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1.用 　把數(shù)和字母連接而成的式子叫作代數(shù)式.單獨一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.其中的運算符號可以是加、減、乘、除、乘方等.
2.用字母表示數(shù)的書寫規(guī)范
(1)數(shù)與字母相乘,數(shù)要放在字母前面;
(2)在含有字母的式子中出現(xiàn)乘號時,一般寫成“·”或省略不寫;
(3)進行除法運算時,把“÷”寫成分?jǐn)?shù)線的形式;
(4)帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時,要把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù).
1　代數(shù)式
第1課時　代數(shù)式
第三章　整式及其加減
運算符號
精講練　新知探究
探究點一　代數(shù)式的概念及書寫規(guī)范
C
B
鞏固訓(xùn)練
C
C
探究點二　用字母表示數(shù)
例3　用含字母的式子表示下列數(shù).
(1)棱長為a cm的正方體的表面積.
(2)一輛汽車的行駛速度是v km/h,求t h行駛的距離.
(3)溫度由t ℃上升5 ℃后是多少
(4)某種蘋果的售價是每千克x元(x<10),用50元買5 kg這種蘋果,應(yīng)找回多少錢
解:(1)6a2 cm2.
(2)vt km.
(3)(t+5)℃.
(4)(50-5x)元.
鞏固訓(xùn)練
3.用代數(shù)式表示“m的3倍與n的差的平方”,正確的是( )
A.(3m-n)2 B.3(m-n)2
C.3m-n2 D.(m-3n)2
A
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1.代數(shù)式的值
代數(shù)式的值是用具體數(shù)值代替代數(shù)式里的　 　,按照代數(shù)式中的運算計算出的結(jié)果.
2.求代數(shù)式的值的步驟
(1)“代人”:即用具體數(shù)值代替代數(shù)式里的　 　;
(2)“計算”:即按照代數(shù)式中給出的運算關(guān)系計算出結(jié)果.
第2課時　代數(shù)式求值
字母
字母
精講練　新知探究
探究點　求代數(shù)式的值
例1　有兩種學(xué)生作業(yè)本,甲種單價是2.5元,乙種單價是2.8元,買這兩種作業(yè)本的數(shù)量分別是m和n.
(1)共需要多少元錢
解:(1)共需(2.5m+2.8n)元錢.
(2)如果甲、乙兩種學(xué)生作業(yè)本分別買了20本和25本,那么共花了多少
元錢
解:(2)把m=20,n=25代入2.5m+2.8n,得
2.5×20+2.8×25=120.
所以甲、乙兩種學(xué)生作業(yè)本共花了120元錢.
例2　按如圖所示的運算程序,輸入一個數(shù)x,便可輸出一個相應(yīng)的數(shù)y.若輸入的x為-3,則輸出的y的值為( )
A.21 B.1
C.-9 D.-1
C
鞏固訓(xùn)練
1.當(dāng)x=-1時,代數(shù)式x2+3x+2的值是( )
A.-2 B.-1
C.0 D.4
2.若代數(shù)式x-2y-8的值為2,則代數(shù)式3x-6y-4的值為( )
A.30 B.-26
C.-30 D.26
C
D
3.按如圖所示的程序計算,若開始輸入的值為 x=3,則最后輸出的結(jié)果是( )
A.6 B.21
C.156 D.231
D
4.如圖所示,已知圓的半徑為R,正方形的邊長為a.
(1)陰影部分的面積 S=　 　;
(2)當(dāng)R=20 cm,a=8 cm時,陰影部分的面積S=　 　 cm2.
5.某地海拔h(km)與溫度T(℃)的關(guān)系可用T=20-6h來表示,則該地區(qū)海拔為2 000 m 的山頂上的溫度為　 　℃.
πR2-a2
(400π-64)
8
6.填寫下表,并觀察下面兩個代數(shù)式的值的變化情況:
m 1 2 3 4 5 6 7
6m+8
2m2+1
(1)當(dāng)m>0時,隨著m值的逐漸變大,兩個代數(shù)式的值如何變化
解:填表如下.
m 1 2 3 4 5 6 7
6m+8 14 20 26 32 38 44 50
2m2+1 3 9 19 33 51 73 99
(1)當(dāng)m>0時,隨著m值的增大,兩個代數(shù)式的值分別隨m的增大而增大.
