資源簡介

(共30張PPT)
第一章
必刷小題1　集合、常用邏輯
用語、不等式
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 D A A D C D B
題號 8 9 10 11 12 13 答案 C BCD AD AD 4 (0，2) 題號 14 答案 1
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一、單項選擇題
1.已知集合A＝{x||x－1|≤3}，B＝，那么A∪B等于
A.(－1，4) B.(－1，4]
C.(－2，5) D.[－2，5)
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答案
由|x－1|≤3，解得－2≤x≤4，
即A＝[－2，4].
由<0，解得－1即B＝(－1，5)，
所以A∪B＝[－2，5).
2.已知直線a，b和平面α，a α，b∥α，則“a∥b”是“a∥α”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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答案
因為b∥α，則存在c α使得b∥c且b α，
若a∥b且a α，則a∥c，
又a α且c α，所以a∥α，充分性成立；
設(shè)β∥α，b β，a β，a∩b＝P，則有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，則“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件.
3.已知集合A＝{x|xA.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
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因為B＝{x|x≥1}， RB＝{x|x<1}，
因為( RB)∪A＝A，所以( RB) A，
所以a≥1.
答案
4.已知a>b>0>c，n∈Z，則下列不等式一定成立的是
A.abb－c
C.an>bn D.b(b－c)√
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答案
對于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A錯誤；
對于B，例如，當(dāng)a＝2，b＝1，c＝－3時，可得a－b對于C，例如，當(dāng)a＝2，b＝1，n＝－1時，a－1對于D，由a>b>0>c，可得05.當(dāng)x>1時，不等式2x＋≥a恒成立的充要條件是
A.a≤2 B.a≤4
C.a≤2＋2 D.a≥2
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答案
因為當(dāng)x>1時，不等式2x＋≥a恒成立，故a≤，x>1，
當(dāng)x>1時，x－1>0，故2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2，
當(dāng)且僅當(dāng)2(x－1)＝，即x＝1＋時等號成立，故a≤2＋2，
所以“當(dāng)x>1時，不等式2x＋≥a恒成立”的充要條件是“a≤2＋2”.
6.已知命題p：“ x∈[－1，1]，x2－a>0”，命題q：“ x∈R，x2＋2ax＋4＝0”.若命題p為假命題且命題q為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是
A.a≤－2或a＝1 B.a≤－2或1≤a≤2
C.a≥1 D.a≥2
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答案
依題意 p：“ x∈[－1，1]，x2－a≤0”為真命題，
則 x∈[－1，1]，a≥x2，∴a≥1，
若 x∈R，x2＋2ax＋4＝0，
則Δ＝(2a)2－16≥0，解得a≤－2或a≥2.
∵命題 p和命題q都是真命題，
∴a≥2.
7.已知a2＋b2＝ab＋4，則a＋b的最大值為
A.2 B.4 C.8 D.2
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答案
a2＋b2＝ab＋4，則有(a＋b)2＝3ab＋4≤＋4，
可得(a＋b)2≤16，即a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時，等號成立.
所以a＋b的最大值為4.
8.(2025·懷化模擬)給定整數(shù)n≥3，有n個實數(shù)元素的集合S，定義其相伴數(shù)集T＝{|a－b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)＝1，則稱集合S為規(guī)范數(shù)集(注：min(X)表示數(shù)集X中的最小數(shù)).對于集合M＝{－0.1，－1.1，2，2.5}，N＝{－1.5，－0.5，0.5，1.5}，則
A.M是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集
B.M是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集
C.M不是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集
D.M不是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集
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集合M＝{－0.1，－1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，則|2－2.5|＝0.5<1，
即M的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1，因此M不是規(guī)范數(shù)集；
集合N＝{－1.5，－0.5，0.5，1.5}中，|－1.5－(－0.5)|＝1，|－0.5－0.5|＝1，|0.5－1.5|＝1，
|－1.5－0.5|＝|－0.5－1.5|＝2，|－1.5－1.5|＝3，
即N的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1，因此N是規(guī)范數(shù)集.
答案
二、多項選擇題
9.已知a>b>c，且ac<0，則
A.ab>bc B.>
C.bc
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答案
因為a>b>c，ac<0，所以a>0，c<0，則有>0>，故B正確；
因為b可正，可負，也可以為0，故A錯誤；
由b>c，c<0，可得bc因為a>b>c，所以－c>－b，所以a－c>a－b>0，所以>，故D正確.
10.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，其中a≠0，若A∪B＝R，A∩B＝{x|3A.a>0
B.關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集為
C.a＋b＋c>0
D.bc>10a－1
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答案
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答案
由題知A＝{x|x<－2或x>3}，
又A∪B＝R，A∩B＝{x|3所以B＝{x|－2≤x≤5}，故－2，5是ax2＋bx＋c＝0的兩個根且a>0，A對；
則 則a＋b＋c＝－12a<0，C錯；
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答案
由cx2＋bx＋a＝－a(10x2＋3x－1)>0，
得10x2＋3x－1<0，即(5x－1)(2x＋1)<0，
所以解集為，B錯；
bc－10a＋1＝30a2－10a＋1＝30>0，即bc>10a－1，D對.
11.已知a>0，b>0且a＋b＝1，下列結(jié)論正確的是
A.的最小值為4 B.的最小值為
C.的最大值為2 D.a2＋b2的最小值為
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答案
對于A，因為正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝b＝時等號成立，故A正確；
對于B，因為正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2 ≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝，故B不正確；
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答案
對于C，因為正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，所以≤ ≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立，故C不正確；
對于D，因為正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，所以≥ a2＋b2≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立，故D正確.
三、填空題
12.已知正數(shù)a，b滿足＝2，則ab的最小值為　　　　.
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∵≥2，
∴2≥，即ab≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)且ab＝4，
即a＝1，b＝4時等號成立，∴ab的最小值為4.
13.已知p：|x－1|<1，q：x2－(a＋1)x＋a≤0，若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.
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(0，2)
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答案
由|x－1|<1，解得0對于q：x2－(a＋1)x＋a≤0，即(x－1)(x－a)≤0，
若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分條件，則a<2，所以1若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分條件，則a>0，所以0若a＝1，則q為{x|x＝1}，符合題意，所以實數(shù)a的取值范圍是(0，2).
14.當(dāng)兩個集合中有一個集合為另一個集合的子集時，稱兩個集合之間構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱兩個集合之間構(gòu)成“偏食”，對于集合A＝，B＝{x|x2＝a}.若A與B構(gòu)成“全食”，則a的取值范圍是　　 　　　　；若A與B構(gòu)成“偏食”，
則a的取值范圍是　　　.
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{a|a<0或a＝1}
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答案
由B＝{x|x2＝a}可知，
當(dāng)a<0時，B＝ ，此時B A；
當(dāng)a＝0時，B＝{0}，此時A∩B＝ ；
當(dāng)a>0時，B＝{－}，
又A＝，若A與B構(gòu)成“全食”，則B A，當(dāng)a<0時，滿足題意；當(dāng)a＝0時，不滿足題意；當(dāng)a>0時，要使B A，則B＝{－1，1}，即＝1，解得a＝1.綜上，若A與B構(gòu)成“全食”，則a的取值范圍是{a|a<0或a＝1}.
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答案
若A與B構(gòu)成“偏食”，顯然當(dāng)a≤0時，不滿足題意，
當(dāng)a>0時，由A∩B≠ 且B不包含于A，
所以B＝，解得a＝，
此時a的取值范圍是.(共66張PPT)
第一章
§1.5　基本不等式的綜合
應(yīng)用
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.掌握基本不等式及其常見變形.
2.會求與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題.
3.理解基本不等式在實際問題中的應(yīng)用.
4.掌握基本不等式在其他知識中的應(yīng)用.
課標(biāo)要求
例1　(1)若a>1，b>1，且a≠b，則a2＋b2，2ab，a＋b，2中的最大值是
A.a2＋b2 B.2ab
C.a＋b D.2
√
基本不等式的常見變形應(yīng)用
題型一
因為a>1，b>1，所以a2＋b2>a＋b，
根據(jù)基本不等式可知a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，
因為a≠b，所以a2＋b2>2ab，
同理a＋b>2，
綜上所述，上述四個式子中的最大值為a2＋b2.
(2)(2024·桂林模擬)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為
A.≥(a>0，b>0)
B.a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
√
由題意知圓O的半徑r＝OF＝AB＝，
又由OC＝OB－BC＝－b＝，
在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝，
因為FO≤FC，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.
基本不等式的常見變形
(1)ab≤≤(a，b∈R).
(2)≤≤≤(a>0，b>0).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)已知a，b∈R，則下列不等式成立的是
A.≥ B.≤
C.≤ D.ab≤
√
√
A選項，由選項可知a與b同號，
當(dāng)a>0且b>0時，由基本不等式可知≥恒成立，
當(dāng)a<0且b<0時，<0，>0，該不等式不成立，故A選項錯誤；
B選項，當(dāng)a＋b>0時，>0，
則≤0恒成立，
即≤恒成立，當(dāng)a＋b≤0時，原不等式恒成立，故B選項正確；
C選項，當(dāng)a＋b>0時，2ab－≤0，即2ab≤≤恒成立，當(dāng)a＋b<0時，2ab－≤0，即2ab≤≥，故C選項錯誤；
D選項，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D選項正確.
例2　(1)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，則m的最大值為
A.4 B.6
C.8 D.9
√
與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題
題型二
因為a>0，b>0，≤恒成立，
即m≤＋2恒成立，即m≤，
又因為＋2≥2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝b時取等號，
所以m≤4，所以m的最大值為4.
(2)若兩個正實數(shù)x，y滿足4x＋y＝2xy，且不等式x＋A.(－1，2)
B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.(－2，1)
D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
√
由兩個正實數(shù)x，y滿足4x＋y＝2xy，
得＝2，
則x＋＝≥＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)，即y＝4x＝4時取等號，
由不等式x＋得m2－m>2，解得m<－1或m>2，
所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
x∈M，使得f(x)≥a，等價于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等價于f(x)min≤a.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知a>0，若關(guān)于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為
A.1 B.2 C.4 D.8
√
因為x>－1，x＋1>0，
所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1，
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝－1時取等號，
所以x＋有最小值2－1，
因為不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2－1≥3，
解得a≥4，所以a的最小值為4.
(2)若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，則實數(shù)a的取值范圍是
A.a< B.0≤a≤
C.a> D.a>
√
當(dāng)x∈(0，2]時，由ax2－2x＋3a<0，
可得a(x2＋3)<2x，由題意得a<，
因為≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x>0)，即x＝時，等號成立，
所以當(dāng)x∈(0，2]時，，
故a<.
例3　隨著環(huán)保意識的增強，電動汽車成為人們購車的熱門選擇.某型號的電動汽車經(jīng)高速路段(汽車行駛速度不低于60 km/h)測試發(fā)現(xiàn)：①汽車每小時耗電量P(單位：kW·h)與速度v(單位：km/h)的關(guān)系滿足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程內(nèi)變速行駛比勻速行駛耗電量更大.現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從A地經(jīng)高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)勻速行駛到距離為500 km的B地，出發(fā)前汽車電池存量為
75 kW·h，汽車到達B地后至少要保留5 kW·h的保障電量(假設(shè)該電動汽車從靜止加速到速度為v的過程中消耗的電量與路程都忽略不計).
