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(共41張PPT)
第八章
必刷大題17　解析幾何
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
答案
1
2
3
4
(1)焦點(diǎn)F(2，0)，斜率k＝1，
故直線l的方程為y＝x－2.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立
消去x，整理得ky2－8y＋8m＝0，Δ>0，
由km≠0可知k≠0且m≠0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知y1y2＝，
1.
答案
1
2
3
4
x1x2＝·，
由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
得x1x2＋y1y2＝＝0，
即m＝－8k，直線l：y＝kx－8k，
故直線l過(guò)定點(diǎn)(8，0).
1.
答案
1
2
3
4
(1)連接PF1，設(shè)線段PF2中點(diǎn)為C，連接OC.
∴OC為△F1PF2的中位線，
∴|OC|＝|PF1|.
由以線段PF2為直徑的圓與圓O內(nèi)切可知，
2－|PF2|＝|OC|＝|PF1|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4>2＝|F1F2|，
∴點(diǎn)P的軌跡是以F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
2.
答案
1
2
3
4
則a＝2，c＝，b＝＝1，
∴軌跡Γ的方程為＋y2＝1.
(2)由題意知，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
直線l：x＝，直線OQ：y＝0，此時(shí)R，
∴⊥l；
當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l：x＝my＋，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，
2.
答案
1
2
3
4
聯(lián)立
可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ>0，
∴y1＋y2＝－，則yQ＝－，
∴xQ＝myQ＋，
則直線OQ：y＝－x.
2.
答案
1
2
3
4
當(dāng)x＝時(shí)，y＝－m，
即R，∴＝－m，
又kl＝，kl·＝－1，∴⊥l.
綜上，⊥l.
2.
答案
1
2
3
4
(1)根據(jù)對(duì)稱性，F(xiàn)(，0)到C的一條漸近線bx－ay＝0的距離
d＝，
則b＝c.
由F(，0)為其右焦點(diǎn)，知c＝，
得b＝，則a2＝c2－b2＝4，
故雙曲線C的方程為＝1.
(2)點(diǎn)P在定直線x＝上.
3.
答案
1
2
3
4
依題可設(shè)直線l的方程為x＝ty＋3，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立
整理得(3t2－2)y2＋18ty＋15＝0，必有Δ>0，
則y1＋y2＝－，y1y2＝，
則ty1y2＝－(y1＋y2).
3.
答案
1
2
3
4
又A1(－2，0)，A2(2，0)，
所以直線A1M的方程為y＝(x＋2)，
直線A2N的方程為y＝(x－2)，
整理得
＝＝－5，
解得x＝.故點(diǎn)P在定直線x＝上.
3.
答案
1
2
3
4
(1)M為線段PA的垂直平分線上一點(diǎn)，
則|MP|＝|MA|，
則||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||
＝2<|AC|＝4，
∴點(diǎn)M的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線，
且2a＝2，c＝2，b2＝c2－a2＝3，
故曲線H的方程為x2－＝1.
4.
答案
1
2
3
4
(2)①設(shè)M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，
雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
如圖所示，則y1＝x1，y2＝－x2，
可得y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
則，
得，
由題可知|MS|＝|MT|，
4.
答案
1
2
3
4
則x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
得，即kST＝，
∴直線ST的方程為y－y0＝(x－x0)，
即3x0x－y0y＝3，
又∵點(diǎn)M在曲線H上，則3＝3，
得3x0x－y0y＝3，
4.
答案
1
2
3
4
聯(lián)立
得(－3)x2＋6x0x－3－＝0，
化簡(jiǎn)得－3x2＋6x0x－3＝0，
由Δ＝－4×(－3)×(－3)＝0，
可知方程有且僅有一個(gè)解，
即直線l與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
4.
答案
1
2
3
4
②由①聯(lián)立可得x1＝，
同理可得x2＝，
則|OS|·|OT|＝·
＝4|x1x2|＝4×＝4，
故≥2，
4.
答案
1
2
3
4
當(dāng)且僅當(dāng)，即|OS|＝2時(shí)取等號(hào).
故的取值范圍為[，＋∞).
4.
1.已知直線l：y＝kx＋m與拋物線Γ：y2＝8x交于點(diǎn)A，B.
(1)若直線l的傾斜角為45°，且過(guò)拋物線Γ的焦點(diǎn)F，求直線l的方程；
1
2
3
4
答案
焦點(diǎn)F(2，0)，斜率k＝1，
故直線l的方程為y＝x－2.
(2)若·＝0，且km≠0，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立
消去x，整理得ky2－8y＋8m＝0，Δ>0，
由km≠0可知k≠0且m≠0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知y1y2＝，
x1x2＝·，
由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
1
2
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4
答案
得x1x2＋y1y2＝＝0，
即m＝－8k，直線l：y＝kx－8k，
故直線l過(guò)定點(diǎn)(8，0).
1
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答案
2.已知兩點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)圓O：x2＋y2＝4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足：以線段PF2為直徑的圓與圓O內(nèi)切，如圖所示，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為Γ，過(guò)點(diǎn)F2且與x軸不重合的直線l與軌跡Γ交于M，N兩點(diǎn).
(1)求軌跡Γ的方程；
1
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3
4
答案
連接PF1，設(shè)線段PF2中點(diǎn)為C，連接OC.
∴OC為△F1PF2的中位線，
∴|OC|＝|PF1|.
由以線段PF2為直徑的圓與圓O內(nèi)切可知，
2－|PF2|＝|OC|＝|PF1|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4>2＝|F1F2|，
1
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4
答案
∴點(diǎn)P的軌跡是以F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)為焦點(diǎn)，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
則a＝2，c＝，b＝＝1，
∴軌跡Γ的方程為＋y2＝1.
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答案
(2)設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q，直線OQ與直線x＝相交于點(diǎn)R，求證：⊥l.
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答案
由題意知，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
直線l：x＝，直線OQ：y＝0，此時(shí)R，
∴⊥l；
當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l：x＝my＋，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，
聯(lián)立
1
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4
答案
可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ>0，
∴y1＋y2＝－，則yQ＝－，
∴xQ＝myQ＋，
則直線OQ：y＝－x.
當(dāng)x＝時(shí)，y＝－m，
即R，∴＝－m，
1
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4
答案
又kl＝，kl·＝－1，∴⊥l.
綜上，⊥l.
3.已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F(，0)到雙曲線C的一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線C的方程；
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答案
1
2
3
4
答案
根據(jù)對(duì)稱性，F(xiàn)(，0)到C的一條漸近線bx－ay＝0的距離
d＝，
則b＝c.
由F(，0)為其右焦點(diǎn)，知c＝，
得b＝，則a2＝c2－b2＝4，
故雙曲線C的方程為＝1.
(2)設(shè)雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率不為0的直線l與雙曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，直線A1M與直線A2N相交于點(diǎn)P.試問(wèn)點(diǎn)P是否在定直線上？若是，求出定直線的方程；若不是，說(shuō)明理由.
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答案
1
2
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4
答案
點(diǎn)P在定直線x＝上.
依題可設(shè)直線l的方程為x＝ty＋3，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立
整理得(3t2－2)y2＋18ty＋15＝0，必有Δ>0，
則y1＋y2＝－，y1y2＝，則ty1y2＝－(y1＋y2).
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答案
又A1(－2，0)，A2(2，0)，
所以直線A1M的方程為y＝(x＋2)，
直線A2N的方程為y＝(x－2)，
整理得
＝＝－5，
解得x＝.故點(diǎn)P在定直線x＝上.
4.(2024·赤峰模擬)已知點(diǎn)P為圓C：(x－2)2＋y2＝4上任意一點(diǎn)，A(－2，0)，線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程；
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答案
1
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答案
M為線段PA的垂直平分線上一點(diǎn)，
則|MP|＝|MA|，
則||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||
＝2<|AC|＝4，
∴點(diǎn)M的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線，
且2a＝2，c＝2，b2＝c2－a2＝3，
故曲線H的方程為x2－＝1.
(2)若過(guò)點(diǎn)M的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且M為線段ST的中點(diǎn).
①證明：直線l與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
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答案
1
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答案
設(shè)M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，
雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
如圖所示，則y1＝x1，y2＝－x2，
可得y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
則，
得，
1
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3
4
答案
由題可知|MS|＝|MT|，
則x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
得，即kST＝，
∴直線ST的方程為y－y0＝(x－x0)，
即3x0x－y0y＝3，
又∵點(diǎn)M在曲線H上，則3＝3，
得3x0x－y0y＝3，
1
2
3
4
答案
聯(lián)立
得(－3)x2＋6x0x－3－＝0，
化簡(jiǎn)得－3x2＋6x0x－3＝0，
由Δ＝－4×(－3)×(－3)＝0，
可知方程有且僅有一個(gè)解，
即直線l與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
②求的取值范圍.
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答案
1
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答案
由①聯(lián)立可得x1＝，
同理可得x2＝，
則|OS|·|OT|＝·
＝4|x1x2|＝4×＝4，
故≥2，
1
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4
答案
當(dāng)且僅當(dāng)，即|OS|＝2時(shí)取等號(hào).
故的取值范圍為[，＋∞).(共33張PPT)
第八章
必刷小題15　直線與圓
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
對(duì)一對(duì)
答案
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題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A D B B C
題號(hào) 9 10 11 12 13 14 答案 ACD ACD BD x2＋(y－1)2＝8 [0，) 一、單項(xiàng)選擇題
1.已知直線l：mx－(5－2m)y－3＝0的傾斜角為，則m等于
A. B.0 C. D.
√
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答案
由題意直線l的傾斜角為，則直線l⊥x軸，
故方程mx－(5－2m)y－3＝0中，y的系數(shù)為0，
即－(5－2m)＝0，解得m＝，
此時(shí)，直線l：x＝符合題意.
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答案
2.已知圓O：x2＋y2＝4，直線l：y＝kx＋2與圓O恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為
A.－1 B.0 C.1 D.
√
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答案
∵直線l：kx－y＋2＝0與圓O恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴直線l與圓O相切，
方法一　圓O：x2＋y2＝4的圓心為O(0，0)，半徑為2，
∴圓心到直線l的距離d＝＝2，
解得k＝0.
方法二　由直線l：y＝kx＋2過(guò)定點(diǎn)M(0，2)，
由M在圓O：x2＋y2＝4上，直線與圓O相切，
故點(diǎn)M即為切點(diǎn)，故直線l⊥OM，即斜率k＝0.
3.若直線l1：y－2＝(k－1)x和直線l2關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱，則直線l2恒過(guò)定點(diǎn)
A.(2，0) B.(1，－1) C.(1，1) D.(－2，0)
√
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答案
因?yàn)橹本€l1：y－2＝(k－1)x過(guò)定點(diǎn)(0，2)，
點(diǎn)(0，2)關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱的點(diǎn)為(1，1)，
故直線l2恒過(guò)定點(diǎn)(1，1).
4.(2025·黔南模擬)若M為圓(x＋1)2＋y2＝2上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線x＋y－3＝0的距離的最小值為
A. B.3－ C.2 D.3
√
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圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心C(－1，0)，半徑r＝，
點(diǎn)C(－1，0)到直線x＋y－3＝0的距離d＝＝2>，
即直線x＋y－3＝0與圓(x＋1)2＋y2＝2相離，又點(diǎn)M在該圓上，
所以點(diǎn)M到直線x＋y－3＝0的距離的最小值為d－r＝.
答案
5.已知兩點(diǎn)A(－1，0)，B(0，2)，點(diǎn)P是圓(x－2)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最小值是
A. B.2
C.3＋ D.3－
√
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答案
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答案
兩點(diǎn)A(－1，0)，B(0，2)，則|AB|＝，
直線AB的方程為y＝2x＋2，
圓(x－2)2＋y2＝1的圓心C(2，0)，半徑r＝1，
點(diǎn)C到直線AB：2x－y＋2＝0的距離d＝，
因此點(diǎn)P到直線AB距離的最小值為d－r＝－1，
所以△PAB面積的最小值是
××＝3－.
