(2，0)，＝(0，1)，
所以＝λ＋μ＝(2λ，μ)，
所以
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
(2)求.
由(1)可知C(2，1)，設＝t＝t(2，1)，
所以E(2t，t)，
又M，
又，
且M，N，E三點共線，所以∥，
所以·(t－1)＝0，解得t＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
能力拓展
11.(多選)已知||＝2，||＝2，且的夾角為，點P在以O為圓心的劣弧上運動，若＝x＋y，x，y≥0，則x＋y的值可能為
A.2 B. C. D.1
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
方法一　如圖，以O為坐標原點，
OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系，
所以M(2，0)，N(1，)，
設P(2cos θ，2sin θ)，θ∈，
所以(2cos θ，2sin θ)＝x(2，0)＋y(1，)，
所以
解得x＝cos θ－sin θ，y＝sin θ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
所以x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈，
所以θ＋∈，
因為sin∈，
所以x＋y的取值范圍為，故CD符合題意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
方法二　如圖，以O為坐標原點，OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系，
則M(2，0)，N(1，)，
則＝(2，0)，＝(1，)，
所以＝x＋y＝(2x＋y，y)，
則點P的坐標為(2x＋y，y).
由題意可知1≤2x＋y≤2，0≤y≤，
則≤x＋y≤，易知點P在以O為圓心，2為半徑的圓上，
所以(2x＋y)2＋＝4，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
即4x2＋4xy＋y2＋3y2＝4，
即x2＋xy＋y2＝1，即(x＋y)2－1＝xy，
易知(x＋y)2＝1＋xy≥1，故x＋y≥1.
因為x≥0，y≥0，所以xy≤，
所以(x＋y)2≤1，得1≤x＋y≤，
結合≤x＋y≤，
可得1≤x＋y≤，故CD符合題意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
12.已知{a，b}是平面內的一個基底，若m＝xa＋yb，則稱有序實數(shù)對(x，y)
為向量m在基底{a，b}下的坐標.給定一個平面向量p，已知p在基底{a，b}下
的坐標為(1，2)，那么p在基底{a－b，a＋b}下的坐標為　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
返回
由p在基底{a，b}下的坐標為(1，2)，得p＝a＋2b，
設p在基底{a－b，a＋b}下的坐標為(m，n)，
則p＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
所以
所以p在基底{a－b，a＋b}下的坐標為.(共25張PPT)
第五章
必刷小題10　平面向量與復數(shù)
數(shù)學
大
一
輪
復
習
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C C C D B D
題號 8 9 10 11 12 13 答案 A AC AB AD －1－i (－2，－6) 題號 14 答案 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
一、單項選擇題
1.已知向量a＝(3，1)，b＝(2m－1，3)，若a與b共線，則實數(shù)m等于
A. B.5 C. D.1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由題意，得3×3－1×(2m－1)＝0，解得m＝5.
2.(2025·濟寧模擬)已知向量b＝－2a，|a|＝3，則a·b等于
A.－6 B.6 C.－18 D.18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
因為向量b＝－2a，|a|＝3，所以|b|＝6，且〈a，b〉＝180°，則a·b＝3×6cos 180°＝－18.
3.(2024·烏魯木齊模擬)復數(shù)z滿足，則z的虛部為
A.－i B.i C.－1 D.1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
設z＝a＋bi且a，b∈R，則z＋2i＝a＋bi＋2i＝a＋(b＋2)i，
因為，所以a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，
解得b＝－1，則z的虛部為－1.
答案
4.(2024·成都模擬)在△ABC中，＋2＝0，則
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因為＋2＝0，
所以D為線段BC上靠近C的三等分點，如圖所示，
故)＝.
5.已知向量|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝，則b在a方向上的投影向量為
A.a B.－a C.a D.－a
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝，
∴|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝10，
∴4－4a·b＋4＝10，a·b＝－，
∴b在a方向上的投影向量為|b|cos〈a，b〉＝|b|·a＝－a.
6.(2025·昆明模擬)已知z1，z2是方程x2－2x＋2＝0的兩個復數(shù)根，則
||等于
A.2 B.4 C.2i D.4i
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
已知z1，z2是方程x2－2x＋2＝0的兩個復數(shù)根，
所以z＝＝1±i，
則設z1＝1＋i，z2＝1－i，
所以||＝|(z1＋z2)(z1－z2)|＝|2×2i|＝|4i|＝4.
7.(2025·包頭模擬)如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，E是AD的中點，F(xiàn)是DC的中點，則()·等于
A.4 B.3 C.－4 D.－3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
如圖，建立平面直角坐標系，
則B(2，0)，E(0，1)，F(xiàn)(1，2)，
∴＝(2，－1)，＝(1，1)，＝(－1，2)，
∴＝(3，0)，
故()·＝－1×3＋2×0＝－3.