(1)判斷該車是否可以在不充電的情況下到達B地，并說明理由；
基本不等式的實際應(yīng)用
題型三
設(shè)勻速行駛速度為v km/h，耗電量為f(v)，則f(v)＝P(v)·＝v＋－20(60≤v≤120)，
易知函數(shù)f(v)在區(qū)間[60，120]上單調(diào)遞增，
所以f(v)min＝f(60)＝>75－5，
即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，
所以該車不能在不充電的情況下到達B地.
(2)若以該電動汽車的現(xiàn)存電量一定可以到達A地與B地間的服務(wù)區(qū)，服務(wù)區(qū)充電樁的功率為15 kW(充電量＝充電功率×?xí)r間)，求到達B地的最少用時(行駛時間與充電時間總和).
設(shè)勻速行駛速度為v km/h，總時間為t h，行駛時間與充電時間分別為t1 h，t2 h.
若能到達B地，則初始電量＋充電電量－消耗電量≥保障電量，
即75＋15t2－f(v)≥5，
解得t2≥－6.
所以t＝t1＋t2≥－6＝－6≥2－6＝.
當(dāng)且僅當(dāng)，即v＝100時取等號，
所以該汽車到達B地的最少用時為 h.
利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　第33屆奧運會于2024年7月26日—8月11日在巴黎舉行，某公益團隊聯(lián)系組委會舉辦一場紀(jì)念品展銷會，并將所獲利潤全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè).據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套紀(jì)念品(一個會徽和一個吉祥物)售價定為x元時，銷售量可達到(15－0.1x)萬套.為配合這個活動，生產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為50元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.約定不計其他成本，即銷售每套紀(jì)念品的利潤
＝售價－供貨價格.
(1)每套會徽及吉祥物售價為100元時，能獲得
的總利潤是多少萬元？
每套會徽及吉祥物售價為100元時，銷售量為15－0.1×100＝5(萬套)，
供貨單價為50＋＝52(元)，
總利潤為5×(100－52)＝240(萬元).
所以能獲得的總利潤為240萬元.
(2)每套會徽及吉祥物售價為多少元時，單套的利潤最大？最大值是多少元？
每套會徽及吉祥物售價為x元時，銷售量為(15－0.1x)萬套，供貨單價為元，
單套利潤為x－50－＝x－50－，
因為15－0.1x>0，所以0所以單套利潤為y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80，
當(dāng)且僅當(dāng)150－x＝10，即x＝140時取等號.
所以每套會徽及吉祥物售價為140元時，單套的利潤最大，最大值是80元.
柯西不等式是法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家柯西(Cauchy，1789－1857)發(fā)現(xiàn)的，故命名為柯西不等式.柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個非常重要的不等式，除了用柯西不等式來證明一些不等式成立外，柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題，借助柯西不等式可以達到事半功倍的效果.
1.二維形式的柯西不等式
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立).
柯西不等式
微拓展
2.二維形式的柯西不等式的變式
(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立).
(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立).
(3)(a＋b)(c＋d)≥()2(a，b，c，d≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立).
3.推廣一般情形：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
則(＋…＋＋…＋)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個實數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時，等號成立).
典例　(1)已知x，y滿足x＋3y＝4，則4x2＋y2的最小值為　　　.
　
(x＋3y)2≤(4x2＋y2)，
所以4x2＋y2≥16×，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝12x且x＋3y＝4，即x＝，y＝時等號成立，所以4x2＋y2的最小值為.
(2)函數(shù)y＝5的最大值為　　　　.
由題意得解得1≤x≤5，
y2＝(5)2＝(5·)2≤(52＋2)(x－1＋5－x)＝108，當(dāng)且僅當(dāng)x＝<5時等號成立，所以y≤6.
　6
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課時精練
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B C ABC ABD 1
題號 8 11 12 答案 C 1
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12
(1)f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，
因為x>1，
所以x－1>0，
所以x－1＋＋1≥2＋1＝7，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，
即x＝4時，等號成立，
所以f(x)的最小值為7.
9.
答案
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12
(2)由(1)知函數(shù)f(x)的最小值為7，
因為a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，
解得－7≤a≤1，
所以a的取值范圍是[－7，1].
9.
答案
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(1)由題意可得W(x)＝
所以W(x)＝
10.
答案
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12
(2)當(dāng)0W(x)＝－2x2＋140x－400，
當(dāng)x＝35時，W(x)取最大值，
W(35)＝2 050(萬元)；
當(dāng)40W(x)＝－x－＋1 700＝－＋1 700≤－2＋1 700
＝1 580，
10.
答案
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12
當(dāng)且僅當(dāng)x＝60時，等號成立，
因為2 050>1 580，
故當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為35 臺時，
所獲年利潤最大，
最大年利潤為2 050(萬元).
10.
一、單項選擇題
1.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為
A.13 B.12 C.9 D.4
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知識過關(guān)
答案
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答案
因為|MF1|＋|MF2|＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝3時，等號成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值為9.
2.已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且a5＝b6，則
A.a3＋a7≤b4＋b8 B.a3＋a7≥b4＋b8
C.a3＋a7≠b4＋b8 D.a3＋a7＝b4＋b8
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a3＋a7≥2＝2＝2a5＝2b6＝b4＋b8，當(dāng)且僅當(dāng)a3＝a7，即數(shù)列{an}的公比為1時取等號，所以a3＋a7≥b4＋b8.
答案
√
3.已知a，b為正實數(shù)，則“≤2”是“ab≤16”的
A.充要條件
B.必要不充分條件
C.充分不必要條件
D.既不充分也不必要條件
√
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答案
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答案
由a，b為正實數(shù)，∴a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，
若ab≤16，可得≤≤＝2，故必要性成立；
當(dāng)a＝2，b＝10，此時≤2，但ab＝20>16，故充分性不成立.
因此“≤2”是“ab≤16”的必要不充分條件.
4.(2025·長沙模擬)中國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式S＝求得，其中p為三角形周長的一半.已知△ABC的周長為12，c＝4，則此三角形面積最大時，A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
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答案
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答案
由題可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，
則S＝≤×＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時取等號，
所以此時三角形為等邊三角形，故A＝60°.
二、多項選擇題
5.(2024·宜賓模擬)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若≤x＋2y恒成立，則實數(shù)m的可能取值為
A. B. C.3 D.
√
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答案
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答案
由x>0，y>0，得xy>0，
≤x＋2y恒成立，
即≤恒成立，
又(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時，等號成立，
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答案
故≤9，即－9＝≤0，
即
解得m<1或m≥.
6.(2024·中山模擬)設(shè)a>0，b>0，已知M＝，N＝，則下列說法正確的是
A.M有最小值 B.M沒有最大值
C.N有最大值為 D.N有最小值為
√
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答案
√
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答案
a>0，b>0，M＝≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝b時等號成立，M有最小值，無最大值，故A正確，B正確；
又a>0，b>0，≤≤，所以N＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，故C錯誤，D正確.
三、填空題
7.(2025·南京模擬)若正實數(shù)x，y滿足x＋y＝2，且≥M恒成立，則M的最大值為_______.
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答案
1
∵正實數(shù)x，y滿足x＋y＝2，
∴xy≤＝1，∴≥1，
又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值為1.
8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則角B的取值范圍是　　　　　.
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答案
　
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因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，
所以cos B＝≥.
所以≤cos B<1，
又y＝cos x在區(qū)間(0，π)上單調(diào)遞減，
所以0答案
四、解答題
9.已知函數(shù)f(x)＝x＋(x>1).
(1)求f(x)的最小值；
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答案
f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，
因為x>1，所以x－1>0，
所以x－1＋＋1≥2＋1＝7，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝4時，等號成立，
所以f(x)的最小值為7.
(2)若a2＋6a≤f(x)恒成立，求a的取值范圍.
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答案
由(1)知函數(shù)f(x)的最小值為7，
因為a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，
所以a的取值范圍是[－7，1].
10.隨著我國經(jīng)濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來持續(xù)增長.某市一家醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)x臺，需另投入成本G(x)萬元，
且G(x)＝由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的
售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.
(1)寫出年利潤W(x)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)解析式(利潤＝銷售收入－成本)；
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答案
由題意可得W(x)＝
所以W(x)＝
(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？
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答案
當(dāng)0當(dāng)x＝35時，W(x)取最大值，W(35)＝2 050(萬元)；
當(dāng)40＋1 700＝1 580，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝60時，等號成立，
因為2 050>1 580，
故當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為35 臺時，所獲年利潤最大，最大年利潤為2 050(萬元).
11.(2024·德陽模擬)設(shè)雙曲線＝1(a>0)的離心率為e，則當(dāng)e2＋a2取最小值時，e等于
A. B.2 C. D.3
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能力拓展
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答案
雙曲線＝1(a>0)的離心率為e＝，
e2＋a2＝＋a2＝2＋＋a2≥2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝a2，即a＝1時取等號，
此時e＝.
12.(2025·昆明模擬)已知正實數(shù)a，b滿足ea－≥e1－b－，則a2＋b2的最小值為　　　.
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答案
因為函數(shù)f(x)＝ex－在R上單調(diào)遞增，
由f(a)≥f(1－b)，則a≥1－b，即a＋b≥1.
因為a>0，b>0，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2(a＋b)2≥，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，a2＋b2取得最小值.(共63張PPT)
第一章
§1.3　等式性質(zhì)與不等式
　　　性質(zhì)
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.掌握等式性質(zhì).
2.會比較兩個數(shù)的大小.
3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.
課標(biāo)要求
課時精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.兩個實數(shù)比較大小的方法
作差法 (a，b∈R).
>
<
＝
2.等式的性質(zhì)
性質(zhì)1　對稱性：如果a＝b，那么 ；
性質(zhì)2　傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性質(zhì)3　可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質(zhì)4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性質(zhì)5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么_______.
b＝a
a＝c
3.不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1　對稱性：a>b ；
性質(zhì)2　傳遞性：a>b，b>c ；
性質(zhì)3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性質(zhì)4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性質(zhì)5　同向可加性：a>b，c>d ；
性質(zhì)6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性質(zhì)7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
ba>c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，則b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(4)若>，則b×
√
×
×
2.(多選)下列命題為真命題的是
A.若ac2>bc2，則a>b B.若a>b>0，則a2>b2
C.若a
√
C中，若a＝－2，b＝－1，則a2>ab>b2，故C錯誤.
√
√
3.設(shè)M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，則有
A.MC.M>N D.無法確定
√
因為M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，
所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－3a＋6)＝a2－a＋1＝>0，所以M>N.
4.若實數(shù)a，b滿足0(－1，2)
∵01.a>b，ab>0 <.
2.若a>b>0，m>0，則：<；>.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)下列不等式中正確的是
A.x2－2x>－3(x∈R) B.≥(a>0，b>0)
C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0)
√
數(shù)(式)的大小比較
√
√
題型一
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正確；
，又a，b均為正實數(shù)，∴a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0，∴≥，故B正確；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C錯誤；
用作差法比較，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正確.
