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2024-2025學年甘肅省武威一中高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在復平面內，復數對應的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.與向量平行的單位向量為( )
A. B.
C. 或 D.
3.正方體中的中點為，的中點為，則異面直線與所成的角是( )
A. B. C. D.
4.若某群體中的成員只用現金支付的概率為，既用現金支付也用非現金支付的概率為，則不用現金支付的概率為( )
A. B. C. D.
5.飽和潛水是一種在超過百米的大深度條件下開展海上長時間作業的潛水方式，是人類向海洋空間和生命極限挑戰的前沿技術，我國海上大深度飽和潛水作業能力走在世界前列．某項飽和潛水作業一次需要名飽和潛水員完成，利用計算機產生之間整數隨機數，我們用，，，表示飽和潛水深海作業成功，，，，，，表示飽和潛水深海作業不成功，現以每個隨機數為一組，作為名飽和潛水員完成潛水深海作業的結果，經隨機模擬產生如下組隨機數：，，，，，，，，，由此估計“名飽和潛水員中至少有人成功”的概率為( )
A. B. C. D.
6.在中，角、、所對邊分別為、、若，則該三角形一定是( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
7.從分別標有，，，，的個小球中，不放回的隨機選取兩個小球，記這兩個小球的編號分別為，若，則為實數的概率為( )
A. B. C. D.
8.在中，點，在邊上，且滿足：，，若，，，則的面積等于( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一個家庭中有三個小孩，記事件“家庭中沒有女孩”，“家庭中最多有一個女孩”，“家庭中至少有兩個女孩”，“家庭中既有男孩又有女孩”，則( )
A. 與互斥 B. C. 與對立 D. 與相互獨立
10.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則下列結論正確的是( )
A. 圓柱的側面積為
B. 圓錐的側面積為
C. 圓柱的側面積與球的表面積相等
D. 圓柱、圓錐、球的體積之比為：：
11.若正四面體的棱長為，是棱上一動點，其外接球、內切球的半徑分別為，，則( )
A.
B.
C. 正四面體棱切球的體積為
D. 若是棱的中點，則當最小時，
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，則 ______．
13.在二面角中，，，，，且，，若，，二面角的余弦值為，則______；直線與平面所成角正弦值為______．
14.在長方體中，底面是邊長為的正方形，，過點作平面與，分別交于，兩點，且與平面所成的角為，給出下列說法：
異面直線與所成角的余弦值為；
平面；
點到平面的距離為；
截面面積的最小值為．
其中正確的是______請填寫所有正確說法的編號
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在矩形中，點是邊上的中點，點在邊上．
若點是上靠近的三等分點，設，求的值；
若，，求的取值范圍．
16.本小題分
年月日，搭載天舟七號貨運飛船的長征七號遙八運載火箭成功發射，我國載人航天工程年發射任務首戰告捷為普及航天知識，某學校開展組織學生舉辦了一次主題為“我愛星辰大海”的航天知識競賽，現從中抽取名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據圖形，請回答下列問題：
Ⅰ求頻率分布直方圖中的值若從成績不高于分的同學中按分層抽樣方法抽取人成績，求人中成績不高于分的人數；
Ⅱ用樣本估計總體，利用組中值估計該校學生首輪競賽成績的平均數以及中位數；
Ⅲ若學校安排甲、乙兩位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優秀等級的概率為，乙復賽獲優秀等級的概率為，甲、乙是否獲優秀等級互不影響，求至少有一位同學復賽獲優秀等級的概率．
17.本小題分
在中，角，，的對邊分別為，，，已知．
求角的大小；
若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍．
18.本小題分
維空間中點的坐標可以表示為，其中為該點的第個坐標定義維空間中任意兩點，之間的平均離差二乘距離設維空間點集或，其中，，，，．
若，，，且點，寫出所有的點的坐標；
任取維空間中的不同兩點，若，求的概率．
19.本小題分
如圖，在四棱錐中，側面是邊長為的等邊三角形，點，，，在同一個圓的圓周上，且，，平面平面．
Ⅰ求證：平面平面；
Ⅱ求三棱錐的體積；
Ⅲ求二面角的正弦值．
參考答案
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15.解：由題意知，
因為是邊的中點，點是上靠近的三等分點，
所以，
在矩形中，，，
所以，
即，，
則．
以、分別為、軸建立平面直角坐標系，如圖所示：
設，其中；
則：，；，；
所以，其中；
當時取得最小值為，
或時取得最大值為，
所以的取值范圍是．
16.解：Ⅰ由，
解得，
因為人，人．
所以不高于分的抽人；
Ⅱ平均數．
由圖可知，學生成績在內的頻率為，在內的頻率為，
設學生成績中位數為，，則：，解得，
所以中位數為．
Ⅲ記“至少有一位同學復賽獲優秀等級”為事件，
則．
所以至少有一位同學復賽獲優秀等級的概率為．
17.解：，
由正弦定理可得，
又由余弦定理知，，
，，
又，；
由為銳角三角形，，可得，
由正弦定理可得，
，
，
的周長為，
，，，
整理得：，解得或舍去，
，周長范圍是．
18.定義維空間中任意兩點：
，之間的平均離差二乘距離，
，，，且點，
，
即，且，，，
解得滿足方程的點坐標為：，，；
設點，，
，
又或，或，
中有兩項等于，兩項等于，
滿足條件的所有可能情況有，
兩不同點，所有可能情況共有種，
的概率．
19.Ⅰ取的中點，連接，如圖，
因為為等邊三角形，所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因為點，，，在同一個圓的圓周上，，所以，即，
又，，平面，
故AD平面，
又平面，故平面平面．
Ⅱ在中，，
在中，，
又由Ⅰ知平面，
故．
Ⅲ設的中點為，連接，則，過點作直線交于點，
由Ⅰ可知，平面，所以平面，
過點作交于點，連接，
則，
所以即為二面角的平面角，如圖，
在底面中，過點作交的延長線于點，如圖，則四邊形是矩形，
不妨設，，，，
則有
解得負值舍去，
所以為的中點，，
于是在中，，，
所以，
則，
故二面角的正弦值為．
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