8.(2024·石家莊模擬)在平行四邊形ABCD中，，λ∈[，3]，
則cos∠BAD的取值范圍是
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
設與＝e1，與＝e2，與＝e3，
由題意，所以e1＋3e2＝λe3，
所以＝λ2，
即＋6e1·e2＋9＝λ2，
所以1＋6×1×1×cos∠BAD＋9＝λ2，
所以cos∠BAD＝，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因為λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]，
所以∈，
即cos∠BAD的取值范圍是.
答案
二、多項選擇題
9.(2024·開封模擬)已知復數(shù)z1＝a＋i，z2＝1＋bi(其中i是虛數(shù)單位，a，b∈R)，若z1·z2為純虛數(shù)，則
A.a－b＝0 B.a＋b＝0
C.ab≠－1 D.ab≠1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因為z1＝a＋i，z2＝1＋bi，
所以z1·z2＝(a＋i)(1＋bi)＝a＋i＋abi＋bi2＝(a－b)＋(1＋ab)i，
又z1·z2為純虛數(shù)，所以
即a－b＝0且ab≠－1.
10.已知z為復數(shù)，設z，，iz在復平面上對應的點分別為A，B，C，其中O為坐標原點，則
A.||＝|| B.⊥
C.||＝|| D.∥
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
設z＝a＋bi(a，b∈R)，∴A(a，b)，＝a－bi，∴B(a，－b)，
iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai，∴C(－b，a)，
＝(a，b)，＝(a，－b)，＝(－b，a)，＝(－b－a，a－b)，＝(－b－a，a＋b)，
對于A，∵，
∴||＝||，故選項A正確；
對于B，∵a·(－b)＋ba＝0，∴⊥，故選項B正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
對于C，∵||＝，||＝，
當ab≠0時，||≠||，故選項C錯誤；
對于D，∵a(a－b)－(－b)(－b－a)＝a2－2ab－b2，
a2－2ab－b2可以為零，也可以不為零，∴，故選項D錯誤.
11.(2025·菏澤模擬)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－3，4)，則
A.若a∥b，則tan θ＝－
B.若a⊥b，則sin θ＝
C.的最大值為5
D.若a·(a－b)＝0，則＝2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
因為a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－3，4)，
所以＝1，＝5，
對于A，若a∥b，則4cos θ＝－3sin θ，
所以tan θ＝－，故A正確；
對于B，若a⊥b，則a·b＝－3cos θ＋4sin θ＝0，所以tan θ＝，
又
解得sin θ＝或sin θ＝－，故B錯誤；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
對于C，
＝＝，
其中tan φ＝，
當sin(θ－φ)＝－1時，取得最大值6，故C錯誤；
對于D，若a·(a－b)＝0，則a2－a·b＝0，
即1＋3cos θ－4sin θ＝0，所以4sin θ－3cos θ＝1，
所以
＝＝2，故D正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
三、填空題
12.(2024·新鄉(xiāng)模擬)設z＝，則等于　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
－1－i
z＝＝－1＋i，故＝－1－i.
13.設向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量d＝　　　 　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
(－2，－6)
由題意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4，18－16－8)＝(－2，－6).
14.(2025·咸陽模擬)已知a，b是兩個單位向量，且|a＋b|＝|a－b|，若向量c滿足|c－a－b|＝2，則|c|的最大值為　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2＋
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
已知a，b是兩個單位向量，且|a＋b|＝|a－b|，
則a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
則a·b＝0，則a⊥b，
設a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
則c－a－b＝(x－1，y－1)，
因為|c－a－b|＝＝2，
所以(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故c＝中，點C的軌跡是以(1，1)為圓心，r＝2為半徑的圓，
圓心M(1，1)到原點的距離為|OM|＝，|c|max＝|OM|＋r＝＋2.(共71張PPT)
第五章
§5.1　平面向量的概念及
線性運算
數(shù)學
大
一
輪
復
習
1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.
2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.
3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.向量的有關概念
名稱 定義 備注
向量 既有 又有 的量 平面向量是自由向量
長度(模) 向量的_____
零向量 長度為0，其方向是任意的 記作0
單位向量 長度等于1個單位長度的向量
平行向量 (共線向量) 方向 或 的非零向量 0與任意向量平行(或共線)
相等向量 長度 且方向 的向量 兩向量不能比較大小
相反向量 長度 且方向 的向量 0的相反向量為0
大小
方向
大小
相同
相反
相等
相同
相等
相反
向量運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 交換律：a＋b＝ ；
結合律：(a＋b)＋c＝__________
2.向量的線性運算
b＋a
a＋(b＋c)
向量運算 法則(或幾何意義) 運算律
減法 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 |λa|＝ ，當λ>0時，λa的方向與a的方向 ； 當λ<0時，λa的方向與a的方向 ； 當λ＝0時，λa＝___ 設λ，μ為實數(shù)，則
λ(μa)＝ ；
(λ＋μ)a＝ ；
λ(a＋b)＝________
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.(　　)
(2)單位向量都相等.(　　)
(3)若a＝b，b＝c，則a＝c.(　　)
(4)當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立.(　　)
√
×
×
√
2.下列命題正確的是
A.零向量是唯一沒有方向的向量
B.若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b
C.向量與是平行向量
D.平行向量不一定是共線向量
√
A項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；
B項，|a|＝|b|說明a，b的長度相等，不能判斷它們的方向，故B錯誤；
C項，向量方向相反，是平行向量，故C正確；
D項，平行向量就是共線向量，故D錯誤.
