資源簡介

(共54張PPT)
九年級滬科版數學上冊 第二十一章二次函數與反比例函數
21.4 二次函數的應用
第三課時 二次函數應用中的其他問題
目錄/CONTENTS
新知探究
情景導入
學習目標
課堂小結
分層練習
錯因分析
學習目標
1.掌握如何將實際問題轉化為數學問題；(重點)
2.進一步理解二次函數在解決實際問題中的應用；
(難點)
3.進一步體會數形結合的數學思想方法.（難點）
行駛中的汽車，在制動后由于慣性，還要繼續向前滑行一段距離才能停止，在此運動中存在著許多與數學知識有關的實際問題.那么何時急剎車，才能避免追尾呢？
情景導入
行駛中的汽車，在制動后由于慣性，還要繼續向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“制動距離”.為了了解某型號汽車的制動性能，對其進行了測試，測得數據如下表：
1.建立二次函數模型解決實際問題
制動時車速/km h-1 0 10 20 30 40 50
制動距離/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
有一輛該型號汽車在公路上發生了交通事故，現場測得制動距離為46.5m，試問交通事故發生時車速是多少？是否因超速（該段公路限速為110km/m）行駛導致了交通事故？
新知探究
例 1
【分析】 要解答這個問題，就是要解決在知道了制動距離時，如何求得相應的制動時車速.題中給出了幾組制動距離與制動時車速之間的關聯數據，為此，求出制動距離與制動時車速的函數表達式時解答本題的關鍵.
解： 以制動時車速的數據為橫坐標（x值）、制動距離的數據為縱坐標（y值），在平面直角坐標系中，描出各組數據對應的點，如圖.
10
O
3
6
9
x
y
50
40
30
20
觀察圖中描出的這些點的整體分步，它們基本上都是在一條拋物線附近，因此，y與x之間的關系可以近似地以二次函數來模擬，即設
y=ax +bx+c
10
O
3
6
9
x
y
50
40
30
20
任選三組數據，代入函數表達式，得
解得
即所求二次函數表達式為 y=0.002x +0.01x（x≥0）.
把 y=46.5m 代入上式，得
答：制動時車速為150km/h(＞110km/h)，即在事故發生時，該汽車屬超速行駛.
解得
46.5=0.002x +0.01x
x1=150（km/h）, x2=-155（km/h）(舍去）.
對于二次函數不明確的兩個變量，通常采用取一組對應數據轉化為坐標，在坐標系中作圖并觀察點的整體分布，來確定函數類型，再用待定系數法求相應的函數關系式.
某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.
(1)問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？
(2)假設果園增種x棵橙子樹,那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結多少個橙子？
(3)如果果園橙子的總產量為y個,那么請你寫出y與x之間的關系式.
典例剖析
例 2
何時橙子總產量最大
果園共有（100+x）棵樹,平均每棵樹結（600-5x）個橙子,因此果園橙子的總產量
你能根據表格中的數據作出猜測嗎？
y=(100+x)(600-5x)=-5x +100x+60000.
在上述問題中,增種多少棵橙子樹,可以使果園橙子的總產量最多？
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
y/個
2.利用函數圖象描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數之間的關系.
1.利用函數表達式描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數之間的關系.
3.增種多少棵橙子,可以使橙子的總產量在60400個以上
(x為正整數）
何時橙子總產量最大
解函數應用題的步驟:
設未知數(確定自變量和函數);
找等量關系,列出函數關系式;
化簡,整理成標準形式(一次函數、二次函數等);
求自變量取值范圍；
利用函數知識，求解（通常是最值問題）；
寫出結論.
總結歸納
某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，已知商品的進價為每件40元，則每星期銷售額是 元，銷售利潤 元.
18000
6000
（1）銷售額= 售價×銷售量;
（2）利潤= 銷售額-總成本=單件利潤×銷售量;
（3）單件利潤=售價-進價.
2.營銷問題
新知探究
數量關系
某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？
漲價銷售
①每件漲價x元，則每星期售出商品的利潤y元，填空：
單件利潤（元） 銷售量（件） 每星期利潤（元）
正常銷售
漲價銷售
20
300
20+x
300-10x
y=(20+x)(300-10x)
建立函數關系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
6000
典例剖析
例 3
②自變量x的取值范圍如何確定？
營銷規律是價格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自變量的取值范圍是0 ≤x ≤30.