6.已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2＋b2＝a－b，則|a＋b－3|的最小值為
A. B.2
C. D.4
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答案
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答案
方法一　由題意知，點(diǎn)(a，b)在曲線C：上，
圓心C到直線x＋y－3＝0的距離d＝，
圓C的半徑r＝，
所以|a＋b－3|min＝(d－r)＝×＝2.
方法二　由題意知，點(diǎn)(a，b)在曲線上，
設(shè)a＝cos θ，b＝－sin θ，θ為參數(shù)，
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答案
則|a＋b－3|＝＝，
因?yàn)閟in∈[－1，1]，
當(dāng)θ＝，即a＝1，b＝0時(shí)，|a＋b－3|min＝|1－3|＝2.
7.(2025·綏化模擬)已知圓C的圓心為原點(diǎn)O，且與直線x＋y＋4＝0相切.點(diǎn)P在直線x＝8上，過(guò)點(diǎn)P引圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，如圖所示，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為
A.(0，2) B.(2，0)
C.(0，) D.(，0)
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答案
依題意得，圓C的半徑r＝＝4，所以圓C的方程為x2＋y2＝16.
因?yàn)镻A，PB是圓C的兩條切線，
所以O(shè)A⊥AP，OB⊥BP，
所以A，B在以線段OP為直徑的圓上，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，b)，b∈R，
則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以以線段OP為直徑的圓的方程為(x－4)2＋＝42＋，b∈R，
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答案
化簡(jiǎn)得x2＋y2－8x－by＝0，b∈R，
因?yàn)榫€段AB為兩圓的公共弦，
所以直線AB的方程為8x＋by＝16，b∈R，
即8(x－2)＋by＝0，
所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2，0).
8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4，0)，B(1，0)，C(－1，0)，D(0，1)，若點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則2|PC|＋|PD|的最小值為
A.4 B.
C. D.2＋
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答案
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答案
設(shè)P(x，y)，
由|PA|＝2|PB|，得＝2，
化簡(jiǎn)整理得x2＋y2＝4，
故P的軌跡是以(0，0)為圓心，2為半徑的圓，
|PC|＝
＝
＝，
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答案
設(shè)M(－4，0)，則|PC|＝|PM|，
所以2|PC|＋|PD|＝|PM|＋|PD|≥|MD|＝，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段MD與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
所以2|PC|＋|PD|的最小值為.
二、多項(xiàng)選擇題
9.已知兩條直線l1，l2的方程分別為3x＋4y＋12＝0與ax＋8y－11＝0，則下列結(jié)論正確的是
A.若l1∥l2，則a＝6
B.若l1∥l2，則兩條平行直線之間的距離為
C.若l1⊥l2，則a＝－
D.若a≠6，則直線l1，l2一定相交
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答案
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答案
兩條直線l1，l2的方程分別為3x＋4y＋12＝0與ax＋8y－11＝0，當(dāng)l1∥l2時(shí)，則3×8－4a＝0，解得a＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足兩直線平行，故A正確；
若l1∥l2，則a＝6，所以平行直線間的距離d＝，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)l1⊥l2，則3a＋32＝0，解得a＝－，故C正確；
由選項(xiàng)A得，當(dāng)a≠6時(shí)，直線l1，l2一定相交，故D正確.
10.已知圓C：x2＋y2－6x＝0，則下列說(shuō)法正確的是
A.圓C的半徑r＝3
B.點(diǎn)(1，2)在圓C的內(nèi)部
C.圓C與圓x2＋y2＋2x＋4y－6＝0的公共弦所在直線的方程為4x＋2y－3＝0
D.圓C'：(x＋1)2＋y2＝4與圓C相交
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答案
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答案
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝9，所以半徑r＝3，故A正確；
將點(diǎn)(1，2)代入圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程中，得(1－3)2＋＝12>9，所以點(diǎn)(1，2)在圓C的外部，故B錯(cuò)誤；
由題意知，兩圓相交，由兩圓方程x2＋y2－6x＝0，x2＋y2＋2x＋4y－6＝0相減，得4x＋2y－3＝0，則公共弦所在直線的方程為4x＋2y－3＝0，故C正確；
圓C'的圓心為(－1，0)，半徑為2，所以兩圓C'與C的圓心距為|CC'|＝4，則3－2<|CC'|<3＋2，故兩圓相交，故D正確.
11.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，圓C：x2＋y2＝1，點(diǎn)P為直線l：x－y－2＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則
A.圓C上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為
B.若圓C與曲線x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三條公切線，則m＝9
C.過(guò)點(diǎn)P作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，∠OPQ可以為60°
D.過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，則直線MN恒過(guò)定點(diǎn)
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答案
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答案
由題知，圓心(0，0)到直線l的距離為d＝，圓的半徑為1，由<－1，所以圓上不存在點(diǎn)到直線l的距離為，故A錯(cuò)誤；
由x2＋y2－6x－8y＋m＝0整理得(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，由題意知曲線為圓，則m<25，圓心為(3，4)，半徑為，由題可知，兩圓外切時(shí)有三條公切線，則＝1＋，解得m＝9，故B正確；
由切點(diǎn)為Q，∠OQP＝90°，則在Rt△OQP中，sin∠OPQ＝，
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答案
當(dāng)|OP|最小時(shí)，sin∠OPQ取最大值，∠OPQ最大，
過(guò)點(diǎn)O作OP'⊥l，垂足為P'，
|OP'|＝，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時(shí)，sin∠OPQ最大，即sin∠OPQ的最大值為，
∠OPQ最大為45°，不可能為60°，故C錯(cuò)誤；
設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，切點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得切線MP的方程為x1x＋y1y＝1，
由點(diǎn)P在切線上，得x1x0＋y1y0＝1，
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答案
同理可得x2x0＋y2y0＝1，
故點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)都在直線x0x＋y0y＝1上，
即直線MN的方程為x0x＋y0y＝1，
又由點(diǎn)P(x0，y0)在直線l：x－y－2＝0上，則y0＝x0－2，
代入直線MN的方程整理得(x＋y)x0－2y－1＝0，
由解得
即直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，故D正確.
三、填空題
12.(2025·天津?yàn)I海區(qū)模擬)過(guò)點(diǎn)A(－2，－1)，且與直線l：x－y－3＝0相切于點(diǎn)B(2，－1)的圓的方程為　　　　　　　.
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答案
x2＋(y－1)2＝8
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答案
因?yàn)閳A心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，且直線l的斜率kl＝1，
所以圓心和切點(diǎn)連線的斜率k＝－1，
所以圓心與B(2，－1)的連線的直線方程為y＋1＝－(x－2)，即x＋y－1＝0.設(shè)圓心C(a，1－a)，則|AC|＝|BC|，
即，
解得a＝0，即圓心C(0，1)，
所以半徑r＝＝2，
所以圓的方程為x2＋(y－1)2＝8.
13.若點(diǎn)P(－2，－1)到直線l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距離為d，則d的取值范圍是　　　　　.
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答案
[0，)
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答案
把直線l的方程化為(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
由解得
所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)A(1，1)，
其中直線l不包括直線3x＋2y－5＝0.
又|PA|＝，
且PA與直線3x＋2y－5＝0垂直，即點(diǎn)P到直線3x＋2y－5＝0的距離為，
所以點(diǎn)P到直線l的距離d滿足0≤d<.
14.已知☉O1：x2＋(y－2)2＝1，☉O2：(x－3)2＋(y－6)2＝9，過(guò)x軸上一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N，則|PM|＋|PN|的最小值為　　　.
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答案
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答案
由題意知，☉O1：x2＋(y－2)2＝1的圓心為O1(0，2)，半徑r1＝1，
☉O2：(x－3)2＋(y－6)2＝9的圓心為O2(3，6)，半徑r2＝3，
設(shè)P(t，0)，則|PM|＝
，
|PN|＝
，
則|PM|＋|PN|＝
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答案
，
設(shè)A(0，－)，B(3，3)，
則|PM|＋|PN|＝|PA|＋|PB|≥|AB|，
當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)|PM|＋|PN|的最小值為
|AB|＝.(共31張PPT)
第八章
必刷小題16　圓錐曲線
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
對(duì)一對(duì)
答案
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題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D B A C B A
題號(hào) 9 10 11 12 13 14 答案 AC AD ABD 2 一、單項(xiàng)選擇題
1.橢圓C：＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之差等于
A. B.2 C.2 D.3
√
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答案
由題得a2＝80，b2＝35，
所以a＝4，c＝＝3，
所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝8，焦距2c＝6，
所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之差等于2a－2c＝2.
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答案
2.已知雙曲線－y2＝1(a>0)的離心率e<，則a的取值范圍是
A.(0，1) B. C.(1，＋∞) D.
√
由題意可知b2＝1，c2＝a2＋1，
所以e2＝，所以1<<3，且a>0，
所以a>.
3.(2024·保定模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的離心率為方程
2x2－5x＋2＝0的解，則C的漸近線的斜率的絕對(duì)值為
A. B. C. D.
√
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答案
因?yàn)榉匠?x2－5x＋2＝0的解為x＝或x＝2，
且雙曲線的離心率大于1，所以e＝2，
由e2＝1＋＝4，解得.
4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(1，1)，B(－1，－1)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積為－，則點(diǎn)P的軌跡方程為
A.x2＋2y2＝3 B.x2＋2y2＝3(x≠±1)
C.x2－2y2＝3(x≠±1) D.2x2＋y2＝3(x≠±1)
√
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答案
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14
設(shè)P(x，y)，∵A(1，1)，B(－1，－1)，
∴kAP＝(x≠1)，kBP＝(x≠－1)，
由kAP·kBP＝－，得·＝－(x≠±1)，
即x2＋2y2＝3(x≠±1)，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋2y2＝3(x≠±1).
答案
5.(2024·湛江模擬)已知點(diǎn)M為雙曲線C：＝1的左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，則|MF1|＋|F1F2|－|MF2|等于
A.2 B.4 C.6 D.8
√
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答案
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14
答案
由于M為雙曲線C：＝1的左支上一點(diǎn)，
F1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，
所以|MF2|－|MF1|＝2a，
故|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a，
由于a＝2，b＝，c＝＝3，
所以|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a＝6－4＝2.
6.已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，該拋物線C與直線l：y＝kx＋1相交于M，N兩點(diǎn)，則|MF|＋3|NF|的最小值為
A.2＋2 B.2＋4
C.4＋2 D.4＋4
√
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答案
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答案
根據(jù)題意可得直線l過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)F，所以＝1，
所以|MF|＋3|NF|＝(|MF|＋3|NF|)
＝4＋≥4＋2，
當(dāng)且僅當(dāng)|MF|＝|NF|＝＋1時(shí)取等號(hào).
7.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：＝1(0A. B.
C. D.
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答案
由直線過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為，
得直線MN的方程為x＝2y＋c(其中c＝)，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠0且x2≠0，
聯(lián)立
整理得4(b2＋1)y2＋4b2cy－b4＝0，
則y1＋y2＝－，y1y2＝，
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答案
所以kOM·kON＝
＝
＝，
可得25b4－80b2＋64＝0，
解得b＝.
8.已知A，B是圓C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0上兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線x2＝2y上，當(dāng)∠APB取得最大值時(shí)，|AB|等于
A. B. C. D.
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答案
依題意可得，當(dāng)PA，PB是圓C的切線時(shí)，∠APB取得最大值，即A，B是圓C的切點(diǎn)，設(shè)∠APB＝2α，P，
∵圓C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0，
∴圓心C(4，1)，半徑為1，
從而sin α＝，
∵|PC|2＝－8x0＋17，
令f(x)＝－8x＋17，則f'(x)＝x3－8，
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答案
∴當(dāng)x<2時(shí)，f'(x)<0，
即函數(shù)f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>0，
即函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f(x)min＝f(2)＝5，即|PC|min＝，
∴(sin α)max＝，此時(shí)∠APB最大，
∴|AB|＝2|AC|cos α＝2cos α＝.
二、多項(xiàng)選擇題
9.(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知拋物線C與拋物線y2＝4x關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是
A.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，0)
B.拋物線C關(guān)于y軸對(duì)稱
C.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝1
D.拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4
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答案
因?yàn)閽佄锞€C與拋物線y2＝4x關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以拋物線C的方程為y2＝－4x，
則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝1，故A，C正確；
拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，故D錯(cuò)誤.