3.在△ABC中，＝3，則等于
A. B.
C. D.
∵＝3，∴.
√
4.已知a，b是兩個不共線向量，向量b－ta與a－b共線，則實數(shù)t＝　　　.
由題意知，存在實數(shù)λ，使得b－ta＝λ
解得t＝.
1.熟記平面向量線性運算的常用結論
(1)設P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則).
(2)在△ABC中，點P滿足＝0 P為△ABC的重心 ).
(3)＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù)，點O，B，C不共線)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.
(4)對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
微點提醒
2.解決向量的概念問題的兩個注意點
(1)不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向.
(2)考慮零向量是否也滿足條件，要特別注意零向量的特殊性.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)下列四個命題中正確的有
A.若a∥b，b∥c，則a∥c
B.“a＝b”的充要條件是“|a|＝|b|且a∥b”
C.若，則A，B，C，D四點組成平行四邊形
D.與非零向量a共線的單位向量為±
√
平面向量的基本概念
題型一
A不正確，若b＝0，則由a∥b，b∥c，無法得到a∥c；
B不正確，當|a|＝|b|且a∥b時，a，b的方向可能相反，此時a與b是相反向量，即a＝－b；當a＝b時，a與b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分條件；
C不正確，若，則A，B，C，D四點共線或不共線，當四點不共線時，A，B，C，D才能組成平行四邊形；
D正確，由單位向量和共線向量定義可知與非零向量a共線的單位向量為±.
(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則下列等式
中成立的是
A. B.
C. D.
√
方法一(排除法)
不共線，故A，B錯誤；
方向相反，C錯誤；故選D.
方法二　在等腰梯形ABCD中，不平行，故A，B錯誤；
∵AB∥CD，∴，
∴，
即，
∵EF∥AB，∴，
∴PE＝PF，即P為EF的中點，
∴，故C錯誤，D正確.
平面向量有關概念的四個關注點
(1)非零向量的平行具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.
(4)是與非零向量a同方向的單位向量.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)(多選)下列關于向量的說法正確的是
A.若|a|＝0，則a＝0
B.若a，b同向，且|a|>|b|，則a>b
C.對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D.若a∥b，則存在唯一實數(shù)λ，使a＝λb
√
√
對于A，若|a|＝0，則a＝0，故A正確；
對于B，因為向量不能比較大小，故B錯誤；
對于C，若a，b方向相同，則|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，則|a＋b|<|a|＋|b|，
若a，b不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及三角形兩邊之和大于第三邊可知|a＋b|<|a|＋|b|.
綜上可知，對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正確；
對于D，若a≠0，b＝0，則a∥b，此時不存在實數(shù)λ，使a＝λb，故D錯誤.
(2)在如圖所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的邊長為1).
①是共線向量的有　　　　　　；
②方向相反的向量有　　　　　　；
③模相等的向量有　　　　　.
a和d，b和e
①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共線向量；
②a和d，b和e是方向相反的向量；
③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.
a和d，b和e
a，c，d
平面向量的線性運算
題型二
例2　若點O是△ABC所在平面內的一點，且滿足||＝|－2|，則△ABC的形狀為
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等邊三角形
√
命題點1　向量加、減法的幾何意義
－2＝()＋()＝，
∴||＝||.故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形.
例3　(2025·廣州模擬)在平行四邊形ABCD中，點E滿足，則等于
A. B.－
C. D.－
因為四邊形ABCD為平行四邊形，
則有)，
∴)－＝－.
命題點2　向量的線性運算
√
例4　(2024·寧波統(tǒng)考)在△ABC中，，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則等于
A.3 B. C. D.
√
命題點3　根據(jù)向量線性運算求參數(shù)
)＝×，
，
因為＝λ＋μ，
所以λ＝，μ＝＝3.
平面向量線性運算的解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.