(2)若a>0，b>0，則p＝與q＝abba的大小關(guān)系是
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p√
由題知p>0且q>0，，
若a>b>0，則>1，a－b>0，
∴>1，即p>q；
若b>a>0，則0<<1，a－b<0，
∴>1，即p>q；
若a＝b，則＝1，∴p＝q，
綜上，p≥q.
比較大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.
(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.
(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知c>1，且x＝，y＝，則x，y之間的大小關(guān)系是
A.x>y B.x＝y(tǒng)
C.x√
由題設(shè)，易知x>0，y>0，又<1，∴x(2)已知a，b∈(0，1)，記M＝ab，N＝a＋b－1，則M與N的大小關(guān)系是　　　　.
M>N
因為M－N＝ab－a－b＋1＝(b－1)(a－1)，且a，b∈(0，1)，所以b－1<0，a－1<0，
所以M－N>0，即M>N.
例2　(1)(多選)(2025·常州模擬)已知實數(shù)a，b，c，d滿足aA.a＋cC.a2d2>b2c2 D.>
√
不等式的基本性質(zhì)
題型二
√
√
由a當(dāng)a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2時，滿足a由ab2>0，d2>c2>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正確；
由a－b>0，d>c>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得－ad>－bc，
兩邊同除以正數(shù)－bd得>，故D正確.
(2)(多選)(2025·常德模擬)已知a>b>0，則下列不等式正確的是
A.a2>ab B.>
C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－
√
√
√
對于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正確；
對于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正確；
對于C，令a＝1，b＝，則a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C錯誤；
對于D，易得y＝x－(x>0)為增函數(shù)，且a>b>0，故a－>b－，故D正確.
判斷不等式的常用方法
(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.
(2)利用特殊值法排除錯誤選項.
(3)作差法.
(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2024·西安模擬)已知a>b，c>d>0，則
A.< B.a－c>b－d
C.> D.<
√
對于A，，因為c>d>0，所以d－c<0，所以<0，即<，故選項A正確；
對于B，a>b，c>d>0，取a＝4，b＝3，c＝2，d＝1，則a－c＝b－d，故選項B錯誤；
對于C，a>b，c>d>0，取a＝2，b＝1，c＝6，d＝3，則，故選項C錯誤；
對于D，a>b，取a＝1，b＝－1，則>，故選項D錯誤.
(2)(多選)若a>b>0，c>d>0，則下列結(jié)論正確的是
A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d)
C.< D.ac＋bd>ad＋bc
√
√
√
對于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，則ad＝bc，故A錯誤；
對于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，則a(a＋c)>b(b＋d)，故B正確；
對于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<<，
等價于>，等價于ac>bd，故C正確；
對于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，
則ac＋bd>ad＋bc，故D正確.
例3　(1)(多選)(2025·大慶模擬)已知實數(shù)x，y滿足1A.3C.2√
不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用
題型三
√
因為2因為2因為1因為2所以<<6，故D正確.
(2)(2024·遼寧縣域重點高中協(xié)作體模擬)公園的綠化率是指公園內(nèi)的綠化面積與公園的面積之比.已知某公園的面積為a m2，綠化面積為b m2
(0A.變大 B.變小
C.不變 D.不確定
√
原來公園的綠化率為，
則，
所以的大小與a，2b的大小有關(guān)，故擴建后公園的綠化率與原來公園的綠化率的變化情況不確定.
利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的注意點
(1)必須嚴(yán)格運用不等式的性質(zhì).
(2)在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，然后通過“一次性”不等關(guān)系的運算求解范圍.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5)
C.[4，7] D.(5，8)
√
由題意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.
(2)手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設(shè)計中一個重要參數(shù)，其值通常在(0，1)之間.設(shè)計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數(shù)量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比
A.不變 B.變小
C.變大 D.變化不確定
√
設(shè)原來手機屏幕面積為b，整機面積為a，
則屏占比為(a>b>0)，設(shè)手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數(shù)量為m(m>0)，升級后屏占比為，
∵a>b>0，∴>0，即該手機“屏占比”和升級前比變大.
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課時精練
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B D A AB AC
題號 8 11 12 答案 ≥ C [－7，2] 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)∵y＝在定義域R上單調(diào)遞減，∴0<<1，
又∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx頂點的橫坐標(biāo)x0＝－，∵0<<1，
∴－<－<0，即－∴－1<2x0<0，∴0<2x0＋1<1，
∴2x0＋1的取值范圍為(0，1).
9.
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(2)∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
又∵0<<1，
∴a>b>0或ab>0時，
a3＋b3>a2b＋ab2；
②當(dāng)aa3＋b39.
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，則<.
(2)∵a>b>0，c－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
則＝＝>0，
∴>.
10.
11
12
一、單項選擇題
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，則下列結(jié)論正確的是
A.a>b B.aC.a≥b D.a，b的大小關(guān)系不確定
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
知識過關(guān)
答案
因為b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a11
12
2.已知a>b，則下列不等式一定成立的是
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取a＝1，b＝－2，滿足a>b，顯然有>，a2指數(shù)函數(shù)y＝2x為增函數(shù)，若a>b，則必有2a>2b，B正確.
答案
√
11
12
3.(2024·沈陽模擬)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，則下列結(jié)論一定正確的是
A.bc>c2 B.>0
C.ab2>cb2 D.<0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由題知a>b>c且a＋b＋c＝0，則有a>0，c<0，b>c，則bcb－c>0，因為b與0的大小關(guān)系未知，不能確定>0，B選項錯誤；
a>c，當(dāng)b＝0時，ab2＝cb2，C選項錯誤；
a－b>0，c<0，<0，D選項正確.
答案
11
12
4.(2024·北京大興統(tǒng)考)在一次調(diào)查中，某班甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在社區(qū)服務(wù)的月總時長之間有如下關(guān)系：甲、丙服務(wù)時長之和等于乙、丁服務(wù)時長之和，甲、乙服務(wù)時長之和大于丙、丁服務(wù)時長之和，丁的服務(wù)時長大于乙、丙服務(wù)時長之和，則這四名同學(xué)按照服務(wù)時長從大到小的順序排列為
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
設(shè)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的服務(wù)時長分別為a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
根據(jù)題意得
顯然d>b，d>c，②＋①可得a>d，
由②－①可得b>c，
故a>d>b>c，
即這四名同學(xué)按服務(wù)時長從大到小的順序排列為甲、丁、乙、丙.
11
12
二、多項選擇題
5.已知c>b>a，則下列結(jié)論正確的是
A.c＋b>2a B.>
C.> D.<
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
對于選項A，因為c>b>a，所以c＋b>2a，故選項A正確；
對于選項B，因為c>b>a，所以c－a>c－b>0，所以>>0，故選項B正確；
對于選項C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，滿足c>b>a，此時＝－2，＝－<，故選項C錯誤；
對于選項D，當(dāng)c＝1，b＝－1，a＝－2時，＝2，＝－>，故選項D錯誤.
11
12
6.(2025·洛陽聯(lián)考)設(shè)實數(shù)a，b滿足1≤ab≤4，4≤≤9，則
A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3
C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1≤ab≤4，4≤≤9，兩式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正確；
由題意得≤≤，又1≤ab≤4，兩式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B錯誤；
因為1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以兩式相乘得4≤a3b≤144，C正確；
因為1≤a2b2≤16，≤≤≤ab3≤4，D錯誤.
11
12
三、填空題
7.已知0<β<α<，則α－β的取值范圍是　　　　　.
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
答案
∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
11
12
8.已知a，b為實數(shù)，則2a2＋b2＋1　　　ab＋2a.(填 “>”“<”“≥”或“≤”)
1
2
3
4
5
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7
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9
10
答案
≥
由題知，
－(ab＋2a)＝a2－ab＋b2＋a2－2a＋1＝＋(a－1)2
≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1且b＝2時，取等號.
11
12
四、解答題
9.(2024·岳陽聯(lián)考)已知指數(shù)函數(shù)y＝在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象頂點的橫坐標(biāo)為x0.
(1)求2x0＋1的取值范圍；
1
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答案
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答案
∵y＝在定義域R上單調(diào)遞減，
∴0<<1，
又∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx頂點的橫坐標(biāo)x0＝－，∵0<<1，
∴－<－<0，即－∴－1<2x0<0，∴0<2x0＋1<1，
∴2x0＋1的取值范圍為(0，1).
11
12
(2)比較a3＋b3與ab2＋a2b的大小.
1
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10
答案
∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
又∵0<<1，∴a>b>0或a①當(dāng)a>b>0時，a3＋b3>a2b＋ab2；
②當(dāng)a11
12
10.證明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求證：<；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，則<.
11
12
(2)已知a>b>0，c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∵a>b>0，c∴－c>－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
則＝>0，
∴>.
11
12
11.已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則的取值范圍為
A.(1，＋∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
答案
能力拓展
11
√
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
答案
11
由已知及三角形三邊關(guān)系得
所以
兩式相加得0<<4，
所以0<<2.
12.已知實數(shù)x，y滿足－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，則3x－4y的取值范圍為　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
答案
11
[－7，2]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
答案
設(shè)3x－4y＝m(x＋2y)＋n(2x－y)，m，n∈R，則
解得
所以3x－4y＝－(x＋2y)＋2(2x－y)，
因為－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，
所以－3≤－(x＋2y)≤2，－4≤2(2x－y)≤0，
所以－7≤3x－4y≤2.
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11(共67張PPT)
第一章
§1.2　常用邏輯用語
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.
2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定.
課標(biāo)要求
課時精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
若p q，則p是q的 條件，q是p的 條件 p是q的充分不必要條件 ___________
p是q的必要不充分條件 p q且q p
p是q的 條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p
1.充分條件、必要條件與充要條件的概念
充分
p q且q p
充要
必要
2.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示.
(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示.


名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結(jié)構(gòu) 對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 _______________ _____________
3.全稱量詞命題和存在量詞命題
x∈M， p(x)
x∈M， p(x)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當(dāng)p是q的充分條件時，q是p的必要條件.(　　)
(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題.(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.(　　)
(4)命題“ x∈R，sin2＋cos2”是真命題.(　　)
×
√
√
√
2.(2025·南通模擬)命題“ x∈R，2x2－3x＋4>0”的否定為
A. x∈R，2x2－3x＋4≤0 B. x∈R，2x2－3x＋4>0
C. x R，2x2－3x＋4≤0 D. x∈R，2x2－3x＋4≤0
√
命題“ x∈R，2x2－3x＋4>0”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以所求否定是“ x∈R，2x2－3x＋4≤0”.
3.設(shè)x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
4.設(shè)p：1≤x≤4，q：x由p是q的充分條件，且p：1≤x≤4，q：x可得{x|1≤x≤4}是{x|x所以m>4.
1.謹記兩個常用結(jié)論
(1)p是q的充分不必要條件，等價于 q是 p的充分不必要條件.
(2)命題p和 p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.
2.理清一個關(guān)系
“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，而B不能推出A，要注意區(qū)別上述兩種說法的不同.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(2025·福州模擬)設(shè)直線l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0，l2：2x＋ay－2a－1＝0，則“a＝0”是“l(fā)1∥l2”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
充分、必要條件的判定
題型一
因為l1∥l2，則a(a＋1)＝2a2，解得a＝0或a＝1.