10.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是
A.△PF1F2的周長(zhǎng)為10
B.△PF1F2面積的最大值為25
C.|PF1|的最小值為1
D.橢圓C的離心率為
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答案
由題意可知a＝3，b＝，c＝＝2，則|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝4，△PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10，故A正確；
當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，△PF1F2面積取到最大值為|F1F2|×b＝2，故B錯(cuò)誤；
|PF1|的最小值為a－c＝1，此時(shí)P為長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，但本題取不到長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，故|PF1|沒(méi)有最小值，故C錯(cuò)誤；
橢圓C的離心率為e＝，故D正確.
11.圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì).雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2處發(fā)出的光線，在點(diǎn)P處經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線所在直線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F1，且雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分∠F1PF2.如圖，對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線C過(guò)點(diǎn)(3，－1)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若從F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點(diǎn)P反射的光線為PQ，點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)T，則下列說(shuō)法正確的是
A.雙曲線C的方程為x2－y2＝8
B.過(guò)點(diǎn)P且垂直于PT的直線平分∠F2PQ
C.若PF2⊥PQ，則|PF1|·|PF2|＝18
D.若∠F1PF2＝60°，則|PT|＝
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答案
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14
答案
對(duì)于A，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為＝1(a>0)，所以＝1，解得a2＝8，得到雙曲線的方程為x2－y2＝8，故A正確；
對(duì)于B，
如圖，由題知∠F1PT＝∠F2PT，
∠F1PT＝∠MPQ，
所以∠MPQ＝∠F2PT，
若HP⊥TM，所以∠F2PH＝∠QPH，故B正確；
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14
答案
對(duì)于C，因?yàn)镻F2⊥PQ，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°，所以＝8＝|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝16，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椤螰1PF2＝60°，
令|PF1|＝m>0，|PF2|＝n>0，
由mnsin 60°＝，得mn＝32，
由m－n＝4，得m2－2mn＋n2＝32，
所以m2＋n2＝96，
1
2
3
4
5
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10
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13
14
答案
從而有(m＋n)2＝160，得到m＋n＝4，
由m·|PT|sin 30°＋n·|PT|sin 30°＝，
得到(m＋n)|PT|sin 30°＝，
從而有(m＋n)|PT|sin 30°＝8，
解得|PT|＝，故D正確.
三、填空題
12.(2024·北京海淀區(qū)質(zhì)檢)拋物線y2＝4x上與焦點(diǎn)距離等于3的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是　　　.
1
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答案
2
拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，
設(shè)拋物線上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F(1，0)的距離為3，
則|PF|＝x0＋＝x0＋1＝3，所以x0＝2.
13.(2025·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線的傾
斜角分別為α，β，若α＝5β，則C的離心率為　　　.
1
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答案
根據(jù)雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線的傾斜角為α，β，
則α＋β＝π，又α＝5β，所以β＝，
所以＝tan β＝，故離心率e＝.
14.已知點(diǎn)F為橢圓C：＝1的左焦點(diǎn)，垂直于x軸的動(dòng)直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，直線PF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M(異于點(diǎn)Q)，直線QM恒過(guò)定點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　　　.
1
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答案
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14
答案
由題意可知直線PF的斜率存在，設(shè)直線PF的方程為y＝k(x＋)，
設(shè)P(x1，y1)，M(x2，y2)，則Q(x1，－y1)，
聯(lián)立直線與橢圓方程
消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋4k2－4＝0，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
顯然Δ＝16(k2＋1)>0，x1≠x2，
1
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3
4
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9
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13
14
答案
所以直線QM的方程為y－y2＝(x－x2)，
整理得y＝，
又
＝
＝＝－2，
1
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4
5
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11
12
13
14
答案
所以直線QM的方程為y＝(x＋2)，
當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝0恒成立，
故直線QM過(guò)定點(diǎn)B(－2，0).(共61張PPT)
第八章
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
進(jìn)階篇　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
橢圓、雙曲線中的常見(jiàn)結(jié)論及應(yīng)用
進(jìn)階1
橢圓、雙曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識(shí)，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式、法則固然很重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，正確靈活地運(yùn)用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問(wèn)題便能迎刃而解.
重點(diǎn)解讀
例1　(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＝1的左、右焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限，若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為　　　　　　.
焦半徑公式(第二定義)
題型一
(3，)
方法一　△MF1F2為等腰三角形，點(diǎn)M在第一象限 |MF1|>|MF2|，且|MF2|又|F1F2|＝8，所以|MF2|≠|(zhì)F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
設(shè)M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
則解得
所以M(3，).
方法二　△MF1F2為等腰三角形，
點(diǎn)M在第一象限 |MF1|>|MF2|，且|MF2|又|F1F2|＝8，
所以|MF2|≠|(zhì)F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
設(shè)M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
由橢圓焦半徑公式知|MF1|＝6＋x0＝8，
解得x0＝3，代入橢圓方程得y0＝，故M(3，).
(2)雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上的一點(diǎn)P滿足|PF1|＝5，則△PF1F2的面積為　　　　　.
6或4
方法一　由題意得a＝1，b＝，c＝2，e＝2，
設(shè)P(x0，y0)，則|PF1|＝|2x0＋1|＝5，
解得x0＝2或x0＝－3，
當(dāng)x0＝2時(shí)，代入雙曲線方程可求得y0＝±3，
所以·|F1F2|·|y0|＝6；
當(dāng)x0＝－3時(shí)，代入雙曲線方程可求得y0＝±2，
所以·|F1F2|·|y0|＝4.
綜上所述，△PF1F2的面積為6或4.
方法二　由題意得a＝1，b＝，c＝2，
所以|F1F2|＝4，
當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上時(shí)，由雙曲線定義可知|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝3，
顯然，
所以PF2⊥F1F2，
從而·|PF2|·|F1F2|＝×3×4＝6；
當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上時(shí)，由雙曲線定義可知|PF2|－|PF1|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝7，
從而cos∠PF1F2＝＝－，
所以sin∠PF1F2＝，
從而·|PF1|·|F1F2|·sin∠PF1F2
＝×5×4×＝4.
綜上所述，△PF1F2的面積為6或4.
(1)如圖1，橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)
P(x0，y0)為橢圓上任意點(diǎn)，則橢圓的焦半徑|PF1|和|PF2|可按下面的公式計(jì)算
①|(zhì)PF1|＝a＋ex0；②|PF2|＝a－ex0(記憶：左加右減).
思維升華
(2)如圖2，雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，
點(diǎn)P(x0，y0)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦半徑|PF1|和|PF2|可按下面的公式計(jì)算
①|(zhì)PF1|＝|ex0＋a|；②|PF2|＝|ex0－a|(記憶：左加右減).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(1)雙曲線＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上的一點(diǎn)P滿足|PF1|＝3|PF2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　　　.
(2，±)
由題意得a＝b＝，c＝2，e＝，
設(shè)P(x0，y0)，則|PF1|＝|x0＋|，
|PF2|＝|x0－|，
因?yàn)閨PF1|＝3|PF2|，
所以|x0＋|＝3|x0－|，
解得x0＝2或x0＝，
又|x0|≥，所以x0＝2，
代入雙曲線方程可求得y0＝±，即P(2，±).
(2)橢圓＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|
的取值范圍為　　　　.
[2，6]
由題意得a＝，c＝2，e＝，
設(shè)P(x0，y0)，其中－≤x0≤，
則|PF1|＝x0，|PF2|＝x0，
所以|PF1|·|PF2|＝6－，取值范圍為[2，6].
設(shè)P是圓錐曲線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為它的一個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠PFO＝θ，
(1)橢圓：|PF|＝.
(2)雙曲線：|PF|＝.
記憶規(guī)律：同正異負(fù).即當(dāng)P與F位于虛軸的同側(cè)時(shí)取正，否則取負(fù).
(3)拋物線：|PF|＝.
圓錐曲線的角度式焦半徑公式
微拓展
典例　設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：5x2－4y2＝m2的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，且滿足＝7，則直線l的斜率為　　　　　　.
或－
如圖，設(shè)雙曲線＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線的右支上，
連接MF2，過(guò)點(diǎn)M作右準(zhǔn)線x＝的垂線MN，記∠MF2O＝θ，
則由雙曲線的第二定義知，
，
整理得|MF2|＝.由雙曲線C：5x2－4y2＝m2，得＝1，
所以a2＝，b2＝，離心率e＝，
由題設(shè)直線l的傾斜角為π－θ，由＝7，
知|AF2|＝7|BF2|，
所以＝7×，
或＝7×，
解得cos θ＝－或cos θ＝，
把e＝代入，可求得θ＝120°或θ＝60°.
故直線l的斜率為或－.
例2　已知橢圓＝1(a>b>0)，不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，直線AB和OM(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為kAB，kOM，求證：kAB·kOM＝－.
垂徑定理(第三定義)
題型二
方法一　如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
則kAB＝，kOM＝，
x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
因?yàn)?br/>兩式作差得＝0，即·＝－，
于是·＝－，所以kAB·kOM＝－.
方法二　設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由消去y得
(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2m2－a2b2＝0，
所以x1＋x2＝－，
于是y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
所以M，
于是kOM＝＝－.
因此kAB·kOM＝k·＝－.
方法三　令＝x'，＝y(tǒng)'，則x'2＋y'2＝1.
原題設(shè)中的點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分別對(duì)應(yīng)單位圓中的點(diǎn)A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，且M'是線段A'B'的中點(diǎn)，
由圓的垂徑定理得kA'B'·kOM'＝－1，
又因?yàn)閗AB＝·kA'B'，kOM＝·kOM'，
所以kAB·kOM＝·kA'B'··kOM'＝·kA'B'·kOM'＝－.
(1)橢圓中的垂徑定理
思維升華
(2)雙曲線中的垂徑定理
思維升華
(3)垂徑定理也可以描述為：設(shè)點(diǎn)M是有心圓錐曲線＝1(m>0，
n>0，或mn<0)中與坐標(biāo)軸不垂直且不過(guò)中心O的弦AB的中點(diǎn)，則
kAB·kOM＝－.
(4)若點(diǎn)M是有心圓錐曲線的弦AB的中點(diǎn)，其中AB與坐標(biāo)軸不垂直且不過(guò)中心O，且將圓看作是離心率e＝0的特殊的橢圓，則有kAB·kOM＝e2－1.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知雙曲線C：x2－y2＝2 025的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，
P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且∠APB＝4∠PAB，則∠PAB＝　　　.
令∠PAB＝α，則α∈，
∠PBx＝β，則β∈，
則β＝5α，所以α∈，
由雙曲線的垂徑定理可知
tan α·tan β＝tan α·tan 5α＝e2－1＝1，
則tan α＝＝tan，－5α∈，
則α＝－5α，故α＝.
(2)已知A，B是橢圓＝1(a>b>0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|＋
|k2|的最小值為1，則橢圓的離心率為　　.
如圖所示，連接MB，由橢圓的第三定義可知
kAM·kBM＝e2－1＝－，
而kBM＝－kBN k1k2＝，
則|k1|＋|k2|≥2＝1 e＝.
例3　(多選)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是圓錐曲線的焦點(diǎn)，A，B為橢圓中過(guò)點(diǎn)F2的弦的兩個(gè)端點(diǎn)，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是
A.橢圓中△ABF1的周長(zhǎng)為4a
B.橢圓中當(dāng)A為短軸的端點(diǎn)時(shí)，∠F1AF2最大
C.橢圓中
D.雙曲線中
√
焦點(diǎn)三角形
題型三
√
√
對(duì)于A，由橢圓的定義可知△ABF1的周長(zhǎng)為4a顯然成立，A正確；
對(duì)于B，cos∠F1AF2＝
＝
＝
＝－1，
∵|AF1||AF2|≤＝a2，
當(dāng)且僅當(dāng)|AF1|＝|AF2|，即點(diǎn)A是短軸端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
∴cos∠F1AF2＝－1≥－1，
又∵y＝cos θ在(0，π)上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)A為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1AF2最大，B正確；
對(duì)于C，由選項(xiàng)B的推導(dǎo)過(guò)程得cos∠F1AF2＝－1，
∴|AF1||AF2|＝，
∴|AF1||AF2|sin∠F1AF2
＝··sin∠F1AF2
＝b2·
＝b2tan ，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，證明方法同橢圓，，D正確.
橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形離心率
設(shè)P是圓錐曲線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為它的兩個(gè)焦點(diǎn)，且P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)不共線，記∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ，則
橢圓的離心率為
e＝；
雙曲線的離心率為
e＝.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練3　已知橢圓C：＝1(a>b>0)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e＝，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的內(nèi)切圓的面積為3π，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
A.2 B.4 C.6 D.12
√
由e＝，得，即a＝2c. ①
設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓的半徑為r，
因?yàn)椤鱂1PF2的內(nèi)切圓的面積為3π，所以πr2＝3π，解得r＝(舍負(fù)).
在△F1PF2中，根據(jù)橢圓的定義及焦點(diǎn)三角形的面積公式，知
＝b2tanr(2a＋2c)，
即b2＝(a＋c)， ②
又a2＝b2＋c2， ③
聯(lián)立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，
所以該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝2×6＝12.
1.橢圓焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)公式
F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則橢圓焦點(diǎn)弦三角形△F1AB的周長(zhǎng)為4a.
2.雙曲線焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)公式
F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線交雙曲線C同一支于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝m，則焦點(diǎn)弦三角形△F1AB的周長(zhǎng)為4a＋2m.
焦點(diǎn)弦三角形
微拓展
3.橢圓焦點(diǎn)弦三角形面積公式
(1)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且傾斜角為θ的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則焦點(diǎn)弦三角形△F1AB的面積，其中p＝.
(2)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝m，則焦點(diǎn)弦三角形△F1AB的面積＝b.
4.雙曲線焦點(diǎn)弦三角形面積公式
(1)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且傾斜角為θ的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，則焦點(diǎn)弦三角形△F1AB的面積，其中p＝.
(2)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝m，則焦點(diǎn)弦三角形△F1AB的面積＝b.
(3)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2
的直線l與雙曲線C右支、左支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝m，則焦點(diǎn)弦三角形△F1AB的面積＝b.
5.拋物線焦點(diǎn)弦三角形面積公式
設(shè)直線l過(guò)焦點(diǎn)F且與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
直線l的傾斜角為θ，則焦點(diǎn)弦三角形△OAB的面積S△OAB＝.
課時(shí)精練
對(duì)一對(duì)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D B ABC AD
題號(hào) 9 　 10 答案 　 ∪ 一、單項(xiàng)選擇題
1.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為
A.25 B.16 C.9 D.7
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由題意，a＝4，b＝3，c＝，離心率e＝，
設(shè)M(x0，y0)，－4≤x0≤4，
則|MF1|＝4＋x0，|MF2|＝4－x0，所以|MF1|·|MF2|＝16－，
故當(dāng)x0＝0時(shí)，|MF1|·|MF2|取得最大值16.
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
答案
2.橢圓C：＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在橢圓C上，直線
PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1的斜率的取值范圍是
A. B.
C. D.
√
由垂徑定理得·＝－＝－，
又∈[－2，－1]，所以∈.
3.(2024·成都模擬)如圖，A，B分別是橢圓C：＝1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓O上(點(diǎn)P異于A，B兩點(diǎn))，線段AP與橢圓C交于另一點(diǎn)Q，若直線BP的斜率是直線BQ的斜率的4倍，則橢圓C的離心率為
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
根據(jù)橢圓的第三定義可知kAQ·kBQ＝e2－1，
又
所以kAP·kBP＝4kAP·kBQ＝4＝－1，
則e＝.
4.已知雙曲線的中心為原點(diǎn)O，且一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，直線y＝x－1與其相交于M，N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，則此雙曲線方程為
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由條件知，線段MN的中點(diǎn)P在直線y＝x－1上，所以P，
由垂徑定理有kMN·kOP＝＝e2－1，
即1×＝e2－1，解得e＝，
又c＝，所以a＝，b＝，
故所求雙曲線方程為＝1.
答案
5.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別
是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
設(shè)雙曲線C2的方程為＝1(a2>0，b2>0)，
則有＝4－1＝3.
設(shè)橢圓C1中，a1＝2，b1＝1，
又四邊形AF1BF2為矩形，
所以△AF1F2的面積為tan 45°＝，
即＝1，所以＝3－1＝2，
故雙曲線C2的離心率e＝.
6.已知雙曲線C：＝1(a>0)的右支上的點(diǎn)P(x0，y0)滿足|PF1|＝3|PF2|(F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn))，則(c為雙曲線C的半焦距)的取值范圍是
A.[4，＋∞) B.
C. D.[2，4]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由雙曲線的第二定義可知|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，
∵右支上的點(diǎn)P(x0，y0)滿足|PF1|＝3|PF2|，
∴ex0＋a＝3(ex0－a) ex0＝2a，
由e＝，解得x0＝，
∵P在右支上，可得x0＝≥a，
又c>a，可得1<≤2，即1則＋4e2＋－4，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
令e2＝t，1而f(t)＝在(1，4]上單調(diào)遞減，
∴∈，∴2≤<.
答案
二、多項(xiàng)選擇題
7.(2024·瀘州模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別
是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是
A.弦AB的長(zhǎng)度的最小值為
B.若|AB|＝m，則△F1AB的周長(zhǎng)為2m＋4a
C.若AB的中點(diǎn)為M，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且直線AB的斜率為k，則kOM·k＝
D.若直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率e∈[2，＋∞)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
√
弦AB的長(zhǎng)度的最小值為通徑，故A正確；
由雙曲線的定義得|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|AF1|＝|AF2|＋2a，|BF1|＝|BF2|＋2a，
|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋2a＋|BF2|＋2a＝|AB|＋4a，
則△F1AB的周長(zhǎng)為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝2|AB|＋4a＝2m＋4a，故B正確；
根據(jù)雙曲線中的垂徑定理可得kAB·kOM＝kOM·k＝，故C正確；
若直線AB的斜率為，所以<，
所以b2<3a2，所以c2<4a2，所以e＝∈(1，2)，故D錯(cuò)誤.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
8.已知橢圓＋y2＝1，A，B分別為長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、
右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上除去A，B之外的任意一點(diǎn)，則
A.△PAB面積的最大值為2
B.|PF1|2＋|PF2|2的最大值為8
C.kPA·kPB＝
D.若∠F1PF2＝60°，則
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
依題意知，a＝2，b＝1，c＝，
當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，(S△PAB)max＝×2a×b＝2，A正確；
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
由基本不等式≤
知，≥2，即|PF1|2＋|PF2|2≥8，故B錯(cuò)誤；
由垂徑定理得，kPA·kPB＝－＝－，C錯(cuò)誤；
＝b2tan＝1×tan 30°＝，D正確.
答案
三、填空題
9.(2024·南京模擬)已知雙曲線＝1上一點(diǎn)M與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2所成的
角∠F1MF2＝120°，則△F1MF2的面積為　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式的二級(jí)結(jié)論得
.
10.雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上的一點(diǎn)P滿足
∠F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為　　　　　　 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∪
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∠F1PF2為鈍角 cos∠F1PF2<0，
而cos∠F1PF2＝，
所以<0，
由題意得a＝1，b＝，c＝2，|F1F2|＝4，
設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，由焦半徑公式得|PF1|＝|2x0＋1|，|PF2|＝|2x0－1|，
所以－16<0，解得－又x0≤－1或x0≥1，且當(dāng)x0＝±1時(shí)，∠F1PF2＝180°，
所以x0∈∪.(共42張PPT)
第八章
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
進(jìn)階篇　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
與弦長(zhǎng)、周長(zhǎng)、距離、面積有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題
進(jìn)階2
解決圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題，一般有兩種方法：
(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論有明顯的幾何特征，可考慮利用圓錐曲線的定義和圖象的有關(guān)性質(zhì)來(lái)求解；
(2)代數(shù)法，先根據(jù)條件列出目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特征選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鲎钪祷蚍秶?
常見(jiàn)的方法：①基本不等式法；②利用函數(shù)單調(diào)性；③配方法；④換元法；⑤判別式法；⑥導(dǎo)數(shù)法；⑦利用三角函數(shù)有界性.
例1　(2024·衢州模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，斜率為的直線l與y軸交于點(diǎn)P，l與C交于A，B兩點(diǎn)，T是A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn).當(dāng)P與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，△ABT的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
與弦長(zhǎng)、周長(zhǎng)有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題
題型一
當(dāng)P與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，可設(shè)A(x0，y0)(x0>0)，
則有B(－x0，－y0)，T(x0，－y0)，
且x0＝2y0，AT⊥BT，
則S△ABT＝|AT|·|BT|＝·2y0·2x0＝，
即2，∴，則，
則有＝1，由離心率為，即，
則a2＝2c2＝b2＋c2，∴a2＝2b2，
即有＝1，解得b2＝1，∴a2＝2，
即橢圓C的方程為＋x2＝1.
(2)當(dāng)P異于O點(diǎn)時(shí)，記直線BT與x軸交于點(diǎn)Q，求△OPQ周長(zhǎng)的最小值.
設(shè)直線l的方程為x＝2y＋t(t≠0)，令x＝0，有y＝－，即yP＝－，
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則T(x1，－y1)，
聯(lián)立直線l與橢圓方程
消去x得9y2＋8ty＋2t2－2＝0，
有y1＋y2＝－，y1y2＝，
Δ＝64t2－36(2t2－2)>0，得－3直線BT的方程為y＝(x－x2)＋y2，
令y＝0，xQ＝＋x2＝，
由x＝2y＋t，得
＝＋t＝＋t＝，即xQ＝，
則C△OPQ＝|yP|＋|xQ|＋
＝≥2＋1，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝±時(shí)等號(hào)成立，
故△OPQ周長(zhǎng)的最小值為＋1.
利用根與系數(shù)的關(guān)系解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟：
(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)；
(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判斷；
(3)列出根與系數(shù)的關(guān)系；
(4)將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式；
(5)代入根與系數(shù)的關(guān)系求解.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(2025·衡陽(yáng)模擬)已知拋物線C：x2＝4y，過(guò)點(diǎn)D(0，2)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l1，在點(diǎn)B處的切線為l2，直線l1與l2交于點(diǎn)M.
(1)設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2＝－2；
由題意知，直線l的斜率存在，
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx＋2，
由得x2－4kx－8＝0，
Δ＝16k2＋32>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，
由y＝x2，得切點(diǎn)A，B，
y'＝x，所以切線l1的斜率k1＝x1，
切線l2的斜率k2＝x2，
所以k1k2＝x1x2＝×(－8)＝－2.
(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，求的取值范圍.
由(1)可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝4(k2＋1)，
故＝2(k2＋1)，N(2k，2(k2＋1)).
由(1)得l1：y－(x－x1)，
可化為y＝x1x－， ①
同理得l2：y＝x2x－， ②
由①②，得x＝＝2k，y＝＝－2，即M(2k，－2)，
則|MN|＝2(k2＋1)＋2＝2(k2＋2)，
|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝·＝4，
所以.
由k2≥0，k2＋1≥1，得0<≤1，
故∈，即的取值范圍為.
例2　已知P(0，)和Q(，1)為橢圓C：＝1(a>b>0)上的兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程和離心率；
與距離、面積有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題
題型二
因?yàn)镻(0，)和Q(，1)為橢圓C：＝1(a>b>0)上的兩點(diǎn)，
所以解得
又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以c2＝2.
所以橢圓C的方程為＝1，離心率e＝.
(2)設(shè)直線l：y＝kx＋1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的取值范圍.
聯(lián)立方程
消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，
因?yàn)棣ぃ?4k)2－4×(1＋2k2)×(－2)＝32k2＋8>0，
所以設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|AB|＝＝×.
又因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l：y＝kx＋1的距離為d＝，
所以△AOB的面積S＝×d×|AB|
＝×××
＝，
令t＝4k2＋1(t≥1)，
則S＝≤
，
也就是當(dāng)k＝0時(shí)，△AOB的面積取最大值，
又因?yàn)楫?dāng)|k|→＋∞時(shí)，S→0，
所以△AOB面積的取值范圍是(0，].