(2)求參數(shù)問題可以通過向量的線性運算將向量表示出來進行比較，求參數(shù)的值.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)若||＝7，||＝4，則||的取值范圍是
A.[3，7] B.(3，7)
C.[3，11] D.(3，11)
√
由題意知||＝7，||＝4，且||＝||，
當同向時，||取得最小值，||＝||＝|||－|||＝
|4－7|＝3；
當反向時，||取得最大值，||＝||＝||＋||＝4＋7＝11；
當不共線時，3＝|||－|||<||<||＋||＝11，
故|| 的取值范圍是[3，11].
(2)如圖，在四邊形ABCD中，＝3，E為邊BC的中點，若＝x＋y(x，y為實數(shù))，則x＋y＝　　　；若＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，則λ＋μ＝　　　.
＝－＝－，
∴x＝－，y＝1，∴x＋y＝.
連接AC，如圖所示，
)＝，
∴λ＝，μ＝，
則λ＋μ＝.
共線定理及其應用
題型三
例5　(1)(2025·福州模擬)已知e1，e2是兩個不共線的向量，若2e1＋λe2與μe1＋e2(λ，μ為實數(shù))是共線向量，則
A.＝－2 B.λμ＝－2
C.＝2 D.λμ＝2
√
由題意，可設2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R，
又e1，e2是兩個不共線的向量，
故解得λμ＝2.
(2)如圖，在△ABC中，，P是BN上的點，若＝m，則實數(shù)m的值是　　　.
因為＝3，
因為＝m＝m，
且B，P，N三點共線，
所以m＋＝1，所以m＝.
利用向量共線定理解題的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).
(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共線的三點，且＝m＋n(m，n∈R)，則A，P，B三點共線的充要條件是m＋n＝1.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)(2024·浙江聯(lián)考)已知向量e1，e2是平面內兩個不共線的單位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，則
A.A，B，C三點共線 B.A，B，D三點共線
C.A，C，D三點共線 D.B，C，D三點共線
√
因為向量e1，e2是平面內兩個不共線的單位向量，所以{e1，e2}可以作為平面內一個基底，
對于A，因為＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，若A，B，C三點共線，設
＝λ，λ∈R，則無解，所以A，B，C三點不共線，故A錯誤；
對于B，若A，B，D三點共線，設＝μ，μ∈R，則無解，所以A，B，D三點不共線，故B錯誤；
對于C，因為＝(e1＋2e2)＋(－3e1＋2e2)＝－2e1＋4e2＝，因為AC，AD有公共點A，所以A，C，D三點共線，故C正確；
對于D，因為＝(3e1－6e2)＋(e1＋2e2)＝4e1－4e2，＝－3e1＋2e2，設＝k，k∈R，則無解，所以B，C，D三點不共線，故D錯誤.
(2)如圖所示，在△ABC中，O是BC的中點，過點O的直線分別交AB，AC所在直線于點M，N，若＝m＝n，m，n∈R，則m＋n的值為　　　.
連接AO(圖略)，
則)＝，
因為M，O，N三點共線，
所以＝1，所以m＋n＝2.
2
返回
課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6
答案 B D A A BC ACD
題號 7 8 11 12
答案 等腰梯形 C (1，＋∞)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9.
存在.由題設知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，又a與b不共線，則≠0，
C，D，E三點在同一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因為a，b不共線，
所以解得t＝.
故存在實數(shù)t＝，使得C，D，E三點在同一條直線上.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.
(1)在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，
則)＝a＋b，
故a＋b，
a＋b－a＝b－a.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.
(2)因為b－a＝(b－2a)，
b－a＝(b－2a)，
所以∥，
又有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線.
一、單項選擇題
1.化簡等于
A. B.0
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
－()＝＝0.
√
知識過關
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
2.已知點P為△OAB所在平面內一點，且，則
A.點P在線段AB上
B.點P在線段AB的延長線上
C.點P在線段AB的反向延長線上
D.點P在射線AB上
由·，
所以點P在射線AB上.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
3.(2024·安陽模擬)已知矩形ABCD的對角線交于點O，E為AO的中點，若＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，則λ2－μ2等于
A.－ B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
如圖，
在矩形ABCD中，)，
在△DAO中，)，
∴，
∴λ＝，μ＝－，
∴λ2－μ2＝＝－.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
4.(2025·焦作模擬)已知△ABC所在平面內一點D滿足＝0，則△ABC的面積是△ABD面積的
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
√
設AB的中點為M，
因為＝0，
所以＝2()，
所以＝4，
所以點D是線段CM上靠近點M的五等分點，
所以＝5，
所以△ABC的面積是△ABD面積的5倍.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、多項選擇題
5.下列說法正確的是
A.若a，b是共線的單位向量，則a＝b
B.若a，b是相反向量，則|a|＝|b|
C.若a＋b＝0，則向量a，b共線
D.設λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
對于A，a，b是共線的單位向量，則a＝b或a＝－b，A錯誤；
對于B，若a，b是相反向量，則|a|＝|b|，B正確；
對于C，a＋b＝0，即a＝－b，則向量a，b共線，C正確；
對于D，當λ＝μ＝0時，a與b不一定共線，故D錯誤.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
6.(2025·遵義模擬)在平行四邊形ABCD中，設＝λ＋μ，其中λ，μ∈[0，1]，則下列命題是真命題的是
A.當λ＝μ＝時，點Q為AC的中點
B.當λ＝1時，點Q在線段DC上
C.當點Q在線段AC上時，λ＝μ
D.當λ＋μ＝1時，點Q在對角線BD上
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
對于A，當λ＝μ＝)＝，所以點Q為AC的中點，A正確；
對于B，當λ＝1時，＋μ μ，
點Q在線段BC上，B錯誤；
對于C，點Q在線段AC上時，存在實數(shù)m使得＝m＝m＋m，因此λ＝μ＝m，故C正確；
對于D，當λ＋μ＝1時，由＝λ＋μ可知B，D，Q三點共線，故點Q在對角線BD上，D正確.
