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(共16張PPT)
13.3.1 三角形的內(nèi)角
課時(shí)1 三角形的內(nèi)角和定理
第十三章 三角形
01
會(huì)證明三角形內(nèi)角和等于180°.
02
能夠應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.
一天，三類三角形通過自身的特點(diǎn)，講出了自己對(duì)三角形內(nèi)角和的理解，請(qǐng)同學(xué)們作為小判官給它們?cè)u(píng)判一下吧.
不對(duì)，我有一個(gè)鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.
我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.
我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.
任務(wù)一：證明三角形內(nèi)角和等于180°.
活動(dòng)：在紙上任意畫一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.下圖給了兩種剪拼的方法，從這個(gè)操作過程中，你能發(fā)現(xiàn)證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的思路嗎？
A
B
C
B
C
A
B
C
A
B
問題1：如圖，∠B，∠C分別拼湊在∠A的左右兩側(cè)，三個(gè)角合起來形成一個(gè)平角，出現(xiàn)一條過點(diǎn)A的直線l. 想一想，直線l與△ABC的邊BC有什么關(guān)系？
從位置關(guān)系和角度的大小關(guān)系可以看出，直線l與邊BC是平行關(guān)系.
A
B
C
B
C
l
問題2：已知：△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.你能給出幾種方法？
證法一：過點(diǎn)A作l∥BC，
∴∠B=∠1，
(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
∠C=∠2.
(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
l
A
B
C
1
2
證法二：
如圖延長(zhǎng)BC到D，過C作CE∥BA.
∴∠A=∠2，
∠B=∠1
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
D
1
2
E
問題2：已知：△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.你能給出幾種方法？
A
B
C
(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
(兩直線平行,同位角相等)
證法三：
如圖過A作AE∥BC.
E
問題2：已知：△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.你能給出幾種方法？
A
B
C
∴∠B=∠1
(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
∠EAC+∠C=180°
(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))
∵∠EAC=∠1+∠BAC，∠B=∠1，∠EAC+∠C=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
1
思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？
A
B
C
D
E
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
歸納總結(jié)：為了證明三角形內(nèi)角和為180°，轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.
在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.
任務(wù)二：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理.
例1：如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線.求∠ADB的度數(shù).
解：∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=20°.
∵在△ADB中，∠B=75°，
∴∠ADB=180°－∠BAD－∠B=85°
（三角形內(nèi)角和定理）.
北
A
D
北
C
B
東
E
例2：如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？
分析：A、B、C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
解： ∠CAB= ∠BAD－ ∠CAD=80 °－50°=30°.
由AD//BE，得∠BAD + ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °－∠BAD=180°－80°=100°,
∠ABC= ∠ABE－∠EBC=100°－40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180 °－∠ABC－∠ CAB
=180°－60°－30°=90°,
答：從B島看A、C兩島的視角∠ABC是60°,從C島看A、B兩島的視角∠ACB是90°.
北
A
D
北
C
B
東
E
50°
80°
40°
求角度
證法
應(yīng)用
轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角
或同旁內(nèi)角互補(bǔ)
三角形的內(nèi)角和等于180 °
作輔助線
轉(zhuǎn)化思想
1.在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，則∠C的度數(shù)是（　　）
A. 50° B. 45°
C. 40° D. 30°
A
2.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是一條角平分線，且相交于點(diǎn)P．已知∠APE=55°，∠AEP=80°，則∠B為 度．
45
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
3.如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度數(shù)．

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