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13.3.2 三角形的外角
第十三章 三角形
01
理解三角形外角的概念，能識別三角形的外角.
02
掌握三角形的外角的性質，并能運用這些性質解決簡單的問題.
任務一：三角形外角的概念.
C
B
A
D
∠ACD是△ABC的一個外角
定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.
活動：請同學們動手畫△ABC，把△ABC的一邊BC延長到D，得到∠ACD，觀察∠ACD和△ABC的位置關系，你知道∠ACD是△ABC的哪一種角嗎？和同伴交流.
問題1：如圖，延長AC到E，∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？
∠BCE是△ABC的一個外角，
∠DCE不是△ABC的一個外角.
C
B
A
D
E
問題2：如圖，∠ACD與∠BCE有什么關系？在三角形的每個頂點處有多少個外角？
∠ACD 與∠BCE為對頂角，∠ACD =∠BCE；
在三角形每個頂點處都有兩個外角.
三角形的外角應具備的條件：
①角的頂點是三角形的頂點；
②角的一邊是三角形的一邊；
③另一邊是三角形中一邊的延長線.
C
B
A
D
∠ACD是△ABC的一個外角，每一個三角形都有6個外角．
1.如圖，∠BEC是哪個三角形的外角？∠AEC是哪個三角形的外角？∠EFD是哪個三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
問題1：如圖，△ABC的外角∠CBD與其相鄰的內角∠ABC有什么關系？
A
B
C
D
任務二：三角形的外角的性質
活動：我們已經知道了三角形外角的概念，那么三角形的外角與三角形的內角有哪些關系呢？和同伴交流，回答以下問題.
BD為AB邊延長線，所以與AB邊共直線，
∴∠ABC+∠CBD=180°，
∴∠ABC與∠CBD互補.
A
B
C
D
問題2：在△ABC中，外角∠CBD和與它不相鄰的內角，∠A和∠C在大小上有什么關系？
∠A+∠C+∠ABC=180°，
∠ABC+∠CBD=180°，
所以∠A+∠C=∠CBD.
歸納小結：1.三角形的外角與它相鄰的內角互補.
2.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
A
B
C
D
問題3：任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內角是否都有這種關系？
如圖，求證：∠ACD=∠A+∠B.（用作平行線的方法證明此結論.）
證明：過C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，(兩直線平行，同位角相等)
∠2= ∠A ，(兩直線平行，內錯角相等)
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
1
2
E
2.說出下列圖形中∠1和∠2的度數.
(
(
(
(
1
2
60°
75°
(1)
(
70°
1
2
(2)
(3)
(
(
(
(
(
2
1
50°
40°
60°
解：
在圖(1)中，∠1=180°-60°-75°=45°，∠2=60°+75°=135°；
在圖(2)中，∠1=90°-70°=20°，∠2=70°+90°=160°；
在圖(3)中，∠2=50°+60°=110°，∠1=180°-∠2-40°=30°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
例4：如圖，∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？試著算一算.
(
(
(
總結：如圖，三角形的三個不同位置的外角和等于360°.
(
(
(
三角形的外角和不是指六個外角的總和，而是說在三角形的每一個頂點處取一個外角，三個不同頂點處的外角和叫做三角形的外角和.
3.判斷下列觀點是否正確.
（1）三角形的外角都是鈍角. （ ）
（2）三角形的外角大于任何一個內角. （ ）
（3）三角形的外角等于它的兩個內角的和. （ ）
（4）三角形的外角和等于360°. （ ）
分析：（1）三角形的外角是銳角、鈍角或者直角.
（2）三角形的外角大于任何一個不相鄰內角.
（3）三角形的外角等于它的不相鄰兩個內角的和.
×
×
×
√
經過本節課的學習，請回答以下問題。
1.說說三角形外角的定義和性質.
2.三角形的外角和是多少？
三角形的外角
定義
性質
三角形的外角和
角的一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形的另一邊的延長線
三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內角的和
三角形的外角和等于360°
1.如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的外角平分線，且CD∥AB，若∠ACB=100°，則∠B的度數為（　　）
A．35° B．40°C．45° D．50°
B
2.如圖，△ABC中，∠ABC=∠C=70°，BD平分∠ABC，則∠ADB的度數為 .
105°
3 .如圖，D是△ABC的BC邊上一點，∠B=∠BAD， ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求∠B 和∠C的度數.
解：因為∠ADC是△ABD的外角，
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°，
又因為∠B=∠BAD，
所以∠B=40°
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，
所以∠C=180 -40 -70 =70°.
4. 如圖，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°.求∠BDC的度數.
解：如圖，延長BD交AC于點H，
∠BDC＝∠DHC＋∠C，
∠DHC＝∠A＋∠B.
∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C
＝60°＋20°＋30°＝110°.
H

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