若a＝0，則l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，兩直線平行，符合題意；
若a＝1，則l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，兩直線重合，不符合題意.
綜上所述，l1∥l2等價于a＝0.
所以“a＝0”是“l(fā)1∥l2”的充要條件.
(2)(2024·北京)設(shè)a，b是向量，則“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，
即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，
當(dāng)a＝(1，1)，b＝(－1，1)時，
|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，
故充分性不成立；
當(dāng)a＝－b或a＝b時，
(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立.
所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分條件.
充分、必要條件的三種判定方法
(1)定義法：根據(jù)p q，q p是否成立進行判斷.
(2)集合法：根據(jù)p，q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.
(3)等價轉(zhuǎn)化法：對所給題目的條件進行一系列的等價轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2024·海口市海南中學(xué)模擬)“θ＝＋2kπ”是“cos θ＝”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
若θ＝＋2kπ，則cos θ＝cos＝cos ＝，k∈Z，充分性成立；
若cos θ＝，則θ＝＋2kπ或θ＝－＋2kπ，k∈Z，必要性不成立，所以“θ＝＋2kπ”是“cos θ＝”的充分不必要條件.
(2)(2024·山東聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn.設(shè)甲：d>0；乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則甲是乙的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
若公差d>0，如數(shù)列－10，－9，－8，－7，…，0，1，2，…，則數(shù)列的前n項和Sn先減后增；
若{Sn}是遞增數(shù)列，如Sn＝n，則an＝1，{an}為常數(shù)列也為等差數(shù)列，且d＝0；
所以甲是乙的既不充分也不必要條件.
例2　(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　；若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　.
充分、必要條件的應(yīng)用
題型二
(－∞，1)
(－∞，1]
因為p：x≤1，q：x≤a，
若p是q的必要不充分條件，則(－∞，a] (－∞，1]，因此a<1，
即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1).
若p是q的必要條件，則(－∞，a] (－∞，1]，
因此a≤1，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].
(2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a為實數(shù)).若 q的一個充分不必要條件是 p，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　.
[1，＋∞)
由已知得 p：－3≤x≤1， q：x≤a.
設(shè)A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，
若 p是 q的充分不必要條件，則 p q， q p，
所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
求參數(shù)問題的解題策略
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.
(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是
A.[0，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，0] D.(－∞，1]
√
由>1可得x(x－1)<0，解得0記A＝{x|0m}，
若p是q的充分條件，
則A是B的子集，所以m≤0，
所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，0].
(2)設(shè)p：0≤x≤2，q：m－1≤x≤m＋2.若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　.
[0，1]
p：0≤x≤2，q：m－1≤x≤m＋2.若p是q的充分不必要條件，
則
且兩等號不能同時取到，解得0≤m≤1.
例3　(多選)下列說法正確的是
A.“菱形是正方形”是全稱命題
B.“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
C.命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個奇數(shù)能被3整除”
D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分條件
√
命題點1　含量詞的命題的否定
全稱量詞與存在量詞
題型三
√
對于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全稱命題，故A正確；
對于B，由全稱命題的否定知其否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正確；
對于C，命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)都能被3整除”，故C錯誤；
對于D，因為A＝B時，sin A＝sin B成立，而sin A＝sin B時，A＝B不一定成立，如A＝，B＝，故“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要條件，故D錯誤.
命題點2　含量詞的命題的真假判斷
例4　(多選)下列命題中，為真命題的是
A. x∈R，2x－1>0
B. x∈R，x2＋1<2x
C. xy>0，x＋y≥2
D. x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y
√
√
對于A項， x∈R，2x－1>0，A項正確；
對于B項，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B項錯誤；
對于C項，當(dāng)x<0，y<0時，x＋y<0<2，C項錯誤；
對于D項，取x＝y(tǒng)＝0，則sin(x＋y)＝sin 0＝0＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D項正確.
例5　(2025·臺州模擬)若命題“ x∈R，x2－x－m≠0”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是　　 　　.
命題點3　含量詞的命題的應(yīng)用
方法一　原命題的否定“ x∈R，x2－x－m＝0”為真命題，
∴Δ＝1＋4m≥0，解得m≥－，
∴實數(shù)m的取值范圍是.
方法二　若命題“ x∈R，x2－x－m≠0”是真命題，
則Δ＝1＋4m<0，解得m<－，
故當(dāng)原命題為假命題時，m≥－，
∴實數(shù)m的取值范圍是.
含量詞命題的解題策略
(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可.當(dāng)一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.
(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求參數(shù)的范圍.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(1)(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知命題p： x∈R，|x＋1|>1；命題q： x>0，x3＝x，則
A.p和q都是真命題 B. p和q都是真命題
C.p和 q都是真命題 D. p和 q都是真命題
√
對于命題p，取x＝－1，
則有|x＋1|＝0<1，
故p是假命題， p是真命題，
對于命題q，取x＝1，
則有x3＝13＝1＝x，
故q是真命題， q是假命題，
綜上， p和q都是真命題.
(2)已知命題“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a>0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　 　　.
(－∞，－4]
由題意得，“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a≤0”是真命題，則a≤－x2＋3x對 x∈[－1，2]恒成立，在區(qū)間[－1，2]上，－x2＋3x的最小值為
－(－1)2＋3×(－1)＝－4，所以a≤(－x2＋3x)min＝－4，即a的取值范圍是(－∞，－4].
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課時精練
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 A D C D B C BC
題號 8 9 10 11 答案 BC BCD 存在一個素數(shù)不是奇數(shù) (－∞，1] 題號 12 13 14 答案 [0，4) C [5，6) 1
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一、單項選擇題
1.“x<0”是“＝－x”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
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知識過關(guān)
答案
＝－x x≤0，因為x<0 x≤0，但x≤0 x<0，所以“x<0”是“＝－x”的充分不必要條件.
2.(2024·天津模擬)命題“ m∈N，∈N”的否定是
A. m∈N，∈N B. m N， N
C. m∈N， N D. m∈N， N
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答案
√
由命題否定的定義得存在量詞命題“ m∈N，∈N”的否定是“ m∈N， N”，故D正確.
3.“棱柱的相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
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若棱柱的相鄰兩個側(cè)面是矩形，則兩側(cè)面的交線必定垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱，滿足充分性；若棱柱為直棱柱，則棱柱的相鄰兩個側(cè)面是矩形，滿足必要性.故“棱柱的相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的充要條件.
答案
4.下列敘述錯誤的是
A.命題“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”
B.若冪函數(shù)y＝(m2－2m－2)x2－4m在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的
　值為－1
C. x∈(0，＋∞)，2x>log2x
D.設(shè)a∈R，則“a2>3”是“a>”的充分不必要條件
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答案
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答案
對于A，命題“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”，A正確；
對于B，由解得m＝－1，B正確；
對于C，當(dāng)x>0時，函數(shù)y＝2x的圖象在直線y＝x上方，函數(shù)y＝log2x的圖象在直線y＝x下方，則2x>log2x，C正確；
對于D，由a2>3，得a<－或a>，因此“a2>3”是“a>”的必要不充分條件，D錯誤.
5.(2024·玉林統(tǒng)考)已知命題p： x∈[1，2]，x2＋ax－2>0，則命題p的一個必要不充分條件是
A.a<－1 B.a>－2
C.a>1 D.a>2
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答案
因為 x∈[1，2]，x2＋ax－2>0，所以a>－x＋在x∈上恒成立，
只需y＝－x＋在[1，2]上的最大值小于a，
因為y＝－x＋在[1，2]上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝1時，y＝－x＋在[1，2]上取最大值1，所以a>1.則結(jié)合選項可得命題p的一個必要不充分條件是a>－2.
6.(2023·新高考全國Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
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答案
方法一　甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公差為d，
則Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－＝，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，
即＝＝為常數(shù)，設(shè)為t，即＝t，
則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
兩式相減得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，對n＝1也成立，
因此{an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
方法二　甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，
即Sn＝na1＋d，
則＝a1＋d＝n＋a1－，
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答案
因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為D，
則＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
當(dāng)n≥2時，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上邊兩式相減得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
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答案
所以an＝a1＋2(n－1)D，
當(dāng)n＝1時，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數(shù)，因此{an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
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答案
二、多項選擇題
7.下列既是存在量詞命題又是真命題的是
A. x∈R，|x|<0
B. x∈Z，cos x＝－1
C.至少有一個x∈Z，使x能同時被3和5整除
D.每個平行四邊形都是中心對稱圖形
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選項A為存在量詞命題，因為所有實數(shù)的絕對值非負，即|x|≥0，所以A是假命題；
選項B為存在量詞命題，當(dāng)x＝2時，滿足cos＝cos π＝－1，所以B既是存在量詞命題又是真命題；
選項C為存在量詞命題，15能同時被3和5整除，所以C既是存在量詞命題又是真命題；
選項D是全稱量詞命題，所以D不符合題意.
答案
8.下列說法正確的是
A.命題“ x≥1，x2>1”的否定是“ x<1，x2≤1”
B.“a>0且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為R”
的充要條件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分條件
D.已知a，b∈R，則“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要條件是“ab>0”
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答案
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對于A，命題的否定是“ x≥1，x2≤1”，故A錯誤；
對于B，若a>0且Δ＝b2－4ac≤0，則不等式的解集為R，充分性成立，若不等式的解集為R，則a>0且Δ＝b2－4ac≤0，即必要性成立，故B正確；
對于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a＝，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，故C正確；
對于D，例如a＝b＝0，可以推出|a＋b|＝|a|＋|b|，即|a＋b|＝|a|＋|b|不可以推出ab>0，故D錯誤.
答案
9.下列說法正確的為
A.“ x>0，ln x>0”為真命題
B.若“ x∈R，sin xC.已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充
　分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是a>4
D.已知p：0值范圍為m≥6
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答案
對于A，當(dāng)0對于B，“ x∈R，sin x－1，故B正確；
對于C，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，得集合A真包含于集合B，所以>2，即a>4，C正確；
對于D，由p是q的充分條件得p q，即 x∈(0，1]，4x＋2x－m≤0恒成立，令t＝2x，t∈(1，2]，則m≥t2＋t對于t∈(1，2]恒成立，又y＝t2＋t＝
∈(2，6]，則m≥6，D正確.
三、填空題
10.為了證明“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明：_________
　 　　.
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答案
存在一個
因為命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題，則命題“存在一個素數(shù)不是奇數(shù)”為真命題，所以為了證明“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明存在一個素數(shù)不是奇數(shù).
素數(shù)不是奇數(shù)
11.(2025·連云港模擬)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x≥b－a}，若“a＝2”是“A∩B＝A”的充分條件，則實數(shù)b的取值范圍為　 　　.
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答案
(－∞，1]
若A∩B＝A，則A B，則b－a≤－1，即b≤a－1，
要使“a＝2”是“A∩B＝A”的充分條件，只需b≤2－1＝1，所以實數(shù)b的取值范圍為(－∞，1].
12.已知命題“ x∈R，ax2－ax＋1≤0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.
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答案
[0，4)
由題意得原命題的否定“ x∈R，ax2－ax＋1>0”為真命題，
即不等式ax2－ax＋1>0對x∈R恒成立.
