資源簡介

2024-2025學年江西省吉安八中八年級（下）月考數學試卷（3月份）
一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列各式中，是一元一次不等式的有（　　）
①x＜5；②x（x-5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a-2＜5，⑥.
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
2.若a＜b，則下列不等式正確的是（　　）
A. a-2＞b-2 B. a-b＞0 C. D. -2a＞-2b
3.用反證法證明命題“一個三角形中至少有一個內角是銳角”時，應先假設（　　）
A. 三個內角都是銳角 B. 三個內角都是鈍角
C. 三個內角都不是銳角 D. 三個內角都不是鈍角
4.小明要從天府廣場到武侯祠，兩地相距2.5千米，已知他步行的平均速度為70米/分鐘，跑步的平均速度為200米/分鐘，若他要在不超過40分鐘的時間內到達，那么他至少需要跑步多少分鐘？設他跑步的時間為x分鐘，則列出的不等式為（　　）
A. 200x+70（40-x）≥2500 B. 200x+70（40-x）≤2500
C. 200x+70（40-x）≥2.5 D. 200x+70（40-x）≤2.5
5.2023年10月17日至18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行，中國與150多個國家、30多個國際組織簽署了230多份合約，攜手實現經濟共同發展.北京、莫斯科、雅典三地之間想建立一個貨物中轉倉，使其到三地的距離相等，如圖所示，則中轉倉的位置應選在（　　）
A. 三邊垂直平分線的交點 B. 三邊中線的交點
C. 三條角平分線的交點 D. 三邊上高的交點
6.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF，AF．現有如下結論：①AD平分∠CAB；②BF=2；③AD⊥CF；④AF=2；⑤∠CAF=∠CFB．其中正確的結論有（　　）
A. 5個 B. 4個 C. 3個 D. 2個
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
7.如圖，數軸上所表示的關于x的不等式的解集為______．
8.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，∠A=30°，BD=3，則AB的長是______ .
9.已知關于x的方程3k-5x=-9的解是非負數，則k的最小值為______．
10.已知關于x的不等式組有解，則所有滿足條件的正整數m的和為______.
11.如圖，一次函數y1=ax+3（a≠0）與y2=kx-1（k≠0）的圖象交于點（1，2），則關于x的不等式ax+3＜kx-1的解集是______.
12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，D為AC中點，E為邊AB上一動點，當構成的四邊形BCDE有一組鄰邊相等時，則AE的長可以是______.
三、解答題：本題共11小題，共84分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
13.(本小題6分)
解不等式（組），并將解集在數軸上表示出來.
（1）；
（2）.
14.(本小題6分)
如圖，在△ABE與△CBD中，AE⊥BD于點E，CD⊥BD于點D，AB=BC，BE=CD.證明：Rt△ABE≌Rt△BCD.
15.(本小題6分)
圖1、圖2、圖3均是4×4的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C均為格點.只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中找一格點N，按下列要求作圖.
（1）在圖1中，連結NA、NB，使NA=NB.
（2）在圖2中，連結NA、NB、NC，使NA=NB=NC.
（3）在圖3中，連結NA、NC，使∠ABC=2∠ANC.
16.(本小題6分)
已知關于x的方程2x-a=3．
（1）若該方程的解滿足x＞1，求a的取值范圍；
（2）若該方程的解是不等式3（x-2）+5＜4（x-1）的最小整數解，求a的值．
17.(本小題6分)
如圖，在平面直角坐標系上，點P的坐標為（0，a）（a＞0），點Q的坐標為（-2，0），點R的坐標為（4，0）.
（1）求PR2-PQ2的值；
（2）當△PQR為直角三角形時，求直線PQ的表達式.
18.(本小題8分)
如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．
（1）求證：△AEF是等邊三角形；
（2）求證：BE=EF．
19.(本小題8分)
某學校組織學生到郊外參加義務植樹活動，并準備了A，B兩種食品作為午餐.這兩種食品每包質量均為50g,其營養成分表如下：
（1）若每份午餐需要恰好攝入4600kJ熱量和70g蛋白質，應選用A，B兩種食品各多少包？
（2）考慮到健康飲食的需求，若每份午餐需選用這兩種食品共7包，并保證每份午餐中的蛋白質含量不低于90g,且脂肪含量要盡可能低.請通過計算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案.
