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2024-2025學年青海省西寧市海湖中學高一（下）期中考試
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數，則( )
A. B. C. D.
2.若水平放置的四邊形按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，四邊形為等腰梯形，，，，則原四邊形的面積為( )
A.
B.
C.
D.
3.已知向量，滿足，，且，則( )
A. B. C. D.
4.設與的夾角為，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
5.如圖，已知，用表示，則等于( )
A. B.
C. D.
6.在中，內角，，的對邊分別為，，，已知，則的形狀為( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.半徑為的球被兩個平行平面所截，兩個截面圓的面積分別為，，則這兩個平行平面的距離為．
A. B. C. 或 D. 或
8.在中，，，其面積為，則等于( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列命題中，正確的有( )
A. 有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱
B. 有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐
C. 平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形
D. 有兩個面互相平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺
10.已知點，，，若，，，四個點能構成平行四邊形，則點的坐標可以是( )
A. B. C. D.
11.下列敘述正確的是( )
A. 若，且，則
B. 若直線，則直線與能確定一個平面
C. 三點，，確定一個平面
D. 若，且，，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知是平面內所有向量的一組基，且，，若，則 ______．
13.復數是方程的一個根，則 ______．
14.已知正方體的內切球的體積為，則該正方體的外接球的表面積______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知．
求向量的坐標；
設向量的夾角為，求的值；
若向量與互相垂直，求的值．
16.本小題分
如圖，已知圓錐的頂點為，是底面圓心，是底面圓的直徑，，．
求圓錐的表面積；
經過圓錐的高的中點作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺的體積．
17.本小題分
如圖，已知，，，分別是正方體的棱，，，的中點，且與相交于點．
求證：點在直線上；
求證：與是異面直線．
18.本小題分
在中，內角，，對應的邊分別是，，，且．
求角的大小；
若的面積是，求的周長；
若為銳角三角形，求的取值范圍．
19.本小題分
如圖，、兩島相距海里，上午點整有一客輪在位于島的北偏西且距島海里的處，沿直線方向勻速開往島，在島停留分鐘后前往市，上午：測得客輪位于島的北偏西且距島海里的處，此時小張從島乘坐速度為海里小時的小艇沿直線方向前往島換乘客輪去市．
求客輪的速度；
若小張能乘上這班客輪，問小艇的速度至少為多少海里小時？由小艇換乘客輪的時間忽略不計
現測得，，已知速度為海里時的小艇每小時的總費用為元，若小張由島直接乘小艇去市，則至少需要多少費用？
參考答案
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13.
14.
15.由，
可得；
因，
，
則；
由與互相垂直，
可得，
即，解得．
16.解：由題意可知，該圓錐的底面半徑，母線，
所以該圓錐的表面積為；
在中，，
因為是的中點，
所以，
則小圓錐的高，小圓錐的底面半徑，
故截得的圓臺的體積．
17.證明：根據題意，平面平面，而直線與直線相交于點，
則直線，直線，
又由平面，
則平面，
同理：平面，
故直線；
根據題意，平面，平面，
而直線，
故EF與是異面直線．
18.解：根據余弦定理，可得，
結合，可得，
所以，結合為三角形的內角，可知．
由的面積，
可得，即，解得．
由余弦定理得，即，可得，
所以，
可得舍負，即的周長；
根據，是銳角三角形，
可得，，解得
，
由，可得，，
所以，可得的取值范圍是．
19.根據題意得：，，，，
在中，由余弦定理得
，
所以客輪的航行速度海里小時；
因為，所以，
所以．
在中，由余弦定理得，
整理得：，
解得或舍去，
所以客輪從處到島所用的時間小時，
小張若能趕上這班客輪，則滿足，解得，
所以小艇的速度至少為海里小時；
在中，，，
所以，
，
由正弦定理，
解得，
所以小張由島直接乘小艇去城市的總費用為，
當且僅當，即時，元．
所以若小張由島直接乘小艇去市，其費用至少需元．
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