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2024-2025學年內蒙古興安盟科爾沁右翼前旗二中高一（下）期中
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.在復數范圍內，下列為方程的根的是( )
A. B. C. D.
3.直三棱柱中，，，，則該棱柱的體積為( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，為的中點，，則( )
A. B. C. D.
5.設的內角，，的對邊分別為，，，若，則( )
A. B. C. D.
6.已知正方形的邊長為，與交于點，則( )
A. B. C. D.
7.函數的部分圖象如圖所示，則的單調遞減區間為( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.設復數，滿足，，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數，，則下列復數為純虛數的是( )
A. B. C. D.
10.已知與均為單位向量，其夾角為，則下列四個結論中正確的是( )
A. B.
C. D.
11.關于球的下列說法正確的有( )
A. 若球的體積為，則球表面積也為
B. 若球的半徑變為原來的倍，則球體積變為原來的倍
C. 若一平面截球截得一半徑為的圓面且到此截面的距離為，則球的表面積為
D. 若一正方體的八個頂點都在球的球面上，則球的體積與正方體的體積之比為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復數在復平面上對應的點在實軸負半軸上，則實數 ______．
13.已知滿足，若在方向上的投影向量為，則______．
14.如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知．
若，求的值；
若，求的值；
若，求的值．
16.本小題分
在中，內角，，所對的邊分別為，，，且．
求角；
若，求外接圓半徑；
若，求的面積．
17.本小題分
已知圓錐的底面圓半徑為，體積為，兩條母線、的夾角為．
求圓錐的側面積；
求三棱錐的體積；
求三棱錐的高．
18.本小題分
在中，、、分別是角、、的對邊，且．
求的大小；
若，求的值；
若，，直線分別交，于，兩點，且把的面積分成相等的兩部分，求線段長的最小值．
19.本小題分
我們可以把平面向量坐標的概念推廣為“復向量”，即可將有序復數對視為一個向量，記作兩個復向量的線性運算定義為：；兩個復向量的積記作，定義為；復向量的模定義為；若復向量與滿足，則稱復向量與平行．
設，求；
若，求；
判斷與能否平行，若能，求出實數的值，若不能，說明理由．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因為，且，
所以，所以；
因為，且，
所以，所以；
因為，且，
所以，解得，所以，
因為，
所以．
16.根據題意可知，，得，解得，而，
所以；
由知，，則外接圓直徑，
所以外接圓半徑為；
由余弦定理，得，即，解得，
所以的面積．
17.設圓錐的高為，
因為圓錐的底面圓半徑為，體積為，所以，
得，所以圓錐的母線，
所以圓錐的側面積為；
由知，，由母線、的夾角為，得為正三角形，
則，所以等腰底邊上的高，
的面積，
所以三棱錐的體積；
設三棱錐的高為，由知，
由，得，即，解得，
所以三棱錐的高為．
18.解：由及正弦定理，
可得，
即，
整理得，
因為，所以，故，
因為，所以；
由知，，
則，
由正弦定理，得；
因為，，，
所以，
設，，，，
故，
因為把的面積分成相等的兩部分，
則有，即，解得，
由余弦定理得：，
由基本不等式得：，
當且僅當時，等號成立，
故，即線段長的最小值為．
19.已知兩個復向量的積記作，定義為；
又，
得．
已知；復向量的模定義為，
又，
則．
與，則
，，
，
若與能平行，則，
即，整理得，
，即方程無實數解，
所以與不平行．
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