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2024-2025 學年安徽省六安九中九年級（上）期末數學試卷
一、選擇題：本題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求
的。
1.二次函數 = 3( 1)2的頂點坐標是( )
A. (0, 1) B. (0,1) C. ( 1,0) D. (1,0)
2.已知⊙ 的半徑為 10， = 6，則點 與⊙ 的位置關系是( )
A.點 在⊙ 內 B.點 在⊙ 上 C.點 在⊙ 外 D.不確定
3.如圖，若點 是線段 的黃金分割點( > )， = 4 ，則 的長為( )
A. ( 5 1) B. (2 5 2) C. ( 5 + 1) D. (2 5 + 2)
4.在 △ 中，∠ = 90°，若△ 的三邊都放大 2 倍，則 的值( )
A.縮小 2 倍 B.放大 2 倍 C.不變 D.無法確定
5 3 .已知 = 5，那么 =( )
A. 3 8 2 25 B. 5 C. 5 D. 5
6.如圖，點 、 、 均在正方形網格的格點上，則 tan∠ =( )
A. 13
B. 14
C. 12
D. 55
7.如圖，在△ 中，點 、 、 分別是邊 、 、 上的點， // ， // ，且 ： = 3：5，
那么 ： 等于( )
A. 3：8
B. 3：5
C. 5：8
D. 2：5
8.如圖，在⊙ 中， 是弦， 是弧 上一點.若∠ = 25°，∠ = 30°，則∠ 的度數為( )
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A. 30°
B. 10°
C. 40°
D. 50°
9.二次函數 = 2 + 與反比例函數 = ( ≠ 0)在同一平面直角坐標系中的大致圖象可以是( )
A. B. C. D.
10.如圖，在 △ 中，∠ = 90°，∠ = 30°， = 8， 是斜邊 的中點，以點 為圓心的半圓與
相切于點 ，交 于點 、 ，則圖中陰影部分的面積為( )
A. 2 3 23
B. 43 3
C. 3 3 23
D. 3 + 23
二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。
11.比較大?。? 47° ______ 43°. (填“>”，“=”或“<”)
12.如圖，在四邊形 中， 平分∠ ，∠ = ∠ ， = 6， = 3，
則 的長為______．
13.如圖， 是半圓 的直徑， ， 是半圓上的兩點，且滿足∠ = 118°，連接
，則∠ 的度數為______°.
14.二次函數 = 2 + + ( < 0)的圖象經過點(6, )，向左平移 ( > 0)個單位長度后得到新拋物線．
(1)拋物線 = 2 + + ( < 0)的對稱軸為直線 =______；
(2)若新拋物線有 (2 , 1)， (2 + 2, 2)兩點，且 2 > 1，則 的取值范圍為______．
三、解答題：本題共 9 小題，共 90 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
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15.(本小題 8 分)
45°
計算： 60° + 2 30 30°．
16.(本小題 8 分)
如圖，在△ 中， // ， // .求證： ： = ： ．
17.(本小題 8 分)
如圖，線段 經過圓心 ，交⊙ 于點 、 ，∠ = 30°，直線 與⊙ 切于點 ，求∠ 的度數．
18.(本小題 8 分)
中國面食文化至今已有兩千多年的歷史(面條在東漢稱之為“煮餅”).廚師將一定質量的面團做成拉面時，
面條的總長度 ( )是面條橫截面面積 ( 2)的反比例函數，其圖象經過 (4,32)， ( , 80)兩點(如圖)．
(1)求 與 之間的函數關系式及 的值；
(2)某廚師拉出的面條最細時的橫截面面積不超過 0.8 2，求這根面條的總長度至少有多長．
19.(本小題 10 分)
在如圖的方格紙中，△ 1 1 1與△ 是關于點 為位似中心的位似圖形．
(1)在圖中標出位似中心 的位置；
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(2)以原點 為位似中心，在第三象限畫出△ 的一個位似△ 2 2，使它與△ 的位似比為 2：1．
(3)已知 △ 的面積為 2.5，則△ 2 2的面積為______．
20.(本小題 10 分)
如圖， 是⊙ 的直徑，弦 ⊥ 于點 ，點 在⊙ 上， 恰好經過圓心 ，連接 ．
(1)若 = 16， = 4，求⊙ 的直徑；
(2)若∠ = 2∠ ，求∠ 的度數．
21.(本小題 12 分)
某小區門口安裝了汽車出入道閘.道閘關閉時，如圖 1，四邊形 為矩形， 長 3 米， 長 1 米，點
距地面為 0.2 米.道閘打開的過程中，邊 固定，連桿 ， 分別繞點 ， 轉動，且邊 始終與邊 平行．
(1)如圖 2，當道閘打開至∠ = 45°時，邊 上一點 到地面的距離 為 1.2 米，求點 到 的距離
的長．
(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬 1.8 米，高 1.6 米.當道閘打開至∠ = 35°時，轎車能否駛入小區？請說
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明理由. (參考數據： 35° ≈ 0.5736， 35° ≈ 0.8192， 35° ≈ 0.7002)
22.(本小題 12 分)
某超市以 30 元/千克的價格購進一批草莓，如果以 35 元/千克的價格銷售，那么每天可售出 300 千克；如
果以 40 元/千克的價格銷售，那么每天可售出 200 千克，根據銷售經驗可以知道，每天的銷售量 (千克)
與銷售單價 (元)( ≥ 30)存在一次函數關系．
(1)請你直接寫出 與 之間的函數關系式為______；(不用寫出自變量的取值范圍)
(2)設該超市銷售草莓每天獲得的利潤為 元，求當銷售單價為多少時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是
