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2　角
第1課時　角的認識
1.角的定義:由兩條具有　 　的射線組成的圖形叫作角,也可以看成是由一條射線繞著它的端點　 　而成的.
2.角可以用一個或三個　 　表示,也可以用一個小寫的　　 .
或　 　表示.
3.角的常用度量單位有　　、　　、　　,它們之間的進率是60.
公共端點
旋轉
大寫字母
希臘字母
阿拉伯數字
度
分
秒
精講練　新知探究
探究點一　角的概念與角的表示方法
例1　請將圖中的角用不同方法表示出來,并填寫下表:
解:從左到右依次填:∠α,∠ABC,∠ACB,∠ACF,∠BAC.
∠ABE
∠1 ∠2 ∠3 ∠A
鞏固訓練
1.下列說法中正確的是( )
A.兩條射線組成的圖形叫作角
B.直線是一個平角
C.一條射線就是一個周角
D.∠AOB與∠BOA表示同一個角
D
2.如圖所示,以點O為端點有四條射線,則圖中組成角的個數為( )
A.4 B.6
C.8 D.10
B
3.如圖所示.
(1)能用一個字母表示的角是　 　;
(2)以B為頂點的角是　 　;
(3)小于平角的角有　 　個,
分別為　 　.
∠A,∠C
∠ABE,∠ABC,∠EBC
7
∠A,∠ABE,∠ABC,∠EBC,∠C,∠AEB,∠CEB
探究點二　角度的單位及換算、方位角
例2　26.54°=　 　°　 　′　 　″;
35°40′30″=　 　°.
例3　如圖所示,射線OP表示的方向是　 　.
26
32
24
35.675
北偏西60°
鞏固訓練
4.教材變式題　鐘表在9:10時,時針與分針所成的鈍角為( )
A.125° B.135° C.145° D.155°
5.(1)34.37°=　 　°　 　′　 　″.
(2)34°18′36″=　 　°.
C
34
22
12
34.31
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1　線段、射線、直線
第1課時　線段、射線、直線
1.線段、射線、直線
第四章　基本平面圖形
名 稱 圖例 表示方法 延伸 方向 端點 個數 可否
度量
線 段 線段AB或線段BA或線段a 不延伸 2 可
射 線 射線AB 一個 方向 1 否
直 線 直線AB或直線BA或直線a 兩個 方向 0 否
聯 系 ①將線段向一個方向無限延長就形成了射線,向兩個方向無限延長就形成了直線; ②線段和射線可看作直線的一部分 2.點與直線的位置關系:點在直線　 ,點在直線　 　.
3.直線的基本事實
經過兩點有且只有　 　條直線,簡述為　 　.
外
上
一
兩點確定一條直線
精講練　新知探究
探究點一　線段、射線、直線
例1　如圖所示,A,B,C是直線l上的 3個點.
(1)圖中共有幾條線段 把它們表示出來.
(2)圖中以點B為端點的射線有幾條 怎樣表示
(3)直線l還可以怎樣表示
解:(1)圖中共有3條線段,分別表示為線段AB(或線段BA),線段AC(或線段CA),線段BC(或線段CB).
(2)圖中以點B為端點的射線有兩條,分別表示為射線BA與射線BC.
(3)直線l還可以表示為直線AB,直線BA,直線AC,直線CA,直線BC或直線CB.
鞏固訓練
1.手電筒發射出來的光線,類似于幾何中的( )
A.線段 B.射線 C.直線 D.折線
2.下列說法正確的是( )
A.直線AB與直線BA不是同一條直線
B.射線AB與射線BA是同一條射線
C.延長線段AB和延長線段BA的含義一樣
D.線段AB與線段BA是同一條線段
B
D
3.直線、線段、射線的位置如圖所示,其中能相交的是( )
A　 B　 C　 D　
B
4.根據下列語句,畫出圖形.
如圖所示,已知A,B,C,D四點.
(1)畫直線AB;
(2)連接AC,BD,相交于點O;
(3)畫射線AD,BC,相交于點P.
解:如圖所示.
探究點二　直線的基本事實
例2　下列說法正確的是( )
A.兩點確定兩條直線
B.三點確定一條直線
C.過一點只能作一條直線
D.過一點可以作無數條直線
例3　用一個釘子把一根細木條釘在木板上,用手撥木條,木條能轉動,這說明　 　;用兩個釘子把細木條釘在木板
上,就能固定細木條,這說明　 　.
D
經過一點可以畫無數條直線
兩點確定一條直線
鞏固訓練
5.在下列生活、生產現象中,可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的是( )
A.鐘表的秒針旋轉一周,形成一個圓面
B.把筆尖看成一個點,當這個點運動時便得到一條線
C.把彎曲的公路改直,就能縮短路程
D.木匠師傅鋸木料時,一般先在木板上畫出兩個點,然后過這兩個點彈出一條墨線
6.工人師傅在用方磚鋪地時,常常打兩個木樁,然后沿著拉緊的
線鋪磚,這樣地磚就鋪得整齊,這說明　 　.
