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2024-2025學年江西省宜春市高安市石腦中學高二（下）期中數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知數列，，，，，，，，則該數列的第項是( )
A. B. C. D.
2.設函數在處可導，若，則( )
A. B. C. D.
3.已知數列，滿足，若，則( )
A. B. C. D.
4.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則( )
A. B. C. D.
5.用數學歸納法證明等式的過程中，由遞推到時不等式左邊( )
A. 增加了項 B. 增加了項
C. 增加了項 D. 以上均不對
6.已知函數的圖象如圖所示，不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.數列的前項和為，若，，則( )
A. B. C. D.
8.已知函數，有個實數解，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列導數運算正確的是( )
A. B.
C. D.
10.已知等差數列的前項和為，若，，則下列結論錯誤的是( )
A. 數列是遞減數列 B.
C. 當取得最大值時， D.
11.若函數在區間內有最小值，則實數的取值可能為( )
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數，則 ．
13.等比數列的前項和為，若，，則 ______．
14.已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在，，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．
設等差數列的前項和為，，
求數列的通項公式；
求的最大值．
注：作答前請先指明所選條件，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
16.本小題分
已知函數．
求函數的單調區間和極值．
若對恒成立，求實數的取值范圍．
17.本小題分
在遞增的等比數列中，，且是和的等差中項．
求的通項公式；
若，求數列的前項和．
18.本小題分
已知數列滿足．
證明：數列為等差數列；
設，記數列的前項和為，求．
19.本小題分
已知函數，，為函數的導函數．
討論函數的單調性；
若任意，恒成立，求的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.選，設等差數列的首項為，公差為，
由題意得，
解得，，
數列的通項公式為；
選，設等差數列的首項為，公差為，
由題意得，
解得，，
數列的通項公式為；
選，設等差數列的首項為，公差為，
由題意得，
解得，，
數列的通項公式為；
，，
，
時，取得最大值為．
16.解：因為，
則，
合，可得或，列表如下：
增 極大值 減 極小值 增
所以，函數的增區間為、，減區間為，
函數的極大值為，極小值為．
由可知，函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
且，故當時，，
因為，對恒成立，則，解得，
因此，實數的取值范圍是．
17.解：在遞增的等比數列中，，且是和的等差中項，
，
，
，
解得，
故．
設等比數列的公比為，
則，
解得或舍，
，
．
由得，
．
18.證明：數列滿足，
兩邊同時除以，可得，
即，且，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列．
由知，
可得，
可得，
則，
，
相減可得
，
所以．
19.解：根據題目：已知函數，，
因為，且定義域為，
所以，令，則，
當時，，函數在上單調遞增；
當時，令，得到，令，得到，
故函數在上單調遞減，在上單調遞增；
綜上：當時，在上單調遞增；
當時在上單調遞減，在上單調遞增．
由得，
因為對于任意，恒成立，
所以恒成立，
化簡得恒成立，故恒成立，
令，則恒成立，，
令，則，
得到在單調遞增，即
故，在單調遞增，而，
即，故當任意，恒成立時，．
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