多少？
(3)如果物價局規定商品的利潤率不能高于 40%，而超市希望每天銷售草莓的利潤不低于 1500 元，請你幫
助超市確定這種草莓的銷售單價 的范圍．
23.(本小題 14 分)
(1)如圖①，在矩形 中， 為 邊上一點，連接 ，過點 作 ⊥ 交 于點 ．
【探究證明】①求證：△ ∽△ ；
【特例分析】②若 = 10， = 6， 為 的中點，求 的長．
【衍生拓展】(2)如圖②，在△ 中，∠ = 90°， = 6， = 8， 是 的中點，射線 ， 分別
交 ， 于點 ， ，且∠ = 90°，求 的值．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.>
12.3 2
13.56
14.3 2； 0 < 1 < 3．
15. 32 + 1．
16.證明：∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ =

①，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ②，

由①②得： = = ，
即 ： = ： ．
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17.解：如下圖，連接 ，
∵ 是⊙ 的切線， 為切點，
∴ ∠ = 90°，
∵ ∠ = 30°，
∴ ∠ = 60°，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ = 12∠ =
1
2 × 60° = 30°，
∴ ∠ = 180° ∠ ∠ = 180° 30° 30° = 120°，
∴ ∠ = 120°．
18. 解：(1)設 與 之間的函數表達式為： = ( > 0)，
由條件可得： = 128，
∴ 128與 之間的函數表達式為： = ( > 0)；
將( , 80) 128代入 = 可得 = 1.6；
(2) 128由條件可知 ≥ 0.8 = 160，
故面條的總長度至少為 160 ．
19.解：(1)如圖所示，點 即為所求；
(2)如圖所示，△ 2 2即為所求；
(3) ∵在第三象限畫出△ 的一個位似△ 2 2，
使它與△ 的位似比為 2：1，
∴△ 2 2的面積：△ 的面積= 4：1，
∵ △ 的面積為 2.5，
∴△ 2 2的面積 10，
故答案為：10．
20.(1)設⊙ 的半徑是 ，則 = = ，
∴ = 4，
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∵直徑 ⊥ ，
∴ = 12 =
1
2 × 16 = 8，
∵ 2 = 2 + 2，
∴ 2 = ( 4)2 + 82，
∴ = 10，
∴⊙ 的直徑為 2 = 20；
(2) ∵ ∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ ∠ = 45°．
21.解：(1)如圖，過點 作 ⊥ ，垂足為 ，
由題意可知，∠ = 45°， = 1.2 米， = 0.2 米，
在 △ 中，∠ = 45°， = 1.2 0.2 = 1(米)，
∴ = = 1 (米)，
∴ = = 3 1 = 2 (米)，
即點 到 的距離 的長為 2 米；
(2)當∠ = 35°， = 1.6 米時，
則∠ = 35°，
= 1.6 0.2 = 1.4(米)，
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∴ = 35° ≈ 1.4 × 0.7002 = 0.9803(米)，
∴ = 3 0.9803 ≈ 2.02(米)，
∵ 2.02 > 1.8，
∴能通過．
22.(1)設 與 之間的函數關系式為 = + ，
將(35,300)、(40,200) 35 + = 300代入，得 40 + = 200，
= 20
解得： = 1000，
∴ 與 之間的函數關系式為 = 20 + 1000，
故答案為： = 20 + 1000；
(2) = ( 30)( 20 + 1000) = 20 2 + 1600 30000
= 20( 40)2 + 2000
∵ 20 < 0，
∴當 = 40 時， 取得最大， 最大 = 2000 元；
(3)由題意得 20 2 + 1600 30000 ≥ 1500，
解得：35 ≤ ≤ 45，
又∵物價局規定商品的利潤率不能高于 40%，
∴ ( 30) ÷ 30 ≤ 40%，
∴ ≤ 42，
綜上可得：35 ≤ ≤ 42，
答：銷售這種草莓的銷售單價 的范圍為 35 ≤ ≤ 42．
23.(1)①證明：∵在矩形 中， 為 邊上一點， ⊥ 交 于點 ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ；
②解：∵△ ∽△ ，
∴ ： = ： ，
∵ = 10， = 6， 為 的中點，
∴ = = 12 = 5，
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∴ 6：5 = 5： ，
∴ = 256；
(2)解：在△ 中，∠ = 90°， = 6， = 8， 是 的中點，如圖②，過點 分別作 ⊥ 于點
， ⊥ 于點 ，
由勾股定理得： = 2 + 2 = 10，
∴ = = 12 = 5，
∵ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
∴四邊形 為矩形， // ， // ，
∵ 是 的中點，
∴ 是△ 的中位線， 是△ 的中位線，
∴ = 4， = 3，
∵四邊形 為矩形，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
又∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
又∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴△ ∽△ ，
∴ 4 = = 3．
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