①當(dāng)a＝0時，不等式1>0在R上恒成立，符合題意；
②當(dāng)a≠0時，若不等式ax2－ax＋1>0對x∈R恒成立，
則解得0綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0，4).
13.(2025·秦皇島模擬)下列說法正確的是
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分條件
B.命題“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”
C.“ω＝π”是“函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為2”的充分不必要
條件
D.“cos2α＋sin2β＝1”的充要條件是“α＝β”
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答案
能力拓展
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對于A，“若a>b，則a2>b2”是假命題，
例如1>－2，而12<(－2)2，
“若a2>b2，則a>b”是假命題，例如(－2)2>12，而－2<1，即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件，A錯誤；
對于B，命題“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，因此它的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”，B錯誤；
答案
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對于D，當(dāng)α＝，β＝時，cos2α＋sin2β＝1成立，因此cos2α＋sin2β＝1成立，不一定有α＝β，D錯誤；
對于C，當(dāng)ω＝π時，函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為2，
當(dāng)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為2時，ω＝π或ω＝－π.
所以“ω＝π”是“函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為2”的充分不必要條件，C正確.
答案
14.(2024·河南省學(xué)校聯(lián)盟聯(lián)考)已知p：≥1，q：x>1，r：a1
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[5，6)
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答案
由≥1得≥0，解得6≤x<10，即p：6≤x<10.
記p，q，r中x的取值構(gòu)成的集合分別為A，B，C，則A＝{x|6≤x<10}，B＝{x|x>1}，C＝{x|a由于r是p的必要不充分條件，r是q的充分不必要條件，則A是C的真子集，
C是B的真子集，則解得5≤a<6，
即實數(shù)a的取值范圍是[5，6).
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第一章
§1.6　一元二次方程、
不等式
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.會從實際情景中抽象出一元二次不等式.
2.結(jié)合二次函數(shù)圖象，會判斷一元二次方程的根的個數(shù)，以及解一元二次不等式.
3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法.
課標(biāo)要求
課時精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
方程的判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)的圖象
1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應(yīng)關(guān)系
方程的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1不等式的解集 _______________ _____________ _____
{x|xx2}
R
2.分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3.簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為 ，|x|0)的解集為 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0無實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.
(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.(　　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等價于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
×
×
√
×
2.(2024·保山模擬)已知不等式x2－3x＋2≤0的解集為A，不等式<0的解集為B，則“x∈A”是“x∈B”的
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
√
由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，
由(x－2)(x－1)<0，解得1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件.
3.若關(guān)于x的不等式－x2＋ax－7≤0恒成立，則a的取值范圍為
A.(－)
B.
C.(－∞，－)∪(，＋∞)
D.(－∞，－]∪[，＋∞)
√
由題意得Δ＝a2－4××(－7)≤0，
解得－≤a≤.
因此，實數(shù)a的取值范圍是.
4.若關(guān)于x的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為　　　.
－3
根據(jù)題意，方程x2＋(2m－1)x＋m2－m＝0的兩根為3和4，
故有解得m＝－3.
避免三種失誤
(1)含參不等式的求解，注意分類討論思想的運用，對參數(shù)分類時要做到不重不漏.
(2)當(dāng)未說明不等式為一元二次不等式時應(yīng)分二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況討論.
(3)當(dāng)Δ<0時，注意區(qū)分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R還是 .
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(多選)下列選項中，正確的是
A.不等式－x2－x＋2>0的解集為{x|x<－2或x>1}
B.不等式≤1的解集為{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1的解集為{x|1≤x≤3}
D.設(shè)x∈R，則“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要條件
求解一元二次不等式
√
√
題型一
命題點1　不含參的不等式
由題知方程－x2－x＋2＝0的解為x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集為{x|－2因為 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤
x<2，所以不等式的解集為{x|－3≤x<2}，故B正確；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集為{x|x≤1或x≥3}，故C錯誤；
由|x－1|<1，可得－1例2　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0.
命題點2　含參的不等式
原不等式可化為(ax－4)(x－1)<0，
所以當(dāng)a＝0時，解得x>1；
當(dāng)0當(dāng)a＝4時，不等式無解；
當(dāng)a>4時，解得當(dāng)a<0時，不等式等價于(x－1)>0，
解得x<或x>1，
綜上所述，當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x>1}；
當(dāng)0當(dāng)a＝4時，不等式的解集為 ；
當(dāng)a>4時，不等式的解集為；
當(dāng)a<0時，不等式的解集為.
對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有
(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.
(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).
(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　解關(guān)于x的不等式：
(1)>1；
因為>1 －1>0 >0 >0 <0
(3x－1)(2x＋1)<0 －所以原不等式的解集為.
(2)x2－ax－2a2>0.
不等式x2－ax－2a2>0可化為(x－2a)(x＋a)>0，
當(dāng)2a<－a，即a<0時，解得x<2a或x>－a；
當(dāng)2a＝－a，即a＝0時，解得x≠0，
當(dāng)2a>－a，即a>0時，解得x<－a或x>2a.
綜上所述，當(dāng)a<0時，
解集為(－∞，2a)∪(－a，＋∞)；
當(dāng)a＝0時，解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)；
當(dāng)a>0時，解集為(－∞，－a)∪(2a，＋∞).
例3　(1)(多選)(2024·龍巖模擬)若關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－3，1)，則下列結(jié)論正確的是
A.b<0且c>0
B.9a－3b＋c<0
C.關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(2，＋∞)
D.關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)
√
三個二次之間的關(guān)系
題型二
√
√
對于A項，由題意可知，a<0，－3和1是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，可得－3＋1＝－，－3×1＝，所以b＝2a<0，c＝－3a>0，故A項正確；
對于B項，因為－3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以9a－3b＋c＝0，故B項錯誤；
對于C項，由A項知ax－b<0，即ax－2a<0，即a(x－2)<0，因為a<0，解得x>2，故C項正確；
對于D項，不等式ax2－bx＋c<0即ax2－2ax－3a<0，化簡得x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，故D項正確.
(2)已知關(guān)于x的方程x2－kx＋k＋3＝0有兩正根x1，x2，則的最小值為　　　　.
18
依題意有
解得k≥6，
∴＝(x1＋x2)2－2x1x2＝k2－2(k＋3)＝(k－1)2－7，
∵k≥6，∴當(dāng)k＝6時，()min＝18.
已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應(yīng)的一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出相應(yīng)的系數(shù).注意結(jié)合不等式解集的形式判斷二次項系數(shù)的正負.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，則不等式cx2－2x＋a≤0的解集是
A. B.
C.[－2，3] D.[－3，2]
√
因為不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，
所以－是方程ax2＋2x＋c＝0的兩個實數(shù)根，
由
故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，
解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
所求不等式的解集是[－2，3].
(2)(2025·連云港模擬)已知方程x2－2ax＋a2－4＝0的一個實根小于2，另一個實根大于2，則實數(shù)a的取值范圍為　　　　.
(0，4)
設(shè)f(x)＝x2－2ax＋a2－4，
因為方程x2－2ax＋a2－4＝0的一個實根小于2，另一個實根大于2，
則滿足f(2)＝a2－4a<0，解得0即實數(shù)a的取值范圍為(0，4).
例4　(1)若對于一切實數(shù)x，不等式mx2－3mx－2<0恒成立，求m的取值范圍；
一元二次不等式恒成立問題
題型三
要使mx2－3mx－2<0恒成立，
若m＝0，顯然－2<0恒成立，滿足題意；
若m≠0，則解得－綜上，m的取值范圍是.
(2)當(dāng)x∈(0，4)時，不等式x2＋mx＋4>0恒成立，求m的取值范圍.
當(dāng)x∈(0，4)時，x2＋mx＋4>0恒成立，
即－m<恒成立，
又＝x＋≥2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2時等號成立，
∴－m<4，即m>－4，
∴m的取值范圍是(－4，＋∞).
恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若對于x∈[－1，1]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍；
由題意得，f(x)<－m＋5在[－1，1]上恒成立，
即m(x2－x＋1)<6在[－1，1]上恒成立，
∵x2－x＋1＝≥對一切實數(shù)恒成立，
∴m<在[－1，1]上恒成立，
∵函數(shù)y＝x2－x＋1在上單調(diào)遞增，∴ymax＝1＋1＋1＝3，
∴在[－1，1]上的最小值為2，
∴m<2.
故m的取值范圍為(－∞，2).
(2)若對于m∈[－2，2]，f(x)<－m＋5恒成立，求x的取值范圍.
∵mx2－mx－1<－m＋5對于m∈[－2，2]恒成立，
∴m(x2－x＋1)－6<0對于m∈[－2，2]恒成立，
∴
解得－1故x的取值范圍為(－1，2).
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課時精練
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B B D BCD ABD (1，3]
題號 8 11 12 答案 (－2，3) AD 1
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答案
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11
12
(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2－2x－3，f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3，
∴不等式的解集為{x|x≤－1或x≥3}.
(2)f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，
則二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝1，
∴f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，
∵f(3)＝3a－3，f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，轉(zhuǎn)化為f(3)≥0，
∴3a－3≥0，解得a≥1，
故實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞).
9.
答案
1
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11
12
(1)因為不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個根，
所以
解得
10.
答案
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11
12
(2)由(1)知原不等式為x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
當(dāng)m>2時，不等式解集為{x|2當(dāng)m＝2時，不等式解集為 ；
當(dāng)m<2時，不等式解集為{x|m10.
一、單項選擇題
1.(2025·威海模擬)設(shè)集合A＝{x||x－1|≥1}，B＝{x|x2－x－2<0}，則A∩B等于
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(－2，0] D.(－1，0]
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12
知識過關(guān)
答案
由題意得A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|－1所以A∩B＝{x|－1√
2.若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是
A.{a|－1≤a<2} B.{a|－1C.{a|－11
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12
當(dāng)a＝2時，原不等式為－12<0，滿足解集為R；
當(dāng)a≠2時，根據(jù)題意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1綜上，－1故a的取值范圍為{a|－1答案
√
3.關(guān)于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一個根小于－1，另一個根大于1，則a的取值范圍是
A.(－2，1) B.(－2，0)
C.(0，1) D.(－2，－1)
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答案
√
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答案
設(shè)f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，
由題意知
即
所以－24.當(dāng)x∈(－1，1)時，不等式2kx2－kx－<0恒成立，則k的取值范圍是
A.(－3，0) B.[－3，0)
C. D.
√
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答案
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12
答案
當(dāng)k＝0時，滿足不等式恒成立；
當(dāng)k≠0時，令f(x)＝2kx2－kx－，則f(x)<0在(－1，1)上恒成立，
函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝，
當(dāng)k>0時，f(x)在上單調(diào)遞增，
則有解得01
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答案
當(dāng)k<0時，f(x)在上單調(diào)遞減，
則有f <0，解得－3綜上可知，k的取值范圍是.
二、多項選擇題
5.對于給定的實數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能為
A.R B.(－1，a)
C.(a，－1) D.(－∞，－1)∪(a，＋∞)
√
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答案
√
√
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答案
根據(jù)題意，易知a≠0.
當(dāng)a>0時，函數(shù)y＝a(x－a)(x＋1)的圖象開口向上，故不等式的解集為
(－∞，－1)∪(a，＋∞).