三、填空題
7.已知在四邊形ABCD中，，且||＝||，則四邊形ABCD的形狀是　　 　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由，可得AB∥CD且AB＝DC，
所以四邊形ABCD是梯形，
又因為||＝||，
所以梯形ABCD的兩個腰相等，
所以四邊形ABCD是等腰梯形.
等腰梯形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
8.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，且＝3，F(xiàn)為AE的中點，若＝a，＝b，則
＝　　　 　，＝　　　　　.(用向量a，b表示)
－a＋b
－a＋b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴＝－＝－＝－a＋b，
∵＝3，∴＝－，
又F為AE的中點，
∴)＝
＝－＝－a＋b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
四、解答題
9.已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數(shù)t，使得C，D，E三點在同一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
存在.由題設知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，又a與b不共線，則≠0，
C，D，E三點在同一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因為a，b不共線，
所以解得t＝.
故存在實數(shù)t＝，使得C，D，E三點在同一條直線上.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
10.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，
則)＝a＋b，
故a＋b，
a＋b－a＝b－a.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線.
因為b－a＝(b－2a)，b－a＝(b－2a)，
所以∥，
又有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
11.(2025·蕪湖統(tǒng)考)如圖，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設＝x＝y(tǒng)(x，y∈R)，則x＋4y的最小值為
A.9 B.4
C.3 D.
√
能力拓展
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由點G是△ABC的重心，＝x＝y(tǒng)≤x≤1，≤y≤1，
得)＝，
由G，M，N三點共線，得＝1，
則x＋4y＝(x＋4y)≥＋2＝3，
當且僅當，即x＝1，y＝時，等號成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
12.如圖，已知A，B，C是圓O上不同的三點，CO與AB交于點D(點O與點D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是　　　 　.
(1，＋∞)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為CO與AB交于點D，
所以O，C，D三點共線，
所以共線，
設＝m，則m>1，
因為＝λ＋μ，
所以m＝λ＋μ，
可得，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
返回
因為A，B，D三點共線，
所以＝1，可得λ＋μ＝m>1，
所以λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞).(共72張PPT)
第五章
§5.3　平面向量的數(shù)量積
數(shù)學
大
一
輪
復
習
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義.
2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關系.
3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.
4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.
5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則
＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
2.平面向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量 叫做向量a與b的數(shù)量積，記作 .
∠AOB
|a||b|cos θ
a·b
得到，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.記為|a|cos θ e.
4.向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝ .
3.平面向量數(shù)量積的幾何意義
設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，＝a，＝b，過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
5.平面向量數(shù)量積的有關結論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
幾何表示 坐標表示
數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝___________
模 |a|＝_______ |a|＝__________
夾角 cos θ＝_____ cos θ＝______________
a⊥b的充要條件 a·b＝0 _____________
|a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b|
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個向量的夾角的范圍是.(　　)
(2)若a，b共線，則a·b＝|a||b|.(　　)
(3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的結果是向量.
(　　)
(4)若a·b＝a·c，則b＝c.(　　)
×
×
×
√
2.(2025·八省聯(lián)考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，則a·(a－b)等于
A.2 B.1 C.0 D.－1
a－b＝(－1，1)，a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1.
√
3.已知a＝(1，)，|b|＝2，a·b＝－3，則a與b的夾角為　　　　.
設a與b的夾角為θ，
因為a＝(1，)，|b|＝2，a·b＝－3，
所以cos θ＝＝－，
因為0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，
即a與b的夾角為120°.
120°
4.已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為，且a＋b＋c＝0，則|c|＝　　　.
因為a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×3×cos ＋32＝4－6＋9＝7，所以|c|＝.
