資源簡介 (共75張PPT)第八章§8.1 直線的方程數學大一輪復習1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.2.根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式).課標要求課時精練內容索引第一部分 落實主干知識第二部分 探究核心題型落實主干知識第一部分1.直線的方向向量設A，B為直線上的兩點，則就是這條直線的方向向量.2.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l_____的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為 .向上0°≤α<180°3.直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的 叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即k＝ .(α≠90°) (2)過兩點的直線的斜率公式如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .正切值tan α4.直線方程的五種形式名稱 方程 適用范圍點斜式 _______________ 不含直線x＝x0斜截式 __________ 不含垂直于x軸的直線兩點式 ______________________________ 不含直線x＝x1和直線y＝y1截距式 _________ 不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式 ________________________ 平面直角坐標系內的直線都適用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b(x1≠x2，y1≠y2)＝1Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角.( )(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大.( )(3)若直線的傾斜角為α，則斜率為tan α.( )(4)截距一定是正數. ( )×√××2.直線x－y＋2 025＝0的傾斜角是A.30° B.45°C.60° D.90°√根據題意，設直線x－y＋2 025＝0的傾斜角為α，因為其斜率k＝tan α＝，又由0°≤α<180°，所以α＝60°.3.過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為_________________ . 當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當截距不為0時，設直線方程為＝1，則＝1，解得a＝5，直線方程為x＋y－5＝0.所以直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.3x－2y＝0或x＋y－5＝04.直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所過的定點坐標為 . 直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化為m(y＋1)＋y＋x＝0，令解得故所過的定點坐標為(1，－1).(1，－1)1.掌握傾斜角與斜率的關系(1)當直線不垂直于x軸時，直線的斜率和直線的傾斜角為一一對應關系.(2)當直線l的傾斜角α∈時，α越大，直線l的斜率越大；當α∈時，α越大，直線l的斜率越大.(3)所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率.2.直線的方向向量當直線的斜率k存在時，直線的一個方向向量為(1，k).3.謹記以下兩個關鍵點(1)“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數.應注意過原點的特殊情況是否滿足題意.(2)當直線的斜率存在時，可設直線的方程為y＝kx＋b；當直線的斜率不為0時，可設直線的方程為x＝ty＋b.返回微點提醒探究核心題型第二部分例1 (1)如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則A.k1B.k3C.k1D.k3√直線的傾斜角與斜率題型一當傾斜角為銳角時，斜率為正，傾斜角越大，傾斜程度越大，斜率越大；當傾斜角為鈍角時，斜率為負，所以k1(2)直線(1－a2)x＋y＋1＝0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是A. B.C.∪ D.∪√設(1－a2)x＋y＋1＝0的傾斜角為α∈[0，π)，由題意可知，直線的斜率k＝a2－1≥－1，即tan α≥－1，且α∈[0，π)，所以α∈∪.直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區間不是正切函數的單調區間，因此根據斜率求傾斜角的范圍時，要分與兩種情況討論.思維升華跟蹤訓練1 (1)(多選)已知直線l：x＋y－2＝0，則下列選項中正確的有A.直線l的斜率為－B.直線l的傾斜角為C.直線l不經過第四象限D.直線l的一個方向向量為v＝(－，3)√√由l：x＋y－2＝0，可得y＝－x＋2，故其斜率為k＝－，傾斜角為，故A項正確，B項錯誤；由直線y＝－x＋2知其斜率k<0，縱截距b＝2>0，所以直線l不經過第三象限，經過第四象限，故C項錯誤；取直線l上兩點A(0，2)，B(，－1)，可得＝(－，3)，即直線l的一個方向向量為v＝(－，3)，故D項正確.(2)(2025·信陽模擬)動點P在函數y＝－(x＋1)(x≥0)的圖象上，以P為切點的切線的傾斜角的取值范圍是A. B.∪C. D.√設以P點為切點的切線的傾斜角為θ，因為函數y＝－(x≥0)，所以y'＝－＝－≤－×2＝－，當且僅當3，即x＝時取等號，又因為θ∈[0，π)，所以tan θ≤－，所以θ的取值范圍為.例2 (1)(多選)下列四個選項中，正確的是A.經過定點P0(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B.經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示C.兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的直線D.經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示求直線的方程題型二√√經過定點P0(x0，y0)的直線，當斜率存在時，可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，當斜率不存在時，用方程x＝x0表示，A錯誤；經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示，B正確；兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的直線，C正確；經過定點A(0，b)且垂直于x軸的直線不能用方程y＝kx＋b表示，D錯誤.(2)(多選)下列說法中，正確的是A.直線y＝5x－3在y軸上的截距為－3B.過點(3，4)且在x軸、y軸上的截距互為相反數的直線方程為x－y＋1＝0C.A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三點共線D.經過點(－1，1)且傾斜角是直線y＝2x＋3的傾斜角的兩倍的直線方程為4x＋3y＋1＝0√√√直線y＝5x－3在y軸上的截距為－3，故A正確；當在x軸、y軸上的截距都為0時，直線方程為4x－3y＝0；當在x軸、y軸上的截距都不為0時，設直線方程為x－y＝m，則m＝3－4＝－1，所以直線方程為x－y＋1＝0，故過點(3，4)且在x軸、y軸上的截距互為相反數的直線方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0，故B錯誤；因為kAB＝＝2，kAC＝＝2，所以kAB＝kAC，所以A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三點共線，故C正確；設直線y＝2x＋3的傾斜角為α，則tan α＝2，顯然α是銳角，因此所求直線的斜率k＝tan 2α＝＝－，所以所求的直線方程為y－1＝－(x＋1)，即4x＋3y＋1＝0，故D正確.求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式.(2)待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數.思維升華跟蹤訓練2 求符合下列條件的直線方程：(1)直線過點A(－1，－3)，且斜率為－；∵所求直線過點A(－1，－3)，且斜率為－，∴直線方程為y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.(2)斜率為，且與兩坐標軸圍成的區域的面積為6；設直線方程為y＝x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－b，∴|b|·＝6，解得b＝±3，∴直線方程為y＝x±3，即3x－4y±12＝0.(3)直線過點(2，1)，且橫截距為縱截距的兩倍.當橫截距與縱截距都為0時，可設直線方程為y＝kx，又直線過點(2，1)，∴1＝2k，解得k＝，∴直線方程為y＝x，即x－2y＝0；當橫截距與縱截距都不為0時，可設直線方程為＝1，由題意可得解得∴直線方程為＝1，即x＋2y－4＝0，綜上，所求直線方程為x－2y＝0或x＋2y－4＝0.例3 已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程.直線方程的綜合應用題型三方法一 設直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k<0)，則A，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥＝×(4＋4)＝4，當且僅當－4k＝－且k<0，即k＝－時，等號成立.故直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二 設直線l的方程為＝1，且a>0，b>0，因為直線l過點M(2，1)，所以＝1，則1＝≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值為ab＝×8＝4，當且僅當，即a＝4，b＝2時，等號成立，故直線l的方程為＝1，即x＋2y－4＝0.延伸探究1.在本例條件下，當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程.由本例方法二知，＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋≥3＋2，當且僅當，即a＝2＋，b＝1＋時，等號成立，所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為x＋y－2－＝0.2.在本例條件下，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程.由本例方法一知A，B(0，1－2k)(k<0).所以|MA|·|MB|＝·＝2×＝2≥4.當且僅當－k＝－且k<0，即k＝－1時，等號成立.此時直線l的方程為x＋y－3＝0.直線方程綜合問題的兩大類型及解法(1)與函數相結合的問題：一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)的函數，借助函數的性質解決.(2)與方程、不等式相結合的問題：一般是利用方程、不等式的有關知識來解決.思維升華跟蹤訓練3 (1)(2024·菏澤模擬)“直線y＝(k－1)x＋2k＋1經過第一、二、四象限”是“－A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√要使y＝(k－1)x＋2k＋1經過第一、二、四象限，則解得－因此，“直線y＝(k－1)x＋2k＋1經過第一、二、四象限”是“－的充要條件.(2)已知O是坐標原點，直線l的方程為(m＋1)x＋y－2m－3＝0(m∈R).若直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點，則△AOB的面積最小值為 . 4由題意知m≠－1，又(m＋1)x＋y－2m－3＝0，令x＝0，得y＝2m＋3，令y＝0，得x＝，由得到m>－1，所以S△AOB＝×(2m＋3)××，令m＋1＝t>0，得到S△AOB＝××≥×8＝4，當且僅當4t＝，即t＝時取等號，此時m＝－.返回課時精練對一對答案12345678910111213141516題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D A C D B C題號 9 10 11 12 13 答案 BCD AC AC 1718對一對答案12345678910111213141516題號 14 答案 題號 15 16 17 18答案 D 3x－y－5＝01718一、單項選擇題1.若向量a＝(，1)是直線l的一個方向向量，則直線l的傾斜角為A. B. C. D.√12345678910111213141516知識過關答案171812345678910111213141516答案設直線l的傾斜角為α(0≤α<π)，若向量a＝(，1)是直線l的一個方向向量，則直線l的斜率為k＝tan α＝，因為0≤α<π，所以α＝.171812345678910111213141516答案2.已知直線(a－)x＋y＋2＝0的傾斜角為30°，則a等于A.2 B. C. D.0√直線(a－)x＋y＋2＝0的斜率為－a，所以tan 30°＝－a＝，解得a＝.17183.已知兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α，β.若α<<β，則下列關系正確的是A.0C.k1<0√12345678910111213141516答案171812345678910111213141516答案依題意得k1＝tan α，k2＝tan β，α∈，β∈，而y＝tan x在和上單調遞增，且在上，y＝tan x>0，在上，y＝tan x<0，所以tan β<017184.已知直線l傾斜角的余弦值為－，且經過點(2，1)，則直線l的方程為A.2x＋y－5＝0 B.2x－y－3＝0C.x－2y＝0 D.x＋2y－4＝0√12345678910111213141516答案171812345678910111213141516設直線l的傾斜角為θ∈[0，π)，則cos θ＝－，可得sin θ＝，則直線l的斜率k＝tan θ＝＝－2，且直線l經過點(2，1)，所以直線l的方程為y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.答案17185.(2024·重慶期末)函數y＝ex＋1的圖象在點(0，1＋)處的切線的傾斜角為A. B. C. D.√12345678910111213141516答案171812345678910111213141516根據題意，函數y＝ex＋1，y'＝ex，當x＝0時，y'＝，設該切線的傾斜角為α(0≤α<π)，則tan α＝，所以α＝，即函數y＝ex＋1的圖象在點(0，1＋)處的切線的傾斜角為.答案17186.若直線y＝－在y軸上的截距為－1，且它的傾斜角是直線y＝x＋的傾斜角的2倍，則A.m＝－4，n＝－3 B.m＝4，n＝3C.m＝4，n＝－3 D.m＝－4，n＝3√12345678910111213141516答案171812345678910111213141516y＝－＝－x－，令x＝0得y＝－＝－1，得n＝3，即y＝－x－1，設直線y＝x＋的傾斜角為α，則tan α＝，顯然α是銳角，則tan 2α＝，得－，得m＝－4.答案17187.斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側對稱排列.如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為4 m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為18 m.最短拉索的錨P1，A1滿足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直線為x軸，OP10所在直線為y軸，則最長拉索所在直線的斜率為A.± B.±C.± D.±12345678910111213141516√答案171812345678910111213141516答案由題意知{|OPi|}，{|OAi|}(i＝1，2，3，…，10)分別是公差為4和18的等差數列，所以|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OA10|＝|OB10|＝|OA1|＋9×18＝78＋9×18＝240，則P10(0，120)，A10(240，0)，B10(－240，0)，所以，＝－，即最長拉索所在直線的斜率為±.17188.已知直線l的斜率小于0，且l經過點P(6，8)，并與坐標軸交于A，B兩點，C(4，0)，當△ABC的面積取得最小值時，直線l的斜率為A.－ B.－C.－ D.－√12345678910111213141516答案171812345678910111213141516由題意可設直線l：y－8＝k(x－6)(k<0)，即y＝kx＋8－6k(k<0).不妨假設A在x軸上，則A，B(0，8－6k)，易知A在C右側，記O為坐標原點，因為線段OA與OB的長度分別為6－，8－6k，所以△ABC的面積S＝(8－6k)＝≥(64＋2)＝32＋16，當且僅當－＝－12k(k<0)，即k＝－時，等號成立.答案1718二、多項選擇題9.下列命題中錯誤的是A.若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負數B.任何直線都存在斜率和傾斜角C.直線的一般式方程為Ax＋By＋C＝0D.任何一條直線至少要經過兩個象限12345678910111213141516√√答案√171812345678910111213141516答案若直線的傾斜角α∈，則其斜率k＝tan α<0，A正確；傾斜角為的直線不存在斜率，B錯誤；直線的一般式方程為Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0，C錯誤；當直線與x軸或y軸重合時，該直線不經過任何象限，D錯誤.171810.下列結論正確的有A.直線l：2x＋y－2＝0在x軸上的截距為1B.如果AB<0，BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經過第三象限C.直線kx－y－2k＋1＝0恒過定點(2，1)D.方程y－4＝k(x－3)可以表示平面內所有過點(3，4)的直線12345678910111213141516√√答案171812345678910111213141516對于A，當y＝0時，x＝1，即直線l：2x＋y－2＝0在x軸上的截距為1，A正確；對于B，由AB<0，BC<0，得直線Ax＋By＋C＝0的斜率－>0，在y軸上的截距－>0，因此直線Ax＋By＋C＝0經過第一、二、三象限，B錯誤；對于C，直線kx－y－2k＋1＝0，即k(x－2)－(y－1)＝0恒過定點(2，1)，C正確；對于D，方程y－4＝k(x－3)不能表示直線x＝3，D錯誤.答案171811.下列說法正確的是A.直線y＝ax－2a＋3(a∈R)必過定點(2，3)B.直線y＋1＝2x在y軸上的截距為1C.直線x＋y＋3＝0的傾斜角為150°D.點A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l：mx＋y－m－1＝0與線段AB相交，則實數m的取值范圍是12345678910111213141516√√答案171812345678910111213141516答案直線y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3過定點(2，3)，A選項正確；直線y＋1＝2x即y＝2x－1，縱截距為－1，B選項錯誤；直線x＋y＋3＝0的斜率為－，傾斜角為150°，C選項正確；直線l：mx＋y－m－1＝0即m(x－1)＋y－1＝0過定點C(1，1)，畫出圖象如圖所示，其中kAC＝＝－4，kBC＝，直線l的斜率為－m，所以－m≥或－m≤－4，解得m≥4或m≤－，D選項錯誤.1718三、填空題12.若直線l的傾斜角為且在x軸上的截距為－1，則直線l的一般式方程是 . x－y＋＝012345678910111213141516答案由直線l的傾斜角為，可得直線l的斜率為tan ，又由直線l在x軸上的截距為－1，所以直線方程為y＝(x＋1)，即直線l的一般式方程是x－y＋＝0.171813.若θ∈，則經過兩點P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)的直線的傾斜角為 . 12345678910111213141516答案－θ1718當θ＝0時，Q(0，1)，此時直線的傾斜角為；當θ≠0時，因為P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)，所以kPQ＝，又因為tan，且－θ∈∪，所以直線的傾斜角為－θ.綜上，直線的傾斜角為－θ.12345678910111213141516答案171814.已知點A(－1，3)，B(3，2)，過點P的直線l與線段AB相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為 ，直線l的斜率的取值范圍為 . 12345678910111213141516答案(－∞，－1]∪[1，＋∞)171812345678910111213141516答案如圖所示，由點A(－1，3)，B(3，2)，P， 可得直線PA的斜率為＝－1，直線PB的斜率為＝1，由直線l與線段AB相交，可得直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)；由斜率與傾斜角的關系得傾斜角的取值范圍為.171815.若abc≠0，a＋b＋c≠0，且＝k，則直線kx－y＋k＝0必不過A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12345678910111213141516答案能力拓展√由abc≠0，則a＋b＝ck，b＋c＝ak，a＋c＝bk，相加得2(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)k，又a＋b＋c≠0，得k＝2，即直線方程為2x－y＋2＝0，即y＝2x＋2，顯然直線不過第四象限.171812345678910111213141516答案16.若直線沿x軸向右平移2個單位長度，再沿y軸向上平移1個單位長度后，回到原來的位置，則直線l的斜率為 . 由題意，設直線方程為y＝kx＋b，直線沿x軸向右平移2個單位長度，再沿y軸向上平移1個單位長度后，直線方程為y＝k(x－2)＋b＋1，化簡得y＝kx－2k＋b＋1，因為平移后與原直線重合，則kx＋b＝kx－2k＋b＋1，解得k＝，即直線l的斜率為.171817.如圖，8個半徑為1的圓擺在坐標平面的第一象限(每個圓與相鄰的圓或坐標軸外切)，設L為八個圓形區域的并集，斜率為3的直線l將L劃分為面積相等的兩個區域，則直線l的方程為 .12345678910111213141516答案3x－y－5＝0171812345678910111213141516答案設直線l的方程為y＝3x＋d，當直線l與L相交時，隨著d的減小，L在這條直線上半部分的面積一定增加，下半部分的面積一定減小，任意一條過A(2，1)的直線將圓1與圓2組成的區域劃分為面積相等的兩個區域，任意一條過B(3，4)的直線將圓3與圓4組成的區域劃分為面積相等的兩個區域，對于其余的四個圓，直線AB將其平分，因此直線AB將L劃分為面積相等的兩個區域且kAB＝＝3，∴直線AB的方程為y－1＝3(x－2)，即直線l：3x－y－5＝0.171818.已知點P和非零實數λ，若兩條不同的直線l1，l2均過點P，且斜率之積為λ，則稱直線l1，l2是一組“Pλ共軛線對”，如直線l1：y＝2x，l2：y＝－x是一組“O－1共軛線對”，其中O是坐標原點.已知l1，l2是一組“O－3共軛線對”，則l1，l2的夾角的最小值為 . 12345678910111213141516答案171812345678910111213141516返回答案設l1的斜率為k＝tan α，則l2的斜率為＝tan β，兩直線的夾角為γ，則tan γ＝|tan(α－β)|＝＝≥，當且僅當k＝±時，等號成立，所以tan γ的最小值為，則兩直線的夾角γ的最小值為.1718(共77張PPT)第八章§8.2 兩條直線的位置關系數學大一輪復習1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.課標要求課時精練內容索引第一部分 落實主干知識第二部分 探究核心題型落實主干知識第一部分1.兩條直線的位置關系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關系如下表：位置關系 l1，l2滿足的條件 l3，l4滿足的條件平行 _______________ ___________________________________________________垂直 ____________ ________________相交 _______ ________________k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②結論：|P1P2|＝ .③特例：點P(x，y)到原點O(0，0)的距離|OP|＝ .(2)點到直線的距離點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝ .(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2 l1∥l2.( )(2)若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.( )(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.( )(4)若點A，B關于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點在直線l上.( )×√×√2.若直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，則m等于A.4 B.－4 C.1 D.－1√因為直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，所以≠，解得m＝4.3.兩平行直線l1：x－2y－＝0，l2：4y－2x－3＝0之間的距離為A. B.3 C. D.2√直線l1：x－2y－＝0可化為2x－4y－2＝0，直線l2：4y－2x－3＝0可化為2x－4y＋3＝0，所以兩平行直線之間的距離為.4.已知直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0相交，則這兩條直線的交點坐標為 ，過交點并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為______ . ＋9＝04x－3y由方程組解得即交點坐標為，因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直線的斜率為k＝.由點斜式得所求直線方程為y－，即4x－3y＋9＝0.1.三種常見的直線系(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋C1＝0；(3)過直線A1x＋B1y＋C1＝0與直線A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0).2.謹防四個易誤點(1)兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況.(2)兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.(3)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式.(4)求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x，y的系數對應相等.返回微點提醒探究核心題型第二部分例1 (1)(多選)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則下列說法正確的是A.若A2＝0，則l2表示與x軸平行或重合的直線B.直線l1可以表示任意一條直線C.若A1B2－A2B1＝0，則l1∥l2D.若A1A2＋B1B2＝0，則l1⊥l2√兩條直線的平行與垂直題型一√√當A2＝0時，l2的斜率為0，與x軸平行或重合，故A正確；當B1＝0時，l1的斜率不存在，當B1≠0時，l1的斜率存在，能表示任意直線，故B正確；若A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0，則l1∥l2，故C錯誤；若B1B2≠0，則由A1A2＋B1B2＝0可得斜率之積為－1，故l1⊥l2，若B1＝0(B2＝0)，可得A2＝0(A1＝0)，此時滿足A1A2＋B1B2＝0，此時兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故l1⊥l2，故D正確.(2)數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點分別為A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，則△ABC的歐拉線方程為A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0√因為△ABC的頂點分別為A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心為G，因為kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心為BC的中點D，因為三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，所以△ABC的歐拉線為直線GD，所以△ABC的歐拉線方程為，即4x＋3y－6＝0.判斷兩條直線位置關系的注意點(1)斜率不存在的特殊情況.(2)可直接利用直線方程系數間的關系得出結論.思維升華跟蹤訓練1 (1)(多選)△ABC的三個頂點坐標為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是A.邊BC與直線3x－2y＋1＝0平行B.邊BC上的高所在的直線方程為3x＋2y－12＝0C.過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為x＋y－13＝0D.