當(dāng)a<0時，函數(shù)y＝a(x－a)(x＋1)的圖象開口向下，若a＝－1，則不等式的解集為 ；
若－1若a<－1，則不等式的解集為(a，－1).
6.已知關(guān)于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1A.x1＋x2＋2＝0 B.x1x2＋3<0
C.<4 D.x1<－3，x2>1
√
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答案
√
√
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答案
因為關(guān)于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1所以a<0，且x1，x2是方程ax2＋2ax＋2－3a＝0的兩根，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，
所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0，故A，B正確；
又因為＝2>4，故C錯誤；
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答案
作出y＝a(x－1)(x＋3)和y＝－2的圖象，則x1，x2為
兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，
由圖象可知x1<－3，x2>1，故D正確.
三、填空題
7.不等式≥3的解集是　　　　.
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答案
(1，3]
由題設(shè)－3＝≥0，則解得x∈(1，3].
8.甲、乙兩人解關(guān)于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲寫錯了常數(shù)b，得到的解集為(－3，2)，乙寫錯了常數(shù)c，得到的解集為(－3，4).那么原不等式的解集為　　　　　　.
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答案
(－2，3)
依題意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，
即x2－x－6<0，解得－2所以原不等式的解集為(－2，3).
四、解答題
9.已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax－3.
(1)若a＝1，求不等式f(x)≥0的解集；
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答案
當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2－2x－3，
f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，
∴不等式的解集為{x|x≤－1或x≥3}.
(2)已知a>0，且f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍.
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答案
f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，
則二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝1，
∴f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，
∵f(3)＝3a－3，
f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，轉(zhuǎn)化為f(3)≥0，
∴3a－3≥0，解得a≥1，
故實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞).
10.已知不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
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答案
因為不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個根，
所以解得
(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.
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答案
由(1)知原不等式為x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
當(dāng)m>2時，不等式解集為{x|2當(dāng)m＝2時，不等式解集為 ；
當(dāng)m<2時，不等式解集為{x|m11.(多選)已知k∈Z，若關(guān)于x的不等式x2－xA.－1 B.1 C.2 D.3
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答案
能力拓展
√
√
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答案
關(guān)于x的不等式x2－x即x2－(k＋1)x＋k<0，
即(x－1)(x－k)<0，
當(dāng)k＝1時，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0，
解集為空集，不符合題意；
當(dāng)k>1時，(x－1)(x－k)<0的解滿足1要使得關(guān)于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝3；
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答案
當(dāng)k<1時，(x－1)(x－k)<0的解滿足k要使得關(guān)于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝－1，
綜上，k的可能取值為－1，3.
12.若關(guān)于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一個負實根，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　.
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答案
　
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答案
當(dāng)m＝0時，方程為2x＋2＝0，有一個負實根，滿足題意；
當(dāng)m≠0時，mx2＋2x＋2＝0為一元二次方程，
關(guān)于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一個負實根，設(shè)根為x1，x2，
當(dāng)Δ＝4－8m＝0，即m＝x2＋2x＋2＝0，解得x＝－2，滿足題意；
當(dāng)Δ＝4－8m>0，即m<，且m≠0時，
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答案
若有一個負實根，則x1x2＝<0，解得m<0，
若有兩個負實根，則
解得0綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.
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第一章
§1.4　基本不等式
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程.
2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.
課標(biāo)要求
課時精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.
(3)其中_______叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，______叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).
a＝b
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值_______.
(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最
大值____.
注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”.
2
S2
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤≤等號成立的條件是相同的.(　　)
(2)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.(　　)
(4)函數(shù)y＝sin x＋，x∈的最小值為4.(　　)
×
×
×
√
2.若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于
A.1＋ B.1＋
C.3 D.4
√
當(dāng)x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x>2)，即x＝3時，取等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時x＝3，即a＝3.
3.已知0A. B. C. D.1
√
因為00，
所以x(1－x)≤，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時，等號成立，
故x(1－x)的最大值為.
4.(2025·濱州模擬)已知正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則的最小值為　 　.
9
由題意得a>0，b>0且a＋b＝1，
所以(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝2b＝時等號成立.
所以的最小值為9.
謹防兩個易誤點
(1)在運用基本不等式時，要特別注意等號成立的條件，尤其是題目中多次使用基本不等式，等式的條件必須相同，否則會造成錯誤.
(2)盡量對式子進行化簡、變形，再利用一次基本不等式求最值.
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)(2025·廣州模擬)下列代數(shù)式中最小值為2的是
A.x＋ B.2x＋2－x
C.y＝|sin x|＋ D.
√
直接法求最值
題型一
√
選項A中，當(dāng)x<0時，函數(shù)y＝x＋<0，不符合題意；
選項B中，2x＋2－x≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，等號成立，滿足題意；
選項C中，在y＝|sin x|＋中，|sin x|>0，所以y＝|sin x|＋≥
2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)|sin x|＝1時，等號成立，滿足題意；
選項D中，≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，但此方程無實數(shù)解，不符合題意.
(2)(2025·青島統(tǒng)考)若1≤x≤4，則的最大值為
A.4 B.
C.2 D.2
√
因為1≤x≤4，所以6－x>0，x＋2>0，
所以≤＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)6－x＝x＋2，即x＝2時取等號，
所以的最大值為4.
對基本不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下三個方面：一正：符合基本不等式≥ 成立的前提條件為a>0，b>0 ；二定：不等式的一邊轉(zhuǎn)換為定值；三相等：必須存在取等號的條件，即等號成立.以上三點缺一不可.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(1)函數(shù)y＝(x>0)的最大值為
A.－3 B. C.3 D.1
√
因為x>0，所以y＝≤＝3，
當(dāng)且僅當(dāng)4x＝，即x＝時，等號成立，故原函數(shù)的最大值為3.
(2)若實數(shù)x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為
A.1 B. C.2 D.2
√
由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)x2＝2y2，即x2＝，y2＝時等號成立，x2＋2y2取得最小值2.
例2　(1)已知0A. B. C. D.
配湊法求最值
題型二
√
x≤×，
當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝1－2x2，即x＝時取等號.
(2)函數(shù)f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值為
A.6 B.8 C.10 D.12
√
因為x∈(－1，＋∞)，則x＋1>0，
則f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)即x＝時，等號成立，
故函數(shù)f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值為8.
延伸探究　在例2(2)中，若把“x∈(－1，＋∞)”改為“x∈(－∞，
－1)”，求f(x)的最大值.
∵x∈(－∞，－1)，
∴x＋1<0，∴－(x＋1)>0，
∴f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4
＝－－4≤－2－4
＝－2×6－4＝－16，
當(dāng)且僅當(dāng)－4(x＋1)＝，即x＝－時取等號.
∴當(dāng)x＝－時，f(x)max＝－16.
如圖，
對于函數(shù)f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞).
(1)當(dāng)∈[a，b]時，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()＝
＝2；
(2)當(dāng)(3)當(dāng)>b時，f(x)＝x＋在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(b)＝b＋.
因此，只有當(dāng)∈[a，b]時，才能使用基本不等式求最值，而當(dāng) [a，b]時只能利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值.
與基本不等式模型結(jié)構(gòu)相似的對勾函數(shù)模型
微拓展
典例　函數(shù)f(x)＝x2＋的最小值是　　　.
　
由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，則有f(t)＝t＋－2，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，f(t)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝2時，f(t)min＝，
即當(dāng)x＝0時，f(x)min＝.
配湊法求解最值，其實質(zhì)就是先通過代數(shù)式變形配湊出和或積為常數(shù)的兩項，然后利用基本不等式求解最值.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2024·哈爾濱模擬)已知x<0，y<0，且2x＋y＝－2，則4x＋2y的最小值為
A.1 B.
C.2 D.2
√
因為x<0，y<0，所以4x＋2y＝22x＋2y≥2＝2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)22x＝2y，即2x＝y(tǒng)＝－1時，等號成立，所以4x＋2y的最小值為1.
(2)(2025·海口模擬)設(shè)x<2，則關(guān)于函數(shù)y＝2x－1＋，下列說法正確的是
A.最小值為7 B.最小值為－1
C.最大值為7 D.最大值為－1
√
因為x<2，所以2－x>0，
所以y＝2x－1＋＝2(x－2)＋＋3＝－＋3，
因為2(2－x)＋≥2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)2(2－x)＝，即x＝1時等號成立，
故－＋3≤－4＋3＝－1，
所以函數(shù)y＝2x－1＋有最大值為－1.
例3　(1)已知正數(shù)x，y滿足x＋8y＝xy，則x＋2y的最小值是
A.6 B.16
C.20 D.18
√
常數(shù)代換法求最值
題型三
因為正數(shù)x，y滿足x＋8y＝xy，即＝1，
則x＋2y＝(x＋2y)＝10＋≥10＋2＝18，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝12，y＝3時等號成立.
(2)(2025·無錫模擬)已知x，y均為正實數(shù)，且，則x＋y的最小值為
A. B.1
C.19 D.24
√
因為x，y均為正實數(shù)，且，
則x＋y＝(x＋2)＋(y＋3)－5＝6[(x＋2)＋(y＋3)]－5
＝6－5，因為>0，>0，
所以6－5≥6－5＝19，
即x＋y≥19，當(dāng)且僅當(dāng)
即時，等號成立.
所以x＋y的最小值為19.
常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.應(yīng)用此種方法求解最值時，應(yīng)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘求積或相除求商.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(多選)已知a，b為正實數(shù)，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，則下列結(jié)論正確的是
A.＝1 B.ab的最大值為4
C.2a＋b的最小值為3＋2 D.的最小值為2
√
√
√
因為a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0.
對于A，因為(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得＝1，A正確；
對于B，因為ab＝a＋b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號)，所以≥2，ab≥4，
所以ab的最小值為4，B錯誤；
對于C，(2a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1＋，b＝1＋時取等號)，C正確；
對于D，因為(a－1)(b－1)＝1，所以≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號)，D正確.
例4　(多選)(2025·青島模擬)若實數(shù)a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，則下列結(jié)論正確的是
A.a＋b≤8 B.ab≥16
C.a2＋b2≥32 D.a＋3b≥4＋6
√
構(gòu)造不等式法求最值
題型四
√
√
對于選項A，由a＋b＋8＝ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，不妨設(shè)a＋b＝t，
則t2－4t－32≥0，解得t≥8或t≤－4，
因為a>0，b>0，則a＋b≥8，故A項錯誤；
對于選項B，由ab－8＝a＋b≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，
不妨設(shè)＝s，則s2－2s－8≥0，
解得s≥4或s≤－2，
因為s>0，則s≥4，即ab≥16，故B項正確；
對于選項C，a2＋b2≥2ab，又由B項知ab≥16，所以a2＋b2≥2ab≥32，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，故C項正確；
對于選項D，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，則b－1>0，且a＝，則a＋3b＝＋3b＝1＋＋3b＝4＋＋3(b－1)≥4＋2＝4＋6＝3(b－1)時取等號，即b＝＋1，a＝3＋1時，a＋3b有最小值4＋6，故D項正確.
