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2024-2025學年福建省福州市山海聯盟協作校高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數滿足，則的虛部為( )
A. B. C. D.
2.某羽毛球俱樂部有隊和隊，其中隊有名學員，隊有名學員，為了解俱樂部學員的羽毛球水平，用比例分配的分層隨機抽樣的方法從該俱樂部中抽取一個容量為的樣本，已知從隊中抽取了名學員，則的值為( )
A. B. C. D.
3.某校為了加強食堂用餐質量，該校隨機調查了名學生，得到這名學生對食堂用餐質量給出的評分數據評分均在內，將所得數據分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計學生對食堂用餐質量的評分的第百分位數為( )
A. B. C. D.
4.已知，是兩條不同的直線，表示平面，且，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
5.記的內角，，的對邊分別為，，，且，則是( )
A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 等邊三角形 D. 鈍角三角形
6.已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和側面積分別相等，且圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的體積之比為( )
A. B. C. D.
7.已知正方形的邊長為，點是邊上的一點，且，點是邊上的一點，則的最小值為( )
A. B. C. D.
8.已知的面積為，，且，則外接圓的半徑為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知一組數據，，，，，，，由生成的一組新數據，，，，，，，則( )
A. 新數據的極差可能與原數據的極差相等
B. 新數據的平均數可能與原數據的平均數相等
C. 新數據的中位數一定比原數據的中位數大
D. 新數據的標準差一定比原數據的標準差大
10.在直三棱柱中，，，，點是棱上的一點，則下列說法正確的是( )
A.
B. 四棱錐的體積為
C. 直三棱柱外接球的表面積是
D. 的最小值為
11.在中，內角，，的對邊分別為，，，已知，，為連續正整數，且，則下列說法正確的是( )
A. 存在唯一的，使得
B. 存在唯一的，使得
C. 存在唯一的，使得
D. 不存在，使得
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，的夾角為，，，則 ______．
13.從分別寫有，，，，的張卡片中不放回地隨機抽取張，則抽到的張卡片上的數字之和不小于的概率為______．
14.在棱長為的正方體中，點是棱的中點，則直線與所成角的余弦值為______；點是正方體表面上的一動點，且滿足，則動點的軌跡長度是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
設，復數，．
若為純虛數，求實數的值；
若復數是關于的方程的一個根，求的值．
16.本小題分
已知平面向量，，．
若，且，求和的值；
若，求的值；
若與的夾角為銳角，求的取值范圍．
17.本小題分
小張和小胡兩位同學進行兩輪語文常識答題比賽，每輪由小張和小胡各回答一個問題，已知小張每輪答對的概率為，小胡每輪答對的概率為，在每輪比賽中，小張和小胡答對與否互不影響，各輪結果也互不影響．
求小張在兩輪比賽中至少答對題的概率；
求在兩輪比賽中，小張和小胡答對題目的個數相等的概率．
18.本小題分
在中，內角，，的對邊分別是，，，且．
求；
若，求；
拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形此等邊三角形稱為拿破侖三角形的頂點”如圖，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，若，求的面積的最大值．
19.本小題分
如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，平面平面，，，，點是棱上的一點．
記平面與平面的交線為，求證：；
若，求二面角的正弦值；
若直線與平面所成角的余弦值為，求線段的長．
參考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.由題意，，
則，，
解得或；
由題意，，
即，
所以，，
解得，或，，
所以．
16.因為，，
所以；解得，；
若，則，解得，
所以，，
；
因為與的夾角為銳角，
所以且，不同向，即解得且；
故的取值范圍是．
17.根據題意，設“小張在兩輪比賽中至少答對題”，
則“小張在兩輪比賽中全部答錯”，
則；
根據題意，“小張在兩輪比賽中答對題”，“小胡在兩輪比賽中答對題”，、，
“小張和小胡答對題目的個數相等”，
，
，
，
，
，
，
故．
18.因為，
由正弦定理得，
整理可得，
在中，，
所以，
又，所以，可得，
即，
因為，所以；
因為，所以，
即，
又因為，
所以，
由正弦定理得，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
即，
解得；
由余弦定理得，即，當且僅當時取等號，
取的中點，
因為，
所以，
同理可得，
又，
所以
，
所以的面積，
即面積的最大值為．
19.解：證明：因為四邊形是平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，又平面平面，平面，
所以；
分別取，的中點，，連接，，，如圖所示，
因為，，所以，又，，
由余弦定理得，
又，所以，，
所以，
所以，所以，即，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又，平面，所以，，
因為，分別為，的中點，
所以，，又，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
所以為二面角的平面角，
因為，，，
所以，
所以，
即二面角的正弦值為；
連接，，如圖所示，
因為，，點為的中點，
所以，，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
在中，由余弦定理得：
，
所以，
又，所以．
顯然點不與點重合，設，
所以．
設到平面的距離為，
則，
解得，
又直線與平面所成角的余弦值為，
所以
所以，
在中，，，，
則，
在中，，
即，
整理得，
解得或舍，
所以．
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