③漲價多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？
y=-10x2+100x+6000，
當 時,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定價65元時，最大利潤是6250元.
降價銷售
①每件降價x元，則每星期售出商品的利潤y元，填空：
單件利潤（元） 銷售量（件） 每星期利潤（元）
正常銷售
降價銷售
20
300
20-x
300+18x
y=(20-x)(300+18x)
建立函數關系式：y=(20-x)(300+18x)，
即：y=-18x2+60x+6000.
某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？
6000
例 3
綜合可知，應定價65元時，才能使利潤最大.
②自變量x的取值范圍如何確定？
營銷規律是價格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自變量的取值范圍是0 ≤x ≤20.
③漲價多少元時，利潤最大，是多少？
當 時,
即定價57.5元時，最大利潤是6050元.
即：y=-18x2+60x+6000，
由(1)(2)的討論及現在的銷售情況,你知道應該如何定價能使利潤最大了嗎
某網絡玩具店引進一批進價為20元/件的玩具，如果以單價30元出售，那么一個月內售出180件，根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的下降，即銷售單價每上漲1元，月銷售量將相應減少10件，當銷售單價為多少元時，該店能在一個月內獲得最大利潤？
例 4
①每件商品的銷售單價上漲x元，一個月內獲取的商品總利潤為y元，填空：
單件利潤（元） 銷售量（件） 每月利潤（元）
正常銷售
漲價銷售
10
180
10+x
180-10x
y=(10+x)(180-10x)
1800
建立函數關系式：y=(10+x)(180-10x),
即 y=-10x2+80x+1800.
營銷規律是價格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故180-10x ≥0，因此自變量的取值范圍是
x ≤18.
③漲價多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？
y=-10x2+80x+1800
=-10(x-4)2+1960.
當x=4時，即銷售單價為34元時，y取最大值1960元.
答：當銷售單價為34元時，該店在一個月內能獲得最
大利潤1960元.
②自變量x的取值范圍如何確定？
求解最大利潤問題的一般步驟
（1）建立利潤與價格之間的函數關系式：
運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”
（2）結合實際意義，確定自變量的取值范圍；
（3）在自變量的取值范圍內確定最大利潤：
可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數的簡圖，利用簡圖和性質求出.
概念歸納
y=(160+10x)(120-6x)
1.某旅館有客房120間，每間房的日租金為160元，每天都客滿．經市場調查，如果一間客房日租金每增加10元，則客房每天少出租6間，不考慮其他因素，旅館將每間客房的日租金提高到多少元時，客房日租金的總收入最高？
解：設每間客房的日租金提高10x元，則每天客房出租數會減少6x間，則
=－60(x－2)2+19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，
∴0≤x＜20.
練一練
y=(160+10x)(120-6x)
當x=2時，y有最大值，且y最大=19440.
答：每間客房的日租金提高到180元時，客房日租金的總收入最高，最大收入為19440.
=－60(x－2)2+19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，
∴0≤x＜20.
這時每間客房的日租金為160+10×2=180(元).
2.一工藝師生產的某種產品按質量分為9個檔次.第1檔次（最低檔次）的產品一天能生產80件，每件可獲利潤12元.產品每提高一個檔次，每件產品的利潤增加2元，但一天產量減少4件.如果只從生產利潤這一角度考慮，他生產哪個檔次的產品，可獲得最大利潤？
練一練
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)
=－8x2+128x+840
=－8(x－8)2+1352.
解：設生產x檔次的產品時，每天所獲得的利潤為w元，
則
當x=8時，w有最大值，且w最大=1352.
答：該工藝師生產第8檔次產品，可使利潤最大，
最大利潤為1352.
課本練習
1.炮彈以一定的初速度和發射角射出后，上升的高度m 與對應的水平距離m 之間的函數關系可表示為
試求：
（1）炮彈能達到的最大高度；
（2）炮彈最遠射程.
2.心理學家研究發現，通常情況下，學生對知識的接受能力y與學習知識所用的連續時間x（單位：min）之間滿足下列經驗關系式
y 的值越大，表示接受能力越強.