過點A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點D(3，5)√√直線BC的斜率為k＝，而直線3x－2y＋1＝0的斜率為，兩直線不平行，A錯誤；邊BC上的高所在直線斜率為－，直線方程為y＝－(x－4)，即3x＋2y－12＝0，B正確；過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線不過原點時方程為x＋y－13＝0，過原點時方程為7x－6y＝0，C錯誤；過點A且平分△ABC面積的直線過邊BC的中點，中點坐標為(3，5)，D正確.(2)已知直線l1：ax－y－1＝0，l2：ax－(a－2)y－1＝0，若l1∥l2，則a＝ . 0①當a＝0時，l1：y＝－1，l2：y＝，l1∥l2；②當a≠0時，若l1∥l2，則a－2＝1，可得a＝3，l1與l2重合，不符合題意，故a＝0.例2 (1)過兩條直線l1：x＋2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交點，且與直線x＋3y＋1＝0垂直的直線的方程為A.3x－y－5＝0 B.6x－2y－3＝0C.x－3y＋3＝0 D.3x＋y－7＝0兩直線的交點與距離問題題型二√由得設與直線x＋3y＋1＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則3×2－1＋m＝0，得m＝－5，所以所求直線方程為3x－y－5＝0.(2)當點P(－2，－1)到直線l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為A.；3x＋2y－5＝0 B.；3x＋2y－5＝0C.；2x－3y＋1＝0 D.；2x－3y＋1＝0√將直線l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)變形得x＋y－2＋λ(3x＋y－4)＝0，由解得因此直線l過定點A(1，1)，當AP⊥l時，點P(－2，－1)到直線l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距離最大，最大值為|AP|＝，又直線AP的斜率kAP＝，則直線l的斜率為－，所以此時直線l的方程為y－1＝－(x－1)，即3x＋2y－5＝0.利用距離公式應注意的點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)使用兩條平行線間的距離公式前要把兩條直線方程化為一般式且x，y的系數對應相等.思維升華跟蹤訓練2 已知兩條平行直線分別過點A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉，兩平行線之間的距離的最大值為 ，此時兩平行直線方程分別為 . 33x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0兩條平行直線分別過點A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉，當AB與兩平行直線垂直時，兩平行線之間的距離最大，|AB|＝＝3，這兩條平行直線之間的距離有最大值，最大值為3，∵直線AB的斜率kAB＝，故這兩條平行直線的斜率為－3，則兩平行直線方程分別為y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.例3 已知直線l：x＋2y－2＝0，試求：(1)點P(－2，－1)關于直線l的對稱點坐標；對稱問題題型三設點P(－2，－1)關于直線l的對稱點為Q(x，y)，則解得所以對稱點Q的坐標為.(2)直線l1：y＝x－2關于直線l對稱的直線l2的方程；由解得即直線l與l1的交點為A(2，0)，點E(0，－2)是直線l1上的點，設它關于直線l的對稱點為B(x1，y1)，則解得即B，kAB＝＝7，所以直線l2的方程為y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0.(3)直線l關于點M(1，1)對稱的直線l'的方程.方法一 在直線l：x＋2y－2＝0上任取兩點，如A(2，0)，C(0，1)，則A，C關于點M(1，1)的對稱點A'，C'均在直線l'上，易得A'(0，2)，C'(2，1)，所以直線l'的方程為y－2＝x，即x＋2y－4＝0.方法二 設直線l關于點M(1，1)對稱的直線l'的方程為x＋2y＋m＝0，m≠－2，由，解得m＝－2(舍去)或m＝－4，所以直線l'的方程為x＋2y－4＝0.對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數法將幾何關系轉化為代數關系求解.(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題.思維升華跟蹤訓練3 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關于直線l的對稱點A'的坐標；設A'(x，y)，由已知條件得解得所以A'.(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l對稱的直線m'的方程；在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關于直線l的對稱點M'必在直線m'上.設對稱點M'(a，b)，則得M'.設直線m與直線l的交點為Q，由得Q(4，3).又m'經過點Q(4，3)，所以直線m'的方程為，即9x－46y＋102＝0.(3)直線l關于點A的對稱直線l'的方程.方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1，1)，Q(4，3)，則P，Q關于點A(－1，－2)的對稱點P'，Q'均在直線l'上，易得P'(－3，－5)，Q'(－6，－7)，所以l'的方程為，即2x－3y－9＝0.方法二 因為l∥l'，所以設l'的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1).因為點A(－1，－2)到兩直線l，l'的距離相等，所以由點到直線的距離公式，得，得C＝－9，所以l'的方程為2x－3y－9＝0.返回課時精練對一對答案12345678910111213141516題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A A A A B B D C題號 9 10 11 12 13 14 答案 BC ABC ABD x＋y－1＝0 題號 15 16 17 18 答案 BD AB BC 1718一、單項選擇題1.已知直線l1：x＋(a－1)y－3＝0與直線l2：x＋2y＋3＝0相互垂直，則a的值為A. B.1 C.3 D.－√12345678910111213141516知識過關答案∵l1⊥l2，∴1×1＋(a－1)·2＝0 a＝.171812345678910111213141516答案2.“m＝－3”是“直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√由直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，得≠且m≠0，解得m＝2或m＝－3，所以“m＝－3”是“直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行”的充分不必要條件.17183.與直線2x＋3y＋1＝0平行且過點(0，1)的直線方程是A.2x＋3y－3＝0 B.3x＋2y－2＝0C.2x－3y＋3＝0 D.3x－2y＋2＝0√12345678910111213141516答案設所求直線方程為2x＋3y＋C＝0(C≠1)，又過點(0，1)，則可得3＋C＝0，解得C＝－3，則所求直線方程為2x＋3y－3＝0.17184.已知從點(5，2)發出的一束光線，經x軸反射后，反射光線恰好過點(1，2)，則入射光線所在的直線方程為A.x－y－3＝0 B.x＋y－7＝0C.x－y＋3＝0 D.x＋y－3＝0√12345678910111213141516答案171812345678910111213141516答案運用點關于直線對稱，求出(1，2)關于x軸的對稱點為(1，－2)，又(1，－2)與(5，2)在同一條直線上，運用兩點式得到入射光線所在的直線方程為，整理得x－y－3＝0.則入射光線所在的直線方程為x－y－3＝0.17185.若曲線y＝f(x)＝2sin x＋2 025在點處的切線與直線y＝ax＋2 025垂直，則實數a等于A.1 B.－1 C.2 D.－2√12345678910111213141516答案函數f(x)＝2sin x＋2 025，求導得f'(x)＝2cos x，因此曲線在點處的切線斜率為k＝f'＝1，而切線與直線y＝ax＋2 025垂直，所以a＝－＝－1.17186.已知直線l：x＋my－2m－1＝0，則點P(2，－1)到直線l距離的最大值為A. B. C.5 D.10√12345678910111213141516答案直線l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，由得所以直線l過定點A(1，2)，當直線l垂直于直線AP時，距離最大，此時最大值為|AP|＝.17187.(2025·大同模擬)已知實數a，b，c，d滿足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值為A.1 B.2 C.3 D.412345678910111213141516√答案由題意得，點A(a，b)在直線3x－4y＋3＝0上，點B(c，d)在直線3x－4y－7＝0上，兩直線平行，所以(a－c)2＋(b－d)2的最小值為兩平行線間距離的平方，即＝4.17188.過定點A的動直線x＋ky＝0和過定點B的動直線kx－y－2k＋1＝0交于點M，則|MA|＋|MB|的最大值是A.2 B.3C. D.√12345678910111213141516答案171812345678910111213141516由題意知x＋ky＝0過定點A(0，0)，動直線kx－y－2k＋1＝0，即k(x－2)－y＋1＝0過定點B(2，1)，對于直線x＋ky＝0和動直線kx－y－2k＋1＝0滿足1×k＋k×(－1)＝0，故兩直線垂直，因此點M在以AB為直徑的圓上(除去點(2，0))，|AB|＝，則|MA|2＋|MB|2＝5，所以(|MA|＋|MB|)2＝|MA|2＋|MB|2＋2|MA||MB|≤2(|MA|2＋|MB|2)＝10，答案171812345678910111213141516當且僅當|MA|＝|MB|＝時，等號成立，故|MA|＋|MB|的最大值為.答案1718二、多項選擇題9.已知直線l：x－y＋1＝0，則下列結論正確的是A.直線l過第一、三、四象限B.過點(，1)與直線l平行的直線的方程是x－y－2＝0C.直線x－y＋2＝0到直線l的距離為D.若直線m：x－y＋1＝0，則l⊥m12345678910111213141516√√答案171812345678910111213141516答案直線l過第一、二、三象限，故A錯誤；設過點(，1)且與直線l平行的直線的方程為x－y＋t＝0(t≠1)，由于點(，1)滿足該直線，代入得t＝－2，所以所求的直線方程為x－y－2＝0，故B正確；由于直線l：x－y＋1＝0與直線x－y＋2＝0平行，故兩直線間的距離d＝，故C正確；直線l的斜率為kl＝，直線m的斜率為km＝，因為klkm≠－1，所以直線l和直線m不垂直，故D錯誤.171810.對于直線l1：ax＋2y＋3a＝0，l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，則A.l1∥l2的充要條件是a＝3或a＝－2B.當a＝時，l1⊥l2C.直線l2經過第二象限內的某定點D.點P(1，3)到直線l1的距離的最大值為312345678910111213141516√√答案√171812345678910111213141516若l1∥l2，則a(a－1)－6＝0，解得a＝3或a＝－2，經檢驗，符合題意，所以a＝3或a＝－2，所以l1∥l2的充要條件是a＝3或a＝－2，故A正確；當a＝時，3a＋2(a－1)＝＝0，所以l1⊥l2，故B正確；由l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，得(y－1)a＋3x－y＋3＝0，令解得所以直線l2經過定點，位于第二象限，故C正確；答案171812345678910111213141516由l1：ax＋2y＋3a＝0，得(x＋3)a＋2y＝0，令解得所以直線l1過定點M(－3，0)，當PM⊥l1時，點P(1，3)到直線l1的距離最大，最大值為|PM|＝＝5，故D錯誤.答案171811.(2025·眉山模擬)已知直線l：2x－y＋3＝0，點R(0，2)，P(1，1)，Q(1－m，m)，m∈R，下列說法正確的是A.點P到直線l的距離為B.若點P與點Q位于直線l的兩側，則m>C.點P與點Q之間距離的最小值為D.|QR|＋|QP|的最小值為212345678910111213141516√√答案√171812345678910111213141516答案點P到直線l的距離d＝，A選項正確；將點P(1，1)代入直線方程得2－1＋3＝4>0，又點P與點Q位于直線l的兩側，則將點Q(1－m，m)代入直線方程得2－2m－m＋3<0，即m>，B選項正確；|PQ|＝≥，C選項錯誤；171812345678910111213141516答案∵1－m＋m＝1，∴點Q在直線l1：x＋y－1＝0上，斜率k＝－1，過點P作直線l'⊥l1于點D，如圖所示，則l'：x－y＝0，聯立方程組解得x＝y＝，即D，∴點P關于直線l1的對稱點為原點O(0，0)，OR與l1的交點為Q，此時|QR|＋|QP|最小，則(|QR|＋|QP|)min＝|OR|＝2，D選項正確.1718三、填空題12.經過點P(1，0)和兩直線l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交點的直線方程為 . x＋y－1＝012345678910111213141516答案設所求直線方程為x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，點P(1，0)在直線上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0，解得λ＝，∴所求直線方程為x＋2y－2＋×(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0.171813.若l1：2x＋ay－2＝0與l2：x－y＋a＝0平行，則兩直線之間的距離為 . 12345678910111213141516答案∵直線l1與l2平行，∴≠，解得a＝－2，∴直線l1：x－y－1＝0，直線l2：x－y－2＝0，∴直線l1與l2之間的距離d＝.171814.請運用數形結合的思想，得出函數y＝的最大值為 . 123456789101112131415162答案因為y＝，所以它表示點P(x，0)到點A(2，7)和B(4，3)的距離之差，如圖所示，因為|PA|－|PB|≤|AB|＝＝2，當且僅當P，B，A三點共線時，等號成立，所以y＝的最大值為2.171815.(多選)若直線m被兩平行直線l1：x－y＋＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段長為，則直線m的傾斜角可以是A.30° B.75° C.135° D.165°12345678910111213141516答案能力拓展√√171812345678910111213141516答案設直線m與兩平行直線所夾的銳角或直角為α，兩平行直線l1：x－y＋＝0與l2：x－y＋3＝0的距離為d＝，因為直線m被兩平行直線l1與l2所截得的線段長為，所以sin α＝，所以α＝45°，因為直線l1的斜率為k＝，傾斜角為30°，所以直線m的傾斜角可以是75°或165°，如圖所示.171816.(多選)直線l：ax＋by＋c＝0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，m＝，下列選項中正確的有A.若m>1，則l與直線PQ相交B.若m＝1，則l與直線PQ平行C.若m＝－1，則l與直線PQ垂直D.存在實數m，使得點Q在直線l上12345678910111213141516答案√√171812345678910111213141516答案若m>1，則ax1＋by1＋c>ax2＋by2＋c>0，或ax1＋by2＋c若m＝1，則ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，即a(x2－x1)＋b(y2－y1)＝0，若b＝0，則x1＝x2，過P，Q兩點的直線與直線l的斜率都不存在，故兩直線平行，若b≠0，則＝－，所以kPQ＝kl，即直線PQ與直線l平行，故B正確；171812345678910111213141516答案因為|m|＝，即|m|為P，Q兩點到直線l的距離的比值，若m＝－1，則|m|＝1，即P，Q兩點到直線l的距離相等，且點P，Q在直線l兩側，但l與直線PQ不一定垂直，故C不正確；若點Q在直線l上，則ax2＋bx2＋c＝0，結合題設及分母不為0，所以不存在實數m，使點Q在直線l上，故D不正確.171817.(多選)(2025·廣東九師聯盟模擬)在平面直角坐標系Oxy中，點M(x1，y1)，N(x2，y2)間的折線距離d(M，N)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知A(a，b)，B(1，1)，記s＝a2＋b2＋2a＋4b，則A.若d(A，B)＝1，則s有最小值8B.若d(A，B)＝1，則點A的軌跡是一個正方形C.若d(A，B)≤1，則s有最大值15D.若d(A，B)≤1，則點A的軌跡所構成區域的面積為π12345678910111213141516答案√√171812345678910111213141516答案對于B，若d(A，B)＝1，由題意可知d(A，B)＝|a－1|＋|b－1|＝1，令x＝a－1，y＝b－1，則|x|＋|y|＝1，作出其圖象如圖.易知，點A(a，b)的軌跡可由正方形|x|＋|y|＝1向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，故B正確；對于A，s＝a2＋b2＋2a＋4b＝(x＋1)2＋(y＋1)2＋2(x＋1)＋4(y＋1)＝x2＋y2＋4x＋6y＋8＝(x＋2)2＋(y＋3)2－5，171812345678910111213141516答案結合圖象可得的最小值即為點(－2，－3)到直線x＋y＋1＝0(即點(0，－1))的距離＝2，此時s取得最小值3，故A錯誤；對于C，的最大值即為點(－2，－3)到點(1，0)，(0，1)的距離中的最大值，max{3，2}＝2，故s的最大值為15，故C正確；對于D，若d(A，B)≤1，則|x|＋|y|≤1表示正方形及其內部區域，易知其面積為×2×2＝2，故D錯誤.171818.(2024·曲靖模擬)設M，N是同一平面上的兩個區域，點P∈M，點Q∈N，P，Q兩點間距離的最小值叫做區域M，N間的距離，記作d(M，N).若M＝{(x，y)|ex－y＋2 024＝0}，N＝{(x，y)|ln(x－2 024)－y＝0}，則d(M，N)＝ . 12345678910111213141516答案2 025171812345678910111213141516答案方法一 d(M，N)表示函數y＝ex＋2 024圖象上的動點P與函數y＝ln(x－2 024)圖象上的動點Q的距離的最小值，即|PQ|min.y＝ex＋2 024 ex＝y－2 024 x＝ln(y－2 024)，互換x，y得y＝ln(x－2 024)，因此y＝ex＋2 024與y＝ln(x－2 024)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱，則|PQ|min恰好等于函數y＝ex＋2 024圖象上的動點P(x，y)到直線y＝x的距離的最小值的2倍.171812345678910111213141516答案點P(x，y)到直線y＝x的距離d＝|ex－x＋2 024|，設f(x)＝ex－x＋2 024，則f'(x)＝ex－1，當x<0時，f'(x)<0；當x>0時，f'(x)>0，所以函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)min＝f(0)＝2 025，所以dmin＝，|PQ|min＝2 025，所以d(M，N)＝2 025.171812345678910111213141516答案方法二 函數y＝ex與y＝ln x互為反函數，函數y＝ex圖象上任意點與y＝ln x圖象上任意點之間的距離的最小值恰好等于點(0，1)與(1，0)之間的距離，y＝ex的圖象向上平移2 024個單位長度得到y＝ex＋2 024的圖象，y＝ln x的圖象向右平移2 024個單位長度得到y＝ln (x－2 024)的圖象.從而d(M，N)就等于點(0，2 025)與點(2 025，0)之間的距離，故d(M，N)＝2 025.返回1718(共86張PPT)第八章§8.3 圓的方程數學大一輪復習1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.課標要求課時精練內容索引第一部分 落實主干知識第二部分 探究核心題型落實主干知識第一部分1.圓的定義和圓的方程定義 平面上到定點的距離等于 的點的集合叫做圓 方程 標準 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C______半徑為___一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圓心C____________半徑r＝_________________定長(a，b)r2.點與圓的位置關系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：(1)|MC|>r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圓外；(2)|MC|＝r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圓上；(3)|MC|圓外圓上圓內1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.( )(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)為圓心，a為半徑的圓.( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )×√√√2.已知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關于直線x－y＋t＝0對稱，則實數t等于A.－3 B.1 C.－1 D.3√由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，則圓心坐標為(－1，2)，又因為圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關于直線x－y＋t＝0對稱，故由圓的對稱性可知，圓心(－1，2)在直線x－y＋t＝0上，則t＝y－x＝2－(－1)＝3.3.(多選)已知圓C：x2＋y2－4x＋6y＋11＝0與點A(0，－5)，則A.圓C的半徑為2 B.點A在圓C外C.點A在圓C內 D.點A與圓C上任一點距離的最小值為√因為x2＋y2－4x＋6y＋11＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝2，所以圓心為C(2，－3)，半徑r＝，故A錯誤；又|AC|＝＝2>r，所以點A在圓C外，故B正確，C錯誤；因為|AC|＝2，所以點A與圓C上任一點距離的最小值為|AC|－r＝，故D正確.√4.以點A(0，－1)，B(2，1)為直徑端點的圓的方程為 . 由題意可知，圓心為線段AB的中點(1，0)，且|AB|＝＝2，所以圓的半徑r＝，因此，所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝2.(x－1)2＋y2＝21.掌握圓的兩個性質(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上.2.牢記兩個相關結論(1)圓的“直徑式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(2)圓的參數方程：圓心為(a，b)，半徑為r的圓的參數方程為其中θ為參數，可用來設圓上的點的坐標.返回微點提醒探究核心題型第二部分例1 設☉M的圓心M在直線2x＋y－1＝0上，點(3，0)和(0，1)均在☉M上，則☉M的方程為 . 圓的方程題型一(x－1)2＋(y＋1)2＝5方法一 設☉M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則解得∴☉M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二 設☉M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則M，∴解得∴☉M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三 設A(3，0)，B(0，1)，☉M的半徑為r，則kAB＝＝－，線段AB的中點坐標為，∴線段AB的垂直平分線方程為y－＝3，即3x－y－4＝0.聯立解得∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴☉M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.(2)待定系數法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值.思維升華跟蹤訓練1 (2024·南昌模擬)設圓心在x軸的圓C過點(1，1)，且與直線y＝2x－1相切，則圓C的標準方程為 . (x－3)2＋y2＝5方法一 設圓C的圓心為(m，0)，則由于該點到直線y＝2x－1的距離d＝，結合圓C與直線相切，知圓C的半徑為.所以圓C的標準方程是(x－m)2＋y2＝.而圓C過點(1，1)，所以(1－m)2＋12＝，解得m＝3.所以圓C的標準方程是(x－3)2＋y2＝5.方法二 因為點(1，1)在直線y＝2x－1上，所以圓C與直線y＝2x－1的切點為(1，1)，則過圓心C和切點(1，1)的直線方程為y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋，又因為圓心C在x軸上，則0＝－x＋，得x＝3，即C(3，0)，圓C的半徑為，故圓C的標準方程是(x－3)2＋y2＝5.命題點1 直接法例2 已知線段AB的長度為4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍，則△MAB面積的最大值為A.8 B.8C.4 D.與圓有關的軌跡問題題型二√以線段AB的中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設M(x，y)，且A(－2，0)，B(2，0)，由|MA|＝|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2，化簡得M的軌跡方程為圓(x－6)2＋y2＝32(y≠0)，半徑r＝4，如圖，有S△MAB≤·|AB|·r＝8.所以△MAB面積的最大值為8.命題點2 定義法例3 已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，點M是圓上的動點，AM與圓相切，且|AM|＝2，則點A的軌跡方程是A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x√因為圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心C(1，1)，半徑r＝1，因為點M是圓上的動點，所以|MC|＝1，又AM與圓相切，且|AM|＝2，則|AC|＝，設A(x，y)，則(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以點A的軌跡方程為x2＋y2－2x－2y－3＝0.命題點3 相關點代入法例4 (2024·新課標全國Ⅱ)已知曲線C：x2＋y2＝16(y>0)，從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，P'為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為A.＝1(y>0) B.＝1(y>0)C.＝1(y>0) D.＝1(y>0)√設點M(x，y)，則P(x，y0)，P'(x，0)，因為M為PP'的中點，所以y0＝2y，即P(x，2y)，又P在曲線x2＋y2＝16(y>0)上，所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＝1(y>0)，即點M的軌跡方程為＝1(y>0).求與圓有關的軌跡問題的常用方法(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程.(3)相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式.思維升華跟蹤訓練2 已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：(1)直角頂點C的軌跡方程；方法一 設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0).方法二 設線段AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，由直角三角形的性質知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點).所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).設M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3，0)，且M是線段BC的中點，所以由中點坐標公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此直角邊BC的中點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.命題點1 利用幾何性質求最值例5 (多選)已知實數x，y滿足x2＋y2－4y＋3＝0，則A.當x≠0時，的最小值是－B.x2＋y2的最小值是1C.y－x的最小值是2－D.|x＋y＋3|的最小值為2√與圓有關的最值問題題型三√由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.該方程表示圓心為C(0，2)，半徑r＝1的圓.設＝k(x≠0)，則k表示圓上的點(除去點(0，1)和(0，3))與原點O(0，0)連線的斜率，由y＝kx(x≠0)，則≤1，解得k≥或k≤－，故A錯誤；因為x2＋y2表示圓上的點到原點的距離的平方，又圓心在y軸上，所以當x＝0，y＝1時，x2＋y2取得最小值，且最小值為1，故B正確；設y－x＝b，則y＝x＋b，b表示當直線y＝x＋b與圓有公共點時，直線在y軸上的截距，則≤1，解得2－≤b≤2＋，即y－x的最小值是2－，故C正確；|x＋y＋3|表示圓上的點到直線x＋y＋3＝0距離的倍，圓心(0，2)到直線x＋y＋3＝0的距離為d＝，則|x＋y＋3|的最小值為×＝5－，故D錯誤.命題點2 利用對稱性求最值例6 已知A(0，2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是 . 