強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、距離、三角形的面積等問(wèn)題.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)為A，焦距為4，過(guò)右焦點(diǎn)F作垂直于實(shí)軸的直線交C于B，D兩點(diǎn)，且△ABD是直角三角形.
(1)求雙曲線C的方程；
依題意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
由|AF|＝|BF|，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2，
解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)M，N是C右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，若k1k2＝－2，求點(diǎn)A到直線MN的距離d的取值范圍.
由(1)知A(－1，0)，顯然直線MN不可能與x軸平行，故可設(shè)直線MN的方程為x＝my＋n，
聯(lián)立
消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
在條件下，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝，
由k1k2＝－2，得·＝－2，
即y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，
所以3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，
化簡(jiǎn)得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)，此時(shí)Δ>0，
則直線MN的方程為x－my－5＝0，得d＝，
又M，N都在雙曲線的右支上，
故有y1y2＝<0，
解得0≤m2<，
此時(shí)1≤<，d＝∈(3，6]，
所以點(diǎn)A到直線MN的距離d的取值范圍為(3，6].
課時(shí)精練
答案
1
2
(1)雙曲線C：x2－＝1(b>0)的離心率為，
a＝1，可得c＝，所以b＝1，
可得雙曲線C：x2－y2＝1，
所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
聯(lián)立方程組
1.
答案
1
2
消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得1所以線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
1.
答案
1
2
所以線段MN的垂直平分線方程為y＋＝－，
令x＝0得截距t＝>2，
即線段MN的垂直平分線l在y軸上的截距t的取值范圍是(2，＋∞).
1.
答案
1
2
(1)由題意知橢圓E的左焦點(diǎn)F1(－1，0)，連接PF1，QF1，如圖1，
設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1(a>0，b>0)，
則△PQF2的周長(zhǎng)為|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2a－|PF1|＋2a－|QF1|＋|PQ|
＝4a－(|PF1|＋|QF1|－|PQ|)≤4a(當(dāng)P，Q，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào))，
由4a＝8，得a＝2，
易知c＝1，所以b＝，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
2.
圖1
答案
1
2
(2)如圖2，可設(shè)直線l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
|F1F2||y1－y2|
＝，
2.
圖2
答案
1
2
令t＝(t≥1)，則，
由y＝3t＋在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
得≤3，所以的最大值為3，
此時(shí)m＝0，直線l的方程為x＝1.
2.
圖2
1.已知雙曲線C：x2－＝1(b>0)的離心率為.
(1)求此雙曲線的漸近線方程；
1
2
答案
雙曲線C：x2－＝1(b>0)的離心率為，
a＝1，可得c＝，所以b＝1，
可得雙曲線C：x2－y2＝1，
所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，－1)的直線與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)M，N，求線段MN的垂直平分線l在y軸上的截距t的取值范圍.
1
2
答案
1
2
答案
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
聯(lián)立方程組
消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得11
2
答案
所以線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段MN的垂直平分線方程為y＋＝－，
令x＝0得截距t＝>2，
即線段MN的垂直平分線l在y軸上的截距t的取值范圍是(2，＋∞).
1
2
答案
2.如圖，已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，P，Q為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PQF2周長(zhǎng)的最大值為8.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
1
2
答案
由題意知橢圓E的左焦點(diǎn)F1(－1，0)，連接PF1，QF1，如圖1，
設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1(a>0，b>0)，
則△PQF2的周長(zhǎng)為|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2a－|PF1|＋2a－|QF1|＋|PQ|
＝4a－(|PF1|＋|QF1|－|PQ|)≤4a(當(dāng)P，Q，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào))，
由4a＝8，得a＝2，
易知c＝1，所以b＝，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
圖1
1
2
答案
(2)過(guò)F2作直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N，求△F1MN面積取最大值時(shí)直線l的方程.
1
2
答案
如圖2，可設(shè)直線l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
|F1F2||y1－y2|
＝，
圖2
1
2
答案
令t＝(t≥1)，則，
由y＝3t＋在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
得≤3，所以的最大值為3，
此時(shí)m＝0，直線l的方程為x＝1.
圖2(共49張PPT)
第八章
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
進(jìn)階篇　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
與角度、斜率、參數(shù)、向量有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題
進(jìn)階3
例1　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.
(1)求C的方程；
與角度、斜率有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題
題型一
拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程為x＝－，
由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為＝p＝2，
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足＝9，求直線OQ斜率的最大值.
方法一　設(shè)Q(x0，y0)，
則＝9＝(9－9x0，－9y0)，
∴P(10x0－9，10y0)，
由P在拋物線上可得(10y0)2＝4(10x0－9)，即x0＝>0，
∴直線OQ的斜率kOQ＝，
當(dāng)y0＝0時(shí)，kOQ＝0；
當(dāng)y0≠0時(shí)，kOQ＝，
當(dāng)y0>0時(shí)，∵25y0＋≥2＝30，
此時(shí)0當(dāng)y0<0時(shí)，kOQ<0，
綜上，直線OQ斜率的最大值為.
方法二　同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為y2＝x－.
設(shè)直線OQ的方程為y＝kx，
則當(dāng)直線OQ與拋物線y2＝x－相切時(shí)，其斜率k取到最值，
聯(lián)立得k2x2－x＋＝0，
則Δ＝－4k2×＝0，
解得k＝±，
∴直線OQ斜率的最大值為.
方法三　(軌跡方程＋換元求最值法)
同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為y2＝x－.
設(shè)直線OQ的斜率為k，Q(x，y)，
則k2＝.
令＝t，
則k2＝－t2＋t的對(duì)稱軸為t＝，
∴0≤k2≤，－≤k≤.
故直線OQ斜率的最大值為.
方法四　由題可設(shè)P(4t2，4t)(t≥0)，Q(x，y)，
∵F(1，0)，＝9，
∴(x－4t2，y－4t)＝9(1－x，－y)，
于是∴
則直線OQ的斜率為k＝，
當(dāng)t＝0時(shí)，k＝0；
當(dāng)t>0時(shí)，k＝≤，
當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時(shí)等號(hào)成立，
綜上，直線OQ斜率的最大值為.
求解與斜率、角度有關(guān)的最值問(wèn)題的關(guān)鍵是建立關(guān)于斜率的目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用基本不等式或者函數(shù)求解有關(guān)的問(wèn)題.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(2024·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知雙曲線E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2，P是E的右支上一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面積為3.
(1)求E的方程；
設(shè)雙曲線的半焦距為c(c>0)，
∵|PF1||PF2|＝3，
∴|PF1||PF2|＝6.
由題可知|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，
即4c2－12＝4a2，∴b2＝3.
又＝2，∴a2＝1.
故E的方程為x2－＝1.
(2)若E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)F2的直線l與E的右支交于M，N兩點(diǎn)，直線AM和BN的斜率分別為kAM和kBN，求kBN的最小值.
如圖，由題可知F2(2，0)，
A(－1，0)，B(1，0)，且直線MN的斜率不為0，
設(shè)直線MN的方程為x＝ty＋2，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立
得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.
∵kAM＝，kBN＝，
∴
＝＝－，
∴kBN＝－3kAM，
∴kBN＝(kAM－1)2－1，
∵直線AM與E的右支有交點(diǎn)，
∴－∴當(dāng)kAM＝1，kBN＝－3時(shí)，kBN取得最小值，且最小值為－1.
例2　已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，
橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切.
(1)求橢圓C的方程；
與參數(shù)、向量有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題
題型二
由題意可知，短半軸長(zhǎng)b＝＝1，
因?yàn)閑＝，則e2＝，
即a2＝2b2＝2，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)若過(guò)點(diǎn)M(2，0)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足＝t(t∈R)，當(dāng)||<時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
由題意可知，直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB為y＝k(x－2)，
聯(lián)立方程
消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
由Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得k2<，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
因?yàn)椋絫，
則(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，易知t≠0，
可得x＝，
y＝[k(x1＋x2)－4k]＝，
且點(diǎn)P在橢圓上，
則＝2，
整理得16k2＝t2(1＋2k2)，
又因?yàn)閨|＝||<，
則|x1－x2|<，
可得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，
即(1＋k2)<，
整理得(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得k2>，
所以且16k2＝t2(1＋2k2)，
可得t2＝＝8－∈，
解得－2所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為∪.
含參數(shù)、向量的范圍(最值)問(wèn)題，通常利用向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，然后利用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性或求導(dǎo)等方法來(lái)求最值，也可以利用幾何圖形的有界性、判別式得到不等關(guān)系，從而求出相關(guān)量的范圍(最值).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，且與雙曲線－y2＝1共頂點(diǎn).P為
橢圓C上一點(diǎn)，直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q.
(1)求橢圓C的方程；
雙曲線－y2＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，故a2＝2，
由題意得c＝1，故b2＝a2－c2＝2－1＝1，
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)若＝λ，且λ∈，求·的最大值.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2)，
因?yàn)椋溅耍恕剩?br/>所以
即
所以
解得x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(－λx2－λ－1)x2－λ＝－－(1＋λ)x2－λ
＝－－(1＋λ)·－λ
＝，
因?yàn)棣恕剩?br/>所以λ＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝，即λ＝1時(shí)，取等號(hào)，
故·的最大值為.
課時(shí)精練
答案
1
2
(1)由題意得a2＝4，b2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
所以△PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2.
(2)顯然當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，直線x＝0不滿足題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
1.
答案
1
2
由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝＝k2x1x2＋2k＋4，
因?yàn)椤螦OB為銳角，A，O，B不共線，
所以cos∠AOB>0，
所以·>0，所以x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋2k＋4
1.
答案
1
2
＝＋4
＝>0，
解得0，
解得－2所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為∪.
1.
答案
1
2
(1)如圖1，依題意，|m－n|＝||AB|＋|BF2|＋|AF2|－(|BP|＋|PF1|＋|BF1|)|
＝||AB|＋(|BP|＋|PF2|)＋|AF1|－(|BP|＋|PF1|＋|AB|＋|AF1|)|
＝||PF2|－|PF1||＝2a＝4，
解得a＝2，又雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
則，即b＝，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
2.
圖1
答案
1
2
(2)由(1)知a＝2，則雙曲線C的方程為＝1，如圖2，
設(shè)T(x0，y0)，過(guò)T的直線l'的方程為y－y0＝k(x－x0)，
即y＝kx＋y0－kx0，令m＝y(tǒng)0－kx0，顯然k≠0，
由
消去y得(b2k2－4)x2＋2b2mkx＋b2m2－4b2＝0，
由直線l'與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
得Δ＝(2b2mk)2－4(b2k2－4)(b2m2－4b2)＝0，
2.
圖2
答案
1
2
化簡(jiǎn)得b2k2＋m2－4＝0，
代入m＝y(tǒng)0－kx0得(b2＋)k2－2x0y0k＋－4＝0，
由直線l'與雙曲線相切，得k＝，
而＝1，于是k＝，
過(guò)點(diǎn)T且與l'垂直的直線的斜率為－，
方程為y－y0＝－(x－x0)，
2.
圖2
答案
1
2
令y＝0，得x＝，即M，
令x＝0，得y＝，即N，
設(shè)Q(x，y)，由＝λ，λ∈(0，1)，
得
2.
圖2
答案
1
2
即
代入＝1，
得＝1，
依題意，該雙曲線與雙曲線＝1共焦點(diǎn)，
2.
圖2
答案
1
2
則＝b2＋4，
化簡(jiǎn)得[(b2＋4)λ－4]2＝0，于是λ＝∈(0，1)，
λb＝≤＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)b＝2，λ＝時(shí)取等號(hào)，所以λb的最大值為1.
2.
圖2
1.已知橢圓C：＋y2＝1.
(1)若橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為C的上頂點(diǎn)，求△PF1F2的周長(zhǎng)；
1
2
答案
由題意得a2＝4，b2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
所以△PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2.
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0，2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍.