D
兩點確定一條直線
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第3課時　尺規作圖:作一個角等于已知角
1.作一個角等于已知角
作法與示范:
作法 示范
作射線O′A′
以點O為圓心,以任意長為半徑畫弧,交OA于點C,交OB于點D
以點O′為圓心,以OC長為畫弧,交O′A′于點C′
以點C′為圓心,以CD長為半徑畫弧,交前面的弧于點D′
過點D′作射線O′B′. 則∠A′O′B′就是所要作的角
2.作一個角等于已知角是尺規作圖中的一種基本作圖,先任意作一條
　 　作為角的一邊,再確定另一邊.這一過程必須使用三次圓規畫弧.作角的步驟可簡記為首尾畫射線,中間三條弧.
射線
精講練　新知探究
探究點　用尺規作一個角等于已知角
例題　如圖所示,已知∠AOB.
求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法:①以點　 　為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點C,D.
②畫一條射線O′A′,以點　 　為圓心,　 　長為半徑畫弧,交O′A′于點C′.
③以點　 　為圓心,　 　長為半徑畫弧,與第②步中所畫的弧交于點D′.
④過點　 　畫射線O′B′.
則∠A′O′B′=∠AOB.
O
O′
OC
C′
CD
D′
鞏固訓練
1.如圖所示,點C在∠AOB的OB邊上,用尺規作出了∠NCB=∠AOB,作圖痕跡中,弧FG是( )
A.以點C為圓心,OD為半徑所畫的弧
B.以點C為圓心,DM為半徑所畫的弧
C.以點E為圓心,OD為半徑所畫的弧
D.以點E為圓心,DM為半徑所畫的弧
D
2.如圖所示,第一步以點O為圓心,以任意長為半徑畫弧①,分別交OA,OB于點E,F;第二步以點E為圓心,以線段EF的長為半徑畫弧②,過兩弧的交點作射線OC,若∠AOB=36°,則∠BOC的度數為　 　°.
72
3.尺規作圖:已知∠α,∠β,求作∠AOB,使∠AOB=∠α+∠β.(保留作圖痕跡)
解:如圖所示,∠AOB即為所作.
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第2課時　比較線段的長短
1.線段的基本事實
兩點之間的所有連線中,線段最短,簡述為　 　.
2.兩點間的距離:兩點之間線段的　 　,叫作這兩點之間的距離.
3.比較兩條線段長短的方法:　 　和　 　.
4.尺規作圖:只用　 　的直尺和圓規畫圖稱為尺規作圖.
5.線段的中點:把一條線段分成　 　的兩條線段的點叫作
線段的中點.
兩點之間線段最短
長度
度量法
疊合法
沒有刻度
相等
精講練　新知探究
探究點一　線段的基本事實及兩點間的距離
例1　相關部門開山挖隧道,把盤山公路改為平直的隧道后,大家開車經過的路程明顯減短,出現這種現象的原因是　 　.
例2　下列說法中,錯誤的是( )
A.兩點之間的所有連線中,線段最短
B.兩點確定一條直線
C.連接兩點的線段叫作兩點間的距離
D.連接兩點的線段的長度叫兩點間的距離
兩點之間線段最短
C
兩點之間的距離與線段的區別
兩點之間的距離是連接兩點線段的長度,是數量,而不是線段,線段是圖形.
歸納總結
鞏固訓練
1.小王準備從A地去往B地.如圖所示,導航提供的三條可選路線,其長分別為131 km,108 km,128 km.但實際A,B兩地之間的距離為95.5 km.能解釋這一現象的數學知識是( )
A.兩點之間線段最短
B.垂線段最短
C.兩點之間直線最短
D.兩點確定一條直線
A
探究點二　線段長短的比較與尺規作圖
例3　有不在同一直線上的兩條線段AB和CD,李明很難判斷出他們的長
短,因此他借助圓規,操作如圖所示,由此可得出( )
A.AB=CD B.AB>CD
C.ABB
例4　已知線段a,b,c(a>c)(如圖所示).
作線段AB,使AB=a+b-c.
解:(1)畫射線AE.
(2)在射線AE上順次截取AC,CD,使AC=a,CD=b.
(3)在線段AD上截取線段DB,使DB=c,則線段AB為所求.
鞏固訓練
2.如圖所示,在三角形ABC中,比較線段AC和AB的長短,科學的方法有( )
①沿點A折疊,使AB與AC在同一條直線上,觀察點B相對于點C的位置;②用直尺度量出AB和AC的長度;③用圓規將線段AB疊放到線段AC上,觀察點B相對于點C的位置;④憑感覺估計.
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
C
3.已知線段a,b,作線段AB=2a-b.(要求:尺規作圖,并保留作圖痕跡)
解:如圖所示,首先作一條射線AE,然后在射線AE上依次截取AC,CD,使AC=CD=a,最后在線段AD上截取DB=b,則線段AB即為所求.