返回
微點提醒
熟記以下常用結論
(1)平面向量數(shù)量積運算的常用公式
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
③a2＋b2＝0 a＝b＝0.
(2)有關向量夾角的兩個結論
①若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.
②若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(2024·綿陽模擬)在半徑為r的☉O中，弦AB的長度為a，則·的值為
A. B. C.ar D.a2
√
平面向量數(shù)量積的基本運算
題型一
取線段AB的中點D，得OD⊥AB，
所以||cos A＝||＝||.
所以·＝||||cos A＝||2＝.
(2)(2025·蘇州模擬)已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，動點P在BC邊上(包括端點)，則·的取值范圍是
A.[0，1] B.[－1，2]
C.[－2，2] D.[－1，1]
√
方法一　設＝a，＝b，
令＝λ，λ∈[0，1]，
∵＝－a＋λb，＝b，
∴·＝b·(－a＋λb)＝－a·b＋λb2
＝－2×2×cos 60°＋4λ＝4λ－2，
∵λ∈[0，1]，∴4λ－2∈[－2，2].
方法二　如圖建立平面直角坐標系，△ABC為等邊三角形，
A(0，)，D(2，)，
設P(x，0)，x∈[－1，1]，
∵＝(x，－＝(2，0)，
∴·＝2x∈[－2，2].
極化恒等式
微拓展
1.極化恒等式
在平面向量中：
(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
兩式相減可得極化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
2.幾何解釋
(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于“和對角線長”
與“差對角線長”平方差的，即a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
(如圖).
(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長
與第三邊長的一半的平方差，即·
(M為BC的中點)(如圖).
極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系.
典例　(1)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB的中點，CE＝3，CB＝8，AB＝12，則·等于
A.－15 B.－13
C.13 D.15
由題意，BF＝AB＝6，CF＝＝10，EF＝CF－CE＝7，
所以·＝||2－||2＝49－36＝13.
√
(2)已知正方形ABCD的邊長為2，MN是它的內切圓的一條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當弦MN的長度最大時，·的取值范圍是
A.[0，1] B.[0，]
C.[1，2] D.[－1，1]
√
如圖所示，當弦MN的長度最大時，弦MN過內切圓的圓心O，
，
圓O的半徑為1，
由于P是正方形ABCD的四條邊上的動點，
則||∈[1，]，
所以·＝||2－1∈[0，1]，
即·的取值范圍是[0，1].
計算平面向量數(shù)量積的主要方法
(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐標運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
則a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求數(shù)量積.
(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)(2024·揚州模擬)已知單位向量e1，e2的夾角為120°，則(2e1－e2)·e2等于
A.－2 B.0 C.1 D.2
因為單位向量e1，e2的夾角為120°，
所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－＝2|e1||e2|cos 120°－＝2×1×1×－12＝－2.
√
(2)(2024·北京模擬)已知正方形ABCD的邊長為1，點P滿足＝λ(λ>0)，則·的最大值為　　　.
－
方法一　根據(jù)題意，建立以A為原點的平面直角坐標系，如圖，
則A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)，B(1，0)，
因為＝(1，0)，
＝λ(λ>0)，所以P(λ，0)，
所以＝(λ，－1)，＝(1－λ，1)，
所以·＝λ(1－λ)－1＝－λ2＋λ－1＝－，
所以當λ＝·取得最大值為－.
方法二　如圖，取CD的中點O，連接PO，
·＝－·＝－()＝，
又||min＝1，
所以(·)max＝－1＝－.
平面向量數(shù)量積的應用
題型二
例2　(2023·新高考全國Ⅱ)已知向量a，b滿足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝　　　.
命題點1　向量的模
方法一　因為|a＋b|＝|2a－b|，
即(a＋b)2＝(2a－b)2，
則a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得a2－2a·b＝0，
又因為|a－b|＝，
即(a－b)2＝3，
則a2－2a·b＋b2＝b2＝3，
所以|b|＝.
方法二　設c＝a－b，
則|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，
由題意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，
則c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝.
例3　(2024·太原模擬)已知單位向量a，b滿足(a－b)·a＝，則a－2b與b的夾角為
A. B. C. D.
√
命題點2　向量的夾角
由題意可知，|a|＝|b|＝1，
因為(a－b)·a＝a2－a·b＝1－a·b＝，得a·b＝，
所以(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝3，
即，
又(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－，
可得cos〈a－2b，b〉＝＝－，且〈a－2b，b〉∈，所以a－2b與b的夾角為.
例4　(2024·新課標全國Ⅰ)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
命題點3　向量的垂直
因為b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，
即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.
例5　(2024·鄭州模擬)平面向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，則b在a上的投影向量為
A.a B.a C.a D.a
√
命題點4　向量的投影
由|a＋b|＝＝＝＝4可得a·b＝，
而b在a上的投影向量為a＝a＝a＝a.