若已知“和與積”的等式關(guān)系，求“和與積”的最值，可利用“公式”轉(zhuǎn)化為解不等式求最值.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練4　若實數(shù)x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則x2＋y2的最大值為　　　，x＋y的最大值為　　　.
2
2
x2＋y2－xy＝1可變形為(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝±1時取等號，所以x2＋y2的最大值為2；
x2＋y2－xy＝1可變形為(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時右邊取等號，所以x＋y的最大值為2.
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課時精練
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C B D BD ACD 15
題號 8 11 12 答案 C B 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)因為x>0，y>0，
根據(jù)基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥＋xy(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝6時取等號)，
令＝t(t>0)，則t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以0即0<≤3，
所以09.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，02(x＋2)＋－5≥2－5＝11，
當(dāng)且僅當(dāng)2(x＋2)＝，即x＝2時取等號，
所以2x＋y的最小值為11.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)因為x，y都是正數(shù)，
則2x＋3y≥2＝2，即2≤3，
解得xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y，
即時取等號，
所以xy的最大值為.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)已知x，y都是正數(shù)，且x>y，
令x－y＝m，2y＝n，
所以m>0，n>0，＝2，
所以x＋y＝m＋n＝(m＋n)·＝≥×(2＋2)＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1，即x＝，y＝時，取等號，所以x＋y的最小值為2.
10.
一、單項選擇題
1.已知m>0，n>0，mn＝81，則m＋n的最小值是
A.9 B.18 C.9 D.27
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知識過關(guān)
答案
因為m>0，n>0，
由基本不等式m＋n≥2得，
m＋n≥18，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝9時，等號成立，
所以m＋n的最小值是18.
2.(2025·濱州模擬)已知a2＋b2＝5，則的最小值為
A.9 B.7 C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因為a2＋b2＝5，所以(a2＋b2)×≥，
當(dāng)且僅當(dāng)且a2＋b2＝5，
即b2＝，a2＝.
答案
√
3.函數(shù)f(x)＝(x>1)的最小值為
A.2 B.3＋2
C.2＋2 D.5
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為x>1，所以x－1>0，
所以f(x)＝
＝(x－1)＋＋3≥2＋3＝2＋3，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝＋1時取等號，
所以函數(shù)f(x)＝(x>1)的
最小值為3＋2.
4.(2024·漯河模擬)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－xy＋y2－z＝0，則的最大值為
A.4 B.2 C.3 D.1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為正實數(shù)x，y，z滿足x2－xy＋y2－z＝0，則z＝x2＋y2－xy，
所以≤＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)(x>0，y>0)，即x＝y(tǒng)時，等號成立，故的最大值為1.
二、多項選擇題
5.下列說法正確的是
A.函數(shù)y＝ln x＋的最小值是4
B.函數(shù)y＝x＋(x<0)的最大值是－4
C.函數(shù)y＝的最小值是2
D.若x＋y＝4，則x2＋y2的最小值是8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A選項，由于ln x可能小于0，即y＝ln x＋的函數(shù)值可能為負值，故其最小值為4不成立，故A錯誤；
B選項，對于函數(shù)y＝x＋(x<0)，
x＋＝－≤－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－2時等號成立，故B正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C選項，y＝≥2＝2，但無實數(shù)解，所以等號不成立，所以最小值為2不成立，故C錯誤；
D選項，由基本不等式得≥，所以x2＋y2≥2＝2×22＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時等號成立，故D正確.
6.(2024·重慶統(tǒng)考)已知x，y都為正數(shù)，且x＋2y＝4，則下列說法正確的是
A.2xy的最大值為4 B.x2＋4y2的最小值為12
C.的最小值為 D.的最大值為2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由題意知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝4.
對于A，2xy＝x·2y≤＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝2時取等號，A正確；
對于B，x2＋4y2＝≥(x＋2y)2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝2時取等號，B錯誤；
對于C，(x＋2y)≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時取等號，C正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
對于D，≤＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝2時取等號，D正確.
三、填空題
7.設(shè)x>2，則函數(shù)y＝4x－1＋的最小值為　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
15
因為x>2，所以x－2>0，
所以y＝4x－1＋＝4(x－2)＋＋7≥2＋7＝15，
當(dāng)且僅當(dāng)4(x－2)＝，即x＝3時等號成立，
所以函數(shù)y＝4x－1＋的最小值為15.
8.已知實數(shù)x，y滿足3xy＋y2＝1，y>0，則2x＋y的最小值是　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
答案
　
因為實數(shù)x，y滿足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝，
則2x＋y＝＋y＝≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)，即y＝時，等號成立，
所以2x＋y的最小值是.
四、解答題
9.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：
(1)xy的最大值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為x>0，y>0，
根據(jù)基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝6時取等號)，
令＝t(t>0)，則t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以0所以0(2)2x＋y的最小值.
1
2
3
4
5
6
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11
12
答案
由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，0當(dāng)且僅當(dāng)2(x＋2)＝，即x＝2時取等號，
所以2x＋y的最小值為11.
10.已知x，y都是正數(shù).
(1)若2x＋3y＝3，求xy的最大值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為x，y都是正數(shù)，
則2x＋3y≥2＝2，即2≤3，
解得xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y，
即時取等號，所以xy的最大值為.
(2)若＝2，且x>y，求x＋y的最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
已知x，y都是正數(shù)，且x>y，
令x－y＝m，2y＝n，
所以m>0，n>0，＝2，
所以x＋y＝m＋n＝(m＋n)·＝≥×(2＋2)＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1，即x＝，y＝時，取等號，所以x＋y的最小值為2.
11.正數(shù)a，b滿足a>b，ab＝4，則的最小值為
A.2 B.3 C.4 D.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由題意得a>0，b>0，a－b>0，則＝a－b＋≥2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝2且ab＝4，即a＝＋1，b＝－1時，等號成立.
能力拓展
√
12.(2024·山東濟南實驗中學(xué)模擬)已知x，y為正實數(shù)，且x＋y＝1，則的最小值為
A.24 B.25
C.6＋4 D.6－3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因為x，y為正實數(shù)，且x＋y＝1，
所以(x＋y)＝13＋≥13＋2＝25，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值為25.
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第一章
§1.1　集　合
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.
2.理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.
3.會求兩個集合的并集、交集與補集.
4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運算.
課標(biāo)要求
課時精練
內(nèi)容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.集合與元素
(1)集合中元素的三個特性： 、 、 .
(2)元素與集合的關(guān)系是 或 ，用符號 或 表示.
(3)集合的表示法： 、 、 .
(4)常見數(shù)集的記法
確定性
互異性
無序性
屬于
不屬于
∈

列舉法
描述法
圖示法
集合 非負整數(shù)集(或自然數(shù)集) 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
符號 ____ N*(或N＋) ____ ____ ____
N
Z
Q
R
2.集合的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作 (或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作 (或B A).
(3)相等：若A B，且 ，則A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是 的子集，是 的真子集.
A B
B A
任何集合
任何非空集合
A B
3.集合的基本運算
表示 運算 集合語言 圖形語言 記法
并集 __________________ ______
交集 _________________ ______
補集 __________________ _____
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
{x|x∈U，且x A}
UA
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1，0，1}.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)
(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(　　)
(4)對任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
√
×
×
×
2.(2025·榆林模擬)設(shè)集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)
≥0}，則A∩( RB)等于
A.{－2，－1，0} B.{－1，－2}
C.{0，1，2} D.{1，2}
√
因為 RB＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1所以A∩( RB)＝{0，1，2}.
3.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x≤1}，則
A.A＝B B.A∩B＝
C.B A D.A B
√
因為集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A中元素都屬于B，且A≠B，所以A是B的真子集.
4.已知集合M＝{x|－1(－∞，－1]
因為M∩N＝M，所以M N，所以a≤－1.
1.掌握有限集子集個數(shù)的結(jié)論
若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有(2n－1)個，非空子集有(2n－1)個，非空真子集有(2n－2)個.
2.靈活應(yīng)用兩個常用性質(zhì)
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB).
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
3.牢記兩個注意點
(1)在應(yīng)用條件A∪B=B A∩B=A A B時要樹立分類討論的思想，將集合A是空集的情況優(yōu)先進行討論.
(2)在解答集合問題時，要注意集合元素的特性，特別是互異性對集合元素的限制.
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微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)下列各組中M，P表示不同集合的是
A.M={3，－1}，P={(3，－1)}
B.M={(3，1)}，P={(1，3)}
C.M={y|y=x2＋1，x∈R}，P={x|x=t2＋1，t∈R}
D.M={y|y=x2－1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2－1，x∈R}
√
集合的含義與表示
√
√
題型一
選項A中，M={3，－1}是數(shù)集，P={(3，－1)}是點集，二者不是同一集合，故M≠P；
選項B中，(3，1)與(1，3)表示不同的點，故M≠P；
選項C中，M={y|y=x2＋1，x∈R}=[1，＋∞)，P={x|x=t2＋1，t∈R}=
[1，＋∞)，故M=P；
選項D中，M是二次函數(shù)y=x2－1，x∈R的所有y組成的集合，而集合P是二次函數(shù)y=x2－1，x∈R圖象上所有點組成的集合，故M≠P.
(2)已知集合M={1，a＋3，a2＋2}，且6∈M，則a的值為　　　　.
由M={1，a＋3，a2＋2}，且6∈M，
得a＋3=6或a2＋2=6，
解得a=3或a=±2，
當(dāng)a=3時，M={1，6，11}，符合題意；
當(dāng)a=2時，M={1，5，6}，符合題意；
當(dāng)a=－2時，M={1，1，6}，不符合元素的互異性，舍去.
所以a的值為2或3.
2或3
解決集合含義問題的關(guān)鍵點
(1)確定集合中的代表元素.
(2)確定元素的限制條件.
(3)理解元素的互異性，在解決集合中含有字母的問題時，一定要返回代入驗證，防止與集合中元素的互異性相矛盾.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2025·遵義模擬)已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，若集合C={xy|x∈A，y∈B}，則C的元素之和為
A.9 B.12 C.16 D.18
√
因為0×1=0×2=0×3=0，1×1=1，1×2=2×1=2，1×3=3，2×2=4，2×3=6，
所以集合C={0，1，2，3，4，6}，集合C的元素之和為0＋1＋2＋3＋4＋6=16.
(2)已知m∈R，n∈R，若集合={m2，m＋n，0}，則m2 025＋n2 025的值為
A.－2 B.－1
C.1 D.2
√
因為={m2，m＋n，0}，m≠0，
所以
解得
當(dāng)m=1時，不滿足集合元素的互異性，
故m=－1，n=0，m2 025＋n2 025=(－1)2 025＋02 025=－1.
例2　(1)(2025·青島模擬)已知全集U=R，集合A，B滿足A (A∩B)，則下列關(guān)系一定正確的是
A.A=B B.B A
C.A∩( UB)= D.( UA)∩B=
√
集合間的基本關(guān)系
題型二
因為集合A，B滿足A (A∩B)，故可得A B，
對A，當(dāng)A為B的真子集時，不成立；
對B，當(dāng)A為B的真子集時，也不成立；
對C，A∩( UB)= ，恒成立；
對D，當(dāng)A為B的真子集時，不成立.