(2)哪個代數(shù)式的值先超過200
解:(2)當(dāng)m=10時,6m+8=68,2m2+1=201.
所以代數(shù)式2m2+1的值先超過200.
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1.數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫作　 　,特別地,單獨一個　 　或
　 　也是單項式.
幾個單項式的和叫作　 　,
單項式和多項式統(tǒng)稱　 　.
2.單項式中的　 　叫作這個單項式的系數(shù).單項式中
　 　的指數(shù)和叫作這個單項式的次數(shù).
3.在多項式中,每個單項式叫作多項式的　 　.一個多項式中,
　 　的次數(shù),叫作這個多項式的次數(shù).
第3課時　整　式
單項式
數(shù)
一個字母
多項式
整式
數(shù)字因數(shù)
所有字母
項
次數(shù)最高的項
精講練　新知探究
探究點一　單項式及其相關(guān)概念
例1　指出下列代數(shù)式中的單項式,并說出單項式的系數(shù)和次數(shù).
易錯提醒
(1)單項式的次數(shù)是單項式中所有字母的指數(shù)和,與單項式系數(shù)的次數(shù)無關(guān);
(2)π是數(shù)字,不是字母;
(3)字母的指數(shù)沒有寫時,指數(shù)是1,而不是0;
(4)一個數(shù)是單項式,其次數(shù)是0.
鞏固訓(xùn)練
D
-2a3b(答案不唯一)
解:(1)1.25n t,系數(shù)為1.25,次數(shù)為1.
探究點二　多項式及其相關(guān)概念
例2　寫出下列多項式是幾次幾項式,并指出常數(shù)項和次數(shù)最高的項的
系數(shù).
(1)-4x4y-2x2+3+5y;
解:(1)-4x4y-2x2+3+5y是五次四項式,常數(shù)項是3,次數(shù)最高的項的系數(shù)是-4.
易錯提醒
(1)一個多項式中,次數(shù)最高的項有時不唯一;
(2)在多項式中,不含字母的項叫作常數(shù)項;
(3)多項式的次數(shù)不是各個單項式的次數(shù)之和.
B
鞏固訓(xùn)練
4.多項式3x2-2x+5的各項分別是( )
A.3x2,-2x,5 B.x2,x,5
C.3x2,2x,5 D.3,2,5
5.對于多項式-3x+2xy2-1,下列說法正確的是( )
A.一次項的系數(shù)是3
B.次數(shù)最高的項是2xy2
C.常數(shù)項是1
D.是四次三項式
A
B
C
B
①②③⑤⑦
①②⑦
③⑤
9.如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)求陰影部分的周長.
(2)求陰影部分的面積.
(3)上述所求的周長和面積分別是幾次幾項式 每一項的系數(shù)是什么
解:(1)陰影部分的周長=2a+2πr.
(2)陰影部分的面積=2r·a-πr2=2ra-πr2.
(3)2a+2πr是一次二項式,2a的系數(shù)是2,2πr的系數(shù)是2π;
2ra-πr2是二次二項式,2ra的系數(shù)是2,-πr2的系數(shù)是-π.
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去括號法則
(1)括號前是“+”,把括號和它前面的“+”去掉后,原括號里各項的符號都　 　.
(2)括號前是“-”,把括號和它前面的“-”去掉后,原括號里各項的符號都要　 　.
第2課時　去括號
不改變
改變
精講練　新知探究
探究點　去括號法則
例1　去括號:
(1)n-3(4-2m);
解:(1)n-3(4-2m)=n-12+6m.
(3)-8(3a-2ab+4)=-24a+16ab-32.
(4)4(m+p)-7(n-2q)=4m+4p-7n+14q.
解:(1)3xy-4xy-(-2xy)=-xy+2xy=xy.