（1）當x在什么范圍內，學生的接受能力逐步增強？當x又在什么范圍內，學生的接受能力逐步降低？
（2）在第 10 min時，學生的接受能力是多少？
（3）在第幾分時，學生的接受能力最強？
解：（1）當時，學生的接受能力逐步增強；當時，學生的接受能力逐步下降.
（2）當x=10時，y=-0.1×100+2.6×10+43=59.
即當第10 min時，學生的接受能力是59.
（3）第13 min 時，學生的接受能力最強.
3.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，西紅柿的種植成本Q元/kg與上市時間t天的關系用如圖的拋物線表示.
（1）寫出圖中表示的種植成本Q元/kg與時間t天之間的函數表達式；
（2）西紅柿上市多少天其種植成本最低？最低成本是多少？
解：（1）由題意，知拋物線頂點坐標為（150，1）.
設其函數的關系式為
又拋物線過點（250，1.5），
函數關系式為.
（2）西紅柿上市 150 天其種植成本最低，最低成本是 1 元/千克.
求下列各函數的最大值或最小值，并求出相應的x值.
(1)
1.
解：(1)由題意得
∴當x= 時，y最小值= .
(2)
解：(2)由題意得
∴當x= 時，y最大值= .
習題21.4
某商場今年一月份營業額為60萬元，二月份營業額下降10%，后加強經營管理，月營業額大幅回升.設四月份營業額為y，三、四月份平均月增長率都是x.
(1) 寫出y與x之間的函數表達式；
2.
解：(1) y=54(1+x)2.
(2) 如果y=81萬元，那么三、四月份平均月增
長率應是多少？(精確到0.1%)
解：(2) 由題意得54(1+x)2=81，
解得
∴ ≈0.225=22.5%.
因此三、四月份平均月增長率應是22.5%.
一種商品售價為每件10元，一周可賣出50件.市場調查表明：這種商品如果每件漲價1元，每周要少賣5件；每件降價1元，每周可多賣5件.已知該商品進價每件為8元，問每件商品漲價多少，才能使每周得到的利潤最多？
3.
解：設每件商品漲價x元，每周得到的利潤為y元，根據題意得y=(10+x－8)(50－5x)=－5x2+40x+100，當x= =4時，y取得最大值，所以每件商品漲價4元，才能使利潤最多.
如圖，某學生推鉛球，鉛球出手(點A處)的高度是 m，出手后鉛球沿一段拋物線運行，當運行到最高點時，
運行高度y=3 m，
水平距離x=4 m.
4.
(1) 試求鉛球運行高度y與水平距離x之間的函
數表達式；
解：設函數表達式為y=a(x－4)2+3，由題意知函數圖象過點 ，代入得a= ，
故函數表達式為 (0≤x≤10).
(2) 設鉛球落地點為C，求鉛球被推出的距離
OC.
(2)令y=0，即 ，
解得x1=－2(舍去)，x2=10，
所以此次鉛球被推出的距離OC為10 m.
如圖，在平面直角坐標系中畫出一拋物線形的公路橋拱示意圖，它的跨度為40 m，最大高度為16 m.如果在距離跨度中心點M的5 m處豎立鐵柱支撐拱頂，那
么該鐵柱的長度應是多少？
5.
B
M
解：根據題意得拋物線的頂點坐標為(20，16)，且B(40，0)，O(0，0)，
設拋物線的解析式為y=a(x－20)2+16(a≠0)，代入點B(40，0)得a(40－20)2+16=0，解得a= .
所以y= (x－20)2+16.
當x=20－5=15時，y= ×(15－20)2+16=15，
當x=20+5=25時，y= ×(25－20)2+16=15，所以在距離跨度中心點M的5m處豎的鐵柱的長度為15 m.
平面直角坐標系
二次函數
C
分層練習-基礎
D
分層練習-基礎
C
會
分層練習-基礎
10
分層練習-基礎
分層練習-基礎
分層練習-基礎
D
分層練習-鞏固
A
分層練習-鞏固
600
12
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-鞏固
分層練習-拓展
分層練習-拓展
課堂反饋
實際問題
數學模型
轉化
回歸
（二次函數的圖象和性質）
實際數據分析問題
營銷中的拋物線問題
（營銷問題，運動學問題）
轉化的關鍵
建立恰當的直角坐標系
能夠將實際距離準確的轉化為點的坐標；
選擇運算簡便的方法.
課堂小結

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