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②幾何法：利用向量的幾何意義.
(2)求平面向量的夾角的方法
①定義法：cos θ＝；
②坐標法.
(3)兩個向量垂直的充要條件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
思維升華
跟蹤訓練2　(1)(2025·黔東南模擬)已知向量a＝(1，0)，b＝(m，2)，b在a方向上的投影向量為2a，則m等于
A.1 B.2 C.3 D.4
由向量a＝(1，0)，b＝(m，2)，可得a·b＝m且＝1，
因為向量b在a方向上的投影向量為2a，可得·＝ma＝2a，所以m＝2.
√
(2)(2024·新課標全國Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，則|b|等于
A. B. C. D.1
因為(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，
又因為|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，
從而|b|＝.
√
(3)(2025·包頭模擬)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則向量a與向量a－b的夾角為
A.150° B.120° C.60° D.30°
√
如圖，若|a|＝|b|＝|a＋b|，則△OAC為等邊三角形，則向量a與向量a－b的夾角為30°.
平面向量的實際應用
題型三
例6　(多選)在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況.假設行李包所受的重力為G，所受的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|F1|＝|F2|，且F1與F2的夾角為θ，則以下結論正確的是
A.|F1|的最小值為|G|
B.θ的范圍為[0，π]
C.當θ＝時，|F1|＝|G|
D.當θ＝時，|F1|＝|G|
√
√
√
由題意知，F(xiàn)1＋F2＋G＝0，
可得F1＋F2＝－G，兩邊同時平方得
|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，
所以|F1|2＝.
當θ＝0時，|F1|min＝|G|；當θ＝時，|F1|＝|G|；
當θ＝時，|F1|＝|G|，故A，C，D正確；
當θ＝π時，豎直方向上沒有分力與重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B錯誤.
用向量方法解決實際問題的步驟
思維升華
因為A(－1，－1)，B(1，－1)，所以＝(2，0)，又F＝(6，24)，
故力F對冰球所做的功為W＝F·＝12.
跟蹤訓練3　冰球運動是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進行的相互對抗的集體性競技運動，在冰球運動中，冰球運動員腳穿冰鞋，身著防護裝備，以球桿擊球，球入對方球門，多者為勝.小趙同學在練習冰球的過
程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球從點A(－1，－1)移動到點B(1，－1)，則F對冰球所做的功為
A.－18 B.18
C.－12 D.12
√
返回
課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B C B ACD BCD 1
題號 8 11 12 答案 D ABD
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9.
(1)，
)＝，
＝.
(2)由題意可知，||＝＝1，，
所以·＝()·＝·
＝||||·cos ＝×4－×1－×2×1×.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.
(1)分別以的方向為x軸、y軸的正方向，點B為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以＝(2，－1)，＝(λ，1)，
因為⊥·＝2λ－1＝0，
所以λ＝.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.
(2)當λ＝時，||＝，||＝，
因為·＝2λ－1＝，
所以cos θ＝.
一、單項選擇題
1.(2024·濰坊模擬)已知平面向量a與b的夾角是60°，且|a|＝2，b＝(1，2)，則a·(2a－b)等于
A.8＋2 B.4－ C.8－ D.4＋2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知識過關
答案
√
由b＝(1，2)可得|b|＝，
因為平面向量a與b的夾角是60°，且|a|＝2，
所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2|a|2－|a||b|cos 60°＝8－.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
2.在四邊形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，則四邊形ABCD的面積S等于
A. B.5 C.10 D.20
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為＝(1，2)，＝(－4，2)，
所以·＝1×(－4)＋2×2＝0，
則AC⊥BD，
又||＝，
||＝＝2，
所以四邊形ABCD的面積S＝||||＝××2＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
3.已知向量a＝(－1，2)，向量b滿足|a－b|＝2，且cos〈a，b〉＝，則|b|
等于
A. B.3 C.5 D.3
由于向量a＝(－1，2)，可得|a|＝，
由|a－b|＝2，得|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝20，
故5－2×|b|×＋|b|2＝20，得|b|2－2|b|－15＝0，得|b|＝5或|b|＝－3(舍去).