例2　先去括號,再合并同類項:
(1)3xy-4xy-(-2xy);
(2)5a-3b-3(-2b+a);
(3)3(2x2-y2)-2(3y2-2x2).
(2)5a-3b-3(-2b+a)=5a-3b+6b-3a=2a+3b.
(3)3(2x2-y2)-2(3y2-2x2)=6x2-3y2-6y2+4x2=10x2-9y2.
鞏固訓(xùn)練
1.下列選項中,去括號正確的是( )
A.a+(b-1)=a-b-1
B.a+(b-1)=a+b+1
C.a-(b-1)=a-b+1
D.a-(b-1)=a-b-1
2.下列各式與多項式a-b-c不相等的是( )
A.(a-b)-c B.a-(b+c)
C.-(b+c-a) D.a-(b-c)
C
D
3.計算-3(x-2y)+4(x-2y)的結(jié)果是( )
A.x-2y B.x+2y
C.-x-2y D.-x+2y
4.“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法,它在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛.如:已知m+n=-2,mn=-4,則2(mn-3m)-3(2n-mn)的值為( )
A.-2 B.-8
C.-6 D.-4
A
B
5.先去括號,再合并同類項:
(1)5a-(a+3b);
(2)-2x-(-3x+1);
(3)3x-2+2(x-3);
(4)(2a2-b2)-3(a2-2b2).
解:(1)5a-(a+3b)=5a-a-3b=4a-3b.
(2)-2x-(-3x+1)=-2x+3x-1=x-1.
(3)3x-2+2(x-3)=3x-2+2x-6=5x-8.
(4)(2a2-b2)-3(a2-2b2)=2a2-b2-3a2+6b2=-a2+5b2.
6.(2025婁底期末)化簡并求值:
6b2+(a2b-3b2)-2(2b2-a2b),其中a=-2,b=1.
解:原式=6b2+a2b-3b2-4b2+2a2b
=3a2b-b2.
當(dāng)a=-2,b=1時,
原式=3×(-2)2×1-12
=12-1
=11.
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3　探索與表達規(guī)律
第1課時　探索規(guī)律
1.數(shù)與算式的規(guī)律問題:首先要認真觀察數(shù)與數(shù)之間的規(guī)律及算式本身存在的規(guī)律,把等式橫向、縱向分別進行比較,找出其中的不變部分與變化部分,然后找出其中的變化規(guī)律.
2.探索圖形變化的規(guī)律問題:要注意觀察圖形、分析圖形特點,挖掘相鄰兩個圖形間的增減變化關(guān)系,有時也可將圖形進行分割,從不同角度
分析圖形的變化特點,從中找出規(guī)律,大膽猜想,用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)
式表示規(guī)律并加以驗證.
3.探究規(guī)律的一般步驟
(1)仔細觀察思考,尋找　 　關(guān)系;
(2)用　 　式或等式表示規(guī)律;
(3)用具體的數(shù)值驗證規(guī)律.
數(shù)量
代數(shù)
精講練　新知探究
探究點　數(shù)式及圖形變化中的規(guī)律
例1　如圖所示的是某月的月歷表,用帶陰影的方框恰好蓋住4個數(shù),若這樣的陰影方框可以上下左右移動.設(shè)a表示的數(shù)是x,則這4個數(shù)的和為
　 　(用含x的代數(shù)式表示).
4x+14
例2　用相等長度的火柴棒搭成如圖所示的一組圖形,按照此規(guī)律,搭第n個圖形要用的火柴棒的根數(shù)用含n的代數(shù)式表示為　 　.
8n+4
鞏固訓(xùn)練
1.一組按照規(guī)律排列的式子如下:2m,-5m2,10m3,-17m4,26m5,….根據(jù)規(guī)律寫出的第21個式子為( )
A.401m21 B.-401m21
C.442m21 D.-442m21
2.如圖所示,在一個角內(nèi)部畫射線,畫1條射線時,圖中共有3個角;畫2條射線時,圖中共有6個角;畫3條射線時,圖中共有10個角.畫10條射線時,圖中共有　 　個角.
