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2024-2025學年廣東省惠州市華南師大附屬惠陽學校九年級（下）第一次月考數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.中國空間站位于距離地面約400km的太空環境中.由于沒有大氣層保護，在太陽光線直射下，空間站表面溫度可高于零上150℃，其背陽面溫度可低于零下100℃.若零上150℃記作+150℃，則零下100℃記作（　　）
A. +100℃ B. -100℃ C. +50℃ D. -50℃
2.一個正常人的心跳平均每分70次，一天大約跳100800次，將100800用科學記數法表示為（　　）
A. 0.1008×106 B. 1.008×106 C. 1.008×105 D. 10.08×104
3.下列運算正確的是（　　）
A. 2m+n=2mn B. m6÷m2=m3 C. （-mn）2=-m2n2 D. m2 m3=m5
4.斗拱是中國古典建筑上的重要部件，如圖是一種斗形構件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（　　）
A. B. C. D.
5.如圖，AB∥CD，∠1=65°，則∠2的度數是（　　）
A. 105°
B. 115°
C. 125°
D. 135°
6.已知點A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函數y=3x的圖象上，若x1＜x2，則y1與y2的大小關系是（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. y1≥y2
7.如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，與AC相切于點A，連接OD.若∠AOD=80°，則∠C的度數為（　　）
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
8.兩年前生產1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產技術的進步，現在生產1千克甲種藥品的成本為60元.設甲種藥品成本的年平均下降率為x,根據題意，下列方程正確的是（　　）
A. 80（1-x2）=60 B. 80（1-x）2=60 C. 80（1-x）=60 D. 80（1-2x）=60
9.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，如圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是（　　）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
10.如圖，在矩形ABCD中，分別以點A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點.若AD=4，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A. 32-8π
B. 16-4π
C. 32-4π
D. 16-8π
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.比較大小：______2（填“＞”、“＜”或“=”號）．
12.若a2-2a-5=0，則2a2-4a+1= .
13.若關于x的方程2x2-x+c=0有兩個相等的實數根，則c的值為______.
14.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步驟作圖：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于DE長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內部相交于點F，作射線BF交AC于點G.則∠ABG的大小為______度.
15.在同一直角坐標系中，一次函數y=-x+b和反比例函數的圖象相交于點A（1，m），B（n,1）.則不等式的解集為______.
三、計算題：本大題共1小題，共7分。
16.計算：.
四、解答題：本題共7小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題7分)
先化簡，再求值：（1-）÷，其中x=+1.
18.(本小題7分)
A、B兩種型號的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜歡.
某超市銷售A、B兩種型號的吉祥物，有關信息見表：
成本（單位：元/個） 銷售價格（單位：元/個）
A型號 35 a
B型號 42 b
若顧客在該超市購買8個A種型號吉祥物和7個B種型號吉祥物，則一共需要670元；購買4個A種型號吉祥物和5個B種型號吉祥物，則一共需要410元.
（1）求a、b的值；
（2）若某公司計劃從該超市購買A、B兩種型號的吉祥物共90個，且購買A種型號吉祥物的數量x（單位：個）不少于B種型號吉祥物數量的，又不超過B種型號吉祥物數量的2倍.求x的取值范圍.
19.(本小題9分)
2024年4月21日，達州馬拉松暨“跑遍四川”達州站馬拉松賽鳴槍開跑，本次賽事以“相約巴人故里，樂跑紅色達州”為主題，旨在增強全市民眾科學健身意識，推動全民健身活動.本屆賽事共設置馬拉松，半程馬拉松和歡樂跑三個項目.賽后隨機抽取了部分參賽選手對本次賽事組織進行滿意度評分調查，整理后得到下列不完整的圖表：
等級 A B C D
分數段 90-100 80-89 70-79 60-69
頻數 440 280 m 40
請根據表中提供的信息，解答下列問題：
（1）此次調查共抽取了______名選手，m= ______，n= ______；
（2）扇形統計圖中，B等級所對應的扇形圓心角度數是______度；
（3）賽后若在三個項目的冠軍中隨機抽取兩人訪談，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率.
20.(本小題9分)
如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中建立平面直角坐標系xOy,格點（網格線的交點）A，B，C，D的坐標分別為（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）.
（1）以點D為旋轉中心，將△ABC旋轉180°得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；
（2）直接寫出以B，C1，B1，C為頂點的四邊形的面積；
（3）在所給的網格圖中確定一個格點E，使得射線AE平分∠BAC，寫出點E的坐標.
21.(本小題9分)
綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如圖①）.某學習小組設計了一個方案：如圖②，點C，D，E依次在同一條水平直線上，DE=36m,EC⊥AB，垂足為C.在D處測得橋塔頂部B的仰角（∠CDB）為45°，測得橋塔底部A的俯角（∠CDA）為6°，又在E處測得橋塔頂部B的仰角（∠CEB）為31°.