所以|b|＝5.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
4.(2025·杭州模擬)已知a，b是兩個單位向量，若向量a在向量b上的投影向量為b，則向量a與向量a－b的夾角為
A.30° B.60° C.90° D.120°
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為向量a在向量b上的投影向量為b，a，b是兩個單位向量，
所以|a|cos〈a，b〉·b＝b，
所以cos〈a，b〉＝，
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝1－1×1×，
又|a|＝1，|a－b|＝＝1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
所以cos〈a，a－b〉＝，
又〈a，a－b〉∈[0，π]，
所以向量a與向量a－b的夾角為，即60°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、多項選擇題
5.下列關于向量a，b，c的運算，一定成立的是
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b|
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
根據(jù)數(shù)量積的分配律可知A正確；
B中，左邊為c的共線向量，右邊為a的共線向量，故B不正確；
C中，根據(jù)數(shù)量積的定義可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正確；
D中，|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，
即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
6.已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，則下列說法正確的是
A.若a⊥b，則t的值為－
B.|a＋b|的最小值為1
C.若|a＋b|＝|a－b|，則t的值為2
D.若a與b的夾角為鈍角，則t的取值范圍是∪
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
選項A，a⊥b －2＋t＝0 t＝2，A選項錯誤；
選項B，|a＋b|＝≥1，當且僅當t＝－1時取等號，B選項正確；
選項C，方法一　|a－b|＝，解得t＝2，C選項正確；
方法二　因為|a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0，即a·b＝－2＋t＝0，解得t＝2，C選項正確；
選項D，a與b的夾角為鈍角，則a·b＝t－2<0，且兩個向量不能反向共線，當t＝－時，a＝－2b，于是t<2且t≠－，D選項正確.
三、填空題
7.(2024·西安模擬)已知單位向量e1⊥e2，向量a＝λe1－2e2，b＝2e1＋e2，若a⊥b，則實數(shù)λ＝　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為a⊥b，所以a·b＝(λe1－2e2)·(2e1＋e2)＝2λ＋(λ－4)e1·e2－2＝2λ－2＝0，故λ＝1.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
8.(2025·信陽模擬)已知e為單位向量，向量a滿足a·e＝2，|a－λe|＝1，則|a|的最大值為　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
方法一　∵|a－λe|＝1，
∴|a－λe|2＝(a－λe)2＝|a|2－2λa·e＋(λe)2＝|a|2－4λ＋λ2＝1，
∴|a|2＝－λ2＋4λ＋1＝－(λ－2)2＋5≤5，
∴|a|≤.
方法二　令e＝(1，0)，a＝(x，y)，則a·e＝x＝2，∴a＝(2，y)，
∴a－λe＝(2－λ，y)，
∴＝1，∴y2＝1－(2－λ)2，
∴|a|＝，
當λ＝2時，|a|max＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
四、解答題
9.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，||＝2||＝2，∠BAD＝，E是BC邊的中點.
(1)試用表示；
，
)＝，
＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
(2)求·的值.
由題意可知，||＝＝1，，
所以·＝()·＝·
＝||||·cos ＝×4－×1－×2×1×.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
10.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，＝λ，BC＝2AB＝2AD＝2.
(1)若⊥，求實數(shù)λ的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
分別以的方向為x軸、y軸的正方向，點B為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以＝(2，－1)，＝(λ，1)，
因為⊥·＝2λ－1＝0，
所以λ＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
(2)若λ＝，求與的夾角θ的余弦值.
當λ＝時，||＝，||＝，
因為·＝2λ－1＝，
所以cos θ＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
能力拓展
11.已知兩個非零向量a與b的夾角為θ，我們把sin θ叫作向量a與b的外積，記作，即sin θ，已知點A(0，1)，B(－1，)，O為坐標原點，則等于
A.0.5 B.－1 C.0 D.1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為點A(0，1)，B(－1，＝(0，1)，＝(－1，)，
所以＝1，＝2，
所以cos 〈〉＝＝，
因為〈〉∈〉＝，
所以sin 〈〉＝1×2×sin ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
12.(多選)已知點O在△ABC所在的平面內，則以下說法正確的有
A.若＝0，則點O為△ABC的重心
B.若···，則點O為△ABC的垂心
C.若＋2＋3＝0，則△ABC的面積與△ABO的面積之比為3∶1
D.若·＝0，·，則△ABC為等邊三角形
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
對于A，取AB邊的中點D，連接AB邊上的中線CD(圖略)，則＝2，
又∵＝0，∴2＝0，
∴＝2，
∴O為△ABC的重心，故A正確；
對于B，由已知可得···()＝·＝0，
即OB⊥CA，∴點O在邊AC的高上，
同理可得點O在邊AB的高上，點O在邊BC的高上，
∴點O是△ABC的垂心，故B正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
對于C， 設AC的中點為M，BC的中點為N，
＋2＋3＋2＋2＝2＋4＝0，即＝－2，
∴點O為中位線MN上靠近點N的三等分點，∴＝2，故C錯誤；
對于D，作角A的內角平分線AE與BC邊交于點E(圖略)，
∵方向的單位向量，
∴＝λ(λ>0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
返回
∴·＝λ·＝0(λ>0)，
∴⊥，∴AE⊥BC，∴AC＝AB，△ABC為等腰三角形，
又∵·＝cos B＝，且B∈(0，π)，∴B＝，
∴△ABC為等邊三角形，故D正確.

展開更多......

收起↑