鞏固訓練
4.如圖所示,小林利用圓規在線段CE上截取線段CD,使CD=AB.若點D恰好為CE的中點,則下列結論中錯誤的是( )
C
5.若點B在線段AC上,AB=6 cm,BC=10 cm,P,Q分別是AB,BC的中點,則線段PQ的長為( )
A.3 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm
D
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3　多邊形和圓的初步認識
1.多邊形:由若干條不在同一直線上的線段首尾順次相連組成的　 　.
平面圖形叫作多邊形.
2.對角線:連接多邊形不相鄰兩個頂點的線段叫作多邊形的對角線.
3.正多邊形:各邊　 　,各角也　 　的多邊形叫作正多邊形.
封閉
相等
相等
4.圓:平面上,一條線段繞著它固定的一個端點旋轉一周,另一個端點形成的圖形叫作圓.固定的端點叫作　 　,這條線段叫作圓的　 　.
5.弧:圓上任意兩點間的　 　叫作圓弧,簡稱弧.
6.扇形:由一條弧和經過這條弧的端點的兩條　 　所組成的圖形叫作扇形.
7.圓心角:頂點在　 　的角叫作圓心角.
圓心
半徑
部分
半徑
圓心
精講練　新知探究
探究點一　多邊形
例1　下面圖形是多邊形的是( )
例2　過一個多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成 4 個三角
形,則這個多邊形的邊數為( )
A.7 B.4
C.5 D.6
D
D
n邊形有n條邊,n個頂點,n個內角,過n邊形的一個頂點有(n-3)條對角線,將n邊形分割成(n-2)個三角形.
歸納總結
鞏固訓練
1.如圖所示的圖形中,屬于多邊形的有( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
2.從五邊形的一個頂點出發,可以畫出m條對角線,它們將五邊形分成n個三角形.則m,n的值分別為( )
A.1,2 B.2,3
C.3,4 D.4,4
B
B
3.易錯題　從多邊形一條邊上的一點(不是頂點)處出發,連接各個頂點得到2 023個三角形,則這個多邊形的邊數為( )
A.2 024 B.2 023
C.2 022 D.2 021
4.下列說法正確的是( )
A.圓上任意兩點間的線段叫作弧
B.由一條弧和兩條半徑所組成的圖形叫作扇形
C.頂點在圓上的角叫作圓心角
D.圓就是一條線段繞著它固定的一個端點旋轉一周,另一個端
點形成的圖形
A
D
探究點二　圓
例3　將一個半徑為2的圓分割成四個扇形,它們的圓心角的度數比為3∶6∶8∶7.
(1)求這四個扇形的圓心角的度數;
(2)求最大扇形的面積(結果保留π).
(1)扇形的圓心角度數的算法
圓心角度數=360°×扇形占整個圓的比.
歸納總結
鞏固訓練
5.跨學科融合　扇子最早稱“翣”,在我國已有兩千多年歷史.“打開半個月亮,收起兜里可裝,來時荷花初放,去時菊花正黃.”這則謎語說的就是扇子.如圖所示,一竹扇完全打開后,外側兩竹條AB,AC的夾角為135°,
AB的長為30 cm,扇面BD的長為20 cm,則扇面的面積為( )
C
6.如圖所示,甲、乙、丙、丁四個扇形的面積之比是1∶2∶3∶4,則甲、乙、丙、丁四個扇形中的最大圓心角的度數是　 　.
144°
60°
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第2課時　角的大小比較
1.比較兩個角的大小的常用方法
　 　和　 　.
2.角的平分線
從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個　 　的角,這條射線叫作這個角的平分線.
度量法
疊合法
相等
精講練　新知探究
探究點一　角的大小比較
例1　比較兩個角的大小,有以下兩種方法:
(1)用量角器度量兩個角的大小,角度大的角大;
(2)構造圖形,如果一個角包含另一個角,則這個角大.
對于如圖所示的∠ABC與∠DEF,用以上兩種方法比較它們的大小.
解:方法一:用量角器度量,得∠ABC=50°,∠DEF=70°,故∠DEF>∠ABC.
方法二:如圖所示,把∠ABC放在∠DEF上,使B和E重合,邊EF和BC在同一條直線上,DE和BA在EF的同側,從圖形上可以看出∠DEF包含∠ABC,故∠DEF>∠ABC.
鞏固訓練
1.∠α和∠β的頂點和一邊都重合,另一邊都在公共邊的同側,且∠α>
∠β,那么∠α的另一邊落在∠β的( )
A.另一邊上 B.內部
C.外部 D.以上結論都不對
2.∠A=40.4°,∠B=40°4′,關于兩個角的大小,下列說法正確的是( )
A.∠A>∠B B.∠A<∠B
C.∠A=∠B D.無法確定
C
A
探究點二　角的平分線及角的運算
例2　如圖所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=40°,OD平分∠AOC,求∠BOD的度數.
鞏固訓練
3.如圖所示,已知O是直線AB上一點,∠1=50°,OD平分∠BOC,則∠2的度數是( )
A.25°
B.50°
C.65°
D.70°
4.易錯題　已知∠AOB=80°,在其頂點O處引一條射線OC,且∠BOC=
40°,則∠AOC=　 　.
C
40°或120°
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