1
2
答案
1
2
答案
顯然當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，直線x＝0不滿足題意，
設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
1
2
答案
y1y2＝＝k2x1x2＋2k＋4，
因?yàn)椤螦OB為銳角，A，O，B不共線，
所以cos∠AOB>0，
所以·>0，所以x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋2k＋4
＝＋4＝>0，
解得0，
1
2
答案
解得－2所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為∪.
1
2
答案
2.雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2(F1在F2下方)，虛軸的右端點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)F2且垂直于y軸的直線l交雙曲線于點(diǎn)P(P在第一象限)，與直線AF1交于點(diǎn)B，記△ABF2的周長(zhǎng)為m，△BPF1的周長(zhǎng)為n，|m－n|＝4.
(1)若C的一條漸近線方程為y＝x，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
1
2
答案
如圖1，依題意，|m－n|＝||AB|＋|BF2|＋|AF2|－(|BP|＋|PF1|＋|BF1|)|
＝||AB|＋(|BP|＋|PF2|)＋|AF1|－(|BP|＋|PF1|＋|AB|＋|AF1|)|
＝||PF2|－|PF1||＝2a＝4，
解得a＝2，又雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
則，即b＝，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
圖1
1
2
答案
(2)已知?jiǎng)又本€l'與C相切于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T且與l'垂直的直線分別交x軸、y軸于M，N兩點(diǎn)，Q為線段MN上一點(diǎn)，＝λ，λ∈(0，1).若||QF2|－|QF1||為定值，求λb的最大值.
1
2
答案
由(1)知a＝2，則雙曲線C的方程為＝1，如圖2，
設(shè)T(x0，y0)，過(guò)T的直線l'的方程為y－y0＝k(x－x0)，
即y＝kx＋y0－kx0，令m＝y(tǒng)0－kx0，顯然k≠0，
由
消去y得(b2k2－4)x2＋2b2mkx＋b2m2－4b2＝0，
由直線l'與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
得Δ＝(2b2mk)2－4(b2k2－4)(b2m2－4b2)＝0，
圖2
1
2
答案
化簡(jiǎn)得b2k2＋m2－4＝0，
代入m＝y(tǒng)0－kx0得(b2＋)k2－2x0y0k＋－4＝0，
由直線l'與雙曲線相切，得k＝，
而＝1，于是k＝，
過(guò)點(diǎn)T且與l'垂直的直線的斜率為－，
方程為y－y0＝－(x－x0)，
令y＝0，得x＝，即M，
圖2
1
2
答案
令x＝0，得y＝，即N，
設(shè)Q(x，y)，由＝λ，λ∈(0，1)，
得
即
代入＝1，
圖2
1
2
答案
得＝1，
依題意，該雙曲線與雙曲線＝1共焦點(diǎn)，
則＝b2＋4，
化簡(jiǎn)得[(b2＋4)λ－4]2＝0，于是λ＝∈(0，1)，
λb＝≤＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)b＝2，λ＝時(shí)取等號(hào)，所以λb的最大值為1.
圖2(共49張PPT)
第八章
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
進(jìn)階篇　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
進(jìn)階4
解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題
在解析幾何中，有些含有參數(shù)的動(dòng)直線或動(dòng)曲線，不論參數(shù)如何變化總是經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)，探求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，這類問(wèn)題稱為“定點(diǎn)問(wèn)題”.定點(diǎn)問(wèn)題是高考中考查解析幾何的熱點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題往往定中有動(dòng)，動(dòng)中有定.
直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的通法是設(shè)出直線方程，通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件找出相應(yīng)的關(guān)系式，代入直線方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線系、曲線系或恒成立問(wèn)題來(lái)求解，即可得到定點(diǎn).
定點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)類型：①由斜率關(guān)系求定點(diǎn)；②由傾斜角關(guān)系求定點(diǎn)；③切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)；④相交弦過(guò)定點(diǎn)；⑤圓過(guò)定點(diǎn).
例1　已知點(diǎn)P(4，3)為雙曲線E：＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，E的左焦點(diǎn)F1到一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
直線過(guò)定點(diǎn)
題型一
設(shè)F1(－c，0)(c>0)到漸近線y＝x，
即bx－ay＝0的距離為，
則，結(jié)合a2＋b2＝c2得b＝，
又P(4，3)在雙曲線＝1上，
所以＝1，得a2＝4，
所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
(2)不過(guò)點(diǎn)P的直線y＝kx＋t與雙曲線E交于A，B兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線y＝kx＋t過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
聯(lián)立
消去y并整理得(3－4k2)x2－8ktx－4t2－12＝0，
則3－4k2≠0，Δ＝64k2t2＋4(3－4k2)(4t2＋12)>0，即t2＋3>4k2，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠4，x2≠4，
則x1＋x2＝，x1x2＝－，
則kPA＋kPB＝
＝
＝＝1，
所以2kx1x2＋(t－4k－3)(x1＋x2)－8t＋24＝x1x2－4(x1＋x2)＋16，
所以(2k－1)x1x2＋(t－4k＋1)(x1＋x2)－8t＋8＝0，
所以－－8t＋8＝0，
整理得t2－6k＋2kt－6t－8k2＋9＝0，
所以(t－3)2＋2k(t－3)－8k2＝0，
所以(t－3－2k)(t－3＋4k)＝0，
因?yàn)橹本€y＝kx＋t不過(guò)點(diǎn)P(4，3)，
即3≠4k＋t，t－3＋4k≠0，
所以t－3－2k＝0，即t＝2k＋3，
所以直線y＝kx＋t＝kx＋2k＋3，
即y－3＝k(x＋2)，
所以該直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為(－2，3).
解析幾何中定點(diǎn)問(wèn)題的解題策略
(1)設(shè)線法：用兩個(gè)參數(shù)表示直線方程.一般步驟為
①設(shè)直線方程為y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，得出根與系數(shù)的關(guān)系；
②結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件，得到k，m或n，t的關(guān)系，或者解出m，t的值；
③將②的結(jié)果代入y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，得到定點(diǎn)坐標(biāo).
思維升華
(2)解點(diǎn)法：用一個(gè)參數(shù)表示直線方程.一般步驟為
①引進(jìn)參數(shù)，根據(jù)已知條件，求出直線上的兩個(gè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)(含參數(shù))；
②特殊位置入手，找到定點(diǎn)P(有時(shí)可考慮對(duì)稱性)；
③證明A，B，P三點(diǎn)共線，從而直線AB過(guò)定點(diǎn)P.(其中一個(gè)方法)
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)，且C經(jīng)
過(guò)點(diǎn)P.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1(a>b>0)，焦距為2c，
則c＝，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F2(，0)，
由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝4，則a＝2，
所以b＝＝1，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)C與y軸正半軸交于點(diǎn)D，直線l：y＝kx＋m與C交于A，B兩點(diǎn)(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)D)，且AD⊥BD.證明：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
由已知得D(0，1)，
由
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，即4k2>m2－1，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
由AD⊥BD得，·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即＝0，
所以5m2－2m－3＝0，解得m＝1或m＝－，
①當(dāng)m＝1時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，舍去；
②當(dāng)m＝－時(shí)，顯然有Δ>0，
直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
綜上，直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
例2　已知橢圓C：＝1(a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為B2，B1，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，四邊形B1F1B2F2是面積為2的正方形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
題型二
由題意可得
解得
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)已知圓O：x2＋y2＝的切線l與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，判斷以DE為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
由題意可知，圓O：x2＋y2＝的圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑為，
∵<1，
可知圓O：x2＋y2＝在橢圓C內(nèi)，切線l與橢圓C相交，
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
∵直線l與圓相切，
故切線方程為x＝±，
將切線方程x＝代入橢圓方程，
解得y＝±，
設(shè)D，E，
則以DE為直徑的圓的方程為＋y2＝；
同理，當(dāng)切線方程為x＝－時(shí)，
求得以DE為直徑的圓的方程為＋y2＝，
聯(lián)立方程
解得即兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)(0，0)，
若存在定點(diǎn)，則定點(diǎn)應(yīng)為(0，0).
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，
則圓心到直線的距離d＝，
整理得m2＝(1＋k2)，
聯(lián)立方程
消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ>0，
設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝＝0，
即·＝0，
∴以DE為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)O(0，0)，
綜上可知，以DE為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(0，0).
圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解題策略
(1)利用特殊情況尋找特殊點(diǎn).
(2)引入?yún)⒆兞拷㈥P(guān)于曲線的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(2025·湖北新高考協(xié)作體聯(lián)考)已知平面內(nèi)一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)P(2，0)，且在y軸上截得弦長(zhǎng)為4，動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
設(shè)動(dòng)圓圓心為(x，y)，
依題意，，即y2＝4x，
所以曲線C的方程為y2＝4x.
(2)若過(guò)點(diǎn)Q(4，0)的直線l與曲線C交于點(diǎn)M，N，問(wèn)：以線段MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
依題意，直線l不垂直于y軸，
設(shè)直線l的方程為x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
消去x并整理得y2－4my－16＝0，Δ>0恒成立，
則
設(shè)以線段MN為直徑的圓的圓心為E(xE，yE)，
則yE＝2m，xE＝2m2＋4，即E(2m2＋4，2m)，
|MN|＝|y1－y2|
＝·
＝4，
則圓E的方程為[x－(2m2＋4)]2＋(y－2m)2
＝4(m2＋1)(m2＋4)，
化簡(jiǎn)得4xm2＋4ym－(x2－8x＋y2)＝0，
由得
因此對(duì)于 m∈R，圓E恒過(guò)原點(diǎn)，
所以以線段MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(0，0).
課時(shí)精練
答案
1
2
(1)將點(diǎn)(2，－1)代入拋物線方程得22＝－2p×(－1)，可得p＝2，
故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y，其準(zhǔn)線方程為y＝1.
(2)由題意知直線l的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)，
設(shè)直線l的方程為y＝kx－1，
與拋物線方程x2＝－4y聯(lián)立可得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4，
設(shè)M，N，
1.
答案
1
2
則kOM＝－，kON＝－，
直線OM的方程為y＝－x，與y＝－1聯(lián)立可得A，
同理可得B，
易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，
圓的半徑為，
且＝2k，
1.
答案
1
2
＝2×＝2，
則圓的方程為(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，
令x＝0，整理可得y2＋2y－3＝0，解得y1＝－3，y2＝1，
即以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0，－3)，(0，1).
1.
答案
1
2
(1)由已知得e＝，c2＝a2＋b2，所以b＝2a，
又點(diǎn)P(3，4)在C上，故＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以雙曲線C的方程為＝1.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可設(shè)A(m，n)，B(m，－n)，
則無(wú)解.
2.
答案
1
2
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx＋m，與C聯(lián)立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝－，
直線PA，PB的斜率分別為
2.
答案
1
2
k1＝，k2＝，
由k1k2＝1，
得(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化簡(jiǎn)得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，
又已知l不過(guò)點(diǎn)P(3，4)，故m＋3k－4≠0，
2.
答案
1
2
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直線l的方程為y＝k，
所以直線l過(guò)定點(diǎn).
2.
1.已知拋物線C：x2＝－2py(p>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－1).
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；
1
2
答案
將點(diǎn)(2，－1)代入拋物線方程得22＝－2p×(－1)，可得p＝2，
故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y，其準(zhǔn)線方程為y＝1.
(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，直線y＝－1分別交直線OM，ON于A，B兩點(diǎn).求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
1
2
答案
1
2
答案
由題意知直線l的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)，
設(shè)直線l的方程為y＝kx－1，
與拋物線方程x2＝－4y聯(lián)立可得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4，
設(shè)M，N，
則kOM＝－，kON＝－，
直線OM的方程為y＝－x，與y＝－1聯(lián)立可得A，
1
2
答案
同理可得B，
易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，
圓的半徑為，
且＝2k，
＝2×＝2，
1
2
答案
則圓的方程為(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，
令x＝0，整理可得y2＋2y－3＝0，解得y1＝－3，y2＝1，
即以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0，－3)，(0，1).
1
2
答案
2.(2025·九江模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的離心率為，點(diǎn)P(3，4)在C上.
(1)求雙曲線C的方程；
由已知得e＝，c2＝a2＋b2，所以b＝2a，
又點(diǎn)P(3，4)在C上，故＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以雙曲線C的方程為＝1.