20.(本小題8分)
如圖，在△ABC中，∠C=90°，點P在AC上運動，點D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．
（1）判斷DE與DP的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求線段DE的長．
21.(本小題9分)
如圖，P是等邊三角形ABC內一點，∠BPC=90°，以PC為邊在PC的左側作等邊三角形CPQ，連接AQ.
（1）根據題意補全圖形；
（2）求∠AQC的度數；
（3）延長QP交AB于點D，判斷D是否為線段AB的中點，并說明理由.
22.(本小題9分)
閱讀理解：
【形成概念】我們把關于x的一個一元一次方程和一個一元一次不等式組合成一種特殊組合，且當一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“有緣組合”；當一元一次方程的解不是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“無緣組合”
【初步感知】
（1）請判斷下列組合是“有緣組合”還是“無緣組合”，并說明理由；
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【問題解決】
（2）若關于x的組合是“無緣組合”，求a的取值范圍.
23.(本小題12分)
正方形ABCD中，點E、F在BC、CD上，且BE=CF，AE與BF交于點G.
（1）如圖1，求證△ABE≌△BCF；
（2）如圖2，在GF上截取GM=GB，∠MAD的平分線交CD于點H，交BF于點N，連接CN，求證：①△AGN是等腰直角三角形；②.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】x≤3
8.【答案】12
9.【答案】-3
10.【答案】6
11.【答案】x＞1
12.【答案】2或3或
13.【答案】解：（1），
2（2x-1）-3（5x+1）＞6，
4x-2-15x-3＞6，
-11x＞11，
x＜-1，
將解集表示在數軸上．如圖所示：
（2），
解不等式①得：x≥7，
解不等式②得：x＜2，
將解集表示在數軸上，如圖所示：
∴不等式組無解．
14.【答案】證明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB=∠BDC=90°，
在Rt△ABE和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．
15.【答案】解：（1）如圖1，格點N即為所作．（畫出其中一個即可）
（2）由網格可知，AC2=BC2=10，AB2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
則AB的中點所在的格點即為所求的格點N，如圖2所示：
（3）如圖3，格點N即為所作．
理由：∵，
∴點A，C，N在⊙B上，
由圓周角定理得：∠ABC=2∠ANC．

16.【答案】解：（1）解方程2x-a=3，得x=，
∵該方程的解滿足x＞1，
∴＞1，
解得a＞-1；
（2）解不等式3（x-2）+5＜4（x-1），
去括號，得：3x-6+5＜4x-4，
移項，得3x-4x＜-4+6-5，
合并同類項，得-x＜-3，
系數化成1得：x＞3．
則最小的整數解是4．
把x=4代入2x-a=3得：8-a=3，
解得：a=5．
17.【答案】解：（1）∵點P（0，a）（a＞0），點Q（-2，0），點R（4，0），
∴點P在y軸的正半軸上，OP=a,OQ=2，OR=4，
∴QR=OQ+OR=6，
在Rt△OPQ中，由勾股定理得：PQ2=OP2+OQ2=a2+4，
在Rt△OPR中，由勾股定理得：PR2=OP2+OR2=a2+16，
∴PR2-PQ2=a2+16-（a2+4）=12；
（2）∵點P在y軸的正半軸上，
∴∠PQR＜90°，∠PRQ＜90°，
∴當△PQR為直角三角形時，只有∠QPR=90°，
在Rt△PQR中，由勾股定理得：QR2=PQ2+PR2，
由（1）可知：QR=6，PQ2=a2+4，PR2=a2+16，
∴62=a2+4+a2+16，
解得：a=，a=（不合題意，舍去），
∴點P，
設直線PQ的表達式為：y=kx+b,
將點P，點Q（-2，0）代入y=kx+b,
得：，
解得：，
∴直線PQ的表達式為：．
18.【答案】證明：（1）∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠AEF=∠BED=90°-∠CBF=60°，
∵∠AFB=90°-∠ABF=30°，
∴∠AFE=∠AEF=60°，
∴△AEF是等邊三角形；
（2）∵∠ADB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAE=∠ABF=30°，