(2)(2025·揚州模擬)已知集合A={x}，B={x}.若A∪B=A，則實數(shù)m的取值范圍為
A.[3，＋∞) B.[2，3]
C.(－∞，3] D.[2，＋∞)
√
由題意，集合A={x|x2－3x－10≤0}={x|－2≤x≤5}，
∵A∪B=A，
∴B A.
①若B= ，則m＋1>2m－1，即m<2；
②若B≠ ，則解得2≤m≤3.
綜上所述，m≤3.
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.
(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)已知I為全集，若A∪B=A，則
A.A B B.B A
C. IA IB D. IB IA
√
√
因為A∪B=A，所以B A，所以 IA IB.
(2)(2025·洛陽模擬)已知全集為R，集合A={x|2{a|a≤－2或a≥10}
由題可知B≠ ，
RB={x|xa＋4}，
因為A RB，所以6≤a－4或2≥a＋4，
解得a≥10或a≤－2，
所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－2或a≥10}.
例3　(1)(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)已知集合A={x|－5A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
√
命題點1　集合的運算
集合的基本運算
題型三
因為A={x|－且1<<2，－2<－<－1，所以A∩B={－1，0}.
(2)(2023·全國甲卷)設(shè)全集U=Z，集合M={x|x=3k＋1，k∈Z}，N={x|x=3k＋2，k∈Z}，則 U(M∪N)等于
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k－1，k∈Z}
C.{x|x=3k－2，k∈Z}
D.
√
方法一　M={…，－2，1，4，7，10，…}，N={…，－1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N={…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以 U(M∪N)={…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數(shù)，
即 U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.
方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補集是恰好被3整除的整數(shù)集.
命題點2　利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)
例4　(2024·佛山模擬)已知集合A={x}，B={x|x>m}，若∪B
=R，則m的取值范圍是
A.(－∞，3) B.(3，＋∞)
C.(－∞，7) D.(7，＋∞)
√
方法一　由集合A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，可得 RA={x|x<3或x≥7}，
因為∪B=R，則滿足m<3.
方法二　因為A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，
( RA)∪B=R，
所以A B，所以m<3.
對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　(1)(多選)已知集合A={x|x2－3x＋2≤0}，B={x|1A.A∪B=B B.( RB)∪A=R
C.A∩B={x|12}
√
√
由x2－3x＋2≤0，即(x－2)(x－1)≤0，
解得1≤x≤2，
所以A={x|x2－3x＋2≤0}={x|1≤x≤2}，
由B={x|1所以A∪B={x|1≤x≤3}，故A錯誤；
A∩B={x|1又 RB=(－∞，1]∪(3，＋∞)，所以( RB)∪A=(－∞，2]∪(3，＋∞)，故B錯誤；
RA=(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以( RB)∪( RA)=(－∞，1]∪(2，＋∞)，故D正確.
(2)設(shè)集合A={x|x<2或x≥4}，B={x|a≤x≤a＋1}，若( RA)∩B= ，則a的取值范圍是
A.a≤1或a>4 B.a<1或a≥4
C.a<1 D.a>4
√
由集合A={x|x<2或x≥4}，得 RA={x|2≤x<4}，又集合B={x|a≤x≤a＋1}且( RA)∩B= ，則a＋1<2或a≥4，即a<1或a≥4.
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課時精練
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C C C D D BCD
題號 8 9 10 11 答案 AC ABC (－∞，2] {－2，0，2，4} 題號 12 13 14 答案 ABC (1)100110　 (2)4 1
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一、單項選擇題
1.(2025·南寧模擬)若集合A={x||x|≤2}，B={x|x2<4x}，則A∪B等于
A.{x|0≤x≤2} B.{x|－2≤x≤4}
C.{x|－2≤x<4} D.{x|0√
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知識過關(guān)
答案
A={x|－2≤x≤2}，x2<4x x(x－4)<0 0所以A∪B={x|－2≤x<4}.
2.(2024·懷化模擬)已知集合M={－1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，P=M∩N，則P的真子集共有
A.3個 B.6個
C.7個 D.8個
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因為M={－1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，所以P=M∩N={1，2，4}，所以P的真子集共有23－1=7(個).
答案
√
3.(2025·河北聯(lián)考)已知集合A={1，2，3}，則集合B={(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的個數(shù)為
A.2 B.4
C.6 D.8
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因為A={1，2，3}，所以B={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，
(2，3)}，B中含6個元素.
答案
4.我們把含有有限個元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的個數(shù).例如，A={a，b，c}，則card(A)=3.容斥原理告訴我們，如果被計數(shù)的事物有A，B，C三類，那么，card(A∪B∪C)=card(A) ＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).某校初一四班有46人在寒假參加體育訓(xùn)練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，則三項都參加的人數(shù)為
A.2 B.3 C.4 D.5
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答案
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答案
設(shè)集合A={x|x是參加足球隊的學(xué)生}，
集合B={x|x是參加排球隊的學(xué)生}，
集合C={x|x是參加游泳隊的學(xué)生}，
則card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24，
card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9，
設(shè)三項都參加的有m人，即card(A∩B∩C)=m，又card(A∪B∪C)=46，
所以由card(A∪B∪C)=card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
得46=25＋22＋24－12－8－9＋m，解得m=4，
所以三項都參加的有4人.
5.(2025·宜賓模擬)已知集合A={2a－1，a2，0}，B={1－a，a－5，9}，若A∩B={9}，則實數(shù)a的值為
A.5或－3或3 B.5
C.3 D.－3
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答案
因為A={2a－1，a2，0}，B={1－a，a－5，9}且A∩B={9}，
所以9∈A.若2a－1=9，則a=5，
此時A={9，25，0}，B={－4，0，9}，不滿足A∩B={9}，故舍去；
若a2=9，解得a=3或a=－3，
當(dāng)a=3時，1－a=a－5，集合B不滿足集合元素的互異性，故舍去；
當(dāng)a=－3時，A={－7，9，0}，B={4，－8，9}，滿足A∩B={9}，符合題意.
綜上可得a=－3.
6.(2025·寶雞模擬)若集合A={x∈R|ax2－2x＋1=0}中只有一個元素，則實數(shù)a等于
A.1 B.0
C.2 D.0或1
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當(dāng)a=0時，由ax2－2x＋1=0可得x=，滿足題意；
當(dāng)a≠0時，由ax2－2x＋1=0只有一個根需滿足Δ=(－2)2－4a=0，解得a=1.
綜上，實數(shù)a的值為0或1.
答案
二、多項選擇題
7.已知集合M={－1，1}，N={x|mx=1}，且N M，則實數(shù)m的值可以為
A.－2 B.－1
C.0 D.1
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當(dāng)N= 時，滿足N M，此時m=0；
當(dāng)N≠ 時，m≠0，
解mx=1可得，x=.
因為N M，所以=－1或=1.
當(dāng)=－1時，m=－1；
當(dāng)=1時，m=1.
綜上所述，m=0或m=－1或m=1.
答案
8.(2025·武漢模擬)圖中陰影部分表示的集合是
A.M∩( UN) B.N∩( UM)
C.M∩ U(M∩N) D.( UM)∩( UN)
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將全集U分成如圖所示的4個區(qū)域，M=③＋④，N=②＋③，U=①＋②＋③＋④，
對于A， UN=①＋④，則M∩( UN)=④，故A正確；
對于B， UM=①＋②，則N∩( UM)=②，故B錯誤；
對于C，M∩N=③， U(M∩N)=①＋②＋④，故M∩ U(M∩N)=④，故C正確；
對于D，( UM)∩( UN)=①，故D錯誤.
答案
9.對于集合A，B，定義A－B={x|x∈A，且x B}，下列命題正確的有
A.若A－B=A，則A∩B=
B.若A∪B=A，則A－B= AB
C.若A={x∈N*|－1≤x<5}，B={x|x≤2，或x>3}，則A－B={3}
D.若A={x|x≥0}，B={x|－3≤x≤3}，則B－A={x|－3≤x≤0}
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答案
因為A－B={x|x∈A，且x B}，所以若A－B=A，則A∩B= ，故A正確；
若A∪B=A，則B A，則A－B= AB，故B正確；
若A={x∈N*|－1≤x<5}={1，2，3，4}，B={x|x≤2，或x>3}，則A－B={3}，故C正確；
若A={x|x≥0}，B={x|－3≤x≤3}，則B－A={x|－3≤x<0}，故D錯誤.
三、填空題
10.(2024·廈門模擬)設(shè)集合M={x|－2≤x≤2}，N={y|y=2x＋1}，則M∪( RN)=　 　　　.
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答案
(－∞，2]
由題知N={y|y>1}，
所以 RN={y|y≤1}，
故M∪( RN)=(－∞，2].
11.(2024·襄陽市第四中學(xué)模擬)已知集合A=，則用列舉法表示A=　　　 　　.
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答案
{－2，0，2，4}
由題意可得x－1可為±1，±3，
即x可為0，2，－2，4，即A={－2，0，2，4}.
12.(2024·南京模擬)已知非空集合A={x|a－1A∩( RB)=A，則實數(shù)a的取值范圍為__________________________.
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答案
因為A為非空集合，則a－1<2a＋3，
解得a>－4， RB={x|x<－2或x>4}，
若A∩( RB)=A，則A ( RB)，
則2a＋3≤－2或a－1≥4，
解得a≤－或a≥5，又a>－4，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.
13.(多選)設(shè)S是實數(shù)集R的一個非空子集，如果對于任意的a，b∈S(a與b可以相等，也可以不相等)，都有a＋b∈S且a－b∈S，則稱S是“和諧集”，則下列命題中為真命題的是
A.存在一個集合S，它既是“和諧集”，又是有限集
B.集合{x|x=3k，k∈Z}是“和諧集”
C.若S1，S2都是“和諧集”，則S1∩S2≠
D.對任意兩個不同的“和諧集”S1，S2，總有S1∪S2=R
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答案
能力拓展
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A項中，根據(jù)題意S={0}是“和諧集”，又是有限集，故A正確；
B項中，設(shè)x1=3k1，x2=3k2，k1，k2∈Z，則x1＋x2=3(k1＋k2)∈S，x1－x2=3(k1－k2)∈S，所以集合{x|x=3k，k∈Z}是“和諧集”，故B正確；
C項中，根據(jù)已知條件，a，b可以相等，故任意“和諧集”中一定含有0，所以S1∩S2≠ ，故C正確；
D項中，取S1={x|x=2k，k∈Z}，S2={x|x=3k，k∈Z}，S1，S2都是“和諧集”，但5不屬于S1，也不屬于S2，所以S1∪S2不是實數(shù)集，故D錯誤.
答案
14.設(shè)全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1組成的6位字符串，如{1，3}表示的是從左往右第1個字符為1，第3個字符為1，其余均為0的6位字符串101000，并規(guī)定空集表示的字符串為000000.
(1)若N={2，3，6}，則 UN表示的6位字符串為　　　　；
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100110
答案
因為U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}，
所以 UN={1，4，5}，所以 UN表示的6位字符串為100110.
(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串為011011，則滿足條件的集合A的個數(shù)為　　　.
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答案
因為集合A∪B表示的字符串為011011，
所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}，
所以集合A可能為{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，
即滿足條件的集合A的個數(shù)為4.
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