2因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圓C是圓心為C(2，1)，半徑r＝的圓.設點A(0，2)關于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A'(m，n)，所以解得故A'(－4，－2).連接A'C交圓C于Q(圖略)，交直線x＋y＋2＝0于P，此時，|PA'|＋|PQ|取得最小值，由對稱性可知|PA|＋|PQ|＝|PA'|＋|PQ|＝|A'Q|＝|A'C|－r＝2.命題點3 利用函數求最值例7 設點P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2，0)，B(－2，0).則·的最大值為 . 12方法一 由題意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以當y＝4時，·的值最大，最大值為6×4－12＝12.方法二 (極化恒等式)由題意知線段AB的中點為O(0，0)，＝(4，0)，·[()2－()2]＝＝||2－4，易知||2的最大值為[＋1]2＝16，所以·的最大值為12.與圓有關的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題.(2)建立函數關系式求最值：列出關于所求目標式子的函數關系式，然后根據關系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.思維升華(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.思維升華跟蹤訓練3 (1)(2024·商洛模擬)已知P(x0，y0)是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一點，則的最大值為A.－2 B.－C. D.√設k＝，變形可得k(x0－3)－y0－1＝0，則的幾何意義為直線k(x－3)－y－1＝0的斜率，圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓C的圓心為C(1，1)，半徑為1.因為P(x0，y0)是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一點，所以圓C與直線k(x－3)－y－1＝0有公共點，即圓C的圓心C(1，1)到直線k(x－3)－y－1＝0的距離不大于圓C的半徑，所以≤1，解得≤k≤，即的最大值為.(2)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設點P是圓C上的動點.記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，則d的最大值為 . 74設P(x0，y0)，則d＝|PB|2＋|PA|2＝＋(y0＋1)2＋＋(y0－1)2＝2()＋2，表示圓上任一點到原點距離的平方，∴()max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.返回課時精練對一對答案1234567891011121314題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D C C B D AD ABD題號 9 10 13 14 15 16答案 (x－1)2＋(y－1)2＝2 ABD ACD D 101516答案1234567891011121314(1)由題意可知，線段AB的中點為(2，3)，kAB＝0，所以線段AB的垂直平分線方程為x＝2，它與x軸的交點為圓心C(2，0)，又半徑r＝|AC|＝，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.(2)設P(x0，y0)，Q(x，y)，由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，11.1516答案1234567891011121314所以又點P在圓C上，故(x0－2)2＋＝10，所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，化簡得點Q的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝.11.1516答案1234567891011121314(1)由題意知線段AB的中點坐標為，kAB＝＝1，∴線段AB的垂直平分線方程為y－＝－，即y＝5－x，聯立解得即圓C1的圓心為C1(2，3)，半徑r＝|AC1|＝1，其方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1.12.1516答案1234567891011121314(2)注意到點C1(2，3)和點C2(－3，－4)在直線x＋y＝0的兩側，直線x＋y＝0與兩圓分別相離，如圖所示.∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，當且僅當M，N，P，C1，C2五點共線且M，N在C1，C2之間時等號成立，則|PM|＋|PN|的最小值為－4，此時點P為直線C1C2與x＋y＝0的交點，12.1516答案1234567891011121314過C1，C2的直線方程為7x－5y＋1＝0，聯立解得∴點P的坐標為.12.1516一、單項選擇題1.(2024·北京)圓x2＋y2－2x＋6y＝0的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為A. B.2 C.3 D.3√1234567891011121314知識過關答案將圓的方程化為標準方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以該圓的圓心(1，－3)到直線x－y＋2＝0的距離為＝3.15161234567891011121314答案2.圓心在y軸上，半徑為2，且過點(2，4)的圓的方程為A.x2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－4)2＝4 D.x2＋(y－4)2＝4√依題意設圓心坐標為(0，b)，則圓的方程為x2＋(y－b)2＝4，又22＋(4－b)2＝4，解得b＝4，所以圓的方程為x2＋(y－4)2＝4.15163.(2024·西安模擬)若過點P(0，1)可作圓x2＋y2－2x－4y＋a＝0的兩條切線，則a的取值范圍是A.(3，＋∞) B.(－1，3) C.(3，5) D.(5，＋∞)√1234567891011121314圓x2＋y2－2x－4y＋a＝0，即圓(x－1)2＋(y－2)2＝5－a，則5－a>0，解得a<5，又過點P(0，1)有兩條切線，則點P在圓外，>，即2>5－a，解得a>3，故3答案15164.已知A(－1，0)，B(1，0)，若點P滿足PA⊥PB，則點P到直線l：m(x－)＋n(y－1)＝0的距離的最大值為A.1 B.2 C.3 D.4√1234567891011121314由PA⊥PB可得點P的軌跡為以線段AB為直徑的圓(去除點A和點B)，圓心坐標為(0，0)，半徑為1，又直線l：m(x－)＋n(y－1)＝0，其過定點(，1)，故距離的最大值為＋1＝3.答案15165.(2024·南寧模擬)已知坐標原點O在直線mx－2y＝2m＋8上的射影為點P(x0，y0)，則x0，y0必然滿足的關系是A.＝5B.＝5C.＝20D.＝20√1234567891011121314答案15161234567891011121314直線l：mx－2y＝2m＋8，即m(x－2)－2(y＋4)＝0恒過定點A(2，－4)，由原點O在直線l上的射影為點P，得OP⊥l，則點P在以OA為直徑的圓上(去除點(2，0))，該圓圓心為(1，－2)，半徑為r＝，所以x0，y0必然滿足的關系是＝5.答案15166.已知m∈R，直線l1：mx－y－m＋3＝0與直線l2：x＋my－m－5＝0相交于點P，則P到直線2x＋y＋7＝0的距離的取值范圍是A.[，3] B.(，3]C.[2，4] D.(2，4]√1234567891011121314答案15161234567891011121314因為m·1＋(－1)·m＝0，所以直線l1與l2始終垂直，又由條件可得直線l1恒過定點M(1，3)，直線l2恒過定點N(5，1)，所以兩直線的交點P在以線段MN為直徑的圓上，該圓的圓心坐標為(3，2)，半徑為|MN|＝，所以該圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝5，圓上點(1，1)是過定點M(1，3)且斜率不存在的直線與過定點N(5，1)且斜率為0的直線的交點，故點P的軌跡不經過點(1，1).答案15161234567891011121314圓心(3，2)到直線2x＋y＋7＝0的距離d＝＝3，所以圓上的點到直線2x＋y＋7＝0的距離的最大值和最小值分別為4和2，又點(1，1)到直線2x＋y＋7＝0的距離為2，應舍去，所以P到直線2x＋y＋7＝0的距離的取值范圍是(2，4].答案1516二、多項選擇題7.設圓C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，則下列命題正確的是A.任意k∈R，圓的面積都是4πB.存在k∈R，使得圓C過點(3，0)C.經過點(2，2)的圓C有且只有一個D.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上1234567891011121314√答案√1516由于對任意k∈R，圓的半徑都是2，故面積都是4π，A正確；由于(3－k)2＋(0－k)2＝2k2－6k＋9＝2≥>4，故圓C必定不過點(3，0)，B錯誤；對k＝2－和k＝2＋，均有(2－k)2＝2，故(2－k)2＋(2－k)2＝4，即圓C經過點(2，2)，C錯誤；圓心C(k，k)始終在直線y＝x上，D正確.1234567891011121314答案15168.(2024·丹東模擬)已知曲線E：x2＋y2－2|x|－2|y|＝0(x，y不同時為0)，則A.曲線E圍成圖形的面積為8＋4πB.曲線E的長度為4πC.曲線E上的點到原點的最小距離為D.曲線E上任意兩點間最大距離為4√1234567891011121314答案√√15161234567891011121314答案當x≥0，y≥0，且x，y不同時為0時，曲線E：(x－1)2＋(y－1)2＝2；當x≥0，y<0時，曲線E：(x－1)2＋(y＋1)2＝2；當x<0，y≥0時，曲線E：(x＋1)2＋(y－1)2＝2；當x<0，y<0時，曲線E：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.畫出曲線E的圖形，如圖所示.對于A，曲線E圍成的圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為的半圓，故面積為2×2＋2π×＝8＋4π，故A正確；15161234567891011121314答案對于B，曲線E由四個半徑為的半圓組成，故周長為2×2π×＝4π，故B正確；對于C，曲線E上的點到原點的最小距離為2，故C錯誤；對于D，當曲線E上任意兩點的連線過圓心及原點時，距離最大，最大為4，故D正確.1516三、填空題9.已知P(m，n)是圓C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上一點，則的最小值是 . 1234567891011121314答案215161234567891011121314答案表示圓上的點P(m，n)到點(1，0)的距離，由x2＋y2－8x－6y＋23＝0可化為(x－4)2＋(y－3)2＝2，則圓心為(4，3)，半徑為，點(1，0)到圓心的距離為＝3，所以點P(m，n)到點(1，0)的距離的最小值為3＝2，即的最小值是2.151610.已知圓C以C(1，1)為圓心，且與直線mx－y－2m＝0(m∈R)相切，則滿足以上條件的圓C的半徑最大時，圓C的標準方程為 . 1234567891011121314答案(x－1)2＋(y－1)2＝215161234567891011121314直線mx－y－2m＝0可化為m(x－2)－y＝0，所以解得所以直線過定點A(2，0)，當CA與直線mx－y－2m＝0垂直時，圓C的半徑最大，半徑為，所以圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案1516四、解答題11.已知圓C的圓心在x軸上，并且過A(1，3)，B(3，3)兩點.(1)求圓C的方程；1234567891011121314答案由題意可知，線段AB的中點為(2，3)，kAB＝0，所以線段AB的垂直平分線方程為x＝2，它與x軸的交點為圓心C(2，0)，又半徑r＝|AC|＝，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.15161234567891011121314答案設P(x0，y0)，Q(x，y)，由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，所以又點P在圓C上，故(x0－2)2＋＝10，所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，化簡得點Q的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝.(2)若P為圓C上任意一點，定點M(8，0)，點Q滿足＝3，求點Q的軌跡方程.151612.已知圓C1經過點A(1，3)和B(2，4)，圓心在直線2x－y－1＝0上.(1)求圓C1的方程；1234567891011121314答案15161234567891011121314答案由題意知線段AB的中點坐標為，kAB＝＝1，∴線段AB的垂直平分線方程為y－＝－，即y＝5－x，聯立解得即圓C1的圓心為C1(2，3)，半徑r＝|AC1|＝1，其方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1.1516(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的點，點P是直線x＋y＝0上的點，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此時點P的坐標.1234567891011121314答案15161234567891011121314答案注意到點C1(2，3)和點C2(－3，－4)在直線x＋y＝0的兩側，直線x＋y＝0與兩圓分別相離，如圖所示.∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，當且僅當M，N，P，C1，C2五點共線且M，N在C1，C2之間時等號成立，則|PM|＋|PN|的最小值為－4，此時點P為直線C1C2與x＋y＝0的交點，過C1，C2的直線方程為7x－5y＋1＝0，15161234567891011121314答案聯立解得∴點P的坐標為.151613.(多選)有一組圓C：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列四個命題中正確的是A.存在k，使圓與x軸相切B.存在一條直線與所有的圓都相交C.存在一條直線與所有的圓均不相交D.所有的圓都不經過原點1234567891011121314答案√能力拓展√√15161234567891011121314答案當k＝1時，圓C的圓心為(1，1)，半徑為r＝1.圓與x軸相切，故A正確；因為圓心(1，k)恒在直線x＝1上，所以直線x＝1與所有的圓都相交，故B正確；對于任一直線，總存在足夠大的正整數k，使半徑k2足夠大，滿足圓C與該直線相交，故C錯誤；將(0，0)代入得1＋k2＝k4，即k2(k2－1)＝1，等式左邊為相鄰整數相乘，結果為偶數，而等號右邊為奇數，故方程不成立，故D正確.15161234567891011121314答案14.(多選)已知圓C：x2＋(y－2)2＝2，點P是圓C上的一個動點，點A(2，0)，則A.≤|AP|≤3 B.∠PAC的最大值為C.△PAC面積的最大值為2 D.·的最大值為12√√√15161234567891011121314答案圓C的圓心為C(0，2)，半徑r＝，圓心C(0，2)到A(2，0)的距離d＝2，∴2－r≤|AP|≤2＋r，即≤|AP|≤3，故A正確；根據題意，如圖，當CP⊥AP時，∠PAC取得最大值，此時△APC為直角三角形，由于|AC|＝2|CP|＝2，∴∠PAC＝，故∠PAC的最大值為，故B錯誤；15161234567891011121314答案由于|AC|＝2|CP|＝2，∴當AC⊥CP時，△PAC的面積最大，即△PAC面積的最大值為×2×＝2，故C正確；如圖，當與同向共線時，·取最大值， ||＝2，||＝3，∴·＝12，故D正確.151615.(2024·佳木斯模擬)已知圓x2＋y2＝8上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標原點，若∠AOB＝120°，則|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|的最大值是A.8 B.6C.8 D.121234567891011121314答案√15161234567891011121314答案由圓x2＋y2＝8上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，得|OA|＝|OB|＝2，設弦AB的中點為E，則OE⊥AB，由∠AOB＝120°，得∠ABO＝∠BAO＝30°，所以|OE|＝|OA|＝，所以點E的軌跡是以為半徑，O為圓心的圓，|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|＝，15161234567891011121314答案表示A，B兩點到直線x＋y－4＝0的距離之和的倍，因為E為弦AB的中點，故A，B兩點到直線x＋y－4＝0的距離之和等于點E到直線x＋y－4＝0的距離的2倍，圓心O到直線x＋y－4＝0的距離為＝2，所以點E到直線x＋y－4＝0的距離的最大值為2＝3，所以|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|的最大值是×3×2＝12.151616.若正實數x，y滿足x－2，則x的最大值為 . 1234567891011121314答案10設a＝，b＝.則a2＋b2＝2x，x＝a＋2b，所以a2＋b2＝2a＋4b，所以(a－1)2＋(b－2)2＝5，故點(a，b)在以(1，2)為圓心，為半徑的圓上，則(2x)max＝()2＝20.從而x的最大值為10.返回1516(共88張PPT)第八章§8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系數學大一輪復習1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.課標要求課時精練內容索引第一部分 落實主干知識第二部分 探究核心題型落實主干知識第一部分1.直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r) 相離 相切 相交圖形 量化 方程觀點 Δ 0 Δ 0 Δ 0幾何觀點 d r d r d r<＝>>＝< 圖形 量的關系外離 ___________外切 ___________相交 ________________2.圓與圓的位置關系(☉O1，☉O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2| 圖形 量的關系內切 ___________內含 ___________d＝|r1－r2|d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝.(2)代數法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝ .2·1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若兩圓沒有公共點，則兩圓一定外離.( )(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.( )(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實數解，則直線與圓相切.( )(4)在圓中最長的弦是直徑.( )××√√2.直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關系是A.相交且直線經過圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線不經過圓心√圓心到直線的距離d＝＝1<4，且直線3x＋4y＝5不經過點(0，0)，所以直線與圓相交且不經過圓心.3.直線2x－y＋1＝0與圓x2＋y2＝2交于A，B兩點，則弦AB的長度為A. B.C. D.√設圓x2＋y2＝2的圓心為C(0，0)，半徑r＝，因為C(0，0)到直線2x－y＋1＝0的距離d＝，所以|AB|＝2＝2.4.圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關系是A.外切 B.相交 C.外離 D.內切圓C1的圓心C1(0，0)，半徑r1＝2，圓C2可化為(x－4)2＋(y－3)2＝9，∴圓心C2(4，3)，半徑r2＝3，∴|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，故兩圓外切.√靈活應用兩圓相交時公共弦的性質圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時：(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2).返回微點提醒探究核心題型第二部分命題點1 位置關系的判斷例1 (多選)已知圓C：(x－2)2＋y2＝16，直線l：mx＋y－3m－1＝0，則下列結論中正確的是A.直線l恒過定點(3，1) B.直線l與圓C相切C.直線l與圓C相交 D.直線l與圓C相離直線與圓的位置關系題型一√√圓C：(x－2)2＋y2＝16的圓心C(2，0)，半徑r＝4，直線l：m(x－3)＋y－1＝0恒過定點(3，1)，顯然<4＝r，因此點(3，1)在圓C內，直線l與圓C相交，B，D錯誤，A，C正確.判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系判斷.(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷.(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交.思維升華命題點2 弦長問題例2 已知直線l：y＝kx＋3與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝4交于A，B兩點，若|AB|＝2，則k等于A.－ B.C. D.－√圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝4的圓心C(1，1)，r＝2，所以圓心C(1，1)到直線l：y＝kx＋3的距離d＝，而d＝＝1，所以d＝＝1，解得k＝－.弦長的兩種求法(1)代數法：將直線和圓的方程聯立方程組，根據弦長公式求弦長.(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2.思維升華命題點3 切線問題例3 (多選)過點A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，所得切線方程為A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0√√由圓心為(3，1)，半徑為1，當過點A(4，－3)的切線斜率存在時，設切線方程為y＝k(x－4)－3，則圓心到切線的距離d＝＝1，可得k＝－，所以y＝－(x－4)－3，即15x＋8y－36＝0；當切線斜率不存在時，切線方程為x＝4，顯然與圓相切，綜上，切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.(2)代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.注意驗證斜率不存在的情況.思維升華命題點4 直線與圓位置關系中的最值問題例4 已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，則四邊形PACB面積的最小值為 . 2圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心C(1，1)，半徑r＝1，如圖，連接PC，因為S四邊形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|·|AC|＝|AP|＝，所以求S四邊形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圓心C到直線3x＋4y＋8＝0的距離d，即d＝＝3，所以四邊形PACB面積的最小值為＝2.涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(最值)問題，解題關鍵是能夠把所求線段長表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數的形式，利用求函數值域的方法求得結果.思維升華跟蹤訓練1 (1)(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.則下列命題正確的有A.直線l恒過定點(3，1)B.y軸被圓C截得的弦長為2C.直線l與圓C恒相交D.直線l被圓C截得弦長最短時，直線l的方程為2x－y－5＝0√√√由已知可得，圓心C(1，2)，半徑r＝5，直線方程可化為l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由可得所以直線l恒過定點(3，1)，A正確；將x＝0代入圓的方程有1＋(y－2)2＝25，解得y＝2±2，所以y軸被圓C截得的弦長為4，B錯誤；因為點(3，1)到圓心C(1，2)的距離為<5＝r，所以點(3，1)在圓內，直線l與圓C恒相交，C正確；當圓心C(1，2)與定點(3，1)的連線恰好與l垂直時，圓心到直線的距離最大，直線l被圓C截得的弦長最短，則l的斜率k應滿足·k＝－1，所以k＝2，代入點斜式方程有y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，D正確.(2)(多選)(2024·南京模擬)已知點P在圓O：x2＋y2＝4上，直線l：4x＋3y－12＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，則A.過點B作圓O的切線，則點B到切點的距離為2B.滿足·＝0的點P僅有1個C.點P到直線l距離的最大值為D.||的最小值是1√√√點A(3，0)，點B(0，4)，設圓O的半徑為r，過點B作圓O的切線，所以點B到切點的距離為＝2，故A正確；由中點坐標公式得線段AB的中點為M，由兩點間距離公式得|AB|＝5，則以線段AB為直徑的圓M的方程為＋(y－2)2＝，因為|OM|＝，而－2＝，＋2＝，滿足<<，所以圓M與圓O相交，所以滿足·＝0的點P有2個，故B錯誤；圓心O到直線l的距離為，半徑r＝2，所以點P到直線l距離的最大值為，故C正確；線段AB的中點為M，則)，所以||＝2||，因為|PM|min＝|OM|－r＝－2＝，所以||的最小值是1，故D正確.例5 (多選)已知圓C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圓C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R.則下列選項正確的是A.直線C1C2恒過定點(3，0)B.當圓C1和圓C2外切時，若P，Q分別是圓C1，C2上的動點，則|PQ|max＝10C.若圓C1和圓C2共有2條公切線，則a<D.當a＝時，圓C1與圓C2相交弦的弦長為圓與圓的位置關系題型二√√√由圓C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圓C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R，可知C1(1，2a)，C2(4，－a)，故直線C1C2的方程為y＋a＝－a(x－4)，即y＝－a(x－3)，則直線C1C2恒過定點(3，0)，A正確；圓C1的半徑r1＝3，又圓C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R即(x－4)2＋(y＋a)2＝4，a∈R，圓C2的半徑r2＝2，當圓C1和圓C2外切時，|C1C2|＝r1＋r2＝3＋2＝5，|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝10，B正確；若圓C1和圓C2共有2條公切線，則兩圓相交，又|C1C2|＝，則3－2<|C1C2|<3＋2，即1<<5，解得－當a＝時，兩圓相交，圓C1：(x－1)2＋＝9，圓C2：(x－4)2＋＝4，將兩方程相減可得公共弦方程為6x－2y－＝0，則C1到直線6x－2y－＝0的距離為，則圓C1與圓C2相交弦的弦長為2，D正確.(1)判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法.(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到.思維升華跟蹤訓練2 (多選)(2024·長沙模擬)若圓O1：x2＋y2＋2x－3＝0與圓O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B兩點，則下列選項中正確的是A.點(1，－1)在圓O2內B.直線AB的方程為x＋y－1＝0C.圓O1上的點到直線AB的距離的最大值為2＋D.圓O2上存在兩點P，Q，使得|PQ|>|AB|√√因為12＋(－1)2－2×(－1)－1＝3>0，所以點(1，－1)在圓O2外，故A錯誤；因為圓O1和圓O2相交，將兩圓方程相減可得x＋y－1＝0，即公共弦AB所在直線的方程為x＋y－1＝0，故B正確；圓O1的圓心坐標為(－1，0)，半徑為2，圓心O1到直線AB：x＋y－1＝0的距離d＝，所以圓O1上的點到直線AB的距離的最大值為2＋，故C正確；直線AB經過圓O2的圓心(0，1)，所以線段AB是圓O2的直徑，故圓O2中不存在比線段AB長的弦，故D錯誤.一、圓中切線問題1.已知圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，若已知切點P(x0，y0)在圓上，則該圓過P點的切線只有一條，其方程為x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.2.已知圓的方程為x2＋y2＝r2，若已知切點P(x0，y0)在圓上，則該圓過P點的切線方程為x0x＋y0y＝r2.圓中的切線方程、切點弦方程及圓系方程微拓展3.已知圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)過圓上的P0(x0，y0)點的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)過圓外一點(x0，y0)作圓的兩條切線，則切點弦方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.