C
66
3.如圖所示,用同樣規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)長方形地面,請觀察圖形并解答有關(guān)問題:
(1)第99個圖形中,第一行共有　 　塊瓷磚,第一列共有　 　塊瓷磚,該圖中白色瓷磚共有　 　塊;
(2)第n個圖形中,鋪設(shè)地面所用黑色瓷磚的塊數(shù)為　 　(用含n的代數(shù)式表示).
102
103
10 100
4n+10
n=1　 n=2　 n=3　
…
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第2課時　借助運算解釋規(guī)律和現(xiàn)象
借助代數(shù)運算解釋規(guī)律和現(xiàn)象,需要借助字母列出算式并加以計算.根據(jù)計算的結(jié)果說明理由.
精講練　新知探究
探究點　借助運算解釋規(guī)律和現(xiàn)象
例題　某學(xué)校將組織學(xué)生參加長跑活動.七(2)班班主任王老師對全班46名同學(xué)說:想?yún)⒓拥耐瑢W(xué)舉手,如果舉手的人數(shù)和沒有舉手的人數(shù)之差是奇數(shù),我只派9個班干部參加;如果是偶數(shù),讓全班同學(xué)參加.請用學(xué)過的知識來說明老師的真實想法.
解:設(shè)舉手的人數(shù)為x,那么沒有舉手的人數(shù)為(46-x),舉手的人數(shù)和沒有舉手的人數(shù)之差為x-(46-x)=x-46+x=2x-46=2(x-23).
因為x是整數(shù),所以x-23是整數(shù).
所以2(x-23)是偶數(shù).
所以老師的真實想法是讓全班同學(xué)都參加.
解答數(shù)字游戲規(guī)律問題的一般步驟
(1)用字母表示題目中相關(guān)的量;
歸納總結(jié)
(2)根據(jù)要求列出代數(shù)式來表達數(shù)量關(guān)系;
(3)根據(jù)運算的結(jié)果發(fā)現(xiàn)并解釋規(guī)律或現(xiàn)象.
鞏固訓(xùn)練
1.甲對乙說:“有一個游戲,規(guī)則是任想一個數(shù),把這個數(shù)乘2,結(jié)果加上8,再除以2,最后減去所想的數(shù),此時我就知道結(jié)果.”那么結(jié)果是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如圖所示的是一個“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”,若開始輸入x的值是8,則第1次輸出的結(jié)果是4,第2次輸出的結(jié)果是2,…,第2 024次輸出的結(jié)果是( )
A.8 B.4
C.2 D.1
D
C
3.萊蒙托夫是俄國著名的詩人,愛好數(shù)學(xué),有一次,他給一些軍官表演猜數(shù)游戲,他請一名軍官隨便想好一個數(shù),不要說出來,然后請這位軍官將想好的數(shù)加上25,再加上125,再減去37,再減去最初想好的數(shù),把所得的數(shù)乘5,最后再除以2.這時萊蒙托夫說,我可以猜出你算出的結(jié)果,這個結(jié)果是　 　.
282.5
4.對于以下三位正整數(shù):121,253,374,495,583,671,880,….它們都能被11整除.若設(shè)百位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b,個位數(shù)字是c.
(1)觀察這些三位數(shù),根據(jù)你的觀察,總結(jié)a,b,c滿足的關(guān)系式是　 ;
(2)為了說明滿足a,b,c上述關(guān)系式的三位正整數(shù)都能被11整除,請利用代數(shù)式的運算說明你得出的結(jié)論的正確性.
解:(1)a+c=b
(2)因為a+c=b,
所以100a+10b+c=100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c=110a+11c=
11(10a+c),
所以能被11整除.
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1.所含字母相同,并且相同字母的　 　也相同的項,叫作同類項.
所有　 　項都是同類項.
2.合并同類項
把同類項合并成　 　項叫作合并同類項.
3.合并同類項的法則
合并同類項時,把同類項的 　相加,字母和字母的指數(shù) 　.