∴AE=BE，
由（1）知△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF，
∴BE=EF．
19.【答案】解：（1）設選用A種食品x包，B種食品y包，
由題意得：，
解得：，
答：應選用A種食品4包，B種食品2包；
（2）設選用A種食品m包，則選用B種食品（7-m）包，
由題意得：10m+15（7-m）≥90，
解得：m≤3，
設每份午餐的總脂肪含量為w g,
由題意得：w=5.3m+18.2（7-m），
即w=-12.9m+127.4，
∵-12.9＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當m=3時，w取得最小值，
此時7-m=7-3=4，
答：符合要求且脂肪含量最低的配餐方案為選用A種食品3包，B種食品4包．
20.【答案】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°-90°=90°，
∴DE⊥DP；
（2）連接PE，設DE=x，則EB=ED=x，CE=8-x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8-x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
則DE=4.75．
21.【答案】解：（1）圖形如圖所示；
（2）∵△PCQ，△ABC都是等邊三角形，
∴CQ=CP，CA=CB，∠QCP=∠ACB=60°，
∴∠QCP-∠ACP=∠ACB -∠ACP
∴∠ACQ=∠BCP，
∴△ACQ≌△BCP（SAS），
∴∠AQC=∠BPC=90°；
（3）結論：點P是AB的中點．
理由：如圖，延長BP交AQ于點K，作BT∥AQ交QD的延長線于點T．
∵△PCQ是等邊三角形，
∴∠CQP=∠CPQ=60°，
∵∠AQC=∠BPC=90°，
∴∠AQP=∠AQC-∠CQP=90°-60°=30°，∠BPT=180°-∠BPC-∠CPQ=180°-90°-60°=30°，
∵AQ∥BT，
∴∠T=∠AQP=30°，
∴∠BPT=∠T=30°，
∴BP=BT，
∵△ACQ≌△BCP，
∴AQ=BP=BT，
∵∠ADQ=∠BDT，∠AQD=∠T，
∴△ADQ≌△BDT（AAS），
∴AD=DB，
∴點D是AB的中點．
22.【答案】解：（1）（Ⅰ）∵2x-4=0，
∴x=2，
∵5x-2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范圍內，
∴（Ⅰ）組合是“無緣組合”；
（Ⅱ），
去分母，得：2（x-5）=12-3（3-x），
去括號，得：2x-10=12-9+3x,
移項，合并同類項，得：x=-13．
解不等式，
去分母，得：2（x+3）-4＜3-x,
去括號，得：2x+6-4＜3-x,
移項，合并同類項，得：3x＜1，
化系數為1，得：．
∵-13在范圍內，
∴（Ⅱ）組合是“有緣組合”；
（2）解方程，
去分母，得5a-x-6=4x-6a,
移項，合并同類項，得：5x=11a-6，
化系數為1得：，
解不等式，
去分母，得：x-a+2≤2x+2a,
移項，合并同類項，得：x≥-3a+2，
∵關于x的組合是“無緣組合，
∴，
解得：．
23.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）；
（2）證明：①∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠AGF=∠ABF+∠BAE=90°，
∴AE⊥BF，
∴∠AGB=∠AGM=90°，
∵AG=AG，GB=GM，
∴△AGB≌△AGM（SAS），
∴∠BAG=∠MAG，
∵AN平分∠DAM，
∴∠DAN=∠MAN，
∵∠BAG+∠MAG+∠MAN+∠DAN=90°，
∴2∠MAG+2∠MAN=90°，
∴∠MAG+∠MAN=45°，
即：∠GAN=45°，
∴∠ANG=180°-90°-45°=45°，
∴∠GAN=∠ANG，
∴AG=NG，
∴△AGN是等腰直角三角形；
②如圖所示，過點B作BH⊥BN，交AN于點H，
∵∠HBN=90°，∠GNA=45°，
∴∠H=45°，
∴∠H=∠GAN，
∴BH=BN，
∴△HBN是等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠HBN=90°，
∵∠HBA+∠ABH=90°，∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠HBA=∠CBN，
在△BAH和△BCN中，
，
∴△BAH≌△BCN（SAS），
∴AH=CN，
∴HN=AH+AN=CN+AN，
∴．
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