注意：求該類直線的方程亦可以用“留一代一”的方式進行，即將x2用xx0替換，y2用yy0替換，x用替換，y用替換.4.過圓外一點P(x0，y0)引圓(標準方程，一般方程)的切線長度d＝(一般方程)＝(標準方程).二、常見的圓系方程1.同心圓圓系(1)以(a，b)為圓心的同心圓圓系方程為(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)；(2)與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心圓的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0(D2＋E2－4λ>0).2.過線圓交點的圓系過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.3.過兩圓交點的圓系過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圓系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0).(1)特別地，當λ＝－1時，上述方程為一次方程，兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.(2)為了避免利用上述圓系方程時討論圓過C2，可等價轉化為過圓C1和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ[(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)]＝0.典例 (1)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝9外一點P(－4，2)，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A和B，則直線AB的方程為 . 由題意，切點弦AB所在直線的方程為(－4－1)(x－1)＋(2－2)(y－2)＝9，化簡得x＝－.x＝－(2)(2025·張家口模擬)圓C1：(x－1)2＋y2＝1與圓C2：(x－5)2＋(y－3)2＝36的公切線的方程為 . 4x＋3y＋1＝0圓C1的圓心為(1，0)，半徑為1，圓C2的圓心為(5，3)，半徑為6，因為|C1C2|＝＝5＝6－1，所以兩圓內切，只有一條公切線，將圓C1，C2化為一般式得C1：x2＋y2－2x＝0，C2：x2＋y2－10x－6y－2＝0，兩式相減得8x＋6y＋2＝0，即4x＋3y＋1＝0，所以圓C1，C2的公切線的方程為4x＋3y＋1＝0.返回課時精練對一對答案1234567891011121314題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B B D D D D ABD BD題號 9 10 13 14 15 16答案 0(答案不唯一) m2＋n2＝1 ABD B 21516答案1234567891011121314兩圓的標準方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，則圓心分別為(1，3)，(5，6)，半徑分別為和.(1)當兩圓外切時，.解得m＝25＋10.11.1516答案1234567891011121314(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦的長為2×＝2.11.1516答案1234567891011121314(1)由題意可知，圓C：x2＋(y－1)2＝5的圓心為C(0，1)，半徑r＝.∴圓心C到直線l：mx－y＋1－m＝0的距離為d＝，由＝5，解得m＝±1.(2)∵直線l的方程mx－y＋1－m＝0可化為y－1＝m(x－1)，∴直線l過定點P(1，1)，且P(1，1)在圓C內，12.1516答案1234567891011121314設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P(1，1)，∴＝(1－x1，1－y1)，＝(x2－1，y2－1)，∵，∴(1－x1，1－y1)＝(x2－1，y2－1)，∴1－x1＝(x2－1)，∴x2＝3－2x1， ①由得12.1516答案1234567891011121314(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， (※)∴x1＋x2＝， ②由①②解得x1＝，代入(※)式(1＋m2)－2m2·＋m2－5＝0 m2－1＝0，解得m＝±1，∴直線l的方程為x－y＝0或x＋y－2＝0.12.1516一、單項選擇題1.兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關系是A.相交 B.內切 C.外切 D.內含√1234567891011121314知識過關答案兩圓方程可分別化為x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.兩圓圓心分別為O1(0，1)，O2(0，0)，半徑分別為r1＝1，r2＝2.因為|O1O2|＝1＝r2－r1，所以兩圓內切.15161234567891011121314答案2.直線y＝k(x－5)－2(k∈R)與圓(x－3)2＋(y＋1)2＝6的位置關系為A.相離 B.相交C.相切 D.無法確定√直線y＝k(x－5)－2恒過定點(5，－2)，將定點(5，－2)代入圓的方程，得(5－3)2＋(－2＋1)2＝5<6，則定點(5，－2)在圓(x－3)2＋(y＋1)2＝6內部，所以直線與圓必相交.15163.(2024·菏澤模擬)過點E(a，－1)向圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝2作兩條切線，切點分別為A，B，若∠AEB＝，則A.a＝2或a＝－1 B.a＝－2或a＝1C.a＝－3或a＝1 D.a＝3或a＝－1√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝2的圓心M(1，1)，半徑r＝，連接AM，ME，依題意，AM⊥AE，∠AEM＝∠AEB＝，則|EM|＝2|AM|＝2，于是＝2，整理得a2－2a－3＝0，所以a＝3或a＝－1.15164.在平面直角坐標系Oxy中，直線l：ax＋by＝1上有且僅有一點P，使|OP|＝2，則直線l被圓C：x2＋y2＝16截得的弦長為A.2 B.2 C.4 D.4√1234567891011121314直線l：ax＋by＝1上有且僅有一點P，使|OP|＝2，則坐標原點到直線的距離d＝|OP|＝2，因為圓C的圓心為O(0，0)，半徑r＝4.截得的弦長為2＝2＝4.答案15165.圓C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0恒過的定點為A.(－2，1)，(2，－1) B.(－1，－2)，(2，1)C.(－1，－2)，(1，2) D.(－2，－1)，(2，1)√1234567891011121314答案圓C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0的方程化為a(x－2y)＋(x2＋y2－5)＝0，由得或故圓C恒過定點(－2，－1)，(2，1).15166.已知A，B是圓C1：x2＋y2＝3上的動點，且|AB|＝2.P是圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的動點，則||的取值范圍是A.[8，12] B.[6，10]C.[10，14] D.[6，14]√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案如圖，設弦AB的中點為D，則由|AB|＝2得，|C1D|＝＝1，即D點的軌跡方程為x2＋y2＝1.又||＝2||，由于P點在圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上，所以C2(3，4)，|C1C2|＝5，所以|C1C2|－1－1≤||≤|C1C2|＋1＋1，即3≤||≤7，所以||＝2||的取值范圍是[6，14].1516二、多項選擇題7.已知直線l：y＝kx－k，k∈R，圓C：x2＋y2＝4，則下列結論正確的有A.直線l過定點(1，0)B.直線l與圓C恒相交C.直線l被圓C截得的弦長最短為2D.若直線l被圓C截得的弦長為，則k＝±11234567891011121314√答案√√1516對于A，直線l：y＝kx－k，即y＝k(x－1)，則直線l過定點(1，0)，故A正確；對于B，因為12＋02＝1<4，所以定點(1，0)在圓C：x2＋y2＝4內部，所以直線l與圓C恒相交，故B正確；對于C，當直線l與x軸垂直時，直線l被圓C截得的弦長最短，此時l：x＝1，直線l被圓C截得的弦長為2＝2，但此時直線l的斜率不存在，不符合題意，故C錯誤；對于D，直線l：kx－y－k＝0，圓心C(0，0)到直線l的距離d＝，得k＝±1，故D正確.1234567891011121314答案15168.(2024·青島模擬)已知動點M，N分別在圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，動點P在x軸上，則A.圓C2的半徑為3B.圓C1和圓C2外離C.|PM|＋|PN|的最小值為2D.過點P作圓C1的切線，則點P到切點的最短距離為√1234567891011121314答案√15161234567891011121314答案圓C1的圓心C1(1，2)，半徑r1＝1，圓C2的圓心C2(3，4)，半徑r2＝，A錯誤；|C1C2|＝2>1＋，圓C1和圓C2外離，B正確；圓C1關于x軸對稱的圓為C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)，連接C0C2交x軸于點P1，連接P1C1，由圓的性質得，|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－＝|PC0|＋|PC2|－1－≥|C0C2|－1－＝2－1－，15161234567891011121314答案當且僅當點P與P1重合，且M，N分別是線段P1C1，P1C2與圓C1和圓C2的交點時取等號，C錯誤；設點P(t，0)，過點P作圓C1的切線，設切點為A，則|PA|＝≥，當且僅當t＝1，即P(1，0)時取等號，D正確.1516三、填空題9.若直線kx－y＋2k＝0(k∈Z)與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4有公共點，則k的一個取值是 . 1234567891011121314答案0(答案不唯一)15161234567891011121314答案直線kx－y＋2k＝0恒過定點(－2，0)，圓(x－1)2＋(y－2)2＝4的圓心為(1，2)，半徑r＝2，顯然點(－2，0)在圓外，若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離d＝≤2，化簡得5k2－12k≤0，解得0≤k≤.又k∈Z，則k＝0或1或2.即k的一個取值是0.151610.直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如x＝ty＋1表示過點(1，0)且斜率不為0的直線，直線的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.若圓C1：x2＋y2＝1是直線族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包絡曲線，則m，n滿足的關系式為 . 1234567891011121314答案m2＋n2＝1由定義可知，mx＋ny＝1與x2＋y2＝1相切，則圓C1的圓心(0，0)到直線mx＋ny＝1的距離等于1，則d＝＝1，m2＋n2＝1.1516四、解答題11.已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時，兩圓外切？1234567891011121314答案15161234567891011121314答案兩圓的標準方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，則圓心分別為(1，3)，(5，6)，半徑分別為和.當兩圓外切時，.解得m＝25＋10.15161234567891011121314答案兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦的長為2×＝2.(2)當m＝45時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.151612.已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C交于A，B兩點.(1)若|AB|＝3，求實數m的值；1234567891011121314答案由題意可知，圓C：x2＋(y－1)2＝5的圓心為C(0，1)，半徑r＝.∴圓心C到直線l：mx－y＋1－m＝0的距離為d＝，由＝5，解得m＝±1.1516(2)若點P為直線l所過定點，且|PB|＝2|AP|，求直線l的方程.1234567891011121314答案15161234567891011121314答案∵直線l的方程mx－y＋1－m＝0可化為y－1＝m(x－1)，∴直線l過定點P(1，1)，且P(1，1)在圓C內，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P(1，1)，∴＝(1－x1，1－y1)，＝(x2－1，y2－1)，∵，∴(1－x1，1－y1)＝(x2－1，y2－1)，15161234567891011121314答案∴1－x1＝(x2－1)，∴x2＝3－2x1， ①由得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， (※)∴x1＋x2＝， ②由①②解得x1＝，代入(※)式(1＋m2)－2m2·＋m2－5＝0 m2－1＝0，解得m＝±1，∴直線l的方程為x－y＝0或x＋y－2＝0.151613.(多選)(2024·北京朝陽區模擬)已知函數f(x)＝－2＋，則A.f(x)只有1個零點B.直線y＝2x－1與曲線y＝f(x)有唯一公共點C.f(x)恰有2個零點D.曲線y＝f(x)與圓x2＋(y－1)2＝1外切1234567891011121314答案√能力拓展√√15161234567891011121314答案令y＝f(x)，得x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)，則f(x)的圖象為半圓，如圖所示，令y＝0，解得x＝0，由圖可知，f(x)只有1個零點，A正確，C錯誤；聯立y＝2x－1與x2＋(y＋2)2＝4，消去x并整理得5y2＋18y＋1＝0，解得y1＝，y2＝(舍去)，所以直線y＝2x－1與曲線y＝f(x)有唯一公共點，B正確；15161234567891011121314答案半圓x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)與圓x2＋(y－1)2＝1的圓心分別為(0，－2)，(0，1)，半徑分別為2，1，所以圓心距為|1－(－2)|＝3＝1＋2，即圓心距等于半徑之和，所以曲線y＝f(x)與圓x2＋(y－1)2＝1外切，D正確.151614.已知實數m，n滿足2m＋3n＝22m＋32n，則8m＋27n的最大值為A.1 B.2C.3 D.41234567891011121314答案√15161234567891011121314答案令x＝2m，y＝3n，則條件化為x＋y＝x2＋y2(x，y>0)，即，x>0，y>0，為半圓，令x＋y＝t，畫出圖形如圖所示，顯然當x＋y＝t經過圓心時，t＝＝1，15161234567891011121314答案當圓心到直線x＋y＝t的距離為時，解得t＝2(t＝0舍去)，故x＋y∈(1，2].則x2＋y2＝t.所以xy＝，所以8m＋27n＝x3＋y3＝(x＋y)3－3xy(x＋y)＝t3－3××t＝－t3＋t2，令f(t)＝－t3＋t2，15161234567891011121314答案則當t∈(1，2]時，f'(t)＝－t2＋3t＝－t(t－2)≥0，于是f(t)在(1，2]上單調遞增，所以f(t)max＝f(2)＝2.綜上所述，8m＋27n的最大值為2.151615.(2025·贛州模擬)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圓C'是以圓x2＋y2＝1上任意一點為圓心，半徑為1的圓.圓C與圓C'交于A，B兩點，則當∠ACB最大時，|CC'|＝ . 1234567891011121314答案215161234567891011121314答案依題意，在△ABC中，|AC|＝|BC|＝，如圖，顯然0<|AB|≤2，∠ACB是銳角，sin ，又函數y＝sin x在上單調遞增，因此當且僅當公共弦AB的長度最大時，∠ACB最大，此時弦AB為圓C'的直徑，在Rt△ACC'中，∠AC'C＝90°，|AC'|＝1，所以|CC'|＝＝2.151616.(2024·內蒙古模擬)已知f(x)＝若直線y＝knx與y＝f(x)的圖象有2n(n∈N*)個交點，則＋…＋＝ . 1234567891011121314答案15161234567891011121314答案當－1≤x≤1時，y＝f(x)＝，即x2＋y2＝1，y≥0，當x>1時，f(x)＝f(x－2)，所以可得函數f(x)的周期為2，畫出函數圖象，如圖所示.若直線y＝knx與y＝f(x)的圖象有2n(n∈N*)個交點，根據圖象知，直線y＝knx與第n＋1個半圓相切，15161234567891011121314答案不妨設其圓心為On＋1(2n，0)，切點為P，連接POn＋1，所以在Rt△OPOn＋1中，tan∠POOn＋1＝＝kn，kn＝，故，所以＋…＋＝.返回1516(共86張PPT)第八章§8.5 橢 圓數學大一輪復習1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.掌握橢圓的簡單應用.課標要求課時精練內容索引第一部分 落實主干知識第二部分 探究核心題型落實主干知識第一部分1.橢圓的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于 (大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的.注意：(1)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數>|F1F2|時，動點M的軌跡為橢圓；(2)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數＝|F1F2|時，動點M的軌跡為以F1，F2為兩端點的線段；(3)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數<|F1F2|時，動點M的軌跡不存在.常數焦點焦距焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上圖形 標準方程范圍 _____________________ _____________________頂點 _____________________ _____________________ ________________________________________________2.橢圓的簡單幾何性質－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤aA1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上軸長 短軸長為 ，長軸長為____ 焦點 ____________________ ____________________焦距 |F1F2|＝____ 對稱性 對稱軸： ，對稱中心：_____ 離心率 ______________ a，b，c的關系 ____________ 2b2aF1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)2cx軸和y軸原點e＝(0a2＝b2＋c21.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡是橢圓.( )(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.( )(3)＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓.( )(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.( )××√×2.已知平面內一動點P到兩定點F1(－2，0)，F2(2，0)的距離之和為8，則動點P的軌跡方程為A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1√因為平面內一動點P到兩定點F1(－2，0)，F2(2，0)的距離之和為8，且8>|F1F2|＝4，所以動點P的軌跡為焦點位于x軸的橢圓，設橢圓方程為＝1(a>b>0)，焦距為2c(c>0)，則解得故動點P的軌跡方程為＝1.3.(2024·黔東南模擬)橢圓＝1(m>0)的離心率為A. B. C. D.√由橢圓的標準方程可得a2＝5m，b2＝3m，所以離心率e＝＝.4.若橢圓C：＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為A.3 B.2＋C.2 D.＋1由題意知a＝2，b＝，所以c＝1，則橢圓上的點到焦點距離的最大值為a＋c＝3.√橢圓中常見結論：P為橢圓上任意一點，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，設∠F1PF2＝θ，如圖所示.(1)當P為短軸端點時，θ最大，最大；當點P為長軸端點時，θ最小為0.(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(3)|PF1|·|PF2|≤＝a2.(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.(5)焦點三角形的周長為2(a＋c).返回微點提醒探究核心題型第二部分例1 (1)已知動圓M和圓C1：(x＋1)2＋y2＝36內切，并和圓C2：(x－1)2＋y2＝4外切，則動圓圓心M的軌跡是A.直線 B.圓C.焦點在x軸上的橢圓 D.焦點在y軸上的橢圓橢圓的定義及其應用題型一√設動圓的圓心M的坐標為(x，y)，半徑為r，因為動圓M與圓C1：(x＋1)2＋y2＝36內切，且與圓C2：(x－1)2＋y2＝4外切，可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r＋2，所以|MC1|＋|MC2|＝8>|C1C2|＝2，根據橢圓的定義知，動點M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝8，2c＝2，可得a＝4，c＝1，則b＝，所以動點M的軌跡方程為＝1，所以其軌跡為焦點在x軸上的橢圓.(2)(2025·長沙模擬)已知點O為坐標原點，橢圓＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上，設線段PF1的中點為M，且|OF2|＝|OM|，則△PF1F2的面積為A. B.C.3 D.4√由題意可得a＝3，b＝，c＝＝2.如圖，因為O，M分別是F1F2和PF1的中點，所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，根據橢圓定義，可得|PF1|＝2a－|PF2|＝2，又因為|F1F2|＝2c＝4，所以△PF1F2為等腰三角形，且F2到PF1的距離為h＝，故△PF1F2的面積為|PF1|·h＝.橢圓定義的應用技巧(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程，求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等.(2)通常將定義和余弦定理結合使用求解關于焦點三角形的周長和面積問題.思維升華跟蹤訓練1 (1)設F1，F2為橢圓C：＋y2＝1的兩個焦點，點P在C上，若·＝0，則|PF1|·|PF2|等于A.1 B.2 C.4 D.5√因為橢圓C：＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，又因為·＝0，所以⊥，即PF1⊥PF2，設|PF1|＝m(m>0)，|PF2|＝n(n>0)，則m＋n＝4， ①且m2＋n2＝， ②由①2－②得2mn＝4，即mn＝2，所以|PF1|·|PF2|＝2.(2)已知F1，F2分別為橢圓C：＝1(4>b>0)的左，右焦點，A為橢圓C的上頂點，且△AF1F2為等邊三角形；過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于D，E兩點，則△ADE的周長為 . 16由C：＝1(4>b>0)，得a＝4，因為△AF1F2為等邊三角形，過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于D，E兩點，所以直線DE為線段AF2的垂直平分線，得|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，則△ADE的周長為|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝2a＋2a＝4a＝4×4＝16.例2 (1)過點(－3，2)且與＝1有相同焦點的橢圓的標準方程是A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1橢圓的標準方程題型二√由題意得橢圓＝1的焦點坐標為(，0)，(－，0)，因為所求橢圓與橢圓＝1有相同的焦點，設所求橢圓的方程為＝1(a>)，由于該橢圓經過點(－3，2)，則將點代入方程得，＝1，解得a2＝15(a2＝3舍去)，故所求橢圓的標準方程為＝1.(2)已知橢圓C的焦點在坐標軸上，且經過A(－，－2)和B(－2，1)兩點，則橢圓C的標準方程為 . ＝1設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，將A和B的坐標代入方程得解得則所求橢圓的標準方程為＝1.根據條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義.(2)待定系數法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；與橢圓＝1(a>b>0)共焦點的橢圓方程可設為＝1(a>b>0，m>－b2)；與橢圓＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設為＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0).思維升華跟蹤訓練2 (1)(2024·九江模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且傾斜角為的直線交C于第一象限內一點A.若線段AF1的中點在y軸上，△AF1F2的面積為2，則橢圓C的方程為A.＋y2＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1√如圖，∵O為線段F1F2的中點，B為線段AF1的中點，∴OB∥AF2，又OB⊥x軸，∴AF2⊥x軸.在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝，設|AF2|＝t(t>0)，則|AF1|＝2t，|F1F2|＝t.∵△AF1F2的面積為2，∴×t×t＝2，t＝2.∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3t＝6，a＝3，2c＝|F1F2|＝t＝2，c＝，b2＝a2－c2＝6，則橢圓C的方程為＝1.(2)已知橢圓的中心在原點且過點P(3，2)，焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，則該橢圓的方程為 . ＝1或＝1若焦點在x軸上，設該橢圓的方程為＝1(a>b>0)，則由題意得解得∴該橢圓的方程為＝1；若焦點在y軸上，設該橢圓的方程為＝1(a>b>0)，則由題意得解得∴該橢圓的方程為＝1.命題點1 離心率例3 (2024·大慶模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，B(0，b)，若經過F1的弦AB滿足|AB|＝|AF2|，則橢圓C的離心率是A. B. C. D.橢圓的幾何性質題型三√由題可知|BF1|＝|BF2|＝a，所以解得由cos∠AF1F2＋cos∠BF1F2＝0，得＝0，整理得a2＝3c2，所以e＝.求橢圓離心率或其范圍的方法(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解.(2)由a與b的關系，利用變形公式e＝求解.(3)構造a，c的方程.可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e.思維升華命題點2 與橢圓有關的范圍(最值)例4 (多選)已知橢圓＝1，F1，F2為左、右焦點，B為上頂點，P為橢圓上任一點，則A.的最大值為4B.|PF1|的取值范圍是[4－2，4＋2]C.不存在點P使PF1⊥PF2D.|PB|的最大值為2√√對于A，依題意知a＝4，b＝2，c＝2，當P為短軸端點時，()max＝×2c×b＝4，故A正確；對于B，由橢圓的性質知|PF1|的取值范圍是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正確；對于C，sin∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值為，最小值為0，所以存在點P使PF1⊥PF2，故C錯誤；對于D，設P(x0，y0)，所以|PB|＝，又＝1，所以＝16－4，所以|PB|＝＝，又－2≤y0≤2，故當y0＝－時，|PB|max＝，故D錯誤.與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質.(2)利用函數，尤其是二次函數.(3)利用不等式，尤其是基本不等式.思維升華跟蹤訓練3 (1)(多選)已知橢圓＝1(0A.橢圓的短軸長為B.|AF2|＋|BF2|的最大值為8C.離心率為D.橢圓上不存在點P，使得∠F1PF2＝√√易知當AB⊥x軸時，即線段AB為通徑時，|AB|最短，∴|AB|＝＝4，解得b2＝6，∴橢圓方程為＝1.對于A，橢圓的短軸長為2b＝2，故A錯誤；對于B，∵△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，且|AB|min＝4，∴＝12－|AB|min＝8，故B正確；對于C，∵c＝，a＝3，∴離心率e＝，故C錯誤；對于D，易知當點P位于短軸端點時，∠F1PF2最大，此時|PF1|＝|PF2|＝a＝3，|F1F2|＝2c＝2，∴cos∠F1PF2＝>0，又∠F1PF2為三角形內角，∴∠F1PF2∈，∴橢圓上不存在點P，使得∠F1PF2＝，故D正確.(2)已知橢圓C：＝1(a>0)的左、右焦點分別為F1，F2，A為C上一動點，則的取值范圍是 . 