資源簡介

2024-2025學年甘肅省武威一中高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在復平面內，復數z=（1+i）（2-i）對應的點位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.與向量平行的單位向量為（　　）
A. B.
C. 或 D.
3.正方體ABCD-A1B1C1D1中AB的中點為M，DD1的中點為N，則異面直線B1M與CN所成的角是（　　）
A. 0° B. 45° C. 60° D. 90°
4.若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
5.飽和潛水是一種在超過百米的大深度條件下開展海上長時間作業的潛水方式，是人類向海洋空間和生命極限挑戰的前沿技術，我國海上大深度飽和潛水作業能力走在世界前列．某項飽和潛水作業一次需要3名飽和潛水員完成，利用計算機產生0～9之間整數隨機數，我們用0，1，2，3表示飽和潛水深海作業成功，4，5，6，7，8，9表示飽和潛水深海作業不成功，現以每3個隨機數為一組，作為3名飽和潛水員完成潛水深海作業的結果，經隨機模擬產生如下10組隨機數：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946．由此估計“3名飽和潛水員中至少有1人成功”的概率為（　　）
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9
6.在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c.若，則該三角形一定是（　　）
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
7.從分別標有1，2，3，…，10的10個小球中，不放回的隨機選取兩個小球，記這兩個小球的編號分別為x,y.若i2=-1，則ix+iy為實數的概率為（　　）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，點M，N在邊BC上，且滿足：，，若，，，則△ABC的面積等于（　　）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一個家庭中有三個小孩，記事件A=“家庭中沒有女孩”，B=“家庭中最多有一個女孩”，C=“家庭中至少有兩個女孩”，D=“家庭中既有男孩又有女孩”，則（　　）
A. A與C互斥 B. A∪D=B C. B與C對立 D. B與D相互獨立
10.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結論正確的是（　　）
A. 圓柱的側面積為2πR2 B. 圓錐的側面積為2πR2
C. 圓柱的側面積與球的表面積相等 D. 圓柱、圓錐、球的體積之比為3：1：2
11.若正四面體ABCD的棱長為a,P是棱AC上一動點，其外接球、內切球的半徑分別為R，r,則（　　）
A.
B. R=4r
C. 正四面體ABCD棱切球的體積為
D. 若F是棱AD的中點，則當BP+PF最小時，CP=2PA
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知cosαsin（α-β）-sinαcos（β-α）=，則sinβ= ______.
13.在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β，且AC⊥l，BD⊥l，若AB=1，AC=BD=2，二面角α-l-β的余弦值為，則CD=______；直線CD與平面β所成角正弦值為______．
14.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形，AA1=3，過點A1作平面α與AB，AD分別交于M，N兩點，且AA1與平面α所成的角為30°，給出下列說法：
①異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為；
②A1B∥平面B1D1C1；
③點B到平面B1CD1的距離為；
④截面A1MN面積的最小值為6．
其中正確的是______．（請填寫所有正確說法的編號）
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F在邊CD上.
（1）若點F是CD上靠近C的三等分點，設=λ+μ，求λ+μ的值；
（2）若AB=，BC=2，求 的取值范圍.
16.(本小題15分)
2024年1月17日，搭載天舟七號貨運飛船的長征七號遙八運載火箭成功發射，我國載人航天工程2024年發射任務首戰告捷.為普及航天知識，某學校開展組織學生舉辦了一次主題為“我愛星辰大海”的航天知識競賽，現從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據圖形，請回答下列問題：
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值.若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數；
（Ⅱ）用樣本估計總體，利用組中值估計該校學生首輪競賽成績的平均數以及中位數；
（Ⅲ）若學校安排甲、乙兩位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優秀等級的概率為，乙復賽獲優秀等級的概率為，甲、乙是否獲優秀等級互不影響，求至少有一位同學復賽獲優秀等級的概率.

17.(本小題15分)
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,已知asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA.
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，且△ABC為銳角三角形，求△ABC的周長的取值范圍.
18.(本小題17分)
n維空間中點的坐標可以表示為（x1，x2，x3， ，xn），其中xi（i=1，2，3， ，n）為該點的第i個坐標.定義n維空間中任意兩點A（x1，x2，x3， ，xn），B（y1，y2，y3， ，yn）之間的平均離差二乘距離.設n維空間點集M={（x1，x2，x3， ，xn）|xi=0或1，其中i=1，2，3， ，n}（n≥2）.
（1）若n=3，A，B∈M，且點，寫出所有的點B的坐標；
（2）任取n維空間中的不同兩點P，Q∈M.若n=4，求的概率.
19.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAB是邊長為2的等邊三角形，點A，B，C，D在同一個圓的圓周上，且∠BCD=90°，，平面PAB⊥平面PAD.
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABD的體積；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的正弦值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】CD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】②④
15.【答案】解：（1）由題意知=+，
因為E是BC邊的中點，點F是CD上靠近C的三等分點，
所以=+，
在矩形ABCD中，=，=-，
所以=-+，
即λ=-，μ=，
則λ+μ=-+=．
（2）以AB、AD分別為x、y軸建立平面直角坐標系，如圖所示：
設F（x，2），其中0≤x≤；
則：A（0，0），E（，1）；=（x，2），=（x-，1）；
所以 =x2-x+2=+，其中0≤x≤；
當x=時 取得最小值為，
x=0或時 取得最大值為2，
所以 的取值范圍是[，2]．
16.【答案】解：（Ⅰ）由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a）×10=1，
解得a=0.030，
因為0.01×10×200=20（人），0.015×10×200=30（人）．
所以不高于50分的抽（人）；
（Ⅱ）平均數．
由圖可知，學生成績在[40，70）內的頻率為0.4，在[70，80）內的頻率為0.3，
設學生成績中位數為t,t∈[70，80），則：（t-70）0.03+0.4=0.5，解得，
所以中位數為．
（Ⅲ）記“至少有一位同學復賽獲優秀等級”為事件A，
則．
所以至少有一位同學復賽獲優秀等級的概率為．
17.【答案】解：（1）∵asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA，
由正弦定理可得a2+accosB+bccosA=b2+ac,
又由余弦定理知2accosB=a2+c2-b2，2bccosA=b2+c2-a2，
∴a2+c2=b2+ac,∴，
又A∈（0，π），∴；
（2）由△ABC為銳角三角形，，可得，
由正弦定理可得，
∴，
∴，
∴△ABC的周長為，
∵，∴，∴，
整理得：，解得或（舍去），
∴，∴周長范圍是．
18.【答案】（0，0，1），（1，0，0），（1，1，1）．
．
19.【答案】（Ⅰ）證明見解答；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
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