1
2
答案
(2)直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若直線PA，PB的斜率互為倒數(shù)，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).
1
2
答案
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可設(shè)A(m，n)，B(m，－n)，
則無(wú)解.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx＋m，與C聯(lián)立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
2
答案
則x1＋x2＝，x1x2＝－，
直線PA，PB的斜率分別為
k1＝，k2＝，
由k1k2＝1，
得(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化簡(jiǎn)得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，
1
2
答案
又已知l不過(guò)點(diǎn)P(3，4)，故m＋3k－4≠0，
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直線l的方程為y＝k，
所以直線l過(guò)定點(diǎn).(共52張PPT)
第八章
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
進(jìn)階篇　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
進(jìn)階5
解析幾何中的定值問(wèn)題
解析幾何中的定值問(wèn)題是近幾年高考和競(jìng)賽中的熱點(diǎn)題型，是指某些幾何量(如線段長(zhǎng)度、圖形面積、直線斜率、角的度數(shù)等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不隨參數(shù)的變化而變化，始終是一個(gè)確定的數(shù)值.
解決定值問(wèn)題的基本方法是函數(shù)方法
(1)從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.
常見(jiàn)的定值問(wèn)題有：①斜率為定值；②斜率和(積、比)為定值；③角度為定值；④距離、面積為定值；⑤數(shù)量積為定值；⑥系數(shù)和為定值.
例1　已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
與斜率、角度有關(guān)的定值問(wèn)題
題型一
由題意可知，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p＝2，
所以拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.
(2)已知點(diǎn)T(t，0)，若E上存在一點(diǎn)P，使得·＝－1，求t的取值范圍；
設(shè)P(x，y)，可知y2＝4x，x≥0，
則＝(－x，－y)，＝(t－x，－y)，
可得·＝－x(t－x)＋y2＝x2－tx＋4x＝x2＋(4－t)x＝－1，
顯然x＝0不滿足上式，則x>0，可得t－4＝x＋，
又因?yàn)閤＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，
即x＝1時(shí)，等號(hào)成立，則t－4≥2，即t≥6，
所以t的取值范圍為[6，＋∞).
(3)過(guò)M(－4，0)的直線交E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)N(－4，4)的直線交E于A，C兩點(diǎn)，B，C位于x軸的同側(cè)，證明：∠BOC為定值.
設(shè)A，B，C，
則直線AB的斜率kAB＝，
可得直線AB的方程為y－y1＝，
整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理可得，直線AC的方程為4x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
由題意可得
整理得4(y3－y2)＝(y2y3＋16)，
又因?yàn)橹本€OB，OC的斜率分別為kOB＝，kOC＝，
顯然∠BOC為銳角，則
tan∠BOC＝
＝，
所以∠BOC為定值.
解決定值問(wèn)題的處理技巧
(1)思路：可從特殊情況入手(如直線的斜率不存在時(shí))，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).
(2)運(yùn)算：在運(yùn)算過(guò)程中，應(yīng)盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以利于向目標(biāo)靠攏.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　(2025·邯鄲模擬)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A(－2，0)，B(2，0)，離心率為.過(guò)點(diǎn)(4，0)的直線l與C的
右支交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM，BN的斜率分別為k1，k2，k3.
(1)若k1＝，求k3；
設(shè)雙曲線C的焦距為2c，
由題意得，a＝2，，所以c＝.
因?yàn)閏2＝a2＋b2，
所以b＝，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
直線AM的方程為y＝(x＋2)，
由
消去y化簡(jiǎn)并整理得x2－2x－8＝0，
解得x＝4或x＝－2，
又因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)，所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，3).
又直線MN過(guò)點(diǎn)(4，0)，所以直線MN的方程為x＝4，
所以N(4，－3)，k3＝＝－.
(2)證明：k2(k1＋k3)為定值.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則k1＝，k2＝，k3＝.
因?yàn)辄c(diǎn)M，N在雙曲線C：＝1上，
所以k1k2＝·.
設(shè)直線MN的方程為x＝my＋4，由
消去x化簡(jiǎn)并整理得(3m2－4)y2＋24my＋36＝0.
則
故k2k3＝·
＝＝－.
所以k2(k1＋k3)＝k1k2＋k2k3＝＝－，為定值.
例2　已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與a＝(3，－1)共線.
(1)求橢圓C的離心率；
與距離、面積、系數(shù)和有關(guān)的定值問(wèn)題
題型二
設(shè)橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，F(xiàn)(c，0)，
則直線AB的方程為y＝x－c，
聯(lián)立
消去y并整理得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，Δ>0，
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝，x1x2＝，
由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，
且與a共線，得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0，
又y1＝x1－c，y2＝x2－c，
則3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0，
∴x1＋x2＝，即，
可得a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴，
∴橢圓C的離心率為e＝.
(2)設(shè)M為橢圓C上任意一點(diǎn)，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，證明：λ2＋μ2為定值.
由(1)知a2＝3b2，
所以橢圓C的方程＝1可化為x2＋3y2＝3b2，
設(shè)＝(x，y)，由＝λ＋μ得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，
∴
∵M(jìn)(x，y)在橢圓上，
∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2，
∴λ2(＋3)＋μ2(＋3)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2， ①
由(1)知，x1＋x2＝，a2＝c2，b2＝c2，
x1x2＝c2，
x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)
＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
又＋3＝3b2，＋3＝3b2，
代入①得，λ2＋μ2＝1，
故λ2＋μ2為定值1.
解析幾何中的定值，從代數(shù)角度看，定值與參數(shù)的取值無(wú)關(guān)，選擇適當(dāng)?shù)淖兞恳约跋麉⒎椒ǎ涂梢缘贸龆ㄖ?解答解析幾何問(wèn)題，方法的選擇至關(guān)重要，如果方法選擇不當(dāng)，那么會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大，就不易得到正確的運(yùn)算結(jié)果，在分析清楚解題思路的基礎(chǔ)上，樹(shù)立優(yōu)化意識(shí)，即算法的內(nèi)在邏輯分析，優(yōu)化解法.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y＝x＋3相切，點(diǎn)P在橢圓C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
依題意有b＝，∴b2＝3，
由|PF1|＝2及橢圓的定義得|PF2|＝2a－2，
由余弦定理得－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝，
即a2－3a＋3＝c2，
又a2－c2＝b2＝3，∴a＝2，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且kOA·kOB＝－，試判斷△AOB的面積是否為定值.若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
易知m≠0，聯(lián)立
可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
則Δ＝48(3＋4k2－m2)>0， ①
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
由kOA·kOB＝－，
可得＝－，∴y1y2＝－x1x2，
即＝－·，
解得2m2－4k2＝3，滿足①，
∵|AB|＝
＝＝，
設(shè)原點(diǎn)到直線l的距離為d，d＝，
∴S△AOB＝·d·|AB|＝××，
故S△AOB為定值，定值為.
課時(shí)精練
答案
1
2
(1)由題意，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，A(－2，0)，B(2，0)，
則直線PA的斜率為kPA＝，
直線PB的斜率為kPB＝，
所以kPA·kPB＝·，
又由點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，可得＝1，
即＝1－，
1.
答案
1
2
所以kPA·kPB＝＝－，
即直線PA與直線PB的斜率之積為定值.
(2)由直線l過(guò)點(diǎn)D(1，0)，且斜率不為0，
可設(shè)直線l的方程為x＝ky＋1，
聯(lián)立
整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，Δ>0，
1.
答案
1
2
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝－，
則，
即3y1＋3y2＝2ky1y2，
又由直線AM：y＝(x＋2)，
直線BN：y＝(x－2)，
聯(lián)立方程組，可得(x＋2)＝(x－2)，
1.
答案
1
2
整理得··
＝＝3，
解得x＝4，即點(diǎn)Q(4，yQ)，
又由向量＝(－2，0)，＝(4，yQ)，
所以·＝－2×4＋0×yQ＝－8，
即·為定值.
1.
答案
1
2
(1)雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，
即bx±ay＝0，
因?yàn)轫旤c(diǎn)到漸近線的距離為，
所以，
設(shè)P(x0，y0)(x0>a)，A1(－a，0)，A2(a，0)，
則··＝4，
所以＝4(－a2)，
2.
答案
1
2
因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在雙曲線上，
所以＝1，
所以－a2)，所以＝4，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝4，c2＝5，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1.
(2)設(shè)直線MN的方程為x＝my－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
2.
答案
1
2
聯(lián)立
得(4m2－1)y2－16my＋12＝0，
則Δ＝(－16m)2－4(4m2－1)×12＝64m2＋48>0，
且4m2－1≠0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
因?yàn)橹本€l與雙曲線C交于x軸上方的M，N兩點(diǎn)，
2.
答案
1
2
所以
即解得m>，
所以yE＝，
xE＝myE－2＝，
即E，所以kOE＝＝4m，
2.
答案
1
2
又，所以，
所以yF＝，
所以xF＝myF－2＝－，所以F，
所以kOF＝＝－，
所以kOE·kOF＝4m·＝－12，
即直線OE，OF的斜率之積為定值－12.
2.
1.已知橢圓C：＋y2＝1，A，B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn).
(1)證明：直線PA與直線PB的斜率之積為定值；
1
2
答案
1
2
答案
由題意，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，A(－2，0)，B(2，0)，
則直線PA的斜率為kPA＝，
直線PB的斜率為kPB＝，
所以kPA·kPB＝·，
又由點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，可得＝1，
即＝1－，
1
2
答案
所以kPA·kPB＝＝－，
即直線PA與直線PB的斜率之積為定值.
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)D(1，0)且斜率不為0的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線AM與直線BN交于點(diǎn)Q，求證：·為定值.
1
2
答案
1
2
答案
由直線l過(guò)點(diǎn)D(1，0)，且斜率不為0，
可設(shè)直線l的方程為x＝ky＋1，
聯(lián)立
整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，Δ>0，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝－，
1
2
答案
則，即3y1＋3y2＝2ky1y2，
又由直線AM：y＝(x＋2)，
直線BN：y＝(x－2)，
聯(lián)立方程組，可得(x＋2)＝(x－2)，
整理得··
＝＝3，
1
2
答案
解得x＝4，即點(diǎn)Q(4，yQ)，
又由向量＝(－2，0)，＝(4，yQ)，
所以·＝－2×4＋0×yQ＝－8，
即·為定值.
1
2
答案
2.已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)P是雙曲線C右支上一動(dòng)點(diǎn)(不與A2重合)，且
滿足PA1，PA2的斜率之積為4.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
1
2
答案
雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，
即bx±ay＝0，
因?yàn)轫旤c(diǎn)到漸近線的距離為，
所以，
設(shè)P(x0，y0)(x0>a)，A1(－a，0)，A2(a，0)，
則··＝4，
所以＝4(－a2)，
1
2
答案
因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在雙曲線上，
所以＝1，
所以－a2)，所以＝4，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝4，c2＝5，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1.
1
2
答案
(2)過(guò)點(diǎn)Q(－2，0)的直線l與雙曲線C交于x軸上方的M，N兩點(diǎn)，若E是線段MN的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段MN上一點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OE，OF的斜率之積是否為定值.若為定值，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
1
2
答案
設(shè)直線MN的方程為x＝my－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立
得(4m2－1)y2－16my＋12＝0，
則Δ＝(－16m)2－4(4m2－1)×12＝64m2＋48>0，且4m2－1≠0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
因?yàn)橹本€l與雙曲線C交于x軸上方的M，N兩點(diǎn)，
1
2
答案
所以
即解得m>，
所以yE＝，
xE＝myE－2＝，
即E，所以kOE＝＝4m，
1
2
答案
又，所以，
所以yF＝，
所以xF＝myF－2＝－，所以F，
所以kOF＝＝－，
所以kOE·kOF＝4m·＝－12，
即直線OE，OF的斜率之積為定值－12.(共48張PPT)
第八章
數(shù)學(xué)
大
一
輪
復(fù)
習(xí)
進(jìn)階篇　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題
進(jìn)階6
解析幾何中的定直線問(wèn)題
定直線問(wèn)題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據(jù)其本身特點(diǎn)的獨(dú)特性采用一些特殊方法.