返回設橢圓C的半焦距為c(c>0)，則c＝a，－1，因為|AF2|∈[a－c，a＋c]，即|AF2|∈，所以－1∈，即的取值范圍是.課時精練對一對答案1234567891011121314題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C C C B BD BD題號 9 10 13 14 15 16答案 B D B 31516答案1234567891011121314(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，故e＝.(2)由題意知A(0，b)，F2(1，0)，設B(x，y)，由＝2，得解得11.1516答案1234567891011121314代入＝1，得＝1，解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以橢圓方程為＝1.11.1516答案1234567891011121314(1)由題可得解得所以橢圓的標準方程是＝1.(2)由(1)知|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①12.1516答案1234567891011121314由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|， ②將②代入①，解得|PF1|＝，所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×.因此△PF1F2的面積是.12.1516一、單項選擇題1.若橢圓的焦點在x軸上且經過點(－4，0)，焦距為6，則該橢圓的標準方程為A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1√1234567891011121314知識過關答案由題意得a＝4，2c＝6，則c＝3，b2＝a2－c2＝7，所以該橢圓的標準方程為＝1.15161234567891011121314答案2.若橢圓＝1(a>0)的離心率為，則該橢圓的半焦距為A. B. C.3或 D.3或√若橢圓的焦點在x軸上，則離心率e＝，得a2＝12，此時半焦距c＝＝3；若橢圓的焦點在y軸上，則離心率e＝，此時半焦距c＝.所以該橢圓的半焦距為3或.15163.設橢圓＝1(m>0，n>0)的兩個焦點分別為F1(0，2)與F2(0，－2).若此橢圓上存在點P使得△PF1F2為正三角形，則m2＋n2等于A.4＋2 B.2 C.28 D.36√1234567891011121314答案由已知可得橢圓的焦點位于y軸上且|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝4，所以點P位于短軸的端點，且|PF1|＋|PF2|＝2n＝8，解得n＝4.又橢圓的半焦距c＝2，所以m2＝n2－c2＝12，所以m2＋n2＝28.15164.(2024·瀘州模擬)已知點P在橢圓C：＝1上，C的左焦點為F，若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則|PF|的值為A.2 B.3 C.4 D.8√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案因為橢圓C：＝1，所以a＝3，b＝2，則c＝1，設橢圓的右焦點為F1，連接PF1，記線段PF的中點為Q，連接OQ，因為|OF|＝c＝1，所以|OQ|＝1，因為O，Q分別為FF1和PF的中點，所以OQ∥F1P，所以|PF1|＝2|OQ|＝2，又|PF|＋|PF1|＝2a＝6，所以|PF|＝6－|PF1|＝4.15165.已知P為橢圓C：＝1(a>b>0)上一點，F1，F2分別為左、右焦點，O為坐標原點，|PO|＝a，且|PF1|·|PF2|＝a2，則C的離心率為A. B. C. D.√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案令F1(－c，0)，F2(c，0)，顯然點P不在x軸上，)，則4＋2||||cos∠F1PF2，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，因此4|PO|2＋|F1F2|2＝2(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1||PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a，于是3a2＋4c2＝2(2a)2－3a2，整理得2c2＝a2，則e2＝，又015166.已知橢圓C：＝1的右焦點為F，P為橢圓C上任意一點，點A的坐標為，則|PA|＋|PF|的最大值為A. B.5 C. D.√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案如圖，設橢圓C的左焦點為F1(－1，0)，因為<1，所以點A在橢圓內部.由橢圓定義可得|PF|＝4－|PF1|，所以|PA|＋|PF|＝4＋|PA|－|PF1|≤4＋|AF1|＝4＋＝4＋1＝5.1516二、多項選擇題7.已知橢圓C：＝1，且兩個焦點分別為F1，F2，P是橢圓C上任意一點，以下結論正確的是A.橢圓C的離心率為 B.△PF1F2的周長為12C.|PF1|的最小值為3 D.|PF1|·|PF2|的最大值為161234567891011121314√答案√1516橢圓C：＝1，則a＝4，b＝2，c＝＝2.對于A，e＝，故A錯誤；對于B，△PF1F2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，故B正確；對于C，|PF1|的最小值為a－c＝2，故C錯誤；對于D，|PF1|·|PF2|≤＝a2＝16，當且僅當|PF1|＝|PF2|＝4時等號成立，故D正確.1234567891011121314答案15168.已知圓O：x2＋y2＝3經過橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2，且P為圓O與橢圓C在第一象限內的公共點，且△PF1F2的面積為1，則下列結論正確的是A.橢圓C的長軸長為2 B.橢圓C的短軸長為2C.橢圓C的離心率為 D.點P的坐標為√1234567891011121314答案√15161234567891011121314答案因為圓O：x2＋y2＝3經過橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2，所以c＝，又P為圓O與橢圓C在第一象限內的公共點，則|F1F2|·xP＝×2·xP＝1，故xP＝，代入圓的方程可得＝3，所以yP＝，故點P的坐標為，故D正確；將點P的坐標代入橢圓方程可得＝1，又a2＝b2＋c2＝b2＋3，解得a＝2，b＝1，故橢圓C的長軸長為4，短軸長為2，故A不正確，B正確；則橢圓C的離心率e＝，故C不正確.1516三、填空題9.已知橢圓C的焦點F1，F2都在x軸上，P為橢圓C上一點，△PF1F2的周長為6，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，則橢圓C的標準方程為 . 1234567891011121314答案＝115161234567891011121314答案設橢圓的長半軸長為a，半焦距為c，依題意得即解得則橢圓的短半軸長b＝，所以橢圓C的標準方程為＝1.151610.設F1，F2分別是橢圓E：＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓E于P，Q兩點，且PF1⊥PQ，|PF2|＝2|QF2|，則橢圓E的離心率為 . 1234567891011121314答案15161234567891011121314答案設|QF2|＝m(m>0)，則|PF2|＝2m，|PQ|＝3m，根據橢圓定義，|PF1|＝2a－2m，|QF1|＝2a－m，又因為PF1⊥PQ，所以在Rt△PF1Q中，＋|PQ|2＝，即(2a－2m)2＋(3m)2＝(2a－m)2，解得m＝a，則|PF2|＝a，|PF1|＝a，則在Rt△PF1F2中，，15161234567891011121314答案即＝(2c)2，所以e2＝，e＝.1516四、解答題11.如圖所示，已知橢圓＝1(a>b>0)，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；1234567891011121314答案15161234567891011121314答案若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，故e＝.1516(2)若橢圓的焦距為2，且＝2，求橢圓的方程.1234567891011121314答案15161234567891011121314答案由題意知A(0，b)，F2(1，0)，設B(x，y)，由＝2，得解得代入＝1，得＝1，解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以橢圓方程為＝1.151612.已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，長軸長是4，離心率是.(1)求橢圓的標準方程；1234567891011121314答案由題可得解得所以橢圓的標準方程是＝1.1516(2)若點P在該橢圓上，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積.1234567891011121314答案15161234567891011121314答案由(1)知|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|， ②將②代入①，解得|PF1|＝，15161234567891011121314答案所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×.因此△PF1F2的面積是.151613.已知點P是橢圓＝1上一點，F1，F2是橢圓的兩個焦點，且△PF1F2的內切圓半徑為1，當點P在第一象限時，P點的縱坐標為A.2 B. C. D.1234567891011121314答案√能力拓展15161234567891011121314答案由＝1，得a2＝16，b2＝7，所以a＝4，b＝，c＝＝3，所以|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|＝2a＋2c＝8＋6＝14.設△PF1F2的內切圓半徑為r，因為(|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|)r＝|F1F2|yP，所以×14×1＝×6yP，得yP＝.151614.(2025·信陽模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2和上頂點A的直線l交C于另外一點B，若＝λ，且△F1F2B的面積為，則實數λ的值為A.3 B. C.3或7 D.或71234567891011121314答案√15161234567891011121314答案由題意可知|AF1|＝|AF2|＝a，因為＝λ，則|F2B|＝，|F1B|＝2a－，|AB|＝a＋.設∠F1AF2＝θ∈(0，π)，在△F1AB中，由余弦定理可得＋|AB|2－2|AF1|·|AB|cos θ，即＝a2＋－2a·cos θ，解得cos θ＝.15161234567891011121314答案又因為，則asin θ－a2sin θ，解得sin θ＝，可得θ＝或θ＝.若θ＝，則cos θ＝，解得λ＝，符合題意；若θ＝，則cos θ＝＝－，解得λ＝7，符合題意.綜上所述，實數λ的值為或7.151615.(2024·咸陽模擬)已知正方形ABCD的邊長為2，P是平面ABCD外一點，設直線PB與平面ABCD的夾角為α，若|PA|＋|PC|＝2，則α的最大值是A. B. C. D.1234567891011121314答案√15161234567891011121314答案1516由題意知，點P為動點，A，C為定點，|PA|＋|PC|＝2>|AC|＝2，由橢圓的定義知，點P的軌跡是以A，C為焦點，|AC|＝2為焦距，長軸長為2的橢圓，將此橢圓繞直線AC旋轉一周，得到一個橢球，即點P的軌跡是一個橢球(除在平面ABCD內的點)，由2a＝2，2c＝＝2，即a＝，c＝，得b＝＝1，1234567891011121314答案1516設點P在平面ABCD上的射影為點Q，則tan α＝，又0<|PQ|≤1，－1<|BQ|<＋1，且|PQ|≤|BQ|，所以當且僅當|PQ|＝|BQ|時，tan α最大，即α取到最大值.16.(2025·菏澤模擬)已知F1，F2分別為橢圓C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F2的一條直線與C交于A，B兩點，|BF2|＝1，∠F1AF2＝60°，則橢圓的長軸長的最小值為 . 1234567891011121314答案151631234567891011121314答案1516根據題意，如圖，∠F1AF2＝60°，設|AF2|＝t(0則|AB|＝t＋1.根據橢圓定義，可得|AF1|＝2a－t，|BF1|＝2a－1，在△ABF1中，根據余弦定理得，＝cos 60°，即，1234567891011121314答案1516返回化簡得2a(3t－1)＝3t2＋3t，又a>0，02a＝≥2＝3，當且僅當，即t＝1時，等號成立，所以橢圓的長軸長的最小值為3.(共98張PPT)第八章§8.6 雙曲線數學大一輪復習1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡單應用.課標要求課時精練內容索引第一部分 落實主干知識第二部分 探究核心題型落實主干知識第一部分1.雙曲線的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的 等于非零常數(_____|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的 ，兩焦點間的距離叫做雙曲線的 .注意：(1)若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條射線(包括端點)；若將其改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點軌跡不存在.(2)若將絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡是雙曲線的一支.(3)若將“等于非零常數”改為“等于零”，則此時動點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.絕對值小于焦點焦距標準方程圖形 性質 焦點 ____________________ ____________________焦距 ____________ 范圍 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R對稱性 對稱軸： ；對稱中心：______ 2.雙曲線的標準方程和簡單幾何性質F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2cx≤－ax≥a坐標軸原點標準方程性質 頂點 _____________________ ____________________軸 實軸：線段 ，長： ；虛軸：線段B1B2，長： ；實半軸長： ，虛半軸長：___ 漸近線 __________ __________離心率 a，b，c的關系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2baby＝±xy＝±x(1，＋∞)a2＋b21.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內到點F1(0，4)，F2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.( )(2)方程＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.( )(3)雙曲線＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是±＝0.( )(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.( )××√√2.雙曲線x2－4y2＝1的離心率為A. B. C. D.√因為x2－4y2＝1，即x2－＝1，所以a＝1，b＝，c＝，所以e＝.3.(多選)已知雙曲線方程＝1，下列說法中正確的有A.焦點坐標為(0，±5) B.虛軸長為6C.焦距為10 D.漸近線方程為y＝±x√√由雙曲線方程＝1，得a＝4，b＝3，c＝＝5，又焦點在x軸上，所以焦點坐標為(±5，0)，A選項錯誤；所以虛軸長為2b＝6，B選項正確；焦距為2c＝10，C選項正確；漸近線方程為y＝±x＝±x，D選項錯誤.4.設F1，F2分別為雙曲線Γ：＝1的左、右焦點，點M在Γ的右支上，線段F1M與Γ的左支相交于點N，且|MF2|＝|MN|，則|F1N|＝ . 因為點M在Γ的右支上，F1，F2分別為雙曲線Γ的左、右焦點，所以|MF1|－|MF2|＝2×＝3，又|MF1|＝|MN|＋|NF1|，|MF2|＝|MN|，所以|F1N|＝|MF1|－|MF2|＝3.31.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2.若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3.同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.返回微點提醒探究核心題型第二部分例1 (1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為A.x2－＝1(x≥1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x≤－1) D.－x2＝1雙曲線的定義及應用題型一√設動圓M的半徑為r，則|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3，則|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|＝6，根據雙曲線的定義知，動圓的圓心M的軌跡為雙曲線x2－＝1的左半支.(2)設雙曲線C：x2－＝1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線分別交雙曲線左、右兩支于點M，N，連接MF2，NF2，若·＝0，||＝||，則b等于A.1 B. C. D.2√設|MF2|＝t(t>0)，結合題意得|NF2|＝t，|MN|＝t，結合雙曲線的定義可得|MF2|－|MF1|＝2，則|MF1|＝t－2，又由雙曲線的定義可得|NF1|－|NF2|＝2，則t＋t－2－t＝2，解得t＝2，所以|NF1|＝|MN|＋|MF1|＝2＋2，|NF2|＝2，∠F1NF2＝45°，在△F1NF2中，由余弦定理得|F1F2|＝＝＝2，所以c＝，則b2＝c2－a2＝3－1＝2，即b＝.平面內到一個定點和相應一條定直線l的距離之比為常數e的點的軌跡：(1)當0(2)當e>1時，軌跡為雙曲線.①定點為焦點，定直線l叫準線，左焦點對應左準線，右焦點對應右準線.②焦點在x軸上的橢圓(雙曲線)的準線方程為x＝±.圓錐曲線的第二定義微拓展典例 (1)橢圓＝1(a>b>0)，焦距為4，P為橢圓上任一點，若P到點(2，0)的距離與到直線x＝的距離之比為，則橢圓方程為 . ＝1依題意，右焦點F2(2，0)，右準線x＝，由橢圓第二定義知，∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，∴橢圓方程為＝1.(2)已知雙曲線＝1的右焦點為F2，M是雙曲線右支上一點，定點A(9，2)，則|MA|＋|MF2|的最小值為 . 設M到直線x＝的距離為d，由雙曲線第二定義知，＝e＝，∴d＝|MF2|，∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d，如圖，可知(|MA|＋d)min＝xA－＝9－.在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯系，利用三角形的面積公式求解.對于選擇題或填空題直接利用焦點三角形的面積公式計算即可.思維升華跟蹤訓練1 (1)設P是雙曲線＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于A.1 B.17C.1或17 D.5或13√由雙曲線＝1得a＝4，b＝2，c＝6，由雙曲線的定義可得||PF1|－|PF2||＝2a＝8.因為|PF1|＝9，所以|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17，若|PF2|＝1，則P在雙曲線的右支上，應有|PF2|≥c－a＝2，不成立；若|PF2|＝17，則P在雙曲線的左支上，應有|PF2|≥c＋a＝10，成立.所以|PF2|＝17.(2)已知F1，F2分別是雙曲線C：x2－＝1的左、右焦點，點M在雙曲線的右支上，且|MF1|＋|MF2|＝6，則∠MF1F2＝ . 30°由題意可得|F1F2|＝2＝2，由雙曲線的定義得|MF1|－|MF2|＝2，而|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，由余弦定理得cos∠MF1F2＝＝，所以∠MF1F2＝30°.例2 (1)過點(2，2)且與橢圓9x2＋3y2＝27有相同焦點的雙曲線方程為A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1雙曲線的標準方程題型二√由9x2＋3y2＝27，得＝1，所以焦點在y軸上，且c＝.設雙曲線的方程為＝1(a>0，b>0)，所以解得所以雙曲線的方程為＝1.(2)(2024·濟南模擬)已知雙曲線C1過點A(－，1)，且與雙曲線C2：x2－3y2＝1有相同的漸近線，則雙曲線C1的標準方程為A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1√由雙曲線C1與雙曲線C2：x2－3y2＝1有相同的漸近線，故可設雙曲線C1的方程為x2－3y2＝λ(λ≠0)，又因為C1過點A(－，1)，代入雙曲線C1的方程得15－3＝λ，解得λ＝12，所以雙曲線C1的標準方程是＝1.求雙曲線的標準方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為＝λ(λ≠0)，與雙曲線＝1(a>0，b>0)有公共焦點的雙曲線方程可設為＝1(－a2<λ思維升華跟蹤訓練2 雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的兩個焦點為F1，F2，點A(，1)在雙曲線C上，且滿足·＝0，則雙曲線C的標準方程為 . ＝1由題可設F1(－c，0)，F2(c，0)，c>0，因為A(，1)，所以＝(－c－，－1)，＝(c－，－1)，因為·＝0，所以·＝3－c2＋1＝0，解得c＝2，又因為解得a2＝b2＝2，所以雙曲線C的標準方程為＝1.命題點1 漸近線例3 (2024·石家莊質檢)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的實半軸長為，其上焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為3，則雙曲線C的漸近線方程為A.y＝±x B.y＝±xC.y＝±x D.y＝±x雙曲線的幾何性質題型三√設雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的上焦點為(0，c)(c>0)，雙曲線的漸近線方程為by±ax＝0，由點到直線的距離公式可得＝b＝3，又雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的實半軸長為，所以a＝，所以雙曲線C的漸近線方程為3y±x＝0，即y＝±x.(1)漸近線方程的求法：令＝0，即得兩漸近線方程±＝0.(2)在雙曲線＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±，滿足關系式e2＝1＋k2.思維升華命題點2 離心率例4 已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，焦距為2c(c>0).若雙曲線C右支上存在點P，使得|PF2|＝4a，且＝12a2，則雙曲線C的離心率e等于A. B. C.＋1 D.√由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，∵|PF2|＝4a，∴|PF1|＝6a，設∠F1PF2＝θ，θ∈(0，π)，則|PF1||PF2|sin θ＝×6a×4a×sin θ＝12a2sin θ＝12a2，∴sin θ＝1，θ＝，∴△PF1F2為直角三角形，∴|＝|F1F2|2，∴36a2＋16a2＝4c2，即52a2＝4c2，∴e2＝＝13，∴e＝.求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉化為關于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍).思維升華命題點3 與雙曲線有關的范圍(最值)例5 若雙曲線C：x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，P是C右支上的動點，則|PF1|·|PF2|的最小值為 . 3由題意可知a＝1，b＝，c＝＝2，且|PF1|－|PF2|＝2，設|PF2|＝m≥c－a＝1，則|PF1|＝m＋2，可得|PF1|·|PF2|＝m(m＋2)在[1，＋∞)上單調遞增，所以當m＝1時，|PF1|·|PF2|取得最小值3.與雙曲線有關的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數形結合、幾何意義，尤其是雙曲線的性質.(2)利用函數，尤其是二次函數.(3)利用不等式，尤其是基本不等式.思維升華跟蹤訓練3 (1)(多選)已知雙曲線C：＝1(m>0)，則下列說法正確的是A.雙曲線C的實軸長為2B.若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則m＝2C.若(2，0)是雙曲線C的一個焦點，則m＝2D.若m＝2，則雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為2√√由雙曲線C：＝1且m>0，得實軸長為2a＝2，A錯誤；漸近線方程為y＝±x，若漸近線相互垂直，則－＝－1 m＝2，B正確；若(2，0)為焦點，則c＝2，則2＋m＝c2＝4 m＝2，C正確；若m＝2，則雙曲線C：＝1，故雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為c－a＝2－，D錯誤.(2)(多選)(2024·泉州模擬)已知雙曲線C：－x2＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，上、下焦點分別為F1，F2，則A.C的方程為－x2＝1B.C的離心率為2C.若點A(x0，y0)為雙曲線C上支上的任意一點，P(2，0)，則|PA|＋|AF2|的最小值為2D.若點M(2，t)為雙曲線C上支上的一點，則△MF1F2的內切圓面積為2π√√對于A，雙曲線C：－x2＝1(a>0)的漸近線方程為y＝±ax，則a＝，于是雙曲線C的方程為3y2－x2＝1，故A錯誤；對于B，雙曲線C的離心率e＝＝2，故B正確；對于C，F1，F2，由雙曲線的定義得，|PA|＋|AF2|＝|PA|＋|AF1|＋2a≥|PF1|＋＝2，當且僅當點A為線段PF1與雙曲線上支的交點時取等號，故C正確；對于D，由點M(2，t)在雙曲線上支上，得t＝，|F1F2|·2，△MF1F2的周長為|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝，設△MF1F2的內切圓半徑為r，則×r＝，解得r＝，因此△MF1F2的內切圓面積為π，故D錯誤.返回課時精練對一對答案1234567891011121314題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B B B B AD ABD題號 9 10 13 14 15 16 答案 C D ACD 1516答案1234567891011121314(1)因為a＝2，且雙曲線的焦點在x軸上，可設雙曲線的標準方程為＝1(b>0)，將點A(－5，2)代入雙曲線的方程得＝1，解得b2＝16，因此，雙曲線的標準方程為＝1.(2)在橢圓＝1中，c＝，11.1516答案1234567891011121314所以橢圓的焦點坐標為F1(－，0)，F2(，0)，設雙曲線的標準方程為＝1(a>0，b>0)，因為雙曲線與橢圓有相同焦點，所以a2＋b2＝c2＝5，點P(－，2)代入雙曲線方程，可得＝1，聯立解得所以雙曲線的標準方程為x2－＝1.11.1516答案1234567891011121314(1)＝1的漸近線的方程為y＝±x，即bx±ay＝0，由雙曲線的對稱性不妨取漸近線為bx－ay＝0，則點F(c，0)到bx－ay＝0的距離d＝＝b＝4，又因為焦距2c＝10，所以c＝5，所以a2＝c2－b2＝9，所以雙曲線C的方程為＝1.12.1516答案1234567891011121314(2)記雙曲線C的左焦點為F0，則F0(－5，0)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6，當F0，P，A三點共線時，|PA|＋|PF0|最小，且最小值為|AF0|＝17.故|PA|＋|PF|的最小值為17＋6＝23.12.1516一、單項選擇題1.已知雙曲線mx2－y2＝1(m>0)的實軸長為1，則該雙曲線的漸近線方程為A.y＝±2x B.y＝±xC.y＝±x D.y＝±x√1234567891011121314知識過關答案15161234567891011121314答案由題可知雙曲線的實軸長為2，則2＝1，解得m＝4，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±2x.15161234567891011121314答案2.(2024·全國甲卷)已知雙曲線的兩個焦點分別為(0，4)，(0，－4)，點(－6，4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為A.4 B.3 C.2 D.√15161234567891011121314答案設F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，則|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，則2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，則e＝＝2.15163.(2025·張家口模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為，其焦點到漸近線的距離為2，則C的方程為A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案由題意可得＝tan ，所以a＝b，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，焦點(c，0)到漸近線x＋y＝0的距離d＝＝2，所以c＝4，又a2＋b2＝c2＝16，a＝b，所以b2＝4，a2＝12，所以C的方程為＝1.15164.