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13.2.2 三角形的中線、角平分線、高
第十三章 三角形
01
理解三角形的中線、角平分線、高的概念，了解三角形的重心.
02
掌握三角形的中線、角平分線、高的畫法.
03
能應用三角形的中線、角平分線、高的概念進行簡單的計算.
我們已經學習了三角形的邊和角，那么與三角形有關的線段還有哪些呢？你能說一說嗎？
與三角形有關的線段
三角形的高
三角形的中線
三角形的角平分線
B
A
C
D
定義：在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線. AD是BC邊上的中線.
活動1：如圖，如果點D是線段BC的中點，那么線段AD就稱為三角形△ABC的中線.試說明什么叫三角形的中線.
想一想：由三角形的中線能得到什么數量關系？
任務：三角形的中線、角平分線、高的概念及其畫法.
如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察中線的交點有什么規律？
小結：三角形的三條中線交三角形內部于一點，這個交點叫做三角形的重心.
思考：如圖，在△ABC中，AD是△ABC的中線. 試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關系？為什么？
相等，因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等
B
A
C
D
小結：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.
A
C
B
∠1=∠2
1
2
D
角的平分線是射線，△ABC的角平分線是__________；
△ABC的角平分線有_______條.
活動2：如圖，在△ABC中，如果∠BAC的平分線AD交BC邊于點D,我們就稱AD是△ABC的角平分線.你能得到哪些結論？
定義：在三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做這個三角形的角平分線.
線段
3
A
C
B
∠1=∠2
1
2
D
活動2：如圖，在△ABC中，如果∠BAC的平分線AD交BC邊于點D,我們就稱AD是△ABC的角平分線.你能得到哪些結論？
定義：在三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做這個三角形的角平分線.
想一想：由三角形的角平分線能得到什么數量關系？
請分別畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形這三個三角形的三條角平分線. 在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關系
小結：三角形的三條角平分線交三角形內部于一點.
定義：從三角形的一個頂點，向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
A
B
C
D
注意：標明垂直的記號和垂足的字母.
活動3：什么是三角形的高？怎樣畫三角形的高？
如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，并觀察高的交點有什么規律？
畫圖發現：
三角形的三條高交于一點.
(1)銳角三角形的高交于三角形內一點;
(2)直角三角形的高交于直角的頂點；
(3)鈍角三角形的高交于三角形外一點.
下列說法中錯誤的是（ ）
A. 三角形三條高至少有一條在三角形的內部
B. 三角形三條中線都在三角形的內部
C. 三角形三條角平分線都在三角形的內部
D. 三角形三條高都在三角形的內部
直角三角形有兩條高就是直角三角形的邊，一條在內部，鈍角三角形的兩條高在外部，故此說法錯誤
D
解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.
活動4：如圖,已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°.求∠ADB的度數．
三角形
高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和
垂足之間的線段.
角平分線：在三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，
這個角的頂點與交點之間的線段
中線：在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段
1.如圖，△ABC的BC邊上的高是(　B　)
A. BE
B. AF
C. CD
D. CF
B
2. 如圖，在△ABC中，AE是高，BD是角平分線，CF是中線.下列說法不正確的是(　A　)
A. ∠ACF＝∠BCF
B. ∠ABD＝∠CBD
C. ∠AEC＝∠AEB
D. AF＝BF
A
4.如圖，AD、BE、CF是△ABC的三條角平分線，∠2=50°，∠ABC=50°，∠ACB=30°，則∠1=______, ∠3=_______, ∠4=_______.
50°
25°
15°
A
C
B
F
E
D
1
2
3
4
分析：根據三角形角平分線的性質可得：∠1=∠2，
∠ABC=2∠3，∠ACB=2∠4.
3.如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，S△AEC=3cm2，則S△ABC= .
12cm2
5.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.
解： ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C )
=180°－90°－40°=50°.
∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，
∴∠CAE=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.
B
A
C
D
E
6. 如圖，AD是△ABC的中線.
(1)已知AB＝7，AC＝5，則△ABD與△ACD的周長差為 ；
2　
(2)已知AE⊥BC，垂足為E. 若BC＝10，AE＝6，求△ABD的面積.
解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝ BC＝ ×10＝5，
∴S△ABD＝ BD·AE＝ ×5×6＝15.

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