解決定直線問(wèn)題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡.主要方法有：
(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過(guò)已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程.
(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程，待定系數(shù)法求解出系數(shù).
(3)驗(yàn)證法：通過(guò)特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.
例1　在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，其中一條漸近線的傾斜角為.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
點(diǎn)在定直線上
題型一
根據(jù)題意，設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1(a>0，b>0)，
由題知a＝1，＝tan ，可得b＝，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1.
(2)過(guò)點(diǎn)T(2，0)作直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，在線段AB上取一點(diǎn)E滿足|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|，證明：點(diǎn)E在一條定直線上.
易知T(2，0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示，
由題知直線l的斜率存在，
設(shè)斜率為k，則－故直線l的方程為y＝k(x－2)，
代入雙曲線方程得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，Δ>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝，x1x2＝－，
且x1≤－1，1≤x2<2，
設(shè)E(x0，y0)，點(diǎn)E在線段AB上，
所以x1由|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|可得
(x0－x1)·(2－x2)
＝(x2－x0)·(2－x1)，
化簡(jiǎn)得4x0－(2＋x0)(x1＋x2)＋2x1x2＝0，
代入x1＋x2和x1x2并化簡(jiǎn)可得x0＝，
即存在點(diǎn)E滿足條件，并且點(diǎn)E在定直線x＝上.
證明點(diǎn)在定直線上的一般方法
(1)聯(lián)立方程消去參數(shù).
(2)挖掘圖形的對(duì)稱性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo).
(3)將橫、縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消去參數(shù).
(4)設(shè)點(diǎn)，對(duì)方程變形解得定直線.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在△ABC中，|BC|＝2，|AB|＋|AC|＝4，若以BC所在直線為x軸，以線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)動(dòng)頂點(diǎn)A(x，y).
(1)求頂點(diǎn)A的軌跡方程；
由|AB|＋|AC|＝4>|BC|＝2，
可知點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的橢圓(去掉(－2，0)，(2，0)兩點(diǎn))，且該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝4，a＝2，
該橢圓的焦距為2c＝2，c＝，
即b＝＝1，
故頂點(diǎn)A的軌跡方程為＋y2＝1(y≠0).
(2)記第(1)問(wèn)中所求軌跡為M，設(shè)D1(－2，0)，D2(2，0)，過(guò)點(diǎn)(1，0)作動(dòng)直線l與曲線M交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在x軸下方).求證：直線D1P與直線D2Q的交點(diǎn)E在一條定直線上.
直線l的方程可設(shè)為x＝my＋1，
聯(lián)立
消去x可得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝4m2＋12(m2＋4)>0顯然成立，
設(shè)Q(x1，y1)，P(x2，y2)，y1>0，y2<0，
則y1＋y2＝－，y1y2＝－，
即2my1y2＝3(y1＋y2)，
設(shè)直線D2Q：y＝(x－2)，
直線D1P：y＝(x＋2)，
聯(lián)立上述兩方程，
消去y可得(x－2)＝(x＋2)，
x－x＝，
x＝2y1(x2＋2)＋2y2(x1－2)，
又x2＝my2＋1，x1＝my1＋1，
則x＝2y1(my2＋3)＋2y2(my1－1)，(3y1＋y2)x＝4my1y2＋6y1－2y2，
由4my1y2＝6(y1＋y2)，
則(3y1＋y2)x＝6(y1＋y2)＋6y1－2y2
＝12y1＋4y2，3y1＋y2不恒為0，解得x＝4，
綜上所述，交點(diǎn)E在定直線x＝4上.
例2　已知R是圓M：(x＋)2＋y2＝8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(，0)，直線NR與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為S，點(diǎn)L在直線MR上，MS∥NL，動(dòng)點(diǎn)L的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
三角形內(nèi)心(外心、重心、垂心)在定直線上
題型二
圓M的圓心坐標(biāo)為M(－，0)，半徑r＝2，
因?yàn)镸S∥NL，
所以△MSR∽△LNR，
又因?yàn)閨MR|＝|MS|，
所以|LR|＝|LN|，
所以||LM|－|LN||＝||LM|－|LR||＝|MR|＝r＝2<2＝|MN|，
所以點(diǎn)L在以M，N為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線上，
設(shè)雙曲線的方程為＝1(a>0，b>0)，
則2a＝2，2c＝2.
所以a＝，c＝，b＝1，
又L不可能在x軸上，所以曲線C的方程為－y2＝1(y≠0).
(2)若過(guò)點(diǎn)P(－2，0)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B都在x軸上方，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得△QAB的內(nèi)心在一條定直線上？請(qǐng)你給出結(jié)論并證明.
在x軸上存在定點(diǎn)Q(－1，0)，使得△QAB的內(nèi)心在一條定直線上.
證明如下：
由條件可設(shè)l：x＝my－2.代入－y2＝1，
得(m2－2)y2－4my＋2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x1|>，|x2|>，
則得m2≠2，
所以y1＋y2＝>0，y1y2＝>0，
所以y1＋y2＝2my1y2，
取Q(－1，0)，
則kAQ＋kBQ＝
＝0，
又A，B都在x軸上方，所以∠AQB的平分線為定直線x＝－1，
所以在x軸上存在定點(diǎn)Q(－1，0)，使得△QAB的內(nèi)心在定直線x＝－1上.
三角形內(nèi)切圓的圓心在三角形的角平分線上，角平分線是角的關(guān)系，因此找角與斜率的關(guān)系即可.
思維升華
跟蹤訓(xùn)練2　(2025·衡水模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M(1，1)是橢圓C上一點(diǎn)，且點(diǎn)M到點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
由題意，得解得
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
(2)斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則△MAB的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
△MAB的外心在定直線2x－y－1＝0上.理由如下：
由題意設(shè)直線l的方程為y＝x＋t，
因?yàn)橹本€l不能過(guò)點(diǎn)M(1，1)，所以t≠，
聯(lián)立
得3x2＋4tx＋4t2－6＝0，
所以Δ＝16t2－12(4t2－6)>0，
即－設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
若直線MA⊥x軸，則A(1，－1)，
代入直線l：y＝x＋t，
得t＝－，不符合題意，故x1≠1；
同理可得x2≠1，
所以直線MA，MB的斜率一定存在，
則kMA＋kMB＝
＝
＝
＝＝0，
即直線MA與MB的斜率互為相反數(shù).
設(shè)直線MA的方程為y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.
若k＝0，則直線MA：y＝1，
此時(shí)A(－1，1)，代入直線l：y＝x＋t，
則t＝，不符合題意，故k≠0，
聯(lián)立
得(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－3＝0，
由Δ＝4(2k＋1)2>0得k≠－，
則k≠－且k≠0，
則x1＋1＝－，
設(shè)線段MA的中點(diǎn)為N(x0，y0)，
所以x0＝＝－，
所以y0＝kx0＋1－k
＝k·＋1－k＝，
即N，
所以線段MA的垂直平分線的方程為
y－＝－，
即y＝－x＋， ①
直線MB的方程為y－1＝－k(x－1)，k≠0，且k≠，
同理可得線段MB的垂直平分線的方程為
y＝x－， ②
聯(lián)立①②，得
即2x－y－1＝0，
故△MAB的外心在定直線2x－y－1＝0上.
課時(shí)精練
答案
1
2
(1)當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝2，
與拋物線C：x2＝4y有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(2，1)，符合題意；
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線斜率存在時(shí)，
不妨設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)，
代入拋物線方程化簡(jiǎn)得x2－4kx＋8k－4＝0，
令Δ＝(－4k)2－4(8k－4)＝0，得k＝1，
直線方程為x－y－1＝0，
因此所求直線方程為x＝2或x－y－1＝0.
1.
答案
1
2
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P與拋物線C相切的切線方程為l：y－n＝k(x－m)，
由
消去y整理得x2－4kx＋4(km－n)＝0，
因?yàn)閘與拋物線C相切，
所以Δ＝(－4k)2－4×1×4(km－n)＝0，
即k2－mk＋n＝0.
又因?yàn)閗1，k2是方程k2－mk＋n＝0的兩根，
1.
答案
1
2
則k1＋k2＝m，k1k2＝n，
由(k1－1)(k2－1)＝4，
可得k1k2－(k1＋k2)－3＝0，即n－m－3＝0，
從而動(dòng)點(diǎn)P(m，n)在直線x－y＋3＝0上.
1.
答案
1
2
(1)因?yàn)闄E圓G的焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)E(2，0)，
所以a＝2，又橢圓G過(guò)點(diǎn)D，
所以＝1，解得b2＝3，
故橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
(2)如圖，設(shè)直線l的方程為y＝x＋t，
因?yàn)辄c(diǎn)D在直線l上方，
所以t<1，
2.
答案
1
2
聯(lián)立
消去y得3x2＋4＝12，
整理得x2＋tx＋t2－3＝0.
由Δ>0得t2－4(t2－3)>0 t2<4，
則－2設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2.
答案
1
2
則x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－3.
若AD⊥x軸，則A，
代入直線l：y＝x＋t，得t＝－2，不符合題意，
故x1≠1；
同理可得x2≠1.
所以直線AD，BD的斜率一定存在，
故kAD＝·，kBD＝·，
2.
答案
1
2
因?yàn)閗AD＋kBD＝··
＝·
＝·
＝＝0，
所以∠ADB的平分線為直線x＝1，
故△DAB的內(nèi)切圓圓心一定在直線x＝1上.
2.
1.已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n).
(1)若m＝2，n＝1，求過(guò)點(diǎn)P與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程；
1
2
答案
1
2
答案
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝2，
與拋物線C：x2＝4y有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(2，1)，符合題意；
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)，
代入拋物線方程化簡(jiǎn)得x2－4kx＋8k－4＝0，
令Δ＝(－4k)2－4(8k－4)＝0，得k＝1，
直線方程為x－y－1＝0，
因此所求直線方程為x＝2或x－y－1＝0.
(2)設(shè)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的兩條直線l1，l2均與C相切，且l1，l2的斜率分別為k1，k2，滿足(k1－1)(k2－1)＝4.證明：動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線上.
1
2
答案
1
2
答案
設(shè)過(guò)點(diǎn)P與拋物線C相切的切線方程為l：y－n＝k(x－m)，
由
消去y整理得x2－4kx＋4(km－n)＝0，
因?yàn)閘與拋物線C相切，
所以Δ＝(－4k)2－4×1×4(km－n)＝0，
即k2－mk＋n＝0.
又因?yàn)閗1，k2是方程k2－mk＋n＝0的兩根，
1
2
答案
則k1＋k2＝m，k1k2＝n，
由(k1－1)(k2－1)＝4，
可得k1k2－(k1＋k2)－3＝0，即n－m－3＝0，
從而動(dòng)點(diǎn)P(m，n)在直線x－y＋3＝0上.
1
2
答案
2.(2024·葫蘆島模擬)已知橢圓G：＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)D，E(2，0)
兩點(diǎn).作斜率為的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且點(diǎn)D
在直線l上方.
(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
因?yàn)闄E圓G的焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)E(2，0)，
所以a＝2，又橢圓G過(guò)點(diǎn)D，
所以＝1，解得b2＝3，
故橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
1
2
答案
(2)證明：△DAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.
1
2
答案
如圖，設(shè)直線l的方程為y＝x＋t，
因?yàn)辄c(diǎn)D在直線l上方，
所以t<1，
聯(lián)立
消去y得3x2＋4＝12，
整理得x2＋tx＋t2－3＝0.
1
2
答案
由Δ>0得t2－4(t2－3)>0 t2<4，
則－2設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－3.
若AD⊥x軸，則A，
代入直線l：y＝x＋t，得t＝－2，不符合題意，故x1≠1；
同理可得x2≠1.
1
2
答案
所以直線AD，BD的斜率一定存在，
故kAD＝·，kBD＝·，
因?yàn)閗AD＋kBD＝··
＝·
＝·
＝＝0，
1
2
答案
所以∠ADB的平分線為直線x＝1，
故△DAB的內(nèi)切圓圓心一定在直線x＝1上.

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