(2024·安陽模擬)已知雙曲線的方程為5mx2－my2＝5(m∈R，m≠0)，則不因m的變化而變化的是A.頂點坐標 B.漸近線方程C.焦距 D.離心率√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案將雙曲線方程化為標準方程可得＝1，當m>0時，雙曲線＝1表示焦點在x軸上的雙曲線，且a2＝，b2＝，c2＝，此時頂點坐標為，漸近線方程為y＝±x，焦距2c＝，離心率e＝；15161234567891011121314答案當m<0時，雙曲線＝1表示焦點在y軸上的雙曲線，且a2＝－，b2＝－，c2＝－，此時頂點坐標為，漸近線方程為y＝±x，焦距2c＝，離心率e＝.綜上可得，不因m的變化而變化的是漸近線方程.15165.已知點P是雙曲線＝1右支上的一點，點A，B分別是圓(x＋6)2＋y2＝4和圓(x－6)2＋y2＝1上的點.則|PA|－|PB|的最小值為A.3 B.5 C.7 D.9√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案由雙曲線＝1可知，a＝4，b＝2，c＝＝6，且圓(x＋6)2＋y2＝4的圓心為F1(－6，0)，半徑r1＝2，圓(x－6)2＋y2＝1的圓心為F2(6，0)，半徑r2＝1，由圓的性質可知|PA|≥|PF1|－r1＝|PF1|－2，|PB|≤|PF2|＋r2＝|PF2|＋1，可得|PA|－|PB|≥(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝|PF1|－|PF2|－3，15161234567891011121314答案可知F1(－6，0)，F2(6，0)為雙曲線的焦點，則|PF1|－|PF2|＝2a＝8，可得|PA|－|PB|≥|PF1|－|PF2|－3＝5，所以|PA|－|PB|的最小值為5.15166.(2024·天津河西區模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，O為坐標原點，過F1作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且|MF2|＝3|OM|，則雙曲線C的離心率為A. B. C.2 D.3√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案由題意得F1(－c，0)，由雙曲線的對稱性，設一條漸近線的方程為bx－ay＝0，所以|MF1|＝＝b，由勾股定理得|OM|＝＝a，因為MF1垂直于漸近線，所以cos∠MOF1＝，因為|MF2|＝3|OM|，所以|MF2|＝3a，15161234567891011121314答案而|OF2|＝c，在△MOF2中，由余弦定理得cos∠MOF2＝，因為∠MOF1＋∠MOF2＝π，所以＝0，化簡得c2＝6a2，所以c＝a，故e＝.1516二、多項選擇題7.(2024·南通調研)已知雙曲線C：＝1(b>0)的右焦點為F，直線l：x＋by＝0是C的一條漸近線，P是l上一點，則A.C的虛軸長為2B.C的離心率為C.|PF|的最小值為2D.直線PF的斜率不等于－1234567891011121314√答案√1516雙曲線C：＝1的漸近線方程為bx±2y＝0，依題意得－＝－，解得b＝，對于A，C的虛軸長為2b＝2，A正確；對于B，C的離心率e＝，B錯誤；對于C，點F(，0)到直線l：x＋y＝0的距離為，即|PF|的最小值為，C錯誤；1234567891011121314答案1516對于D，直線l：x＋y＝0的斜率為－，而點F不在l上，點P在l上，則直線PF的斜率不等于－，D正確.1234567891011121314答案15168.已知A為雙曲線C：＝1上位于第一象限內的點，過點A作x軸的垂線，垂足為M，點B與點A關于原點對稱，F為雙曲線C的左焦點，則下列結論正確的有A.若|AB|＝10，則AF⊥BFB.若AF⊥BF，則△ABF的面積為9C.>2D.|AF|－|AM|的最小值為8√1234567891011121314答案√√15161234567891011121314答案設雙曲線的右焦點為F1，依題意，四邊形AFBF1為平行四邊形，如圖，由雙曲線C：＝1知a＝4，b＝3，c＝5.對于A，|AB|＝10＝|FF1|，則四邊形AFBF1為矩形，AF⊥BF，A正確；對于B，由雙曲線定義得|AF|－|AF1|＝8，而|FF1|＝10，AF⊥BF，則|AF|2＋|AF1|2＝|FF1|2，即＋2|AF||AF1|＝|FF1|2，15161234567891011121314答案于是|AF||AF1|＝18，因此△ABF的面積S＝|AF||AF1|＝9，B正確；對于C，在Rt△AFM中，，雙曲線C：＝1的漸近線方程為y＝±x，直線AF的斜率為<，即有>，>，C錯誤；對于D，|AF|－|AM|＝8＋|AF1|－|AM|≥8，當且僅當|AF1|＝|AM|時取等號，D正確.1516三、填空題9.(2024·新課標全國Ⅰ)設雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|＝13，|AB|＝10，則C的離心率為 . 1234567891011121314答案15161234567891011121314答案|F1A|＝13，|AF2|＝|AB|＝5，且AF2⊥F1F2，|F1F2|＝＝12.由雙曲線定義可得2a＝|F1A|－|AF2|＝8，2c＝|F1F2|＝12，化簡得a＝4，c＝6，則C的離心率e＝.151610.(2024·鄭州模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的離心率為，A，B分別是它的兩條漸近線上的點(不與坐標原點O重合)，點P在雙曲線C上且＝2，△AOB的面積為6，則該雙曲線的實軸長為 . 1234567891011121314答案215161234567891011121314答案如圖，由e＝可得a＝b，故雙曲線C：＝1的漸近線方程為y＝±x，由雙曲線的對稱性，不妨設A(x1，x1)，B(x2，－x2)，因為＝2，則點P為AB的中點，則P，將其代入x2－y2＝a2中，整理得x1x2＝a2，15161234567891011121314答案又|OA|＝|x1|，|OB|＝|x2|，且OA⊥OB，則△AOB的面積為×|x1|×|x2|＝6，即a2＝6，解得a＝，故雙曲線的實軸長為2.1516四、解答題11.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)焦點在x軸上，a＝2，經過點A(－5，2)；1234567891011121314答案15161234567891011121314答案因為a＝2，且雙曲線的焦點在x軸上，可設雙曲線的標準方程為＝1(b>0)，將點A(－5，2)代入雙曲線的方程得＝1，解得b2＝16，因此，雙曲線的標準方程為＝1.1516(2)過點P(－，2)，且與橢圓＝1有相同焦點的雙曲線方程.1234567891011121314答案15161234567891011121314答案在橢圓＝1中，c＝，所以橢圓的焦點坐標為F1(－，0)，F2(，0)，設雙曲線的標準方程為＝1(a>0，b>0)，因為雙曲線與橢圓有相同焦點，所以a2＋b2＝c2＝5，點P(－，2)代入雙曲線方程，可得＝1，聯立解得所以雙曲線的標準方程為x2－＝1.151612.已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的焦距為10，F為雙曲線的右焦點，且點F到漸近線的距離為4.(1)求雙曲線C的方程；1234567891011121314答案15161234567891011121314答案＝1的漸近線的方程為y＝±x，即bx±ay＝0，由雙曲線的對稱性不妨取漸近線為bx－ay＝0，則點F(c，0)到bx－ay＝0的距離d＝＝b＝4，又因為焦距2c＝10，所以c＝5，所以a2＝c2－b2＝9，所以雙曲線C的方程為＝1.1516(2)若點A(12，0)，點P為雙曲線C左支上一點，求|PA|＋|PF|的最小值.1234567891011121314答案記雙曲線C的左焦點為F0，則F0(－5，0)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6，當F0，P，A三點共線時，|PA|＋|PF0|最小，且最小值為|AF0|＝17.故|PA|＋|PF|的最小值為17＋6＝23.151613.(2024·天津)已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2.P是雙曲線右支上一點，且直線PF2的斜率為2，△PF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝11234567891011121314答案√能力拓展15161234567891011121314答案由題意可知，∠F1PF2＝90°，又直線PF2的斜率為2，可得tan∠PF2F1＝＝2，根據雙曲線定義|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，又＝8，所以a2＝2，15161234567891011121314答案所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以雙曲線的方程為＝1.151614.將雙曲線＝1繞原點逆時針旋轉45°后，能得到反比例函數y＝的圖象(其漸近線分別為x軸和y軸)，所以我們也稱反比例函數y＝的圖象為雙曲線.同樣“對勾函數”y＝x＋也能由雙曲線的圖象繞原點旋轉得到，則此“對勾函數”所對應的雙曲線的實軸長為A.4 B.4 C.2 D.21234567891011121314答案√15161234567891011121314答案“對勾函數”y＝x＋的兩條漸近線分別為y＝x和x＝0，夾角為60°，實軸所在直線是兩條漸近線夾角的角平分線，所以實軸所在直線的傾斜角為60°，斜率為，方程為y＝x，聯立解得或所以此“對勾函數”所對應的雙曲線的兩個頂點為或，所以實軸長為＝2.151615.(多選)(2024·廣州模擬)雙曲線具有如下性質：雙曲線在任意一點處的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.設O為坐標原點，雙曲線C：＝1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點A到一條漸近線的距離為2，右支上一動點P處的切線記為l，則A.雙曲線C的漸近線方程為y＝±xB.雙曲線C的離心率為C.當PF2⊥x軸時，|PF1|＝D.過點F1作F1K⊥l，垂足為K，|OK|＝21234567891011121314答案√1516√√1234567891011121314答案對于A，由雙曲線C：＝1(b>0)可知a＝2，右頂點A(2，0)，其漸近線方程為y＝±x，右頂點A到一條漸近線的距離為2，由雙曲線的對稱性不妨取漸近線為bx－2y＝0，則＝2，解得b＝，故雙曲線C的漸近線方程為y＝±x＝±x，A正確；15161234567891011121314答案對于B，由于a＝2，b＝，所以c＝＝5，故雙曲線C的離心率為，B錯誤；對于C，F2(5，0)，當PF2⊥x軸時，將x＝5代入＝1中，得y2＝5，所以y＝±，即得|PF2|＝，15161234567891011121314答案1516由于P在雙曲線右支上，故|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋4，C正確；對于D， 連接PF2并延長，交F1K的延長線于E，由題意知，PK為∠F1PE的平分線，結合F1K⊥l，可知|PF1|＝|PE|，K為F1E的中點，而O為F1F2的中點，故|OK|＝|F2E|＝(|PE|－|PF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＝×2a＝2，D正確.16.(2025·湖北七市州調研)已知雙曲線C：x2－＝1的左、右頂點分別為A，B，點P是雙曲線C上在第一象限內的點，直線PA，PB的傾斜角分別為α，β，則tan α·tan β＝ ；當2tan α＋tan β取最小值時，△PAB的面積為 . 1234567891011121314答案1516321234567891011121314答案設P(m，n)(m>0，n>0)，則m2－＝1，可得n2＝3(m2－1)，又因為A，B分別為雙曲線C：x2－＝1的左、右頂點，可得A(－1，0)，B(1，0)，所以tan α·tan β＝kAP·kBP＝·＝3；又由tan α>0，tan β>0，15161234567891011121314答案所以2tan α＋tan β≥2＝2，當且僅當2tan α＝tan β時，等號成立，所以，解得m＝3，所以n2＝3(m2－1)＝24，所以n＝2，此時△PAB的面積為×2a×yP＝×2×2＝2.返回1516(共48張PPT)第八章§8.7 離心率的范圍問題數學大一輪復習圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點題型，對圓錐曲線中已知特征關系的轉化是解決此類問題的關鍵，相關平面幾何關系的挖掘應用也可使問題求解更簡潔.重點解讀例1 (1)已知橢圓M：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓M上任意一點，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范圍為[2c2，3c2](其中c2＝a2－b2，c>0)，則橢圓M的離心率的取值范圍是A. B.C. D.√利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍題型一由基本不等式及橢圓定義可知|PF1|·|PF2|≤＝a2，當且僅當|PF1|＝|PF2|時，等號成立，∴|PF1|·|PF2|的最大值為a2，由題意知2c2≤a2≤3c2，∴c≤a≤c，∴≤e≤.(2)已知F1，F2為橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，∠F1PF2＝60°，則橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為A.2 B.1 C. D.2√不妨設|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，橢圓的長半軸長為a1，離心率為e1，雙曲線的實半軸長為a2，離心率為e2，兩曲線的半焦距均為c，由橢圓及雙曲線的定義得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2，在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos 60°＝4c2 －(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，則＋3＝4c2，得＝4，由基本不等式得4＝≥2 e1e2≥，當且僅當e1＝，e2＝時，等號成立，所以橢圓與雙曲線離心率之積的最小值為.此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構造關于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的取值范圍.思維升華跟蹤訓練1 已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(2，0)，點A的坐標為(0，1)，點P為雙曲線左支上的動點，且△APF的周長不小于18，則雙曲線C的離心率的取值范圍為 . 由右焦點為F(2，0)，點A的坐標為(0，1)，可得|AF|＝＝5.因為△APF的周長不小于18，所以|PA|＋|PF|≥13.設F2(－2，0)為雙曲線的左焦點，可得|PF|＝|PF2|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，當A，P，F2三點共線時，|PA|＋|PF2|＋2a取得最小值，最小值為|AF2|＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4，因為c＝2，所以e＝≤，又e>1，所以e的取值范圍為.例2 (1)已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為A. B. C.2 D.利用圓錐曲線的性質求離心率的范圍題型二√根據雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，因為|PF1|＝5|PF2|，所以|PF1|＝，|PF2|＝，因為點P在雙曲線的右支上，所以|PF2|≥c－a，即≥c－a，所以≥c，所以1所以雙曲線的離心率e的最大值為.(2)已知F1，F2分別是橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，則C的離心率的取值范圍是A. B.C. D.√由點P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點，延長PF1交橢圓于另一交點，記為A，由PF1∥QF2再結合橢圓的對稱性，易知|AF1|＝|QF2|，所以|PF1|＋|QF2|＝|PA|，由橢圓過焦點的弦中通徑最短，所以當PA垂直于x軸時，|PA|最短，所以b≤|PA|min＝，所以ab≤2b2，即≥，又0利用圓錐曲線的性質，如：橢圓的最大角、通徑、三角形中的邊角關系、曲線上的點到焦點距離的范圍等，建立不等式(或不等式組)來求解離心率的范圍問題.思維升華跟蹤訓練2 已知雙曲線E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在E上，若對所有的點P均滿足|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，則E的離心率的取值范圍為A.(2，＋∞) B.C. D.√由題意，根據雙曲線的對稱性，不妨設點P在E的右支上，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，由|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，可得2|PF2|＋2a≥4a－4b，即|PF2|≥a－2b，又|PF2|的最小值為c－a(當點P為雙曲線右頂點時取得最小值)，可得c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.當2a－c≤0，即≥2時，不等式顯然成立；當2a－c>0，即1<<2時，(2a－c)2≤4b2＝4c2－4a2，可得≤<2.綜上可知，雙曲線E的離心率的取值范圍為.例3 (1)已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.(1，2) B.[4，＋∞)C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)√利用幾何圖形的性質求離心率的范圍題型三若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率小于等于漸近線的斜率的絕對值，∴≥，∴e2＝＝1＋≥4，故此雙曲線離心率的取值范圍是[2，＋∞).(2)已知兩定點A(－1，0)和B(1，0)，動點P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的離心率的最大值為A. B. C. D.√橢圓C以A，B為焦點，即c＝1，b2＝a2－1，故可設橢圓方程為＝1(a>1)，聯立方程消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由題意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，即a4－6a2＋5≥0，得a2≥5或a2≤1(舍去)，解得a≥，所以0利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構造幾何度量之間的關系來求解離心率的范圍問題.思維升華跟蹤訓練3 已知F1，F2分別是雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點A使得點F2到直線AF1的距離為2a，則雙曲線離心率e的取值范圍是A.[，＋∞) B.(，＋∞)C.(1，) D.(1，]√設直線AF1：y＝k(x＋c)，即kx－y＋kc＝0，則點F2(c，0)到直線AF1的距離為＝2a，即|k|＝<，即a2.課時精練對一對答案12345678910題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A B C B B AC AB題號 9 10 答案 一、單項選擇題1.已知橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，若橢圓上存在點A，使得∠F1AF2＝，則橢圓離心率的取值范圍為A. B.C. D.√12345678910答案12345678910答案由題意，設橢圓的上頂點為B，若橢圓上存在點A，使得∠F1AF2＝，則只需∠F1BF2≥即可.當∠F1BF2＝時，△F1BF2為正三角形，此時a＝2c，故當∠F1BF2≥時，a≤2c，即≤.又012345678910答案2.已知橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，以F1F2為直徑的圓與橢圓有四個交點，則橢圓離心率的取值范圍為A. B.C. D.√12345678910答案因為以F1F2為直徑的圓與橢圓有四個交點，所以b即b2所以e2>，即e>，又因為0所以橢圓離心率的取值范圍為.3.(2024·紹興模擬)若雙曲線C1：＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓C2：(x－2)2＋y2＝1有公共點，則C1的離心率的取值范圍為A. B.C.(1，2) D.(1，2]√12345678910答案12345678910∵雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，且漸近線與圓(x－2)2＋y2＝1有公共點，∴圓心(2，0)到漸近線的距離小于等于半徑，即≤1，∴3b2≤a2，∴c2＝a2＋b2≤a2，∴1答案4.已知F1，F2分別為雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上的任意一點，當取最小值時，雙曲線離心率e的取值范圍是A.(1，＋∞) B.(2，3]C.(1，3] D.(1，2]√12345678910答案12345678910因為F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線左支上的任意一點，所以|PF2|－|PF1|＝2a，代入，得＝|PF1|＋4a＋≥2＋4a＝8a，當且僅當|PF1|＝2a時取等號，即|PF1|＝2a，又點P是雙曲線左支上任意一點，所以|PF1|≥c－a，即2a≥c－a e≤3，又e>1，所以1答案5.已知橢圓C：＝1(a>b>0)的長軸長大于4，當m變化時，直線x－my＋2－2m＝0與C都恒過同一個點，則C的離心率的取值范圍是A. B.C. D.√12345678910答案12345678910因為直線x－my＋2－2m＝0即x＋2＝m(y＋2)，所以該直線過定點(－2，－2)，所以點(－2，－2)在C上，則＝1，即4(a2＋b2)＝a2b2，則4(2a2－c2)＝a2(a2－c2)，所以a2＝，因為C的長軸長大于4，所以a>2，a2>12，所以>3，解得答案6.設F1，F2分別為橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，若∠F2PF1＝30°，則橢圓C的離心率的取值范圍為A. B.C. D.√12345678910答案12345678910設P的坐標為，根據橢圓的對稱性，不妨設t>0，橢圓的半焦距為c，則F1(－c，0)，F2(c，0)，設直線PF1的傾斜角為θ，直線PF2的傾斜角為α，則tan θ＝，tan α＝，因為α－θ＝30°，所以tan(α－θ)＝，答案12345678910故，由基本不等式有a2－c2＋t2≥2·t，故≤，當且僅當a2－c2＝t2時，等號成立，故e≥，又0答案二、多項選擇題7.(2024·邯鄲調研)已知雙曲線C：＝1，則A.λ的取值范圍是(－6，3)B.C的焦點可在x軸上也可在y軸上C.C的焦距為6D.C的離心率e的取值范圍為(1，3)12345678910√答案√對于A，∵＝1表示雙曲線，∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A正確；對于B，由A項可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0，∴C的焦點只能在x軸上，故B錯誤；對于C，設C的半焦距為c(c>0)，則c2＝λ＋6＋3－λ＝9，∴c＝3，即焦距2c＝6，故C正確；對于D，離心率e＝，∵－6<λ<3，∴0<<3，∴e的取值范圍是(1，＋∞)，故D錯誤.12345678910答案8.已知橢圓Γ：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，長軸長為4，點P(，1)在橢圓Γ外，點Q在橢圓Γ上，則A.橢圓Γ的離心率的取值范圍是B.當橢圓Γ的離心率為時，|QF1|的取值范圍是[2－，2＋]C.對任意點Q都有·>0D.的最小值為2√12345678910答案√12345678910由題意得a＝2，又點P(，1)在橢圓Γ外，則>1，解得0所以橢圓Γ的離心率e＝>，即橢圓Γ的離心率的取值范圍是，故A正確；當e＝時，c＝，b＝＝1，所以|QF1|的取值范圍是[a－c，a＋c]，即[2－，2＋]，故B正確；答案12345678910設橢圓的上頂點為A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由于·＝b2－c2＝2b2－a2<0，所以存在點Q使得·≤0，故C錯誤；(|QF1|＋|QF2|)＝2＋≥2＋2＝4，當且僅當|QF1|＝|QF2|＝2時，等號成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，所以≥1，故D錯誤.答案三、填空題9.已知橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，半焦距為c，且在該橢圓上存在異于左、右頂點的一點P，滿足2a·sin∠PF1F2＝3c·sin∠PF2F1，則橢圓離心率的取值范圍為 . 12345678910答案12345678910答案在△PF1F2中，由正弦定理知，又∵P在橢圓上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，又P是異于左、右頂點的一點，∴|PF1|＝∈(a－c，a＋c)，即1－e<<1＋e，又010.(2024·貴陽質檢)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，過F的直線l與C交于點A，B，且滿足|AB|＝2a的直線l恰有三條，則雙曲線C的離心率的取值范圍為 . 12345678910答案(1，)12345678910答案顯然滿足|AB|＝2a的直線l其中有1條為x軸，此時A，B為左、右頂點.當直線l過F，剛好垂直于x軸時，令x＝c，可求得|AB|＝，此時直線l只有1條，加上前面的1條，總共2條，不滿足題意.如圖，由雙曲線的對稱性知當2a>時，剛好有2條，總共3條，滿足題意，即b21，則雙曲線C的離心率的取值范圍為(1，).(共87張PPT)第八章§8.8 拋物線數學大一輪復習1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.了解拋物線的簡單應用.課標要求課時精練內容索引第一部分 落實主干知識第二部分 探究核心題型落實主干知識第一部分1.拋物線的概念把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離 的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的 ，直線l叫做拋物線的 .注意：定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F且垂直于直線l的一條直線.相等焦點準線標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)圖形 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R焦點 _________ _________ _________ _________準線方程 ________ ______ _______ ______2.拋物線的標準方程和簡單幾何性質x＝－x＝y＝－y＝標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)對稱軸 ______ ______ 頂點 ________ 離心率 e＝____ x軸y軸(0，0)11.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線.( )(2)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是(1，0).( )(3)標準方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點到準線的距離.( )(4)焦點在y軸上的拋物線的標準方程x2＝±2py(p>0)，也可以寫成y＝ax2(a≠0)，這與以前學習的二次函數的解析式是一致的.( )××√√2.(多選)關于拋物線y2＝－2x，下列說法正確的是A.開口向左 B.焦點坐標為(－1，0)C.準線為x＝1 D.對稱軸為x軸√對于拋物線y2＝－2x，開口向左，焦點坐標為，準線方程為x＝，對稱軸為x軸，故AD正確.√3.(2024·駐馬店模擬)已知點P(6，y0)在焦點為F的拋物線C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝，則p等于A.3 B.6 C.9 D.12√拋物線C：y2＝2px(p>0)，準線方程為x＝－，P(6，y0)，由拋物線的定義可知|PF|＝6＋，解得p＝3.4.(2024·寶雞模擬)拋物線y2＝2px(p>0)過點A(2，2)，則點A到拋物線準線的距離為 . 由題意22＝2p×2，解得p＝1，所以拋物線的準線方程為x＝－，故所求距離為2＋.拋物線焦點弦的幾個常用結論設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標原點，則(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)；(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切；(4)通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.返回微點提醒探究核心題型第二部分例1 (1)若拋物線x2＝8y上一點(x0，y0)到焦點的距離是該點到x軸距離的2倍，則y0等于A. B.1 C. D.2拋物線的定義及應用題型一√已知拋物線的方程為x2＝8y，可得p＝4，所以焦點為F(0，2)，準線為l：y＝－2.