（I）求線段CD的長（結果取整數）；
（Ⅱ）求橋塔AB的高度（結果取整數）.參考數據：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1.
22.(本小題13分)
綜合與實踐
問題情境：如圖1，矩形MNKL是學校花園的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點A，B在矩形的邊MN上.現要對該花壇內種植區域進行劃分，以種植不同花卉，學校面向全體同學征集設計方案.
方案設計：如圖2，AB=6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點P，與AB交于點O，點P是拋物線的頂點，且PO=9米.欣欣設計的方案如下：
第一步：在線段OP上確定點C，使∠ACB=90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區域，種植串串紅；
第二步：在線段CP上取點F（不與C，P重合），過點F作AB的平行線，交拋物線于點D，E.用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季.
方案實施：學校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區域的分隔后，發現僅剩6米籬笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長.為此，欣欣在圖2中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標系.請按照她的方法解決問題：
（1）在圖2中畫出坐標系，并求拋物線的函數表達式；
（2）求6米材料恰好用完時DE與CF的長；
（3）種植區域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對該花壇進行裝飾，計劃將燈帶圍成一個矩形.她嘗試借助圖2設計矩形四個頂點的位置，其中兩個頂點在拋物線上，另外兩個頂點分別在線段AC，BC上.直接寫出符合設計要求的矩形周長的最大值.
23.(本小題14分)
某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究.
（一）拓展探究
如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D.
（1）興趣小組的同學得出AC2=AD AB.理由如下：
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠B=①_____ ∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
∴=②_____
∴AC2=AD AB
請完成填空：①______；②______；
（2）如圖2，F為線段CD上一點，連接AF并延長至點E，連接CE，當∠ACE=∠AFC時，請判斷△AEB的形狀，并說明理由.
（二）學以致用
（3）如圖3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，，平面內一點D，滿足AD=AC，連接CD并延長至點E，且∠CEB=∠CBD，當線段BE的長度取得最小值時.求線段CE的長.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】>
12.【答案】11
13.【答案】
14.【答案】35
15.【答案】x＜0或1＜x＜9
16.【答案】解：原式=3-1+4+
=3-1
=6．
17.【答案】，．
18.【答案】；
52≤x≤60．
19.【答案】解：（1）800，40，5；
（2）126；
（3）用A、B、C分別表示馬拉松，半程馬拉松和歡樂跑三個項目．
畫樹狀圖為：
共有6種等可能的結果，其中馬拉松和歡樂跑冠軍的結果數為2種，
所以恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率==．
20.【答案】解：（1）如圖，畫出△A1B1C1；
（2）以B，C1，B1，C為頂點的四邊形的面積=10×8-2××2×4-2××4×8=40；
（3）如圖，點E即為所求（答案不唯一），點E的坐標（6，6）．
21.【答案】解：（I）設CD=x,∵DE=36m,
∴CE=CD+DE=（x+36）m,
∵EC⊥AB，
∴∠BCE=∠ACD=90°，
∵，
∴BC=CD tan∠CDB=x tan45°=x m,
∵，
∴BC=CE tan∠CEB=（x+36） tan31°，
∴x=（x+36） tan31°，
解得．
答：線段CD的長約為54m；
（II）∵，
∴AC=CD tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1=5.4（m）．
∴AB=AC+BC≈5.4+54≈59（m）．
答：橋塔AB的高度約為59m.
22.【答案】解：（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，
∵OP所在直線是AB的垂直平分線，且AB=6，
∴．
∴點B的坐標為（3，0），
∵OP=9，
∴點P的坐標為（0，9），
∵點P是拋物線的頂點，
∴設拋物線的函數表達式為y=ax2+9，
∵點B（3，0）在拋物線y=ax2+9 上，
∴9a+9=0，
解得：a=-1．
∴拋物線的函數表達式為y=-x2+9（-3≤x≤3）；
（2）點D，E在拋物線y=-x2+9 上，
∴設點E的坐標為（m,-m2+9），
∵DE∥AB，交y軸于點F，
∴DF=EF=m,OF=-m2+9，
∴DE=2m.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OA=OB，
∴．
∴CF=OF-OC=-m2+9-3=-m2+6，
根據題息，得DE+CF=6，
∴-m2+6+2m=6，
解得：m1=2，m=0（不符合題意，舍去），
∴m=2．
∴DE=2m=4，CF=-m2+6=2
答：DE的長為4米，CF的長為2米；
（3）如圖矩形燈帶為GHML，
由點A、B、C的坐標得，直線AC和BC的表達式分別為：y=x+3，y=-x+3，
設點G（m,-m2+9）、H（-m,-m2+9）、L（m,m+3）、M（-m,m+3），
則矩形周長=2（GH+GL）=2（-2m-m2+9-m-3）=-2（m+1.5）2+≤，
故矩形周長的最大值為米．
23.【答案】∠ACD
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