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2024-2025學年江蘇省無錫市洛社高級中學高二（下）期中考試
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若隨機變量，且，則( )
A. B. C. D.
2.已知函數，則( )
A. B. C. D.
3.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是( )
A. 曲線在點處的切線斜率小于零
B. 函數在區間上單調遞增
C. 函數在處取得極大值
D. 函數在區間內至多有兩個零點
4.設是一個離散型隨機變量，其分布列如下，則等于( )
A. B. C. D.
5.展開式中的系數為( )
A. B. C. D.
6.設，為兩個隨機事件，以下命題錯誤的為( )
A. 若，是獨立事件，則
B. 若，是對立事件，則
C. 若，是互斥事件，，，則
D. 若，，且，則，是獨立事件
7.質數又稱素數，一個大于的自然數，除了和它本身外，不能被其他自然數整除，則這個數為質數，數學上把相差為的兩個素數叫做“孿生素數”如和，和，，那么，如果我們在不超過的自然數中，隨機選取兩個不同的數，記事件“這兩個數都是素數”，事件“這兩個數不是孿生素數”，則( )
A. B. C. D.
8.已知隨機變量，若對任意的實數，，滿足當時，恒成立，則的取值范圍( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.從這個數字中隨機取出個不同的數字，下列結論正確的是( )
A. 不被取出能組成個三位數 B. 能組成個三位數
C. 能組成個三位數奇數 D. 能組成個能被整除的三位數
10.“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發起一批又一批數學愛好者的探究欲望如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是( )
A.
B. 第行中從左往右第個數與第個數之比為：
C. 第行中從左往右第個數與第個數相等
D. 記第行從左往右第個數為，則
11.已知是函數的導函數，且，，則下列說法正確的是( )
A.
B. 曲線在處的切線斜率最小
C. 函數在存在極大值和極小值
D. 導函數在區間上至少有一個零點
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.將個男生和個女生排成一排，則男生女生彼此相間的排法有______種
13.若函數的圖象在點處的切線方程為，則 ______．
14.已知函數有兩個不同極值點，則實數的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知，若，求：
實數的值；
的值；
的值．
16.本小題分
據天氣預報，在元旦期間甲、乙兩地都降雨的概率為，至少有一個地方降雨的概率為，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在這段時間甲、乙兩地降雨互不影響．
分別求甲、乙兩地降雨的概率．
在甲、乙兩地天假期中，僅有一地降雨的天數為，求的分布列及數學期望．
17.本小題分
已知函數．
若是函數的極值點，求在區間上的最值；
求函數的單調增區間．
18.本小題分
某市為了了解本市初中生周末運動時間，隨機調查了名學生，統計了他們的周末運動時間，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
按照分層抽樣，從和中隨機抽取了名學生現從已抽取的名學生中隨機推薦名學生參加體能測試記推薦的名學生來自的人數為，求的分布列和數學期望；
由頻率分布直方圖可認為：周末運動時間服從正態分布，其中，為周末運動時間的平均數，近似為樣本的標準差，并已求得可以用該樣本的頻率估計總體的概率，現從本市所有初中生中隨機抽取名學生，記周末運動時間在之外的人數為，求精確到．
參考數據：當時，，，；
參考數據：；．
19.本小題分
已知函數，．
若不等式有解，求實數的取值范圍；
已知，當，試比較與的大小，并給予證明．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.令，則，
則，即；
，
令，則，
則；
由，
兩邊求導可得，，
令，則，
故．
16.設甲、乙兩地降雨的事件分別為，，且，，
由題意得，解得，
所以甲地降雨的概率為，乙地降雨的概率為；
在甲、乙兩地中，僅有一地降雨的概率為，
的可能取值為，，，，
，
，
，
，
所以的分布列為：
所以．
17.解：因為，所以，
因為已知是函數的極值點．
所以是方程的根，
所以，故，經檢驗符合題意，
所以，則，
所以當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；
又，，，
且，
所以在區間上的最小值為，
最大值為．
，
所以，
因為，，
當時，令，解得或，
所以函數的單調增區間為，，
當時，恒成立，所以函數的單調增區間為，
當時，令，解得或，
所以函數的單調增區間為，，
綜上可得，當時單調增區間為，；
當時，單調增區間為；
當時，單調增區間為，
18.解：根據分層抽樣，從中抽取人，在中抽取人，
隨機變量的可能取值為，，，，
，
，
，
，
則的分布列為：
．
，
又因為，，
所以，
所以或，
則，
所以．
19.若不等式有解，則有解，
即有解，
所以在上，有解，
令，，
則只需即可，
，
令，得，
所以在上，，單調遞增，
在上，，單調遞減，
所以函數，
所以，
所以，
所以的取值范圍為
與的大小為：．
證明：令，，
則，
令，，
則，
所以函數在上單調遞增，
又，，
所以存在唯一零點，使得，
所以當時，，，單調遞減，
當時，，，單調遞增，
所以當時，取得極小值也是最小值，即，
又，即，
所以，
所以，
所以在上恒成立．
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