拋物線上一點A(x0，y0)到焦點F的距離等于到準線l的距離，即|AF|＝y0＋2，又因為A到x軸的距離為y0，由已知得y0＋2＝2y0，解得y0＝2.(2)(多選)(2025·八省聯考)已知F(2,0)是拋物線C:y2=2px的焦點,M是C上的點,O為坐標原點.則A.p=4B.|MF|≥|OF|C.以M為圓心且過F的圓與C的準線相切D.當∠OFM=120°時,△OFM的面積為2√√√由題意得=2,則p=4,A正確;設M(x0,y0),則|MF|=x0+,|OF|=,又因為x0≥0,所以|MF|≥|OF|,B正確;由拋物線的定義知M到F的距離與M到C的準線的距離相等,故以M為圓心且過F的圓與C的準線相切,C正確;當∠OFM=120°時,設M在第一象限,則x0>2,y0>0,故kMF==tan 60°=,即x0=+2,又=8x0,所以-8y0-16=0,解得y0=4或y0=-(舍去),所以S△OFM=|OF|×|y0|=×2×4=4,D錯誤.“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據定義獲得簡捷、直觀的求解.“由數想形，由形想數，數形結合”是靈活解題的一條捷徑.思維升華跟蹤訓練1 (1)(2024·貴陽模擬)拋物線y2＝4x上一點M到焦點的距離是10，則M到x軸的距離是A.4 B.6 C.7 D.9√拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，由拋物線定義可得xM＋1＝10，故xM＝10－1＝9，則|yM|＝＝6，即M到x軸的距離為6.(2)已知點P為拋物線y2＝－4x上的動點，設點P到直線l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是A. B. C.2 D.√直線l：x＝1為拋物線y2＝－4x的準線，點P到準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線x＋y－4＝0的垂線，如圖所示，當點P為所作直線與拋物線的交點時，d1＋d2的值最小，為點F到直線x＋y－4＝0的距離.∵F(－1，0)，∴(d1＋d2)min＝.例2 (1)若拋物線過點(3，－4)，則拋物線的標準方程為 .拋物線的標準方程題型二y2＝x或x2＝－y∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，則2p＝，2p1＝.∴所求拋物線的標準方程為y2＝x或x2＝－y.(2)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，第一象限內的點A在E上，AB垂直l于點B，BF交y軸于點C，若|AF|＝2|BC|＝4，則拋物線的標準方程為 . y2＝4x由題意知C為BF的中點，因為|AF|＝|AB|，所以AC與BF垂直，因為|AF|＝2|BC|＝4，所以∠CAF＝30°，所以∠BAF＝60°，方法一 則△ABF為等邊三角形，設AB交y軸于點D，如圖，在Rt△BCD中，易得|BD|＝1，即＝1，p＝2，故拋物線的標準方程為y2＝4x.方法二 A，代入E：y2＝2px(p>0)可得12＝2p，化簡得p2＋4p－12＝0，由于p>0，所以p＝2(p＝－6舍去).故拋物線的標準方程為y2＝4x.求拋物線的標準方程的方法(1)定義法.(2)待定系數法：當焦點位置不確定時，分情況討論.思維升華跟蹤訓練2 (1)拋物線C的焦點F關于其準線對稱的點為(0，－9)，則拋物線C的方程為A.x2＝6y B.x2＝12y C.x2＝18y D.x2＝36y√由題可知，拋物線開口向上，設方程為x2＝2py(p>0)，則拋物線的焦點為，則準線為y＝－，所以＝－，解得p＝6，所以拋物線C的方程為x2＝12y.(2)“米”是象形字，數學探究課上，某同學用拋物線C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)構造了一個類似“米”字形的圖案，如圖所示，若拋物線C1，C2的焦點分別為F1，F2，點P在拋物線C1上，過點P作x軸的平行線交拋物線C2于點Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，則p等于A.4 B.6 C.8 D.12√方法一 如圖，過點P作PM⊥F1F2于點M， ∵|PF1|＝2|PQ|＝8，∴|OM|＝2，則xP＝－2，又點P在拋物線C1：y2＝－2px(p>0)上，∴＝4p，則|PM|＝2，在Rt△PMF1中，|MF1|＝－2，∵|PM|2＋，∴＝82，∴p＝12(p＝－20舍去).方法二 設P(x0，y0)，則x0<0，∵|PF1|＝2|PQ|＝8，∴－x0＋＝2(－2x0)＝8，∴x0＝－2，p＝12.例3 (1)(多選)對于拋物線x2＝y，下列描述正確的是A.開口向上，焦點為(0，2) B.開口向上，焦點為C.焦點到準線的距離為4 D.準線方程為y＝－4拋物線的幾何性質題型三√√由拋物線x2＝y，即x2＝8y，可知拋物線開口向上，焦點坐標為(0，2)，焦點到準線的距離為4，準線方程為y＝－2.(2)(多選)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝8x過焦點的弦的兩個端點，焦點為F，則A.焦點F的坐標為(4，0) B.|AB|＝x1＋x2＋4C.y1y2＝－8 D.√√由拋物線y2＝8x，可得焦點為F(2，0)，故A錯誤；由拋物線的性質可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正確；方法一 設直線AB的方程為x＝my＋2，與拋物線的方程聯立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，則y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，＝＝＝＝＝，故C錯誤，D正確.方法二 因為p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，，故C錯誤，D正確.應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現了數形結合思想解題的直觀性.思維升華跟蹤訓練3 (1)(2024·重慶模擬)A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的不同兩點，點F是拋物線的焦點，且△OAB(O為坐標原點)的重心恰為F，若|AF|＝5，則p等于A.1 B.2 C.3 D.4√設A(x1，y1)，B(x2，y2)，F，因為△OAB的重心恰為F，則解得由y1＝－y2可知A，B關于x軸對稱，即x1＝x2，則x1＋x2＝2x1＝，即x1＝，又因為|AF|＝x1＋＝5，解得p＝4.(2)(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)經過點M(1，2)，其焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于兩個不同的點A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標原點，設直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則A.p＝2 B.|AB|≥4C.·＝－4 D.k1k2＝－4√√√因為拋物線y2＝2px(p>0)經過點M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正確；所以拋物線方程為y2＝4x，則焦點為F(1，0)，設直線l：x＝my＋1，聯立消去x整理得y2－4my－4＝0，則Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，則x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正確；因為＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C錯誤；由題意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝·＝－4，故D正確.返回課時精練對一對答案1234567891011121314題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D C D A B AD ABD題號 9 10 13 14 15 16 答案 42或22 D B B D 1516答案1234567891011121314(1)由題意知動點M到F(2，0)的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以動點M的軌跡為以F(2，0)為焦點，以直線x＝－2為準線的拋物線，因此動點M的軌跡方程為y2＝8x.(2)設M，由兩點間的距離公式得|MA|＝＝，11.1516答案1234567891011121314當m2＝16，即m＝±4時，|MA|min＝4，即當M的坐標為(2，4)或(2，－4)時，點M與點A的距離最小，最小值為4.11.1516答案1234567891011121314(1)設圓心C的坐標為(x，y)，則半徑r＝，又動圓在y軸上截得的弦長為8，所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化簡得y2＝8x，即動圓圓心C的軌跡方程為y2＝8x.(2)如圖，設軌跡C的焦點為F(2，0)，點P到直線y＝x＋4的距離為|PP1|，到y軸的距離為|PP2|，點F到直線y＝x＋4的距離為|FF1|，12.1516答案1234567891011121314由拋物線的定義，可知|PP2|＝|PF|－2，所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，由圖可知|PP1|＋|PF|的最小值為點F到直線y＝x＋4的距離，所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3，所以|PP1|＋|PP2|的最小值為3－2.即點P到直線y＝x＋4和y軸的距離之和的最小值為3－2.12.1516一、單項選擇題1.頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標準方程為A.x2＝±3y B.y2＝±6xC.x2＝±12y D.y2＝±12x√1234567891011121314知識過關答案15161234567891011121314答案設拋物線的標準方程為x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，依題意知＝3，∴p＝6.∴拋物線的標準方程為x2＝±12y.15161234567891011121314答案2.已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，P(x0，8)是C上一點，且P到F的距離與P到C的對稱軸的距離之差為2，則p等于A. B.1 C.2或4 D.4或36√15161234567891011121314答案因為P(x0，8)是C上一點，所以＝16p，所以|x0|＝4，由拋物線的定義可得P到F的距離為8＋，點P到C的對稱軸的距離為|x0|，則8＋－4＝2，解得p＝4或p＝36.15163.已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于A. B. C.3 D.2√1234567891011121314答案過點Q作QQ'⊥l于點Q'，如圖.∵＝4，∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點F到準線l的距離為4，∴|QF|＝|QQ'|＝×4＝3.15164.在平面直角坐標系Oxy中，拋物線C：y2＝8x，P為x軸正半軸上一點，線段OP的垂直平分線l交C于A，B兩點，若∠OAP＝60°，則四邊形OAPB的周長為A.64 B.64 C. D.√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案根據拋物線的對稱性以及AB為線段OP的垂直平分線，可得四邊形OAPB為菱形，又∠OAP＝60°，可得∠AOP＝60°，故可設A(a，a)(a>0)，代入拋物線方程可得＝8a，解得a＝，故|OA|＝2a＝，故四邊形OAPB的周長為4×.15165.已知過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l垂直于x軸，且與拋物線C交于P，Q兩點，點E在x軸上，且|EF|＝2.若kOP·kEQ＝－2(O為坐標原點)，則C的準線方程為A.x＝－1 B.x＝－C.x＝－2 D.x＝－√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案由拋物線的方程y2＝2px(p>0)，得F，由拋物線的對稱性，不妨設P，Q，當點E的坐標為時，kOP＝＝2，kEQ＝，因為kOP·kEQ＝－2，所以2×＝－2，15161234567891011121314答案則p＝－2(不符合題意，舍去)；當點E的坐標為時，kEQ＝＝－，因為kOP·kEQ＝－2，所以2×＝－2，則p＝2，所以拋物線C的準線方程為x＝－1.15166.已知x軸上一定點A(a，0)(a>0)，和拋物線y2＝2px(p>0)上的一動點M，若|AM|≥a恒成立，則實數a的取值范圍為A. B.(0，p]C. D.(0，2p]√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案設M(x0，y0)(x0≥0)，則＝2px0，所以|AM|＝＝＝，因為|AM|≥a恒成立，所以－(2a－2p)x0＋a2≥a2恒成立，所以－(2a－2p)x0≥0恒成立，15161234567891011121314答案當x0＝0時，顯然恒成立，當x0>0時，x0≥2a－2p恒成立，所以2a－2p≤0，則a≤p，又a>0，所以0即實數a的取值范圍為(0，p].1516二、多項選擇題7.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P(5，y0)在拋物線上，且|PF|＝6，過點P作PQ⊥x軸于點Q，則A.p＝2 B.拋物線的準線為直線y＝－1C.y0＝2 D.△FPQ的面積為41234567891011121314√答案√15161234567891011121314答案拋物線y2＝2px(p>0)的準線為直線x＝－，過點P向準線作垂線，垂足為M，由拋物線的定義可知|PF|＝|PM|＝5＋＝6，解得p＝2，則拋物線的方程為y2＝4x，準線為直線x＝－1，故A正確，B錯誤；將x＝5代入拋物線方程，解得y0＝±2，故C錯誤；焦點F(1，0)，點P(5，±2)，即|PQ|＝2，所以S△FPQ＝×2×(5－1)＝4，故D正確.15168.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，AB是經過拋物線焦點F的弦，M是線段AB的中點，經過點A，B，M作拋物線的準線l的垂線AC，BD，MN，垂足分別是C，D，N，其中MN交拋物線于點Q，連接QF，NF，NB，NA，則下列說法正確的是A.|MN|＝|AB| B.FN⊥ABC.Q是線段MN的一個三等分點 D.∠QFM＝∠QMF√1234567891011121314答案√√15161234567891011121314答案如圖，由拋物線的定義，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，又|MN|＝，則|MN|＝|AB|，A正確；由|MN|＝|AB|，|AM|＝|MB|，得|MN|＝|AM|，所以∠MAN＝∠MNA.而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN，所以△ANC≌△ANF，15161234567891011121314答案可知∠ACN＝∠AFN＝90°，所以FN⊥AB，B正確；在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，D正確；由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，所以|QN|＝|QM|，即Q是MN的中點，C不正確.1516三、填空題9.拋物線x2＝y的準線方程是y＝2，則實數a的值為 . 1234567891011121314答案－由題意－＝2，解得a＝－.151610.已知點M(20，40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于 . 1234567891011121314答案42或2215161234567891011121314答案當點M(20，40)位于拋物線內時，如圖①，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當點M，P，D三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小.由最小值為41，得20＋＝41，解得p＝42；當點M(20，40)位于拋物線外時，如圖②，當M，P，F三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小為|MF|.① ②15161234567891011121314答案由最小值為41，得＝41，解得p＝22或p＝58.當p＝58時，y2＝116x，點M(20，40)在拋物線內，故舍去.綜上，p＝42或p＝22.②1516四、解答題11.已知動點M與點F(2，0)的距離與其到直線x＝－2的距離相等.(1)求動點M的軌跡方程；1234567891011121314答案由題意知動點M到F(2，0)的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以動點M的軌跡為以F(2，0)為焦點，以直線x＝－2為準線的拋物線，因此動點M的軌跡方程為y2＝8x.15161234567891011121314答案設M，由兩點間的距離公式得|MA|＝＝，當m2＝16，即m＝±4時，|MA|min＝4，即當M的坐標為(2，4)或(2，－4)時，點M與點A的距離最小，最小值為4.(2)求點M與點A(6，0)的距離的最小值，并指出此時M的坐標.151612.已知動圓過定點(4，0)，且在y軸上截得的弦長為8.(1)求動圓圓心C的軌跡方程；1234567891011121314答案設圓心C的坐標為(x，y)，則半徑r＝，又動圓在y軸上截得的弦長為8，所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化簡得y2＝8x，即動圓圓心C的軌跡方程為y2＝8x.1516(2)已知P為軌跡C上的一動點，求點P到直線y＝x＋4和y軸的距離之和的最小值.1234567891011121314答案15161234567891011121314答案如圖，設軌跡C的焦點為F(2，0)，點P到直線y＝x＋4的距離為|PP1|，到y軸的距離為|PP2|，點F到直線y＝x＋4的距離為|FF1|，由拋物線的定義，可知|PP2|＝|PF|－2，所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，由圖可知|PP1|＋|PF|的最小值為點F到直線y＝x＋4的距離，所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3，所以|PP1|＋|PP2|的最小值為3－2.即點P到直線y＝x＋4和y軸的距離之和的最小值為3－2.151613.已知拋物線y2＝2px(p>0)上不同的三點A，B，C的橫坐標成等差數列，P為拋物線的焦點，則A.A，B，C的縱坐標成等差數列B.A，B，C到x軸的距離成等差數列C.A，B，C到原點的距離成等差數列D.A，B，C到點P的距離成等差數列1234567891011121314答案√能力拓展1516設點A，B，C的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，P，準線方程為x＝－，因為拋物線y2＝2px(p>0)上不同的三點A，B，C的橫坐標成等差數列，所以有2x2＝x1＋x3，于是有2，根據拋物線定義可得2|BP|＝|AP|＋|CP|，顯然選項D正確；當三點A，B，C的坐標分別為(0，0)，(2，2)，(4，2)時，因為p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此選項A不正確；1234567891011121314答案15161234567891011121314答案因為A，B，C到x軸的距離分別為0，2，2，p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此選項B不正確；因為|AO|＝0，|BO|＝，|CO|＝，p>0，所以2×＝0＋不成立，因此選項C不正確.151614.一個工業凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是x2＝2y，y∈[0，10]，在凹槽內放入一個清潔鋼球(規則的球體)，要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為A. B.1C.2 D.1234567891011121314答案√15161234567891011121314答案作截面，如圖所示，設清潔鋼球截面圓的圓心為(0，y0)(y0>0)，若清潔鋼球能觸及凹槽的最底部，則清潔鋼球的半徑r＝y0，又拋物線x2＝2y，y∈[0，10]上的點(x，y)到圓心距離的平方為d2＝x2＋＝2y＋＝y2＋2(1－y0)y＋，y∈[0，10]，若d2的最小值在y＝0時取到，則清潔鋼球觸及凹槽的最底部，故二次函數f(y)＝y2＋2(1－y0)y＋圖象的對稱軸方程應滿足－1＋y0≤0，所以y0≤1，所以0從而清潔鋼球的半徑r的取值范圍為(0，1]，所以清潔鋼球的最大半徑為1.151615.設拋物線C：x2＝2y的焦點為F，過拋物線C上的點P作C的切線交x軸于點M，若∠FPM＝30°，則|FP|等于A. B.2C. D.1234567891011121314答案√15161234567891011121314答案1516由已知得F，設P(x0，y0)，x0≠0，y0≠0，則＝2y0，由x2＝2y，即y＝x2，則y'＝x，所以過點P的拋物線C的切線的斜率為x0，則切線方程為y－y0＝x0(x－x0)，當y＝0時，x＝，即M點的坐標為，1234567891011121314答案1516則|PM|＝，|FM|＝，|FP|＝y0＋，又∠FPM＝30°，則在△FPM中，由余弦定理得，|FM|2＝|FP|2＋|PM|2－2|FP||PM|cos∠FPM，1234567891011121314答案1516則－2××，整理得2＋y0－×＝0，解得y0＝，所以|FP|＝＝2.16.已知拋物線y＝x2和y＝－x2＋5所圍成的封閉曲線E如圖所示，點M，N在曲線E上，定點A(0，a)，則下列說法中不正確的是A.任意a∈(0，5)，都存在點M，N，使得|AM|＝|AN|B.任意a∈(0，5)，都存在點M，N，滿足這對點關于點A對稱C.存在a∈(0，5)，當點M，N運動時，使得|AM|＋|AN|≤10D.任意a∈(0，5)，恰有三對不同的點M，N，滿足每對點M，N關于點A對稱1234567891011121314答案√15161234567891011121314答案1516拋物線y＝x2和y＝－x2＋5的對稱軸都為y軸，因此封閉曲線E關于y軸對稱，對于A，任意a∈(0，5)，在曲線E上取關于y軸對稱的兩點M，N，而點A(0，a)在y軸上，有|AM|＝|AN|，A正確；對于B，對任意a∈(0，5)，過點A且垂直于y軸的直線與曲線E的交點M，N關于點A對稱，B正確；對于C，聯立y＝x2與y＝－x2＋5，解得1234567891011121314答案1516取a＝1，即A(0，1)，拋物線y＝x2，即x2＝4y，焦點為(0，1)，準線方程為y＝－1，當點M(t，s)在y＝x2(0≤y≤4)上運動時，0≤s≤4，|AM|＝s＋1∈[1，5].拋物線y＝－x2＋5的圖象可由拋物線y＝－x2的圖象向上平移5個單位長度而得到，拋物線y＝－x2，即x2＝－16y，焦點為(0，－4)，準線方程為y＝4，1234567891011121314答案1516則拋物線y＝－x2＋5的焦點為(0，1)，準線方程為y＝9，當點M(t，s)在y＝－x2＋5(4≤y≤5)上運動時，4≤s≤5，|AM|＝9－s∈[4，5]，因此當點M，N運動時，1≤|AM|≤5，1≤|AN|≤5，恒有|AM|＋|AN|≤10，C正確；對于D，取a＝1，即A(0，1)，直線y＝1與拋物線y＝x2的兩個交點關于點A對稱，在此拋物線上關于點A對稱的兩點就只有一對，1234567891011121314答案1516在拋物線y＝－x2＋5上不存在兩點關于點A對稱，另外關于點A對稱的兩點分別在y＝x2和y＝－x2＋5上時，不妨令M，此點關于點A對稱的點N必在y＝－x2＋5上，而方程2－u2＝－u2＋5，即u2＝－3無解，則此時不存在關于點A對稱的兩點分別在兩條拋物線上，D錯誤.返回(共120張PPT)第八章§8.9 直線與圓錐曲線的位置關系數學大一輪復習1.了解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.能利用方程及數形結合思想解決焦點弦、中點弦問題.課標要求課時精練內容索引第一部分 落實主干知識第二部分 探究核心題型落實主干知識第一部分1.直線與圓錐曲線的位置判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交 Δ 0；直線與圓錐曲線相切 Δ 0；直線與圓錐曲線相離 Δ 0.特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點.②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點.>＝<2.弦長公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝＝|x1－x2|＝ ，或|AB|＝|y1－y2|＝ .1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)過點的直線一定與橢圓＋y2＝1相交.( )(2)直線與拋物線只有一個公共點，則該直線與拋物線相切.( )(3)與雙曲線漸近線平行的直線一定與雙曲線有公共點.( )(4)圓錐曲線的通徑是所有的焦點弦中最短的弦.( )×√√√2.若直線y＝kx＋2與橢圓＝1有且只有一個交點，則k的值是A. B.－ C.± D.±√由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由題意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±.3.已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的長是A.2 B.4 C.8 D.16√聯立消去y并整理得x2－6x＋1＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝×＝8.4.已知點A，B是雙曲線C：＝1上的兩點，線段AB的中點是M(3，2)，則直線AB的斜率為A. B. C. D.√方法一 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵點A，B是雙曲線C上的兩點，∴＝1，＝1，兩式相減得，∵M(3，2)是線段AB的中點，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，∴，∴kAB＝.方法二 由kAB·kOM＝，得kAB＝·×.返回探究核心題型第二部分例1 (1)已知直線l的方程為mx＋y＋2m＝1，橢圓C的方程為＝1，則直線l與橢圓C的位置關系為A.相離 B.相交C.相切 D.不能確定直線與圓錐曲線的位置關系題型一√直線l：mx＋y＋2m＝1，即m(x＋2)＋y－1＝0，令解得則直線l過定點(－2，1)，因為<1，則該定點在橢圓內，則直線l與橢圓C的位置關系為相交.(2)已知雙曲線C：＝1，過點P(3，3)作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足條件的直線l共有A.1條 B.2條 C.3條 D.4條√由題意知雙曲線的焦點F1(－5，0)，F2(5，0)，頂點A(3，0)，漸近線方程為y＝±x，由P(3，3)可得該點在雙曲線右頂點上方，易得過P點與雙曲線有且只有一個公共點的直線中，有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線(圖1)，有兩條雙曲線右支的切線(圖2)，共4條.(1)直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(2)直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行(或重合).思維升華跟蹤訓練1 (1)(2024·宿遷模擬)已知拋物線C：x2＝y，點M(m，1)，則“m>1”是“過M且與C僅有一個公共點的直線有3條”的A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√由于過M且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條，則當直線的斜率不存在時符合題意，此時直線為x＝m；當直線的斜率存在時，設直線為y－1＝k(x－m)，則消去y整理得x2－kx＋km－1＝0，所以Δ＝0，即關于k的方程k2－4km＋4＝0有兩個不同的解，所以Δ1>0即16m2－16>0，解得m<－1或m>1，所以“m>1”是“過M且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條”的充分條件.(2)直線kx－y＋1＝0(k∈R)與橢圓＝1恒有公共點，則實數m的取值范圍為A.(1，4] B.[1，4)C.[1，4)∪(4，＋∞) D.(4，＋∞)√由于直線y＝kx＋1恒過點M(0，1)，要使直線y＝kx＋1與橢圓＝1恒有公共點，則只要M(0，1)在橢圓的內部或在橢圓上即可，即解得m≥1且m≠4，故實數m的取值范圍為[1，4)∪(4，＋∞).例2 (1)經過橢圓＋y2＝1的左焦點F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A，B兩點，則線段AB的長度為A. B. C.2 D.弦長問題題型二√在橢圓＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，故左焦點為F1(－1，0)，而tan 60°＝，故直線l的方程為y＝(x＋1)，聯立＋y2＝1，得7x2＋12x＋4＝0，Δ>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數的關系得x1＋x2＝－，x1x2＝，由弦長公式得|AB|＝×.(2)已知F是雙曲線C：x2－＝1的左焦點，過點F的直線與C交于A，B兩點(點A，B在C的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，則|AB|等于A.6 B.8 C. D.