2　整式的加減
第1課時　合并同類項
指數(shù)
常數(shù)
一
系數(shù)
不變
精講練　新知探究
探究點一　同類項的概念
例1　下列各組式子,屬于同類項的有哪些
(1)2a2b與2ab2; (2)3a與3b;
解:(1)2a2b與2ab2中的字母相同,但a,b的指數(shù)不同,故不是同類項.
(2)3a與3b所含字母不同,故不是同類項.
(4)-x2y3與6y3x2所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同,故是同類項.
方法技巧
識別同類項的方法
(1)所含字母相同,相同字母的指數(shù)相同;
(2)同類項與系數(shù)無關(guān),與字母的先后順序無關(guān);
(3)幾個常數(shù)項也是同類項.
鞏固訓(xùn)練
1.下列各式中,是5x2y的同類項的是( )
A.3a2b B.x3
C.-x2y D.5x2yz
2.下列各組單項式中,不是同類項的是( )
A.-a2與2a2 B.-mn與2nm
C.2與0 D.2m4n2與4m2n4
3.寫出單項式-9x2y3的一個同類項:　 　.
C
D
6x2y3(答案不唯一)
探究點二　合并同類項
例2　合并同類項:
(2)4ax+a2-6ax+8ax+4+5a2-3
=(4-6+8)ax+(1+5)a2+(4-3)
=6ax+6a2+1.
方法技巧
合并同類項的方法
(1)用不同的符號作標(biāo)記,找全同類項;
(2)合并同類項時,只合并同類項的系數(shù),字母及其指數(shù)不變.
鞏固訓(xùn)練
D
D
(2)2a2b+3a2b-6a2b=(2+3-6)a2b=-a2b.
(3)ab-xy-ab+2xy=(ab-ab)+(-xy+2xy)=xy.
(4)-4n2m+2mn+9mn2-3mn=(-4n2m+9mn2)+(2mn-3mn)=5mn2-mn.
鞏固訓(xùn)練
A
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1.進行整式加減運算時,如果遇到括號要先 　,再合并　 　.
2.多項式作為整體參與計算時,要注意添加括號.
第3課時　整式的加減
去括號
同類項
精講練　新知探究
探究點一　整式的加減運算
例1　已知A=a2-2ab+b2,B=a2+2ab+b2.求:
解:(1)A+B=a2-2ab+b2+a2+2ab+b2=2a2+2b2;
鞏固訓(xùn)練
1.多項式6a2-5a+3與多項式5a2+2a-1的差是( )
A.a2-7a+4 B.a2-3a+2
C.a2-7a+2 D.a2-3a+4
2.已知M=2a+b,N=4a-3b,則2M-N的結(jié)果為( )
A.-2b B.-b
C.4b D.5b
A
D
解:(1)3a+2b-(-3a-5b)
=3a+2b+3a+5b
=6a+7b.
3.計算:
(1)3a+2b-(-3a-5b);
(2)-2y3+(-x2y+3xy2)-2(xy2-y3).
(2)-2y3+(-x2y+3xy2)-2(xy2-y3)
=-2y3-x2y+3xy2-2xy2+2y3
=xy2-x2y.
探究點二　整式加減的應(yīng)用
例2　已知一個兩位數(shù)的個位數(shù)字是a,十位數(shù)字比個位數(shù)字大2.
(1)這個兩位數(shù)是多少 (用含a的式子表示,結(jié)果化到最簡)
(2)把這個兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置得到一個新的兩位數(shù),試說明新數(shù)與原數(shù)的和能被22整除.
解:(1)根據(jù)題意,得10(a+2)+a=11a+20,則這個兩位數(shù)是11a+20.
(2)新兩位數(shù)是10a+a+2=11a+2,
新數(shù)與原數(shù)的和是11a+20+11a+2=22a+22=22(a+1),
所以新數(shù)與原數(shù)的和能被22整除.
鞏固訓(xùn)練
4.一個長方形的周長為6a+8b,其中一邊長為2a-b,則與其相鄰的另一邊長為( )
A.4a+5b B.a+b
C.a+5b D.a+7b
C
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