√由C：x2－＝1可得F(－2，0)，根據對稱性，不妨設過點F的直線為x＝my－2(m>0)，聯立可得(3m2－1)y2－12my＋9＝0，由題意可知3m2－1≠0，且Δ>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由|BF|＝2|AF|，得＝2，又＝(－2－x2，－y2)，＝(x1＋2，y1)，所以－y2＝2y1. ③由①③可得y1＝－，y2＝，代入②得－×，解得m＝或m＝－(舍)，y1＝，所以|AB|＝·|y1－y2|＝×3|y1|＝×.設直線方程為y＝kx＋b(k≠0)，圓錐曲線的方程為f(x，y)＝0，把直線方程代入曲線方程，可化為ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，設直線和曲線的兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)若消去y，則弦長公式為|AB|＝·|x1－x2|＝·＝··.圓錐曲線弦長的萬能公式(硬解定理)微拓展(2)若消去x，則弦長公式為|AB|＝·|y1－y2|＝·＝··.典例 已知雙曲線C：2x2－y2＝2，直線l：x－y＋1＝0與雙曲線C交于M，N兩點，則弦長|MN|等于A. B. C.4 D.4√聯立雙曲線與直線的方程，得x2－2x－3＝0，Δ＝16，又k＝1，a＝1，由弦長的萬能公式知，|MN|＝·＝4.(1)弦長公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點的弦長都可以用距離公式求(過兩點的直線的斜率存在且不等于0).(2)拋物線的焦點弦的弦長應選用更簡捷的弦長公式|AB|＝x1＋x2＋p.(3)設直線方程時應注意討論是否存在斜率.思維升華跟蹤訓練2 (1)已知雙曲線C：－x2＝1的下焦點和上焦點分別為F1，F2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點，若△F2AB面積是△F1AB面積的4倍，則m等于A.3 B.－3 C. D.－√由C：－x2＝1可知F1(0，－2)，F2(0，2)，聯立消元得2x2－2mx＋3－m2＝0，則Δ＝4m2－8(3－m2)>0，即m2>2，由△F2AB面積是△F1AB面積的4倍，可知F2到直線AB的距離是F1到直線AB距離的4倍，即＝4×，化簡可得15m2＋68m＋60＝0，即(3m＋10)(5m＋6)＝0，解得m＝－或m＝－(舍去).(2)(2024·長沙模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，過C的左焦點且斜率為1的直線與C交于A，B兩點.若|AB|＝12，則C的焦距為 .7由橢圓C的離心率為e＝，可得a＝2c，則b＝c，所以橢圓C的方程為＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，由直線AB過橢圓C的左焦點F(－c，0)且斜率為1，可得AB的方程為y＝x＋c，聯立方程組整理得7x2＋8cx－8c2＝0，則Δ＝64c2＋4×7×8c2＝288c2>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝＝12，解得c＝，所以橢圓C的焦距為2c＝7.例3 (1)已知直線l交拋物線C：x2＝－18y于M，N兩點，且MN的中點為(3，－2)，則直線l的斜率為A.－3 B.－ C. D.－中點弦問題題型三√由題意知直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則兩式相減得＝－18(y1－y2)，整理得＝－，因為MN的中點為(3，－2)，則x1＋x2＝2×3＝6，所以k＝＝－＝－，即直線l的斜率為－.(2)(2024·肇慶模擬)已知直線l：x－y＋3＝0與雙曲線C：＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點，點P(1，4)是弦AB的中點，則雙曲線C的漸近線方程是A.y＝±x B.y＝±2xC.y＝±x D.y＝±4x√方法一 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得＝1，＝1，兩式相減可得，由點P(1，4)是弦AB的中點，且直線l：x－y＋3＝0，可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，即有b2＝4a2，即b＝2a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x.方法二 由題意知kAB＝1，kOP＝4(O為坐標原點)，則＝kAB·kOP＝4，所以b2＝4a2，b＝2a，故雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x.解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路(1)根與系數的關系法：聯立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數的關系及中點坐標公式求解.(2)點差法：設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點坐標分別代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和直線AB的斜率有關的式子，可以大大減少計算量.思維升華跟蹤訓練3 (1)(2024·六安模擬)已知橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點，若AB的中點坐標為(1，－1)，則橢圓E的方程為A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1√方法一 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以兩式相減可得，整理可得＝－，根據題意可知直線AB的斜率為，由AB的中點坐標為(1，－1)可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，因此＝－＝－，可得a2＝2b2，方法二 設AB的中點為P，O為坐標原點，kAB＝，kOP＝＝－1，則kAB·kOP＝－＝－，所以a2＝2b2，由右焦點為F(3，0)可得a2－b2＝c2＝9，解得b2＝9，a2＝18，所以橢圓E的方程為＝1.(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點到準線的距離為1，若拋物線C上存在關于直線l：x－y－2＝0對稱的不同的兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標為A.(1，－1) B.(2，0)C. D.(1，1)√∵焦點到準線的距離為p，則p＝1，∴y2＝2x.設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則兩式相減可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，∴kPQ＝，又∵P，Q關于直線l對稱，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，∴PQ中點的縱坐標為＝－1，又∵PQ的中點在直線l上，∴PQ中點的橫坐標為－1＋2＝1.∴線段PQ的中點坐標為(1，－1).一、斜率式焦點弦長公式1.橢圓的斜率式焦點弦長公式(1)F1，F2分別為橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F1(或F2)且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則|AB|＝.(2)F1，F2分別為橢圓C：＝1(a>b>0)的上、下焦點，過F1(或F2)且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則|AB|＝.圓錐曲線中的焦點弦長公式微拓展2.雙曲線的斜率式焦點弦長公式(1)F1，F2分別為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1(或F2)且斜率為k的直線l與雙曲線交于A，B兩點，則①A，B在同支弦，|AB|＝；②A，B在異支弦，|AB|＝；綜合①②可統一為|AB|＝.(2)F1，F2分別為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的上、下焦點，過F1(或F2)且斜率為k的直線l與雙曲線交于A，B兩點，則①A，B在同支弦，|AB|＝；②A，B在異支弦，|AB|＝；綜合①②可統一為|AB|＝.3.拋物線的斜率式焦點弦長公式(1)F為拋物線C：y2＝2px(p≠0)的焦點，過F且斜率為k的直線l與拋物線C交于A，B兩點，則|AB|＝.(2)F為拋物線C：x2＝2py(p≠0)的焦點，過F且斜率為k的直線l與拋物線C交于A，B兩點，則|AB|＝2|p|(1＋k2).二、傾斜角式焦點弦長公式1.橢圓的傾斜角式焦點弦長公式(1)F1，F2分別為橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F1(或F2)且傾斜角為θ的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則|AB|＝，其中焦準距(焦點到相應準線的距離)為p＝.(2)F1，F2分別為橢圓C：＝1(a>b>0)的上、下焦點，過F1(或F2)且傾斜角為θ的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則|AB|＝，其中焦準距(焦點到相應準線的距離)為p＝.特殊情形，對于焦點在x軸上的橢圓，當傾斜角θ＝90°時，即為橢圓的通徑，通徑長|AB|＝2ep＝.2.雙曲線的傾斜角式焦點弦長公式(1)F1，F2分別為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1(或F2)且傾斜角為θ的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，則|AB|＝，其中焦準距(焦點到相應準線的距離)為p＝.(2)F1，F2分別為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的上、下焦點，過F1(或F2)且傾斜角為θ的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，則|AB|＝，其中焦準距(焦點到相應準線的距離)為p＝.特殊情形，對于焦點在x軸上的雙曲線，當傾斜角θ＝90°時，即為雙曲線的通徑，通徑長|AB|＝2ep＝.3.拋物線的傾斜角式焦點弦長公式(1)F為拋物線C：y2＝2px(p≠0)的焦點，過F且傾斜角為θ的直線l與拋物線交于A，B兩點，則|AB|＝.(2)F為拋物線C：x2＝2py(p≠0)的焦點，過F且傾斜角為θ的直線l與拋物線交于A，B兩點，則|AB|＝.典例 (1)過雙曲線x2－y2＝4的右焦點F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點，則弦長|AB|＝ . 8由雙曲線x2－y2＝4得a＝b＝2，c＝2，又θ＝30°，所以|AB|＝＝8.(2)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，準線上點M(－1，1)滿足·＝0，則|AB|＝ . 5因為·＝0，所以M為以AB為直徑的圓與準線的切點，所以AB的中點G的縱坐標為1，又準線方程為x＝－1，所以p＝2，又kAB·yG＝p，所以kAB＝＝2，所以|AB|＝＝5.返回課時精練對一對答案1234567891011121314題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B D C D D BCD BCD題號 9 10 13 14 15 16 答案 50 C A C -3 1516答案1234567891011121314(1)由條件知，2a＝2，＝tan 30°＝，故a＝，b＝1.即雙曲線C的標準方程為－y2＝1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，O到直線l的距離為h，聯立得2x2＋6mx＋3m2＋3＝0，由Δ＝36m2－8(3m2＋3)＝12m2－24>0，解得m2>2，11.1516答案1234567891011121314又m>0，故m>，則x1＋x2＝－3m，x1x2＝，故弦長|AB|＝＝，h＝，又S△AOB＝|AB|h＝×··，即m4－2m2－8＝0，解得m2＝4，又m>，故m＝2.11.1516答案1234567891011121314(1)設橢圓C的方程為+=1(a>b>0),由題意知解得故C的方程為+=1.12.1516答案1234567891011121314(2)設F1M0的中點為P,∴P(0,2),=2,∴線段F1M0的垂直平分線方程為y=-x+2,聯立得3x2+4=12,即x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,∴線段F1M0的垂直平分線與C恰有一個公共點.12.1516答案1234567891011121314(3)設M(x0,y0),當y0=0時,線段F1M的垂直平分線為直線x=,此時=±2,解得x0=5或x0=-3,此時M為(5,0)或(-3,0).當y0≠0時,線段F1M的垂直平分線為y=-+=-x+,聯立12.1516答案1234567891011121314得3x2+4=12,∴x2-x+-12=0,∵線段F1M的垂直平分線與C恰有一個公共點,∴Δ=-4=0 -12-=0 +(2-14)+-18-32x0-15=012.1516答案1234567891011121314 +(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0 (++2x0+1)(+-2x0-15)=0,∵++2x0+1=(x0+1)2+>0,∴+-2x0-15=0.又點M(5,0),(-3,0)也滿足上式,∴M的軌跡方程為(x-1)2+y2=16,它為一個圓.12.1516一、單項選擇題1.直線y＝kx－k與橢圓＝1的位置關系為A.相交 B.相切C.相離 D.不確定√1234567891011121314知識過關答案15161234567891011121314答案直線y＝kx－k可化為y＝k(x－1)，所以直線恒過點(1，0)，又<1，即點(1，0)在橢圓的內部，∴直線y＝kx－k與橢圓＝1的位置關系為相交.15161234567891011121314答案2.已知直線2x＋y－2＝0與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，則|AB|等于A. B.5 C.3 D.4√將2x＋y－2＝0與拋物線C：y2＝4x聯立得x2－3x＋1＝0，Δ>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝3，顯然拋物線焦點坐標為(1，0)，令x＝1，即2＋y－2＝0，得y＝0，則直線過焦點，則|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.15163.若直線l：y＝kx＋2與曲線C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的兩點，則k的取值范圍是A. B.C. D.√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案聯立方程組整理得(k2－1)x2＋4kx＋10＝0，設直線y＝kx＋2與曲線C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的兩點(x1，y1)，(x2，y2)，則滿足解得－15164.(2024·內江模擬)已知雙曲線C的方程為5x2－y2＝1，過點P(0，－1)作直線l與雙曲線左、右兩支交于點M，N.若＝2，則直線l的方程為A.y＝x－1 B.y＝x－1或y＝－x－1C.y＝x－1或y＝－x－1 D.y＝x－1√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝kx－1，聯立 (5－k2)x2＋2kx－2＝0，則5－k2≠0，且Δ＝4(10－k2)>0，x1＋x2＝， ①x1x2＝， ②因為＝2，則－x1＝2x2， ③①③聯立解得x1＝，x2＝，15161234567891011121314答案代入②得k2＝1 k＝±1，則直線l的方程為y＝x－1或y＝－x－1.15165.(2025·張掖模擬)已知傾斜角為的直線l與橢圓C：＋y2＝1交于A，B兩點，P為AB的中點，O為坐標原點，則直線OP的斜率為A.－1 B.－C.－ D.－√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案方法一 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則kAB＝＝1，x0＝，y0＝，所以kOP＝，所以kABkOP＝，將A，B兩點坐標代入橢圓方程可得兩式作差可得＝0，15161234567891011121314答案所以kABkOP＝＝－，則kOP＝－.方法二 由題意得a2＝4，b2＝1，kAB＝1，由kAB·kOP＝－，即1×kOP＝－，所以kOP＝－.15166.(2024·洛陽模擬)經過拋物線C：y2＝8x的焦點F的直線交C于A，B兩點，與拋物線C的準線交于點P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差數列，則|AB|等于A.4 B.4C. D.√1234567891011121314答案15161234567891011121314答案由題意得F(2，0)，拋物線的準線方程為x＝－2，因為過拋物線C：y2＝8x焦點F的直線與拋物線C交于兩點，且與拋物線的準線相交，所以直線的斜率存在且不為0，設直線方程為y＝k(x－2)，與C：y2＝8x聯立得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，顯然x1，x2>0，則x1x2＝4，因為|AF|，|AP|，|BF|成等差數列，所以2|AP|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，15161234567891011121314答案所以3(x1＋2)＝x2＋2，解得x2＝3x1＋4，因為x1x2＝4，所以3＋4x1－4＝0，解得x1＝或x1＝－2(舍去)，所以x2＝6，則|AB|＝x1＋x2＋4＝＋6＋4＝.1516二、多項選擇題7.平面直角坐標系中橢圓C的中心為原點，焦點在坐標軸上，點，均在橢圓C上，則A.橢圓C的離心率為B.直線l：kx＋y－k＝0與橢圓C相交C.橢圓C的短軸長為2D.若橢圓C上弦AB的中點坐標為，則直線AB的斜率為－1234567891011121314√答案√√15161234567891011121314答案設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，且m≠n)，則解得所以橢圓方程為＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，e＝，故A錯誤；直線l的方程可整理為k(x－1)＋y＝0，15161234567891011121314答案令解得所以直線l恒過定點(1，0)，因為＋0<1，所以點(1，0)在橢圓＋y2＝1內，所以直線l與橢圓相交，故B正確；2b＝2，所以短軸長為2，故C正確；設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則15161234567891011121314答案兩式相減得＝－(y1＋y2)(y1－y2)，因為弦AB的中點為，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，所以＝－(y1－y2)，整理得kAB＝＝－，故D正確.15168.已知拋物線C：y＝4x2的焦點為F，A，B為C上的兩點，過A，B作C的兩條切線交于點P，設兩條切線的斜率分別為k1，k2，直線AB的斜率為k3，則A.C的準線方程為y＝－1B.k1，k3，k2成等差數列C.若P在C的準線上，則k1k2＝－1D.若P在C的準線上，則|AF|＋4|BF|的最小值為√1234567891011121314答案√√15161234567891011121314答案拋物線C：x2＝y，拋物線C的準線方程為y＝－，A選項錯誤；設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵y'＝8x，∴k1＝8x1，k2＝8x2，k3＝＝4(x2＋x1)，∴k1＋k2＝2k3，B選項正確；由上可知直線PA：y＝8x1x－4，直線PB：y＝8x2x－4，解得P，15161234567891011121314答案又P在C的準線上，所以4x1x2＝－，x1x2＝－，k1k2＝64x1x2＝－1，C選項正確；|AF|＋4|BF|＝y1＋4y2＋＝4＋16≥16|x1x2|＋，當且僅當x1＝－2x2時取等號，D選項正確.1516三、填空題9.已知雙曲線－y2＝1，則過(3，0)且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率為 . 1234567891011121314答案±15161234567891011121314答案方法一 由題意得直線斜率一定存在，設所求直線斜率為k，則過點(3，0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x－3)，聯立化簡并整理得(1－4k2)x2＋24k2x－36k2－4＝0，由題意得1－4k2＝0或Δ＝＋4(36k2＋4)(1－4k2)＝0，解得k＝±，經檢驗，符合題意.所以所求直線的斜率為±.15161234567891011121314答案方法二 由題意得點(3，0)在雙曲線－y2＝1右支的內部，若該直線過(3，0)且和雙曲線只有一個交點，則該直線與雙曲線的漸近線平行，故所求直線的斜率為±＝±.151610.已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A，B為C上的兩點.若直線FA的斜率為，且·＝0，延長AF，BF分別交C于P，Q兩點，則四邊形ABPQ的面積為 . 1234567891011121314答案5015161234567891011121314答案由題可知，拋物線的焦點為F(1，0)，因為直線FA的斜率為，所以直線AP的方程為y＝(x－1)，與拋物線C的方程聯立，得x2－18x＋1＝0，所以Δ＝(－18)2－4>0，設A(x1，y1)，P(x2，y2)，則x1＋x2＝18，x1x2＝1，15161234567891011121314答案故|AP|＝·＝×8＝20.因為·＝0，所以FA⊥FB，所以直線FB的斜率為－2，直線BQ的方程為y＝－2(x－1)，與拋物線C的方程聯立，得x2－3x＋1＝0.所以Δ＝(－3)2－4>0，設B(x3，y3)，Q(x4，y4)，15161234567891011121314答案則x3＋x4＝3，x3x4＝1，故|BQ|＝·×＝5.所以四邊形ABPQ的面積為|AP|·|BQ|＝50.1516四、解答題11.已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)，焦點為F1，F2，其中一條漸近線的傾斜角為30°，點M在雙曲線上，且||MF1|－|MF2||＝2.(1)求雙曲線C的標準方程；1234567891011121314答案由條件知，2a＝2，＝tan 30°＝，故a＝，b＝1.即雙曲線C的標準方程為－y2＝1.1516(2)直線l：y＝x＋m交C于A，B兩點，若△AOB的面積為(O為坐標原點)，求正實數m的值.1234567891011121314答案15161234567891011121314答案設A(x1，y1)，B(x2，y2)，O到直線l的距離為h，聯立得2x2＋6mx＋3m2＋3＝0，由Δ＝36m2－8(3m2＋3)＝12m2－24>0，解得m2>2，又m>0，故m>，則x1＋x2＝－3m，x1x2＝，故弦長|AB|＝15161234567891011121314答案＝，h＝，又S△AOB＝|AB|h＝×··，即m4－2m2－8＝0，解得m2＝4，又m>，故m＝2.151612.(2025·八省聯考)已知橢圓C的離心率為,左、右焦點分別為F1(-1,0),F2(1,0).(1)求C的方程;1234567891011121314答案設橢圓C的方程為+=1(a>b>0),由題意知解得故C的方程為+=1.15161234567891011121314答案設F1M0的中點為P,∴P(0,2),=2,∴線段F1M0的垂直平分線方程為y=-x+2,聯立得3x2+4=12,即x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,∴線段F1M0的垂直平分線與C恰有一個公共點.(2)已知點M0(1,4),證明:線段F1M0的垂直平分線與C恰有一個公共點;1516(3)設M是坐標平面上的動點,且線段F1M的垂直平分線與C恰有一個公共點,證明M的軌跡為圓,并求該圓的方程.1234567891011121314答案15161234567891011121314答案設M(x0,y0),當y0=0時,線段F1M的垂直平分線為直線x=,此時=±2,解得x0=5或x0=-3,此時M為(5,0)或(-3,0).當y0≠0時,線段F1M的垂直平分線為y=-+=-x+,聯立15161234567891011121314答案得3x2+4=12,∴x2-x+-12=0,∵線段F1M的垂直平分線與C恰有一個公共點,∴Δ=-4=0 -12-=0 +(2-14)+-18-32x0-15=015161234567891011121314答案 +(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0 (++2x0+1)(+-2x0-15)=0,∵++2x0+1=(x0+1)2+>0,∴+-2x0-15=0.又點M(5,0),(-3,0)也滿足上式,∴M的軌跡方程為(x-1)2+y2=16,它為一個圓.15161234567891011121314答案能力拓展13.(2024·菏澤模擬)已知曲線C：x2＋xy＋y2－8＝0，過點P(0，4)的直線交曲線C于A，B兩點，設O為坐標原點，則△AOB面積的最大值為A. B.C. D.√15161234567891011121314答案顯然直線的斜率是存在的，設直線方程為y＝kx＋4，代入曲線C的方程并整理得(k2＋k＋1)x2＋4(1＋2k)x＋8＝0，則Δ＝16(2k2＋2k－1)>0，即k<或k>，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，S△AOB＝|OP||x1－x2|＝2|x1－x2|15161234567891011121314答案＝2＝≤，當且僅當k＝－2或k＝1時取等號，此時Δ>0，符合題意，所以△AOB面積的最大值為.15161234567891011121314答案14.(2024·鄭州模擬)已知雙曲線＝1(a>0，b>0)，過實軸所在直線上任意一點N(t，0)的弦的端點A，B與點G(m，0)的連線所成的角被焦點所在的直線平分，即∠NGA＝∠NGB，則m的值為A. B. C.t2 D.√15161234567891011121314答案設直線AB的方程為x＝ny＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如圖所示，聯立直線和雙曲線方程整理可得(b2n2－a2)y2＋2b2nty＋b2(t2－a2)＝0，則y1＋y2＝－，y1y2＝，且滿足Δ＝－4b2(t2－a2)(b2n2－a2)>0，即a2由∠NGA＝∠NGB，可得直線AG，BG的斜率之和為0，即kAG＋kBG＝0，所以＝0，15161234567891011121314答案即2ny1y2＋(t－m)(y1＋y2)＝0，即2n·＋(t－m)＝0，整理可得2nb2(t2－a2)－2b2nt(t－m)＝0，可得tm－a2＝0，即m＝.151615.阿基米德在《拋物線求積法》一書中描述了如何求解拋物線與直線圍成的弓形的面積的方法：如圖，若拋物線C與直線l交于A，B兩點，要求弓形部分面積，先構造直線l'∥l，l'與拋物線相切于點P，得到一級△PAB；用同樣的方法在切點P兩旁得到兩個二級△DPA，△EPB；再用同樣的方法在切點D，E兩旁得到四個三級三角形……依次下去，通過證明知道每個新構建的三角形的面積都是上一級三角形面積的，那么求出△PAB的面積就可以得出弓形面積.若已知拋物線C：y2＝4x，直線l：x－y－1＝0，則拋物線C與直線l圍成的弓形面積為A.4 B.8C. D.161234567891011121314答案√15161234567891011121314答案由l：x－y－1＝0，設l'為：x－y＋c＝0，聯立 x2＋(2c－4)x＋c2＝0，由于l'與拋物線相切，所以Δ＝(2c－4)2－4c2＝0，解得c＝1，故x2－2x＋1＝0 x＝1，故切點P(1，2)，所以點P(1，2)到直線l的距離為d＝，由 x2－6x＋1＝0，15161234567891011121314答案設拋物線C與直線l相交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝·＝×＝8，所以S△ABP＝|AB|×d＝×8×＝4，根據規律，每一級三角形的個數是上一級三角形個數的2倍，每個新構建的三角形的面積是上一級三角形面積的，則第n級的所有三角形的面積和15161234567891011121314答案Sn＝4×2n－1×＝4×，故經過n次分割后得到的所有三角形面積之和為S＝4×＝4×.當n→＋∞時，S→，故拋物線C與直線l圍成的弓形面積為.151616.(2024·鄭州模擬)在雙曲線C：＝1(a>0，b>0)中，把以原點為圓心、實軸長為直徑的圓O叫做雙曲線C的“伴隨圓”，過雙曲線C上任意一點P(頂點除外)作“伴隨圓”O的兩條切線，切點分別為M，N，若直線MN在x，y軸上的截距分別為p，q，雙曲線C的離心率為2，則＝_________.1234567891011121314答案－315161234567891011121314答案1516由題意得雙曲線C的“伴隨圓”O的方程為x2＋y2＝a2，設切點M(x1，y1)，N(x2，y2)，當M(x1，y1)不在y軸上時，直線OM的斜率kOM＝，所以切線PM的方程為y－y1＝－(x－x1)，結合＝a2化簡整理可得x1x＋y1y＝a2，顯然當M(x1，y1)在y軸上時，也符合上式，故切線PM的方程為x1x＋y1y＝a2；同理可得切線PN的方程為x2x＋y2y＝a2.1234567891011121314答案1516設P(x0，y0)，則所以直線MN的方程為x0x＋y0y＝a2，令y＝0，得p＝；令x＝0，得q＝，又＝1，雙曲線C的離心率e＝2，于是＝－＝1－e2＝1－4＝－3.返回 展開更多...... 收起↑ 資源列表 第八章 §8.1 直線的方程.pptx 第八章 §8.2 兩條直線的位置關系.pptx 第八章 §8.3 圓的方程.pptx 第八章 §8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系.pptx 第八章 §8.5 橢 圓.pptx 第八章 §8.6 雙曲線.pptx 第八章 §8.7 離心率的范圍問題.pptx 第八章 §8.8 拋物線.pptx 第八章 §8.9 直線與圓錐曲線的位置關系.pptx 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫
資源列表