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第二十一章　一元二次方程
21.1　一元二次方程
1.理解一元二次方程及其相關概念.（重點）
2.根據一元二次方程的一般形式，確定各項系數.（重點）
3.理解并靈活運用一元二次方程的概念并解決有關問題.（難點）
一、新課導入
問題1　什么叫方程？我們學過哪些方程？
含有未知數的等式叫做方程.
我們學過的方程有一元一次方程、二元一次方程（組）及分式方程，其中前兩種方程是整式方程.
問題2　什么叫一元一次方程？
含有一個未知數，且未知數的次數是1的方程，叫做一元一次方程.
問題3　根據一元一次方程的定義，想一想什么叫一元二次方程？
二、新知探究
（一）一元二次方程的概念
問題1　如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？
解：設切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為（100－2x）cm，寬為（50－2x）cm.根據方盒的底面積為3600cm2，得（100－2x）（50－2x）＝3600.整理、化簡，得x2－75x＋350＝0.①
【思考】該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？
問題2　要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？
解：全部比賽的場數為4×7＝28.設應邀請x個隊參賽.根據題意，列方程x（x－1）＝28.
整理、化簡，得x2－x－56＝0.②
【思考】該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？
【思考】方程①，②都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區別在哪里？它們有什么共同點呢？
x2－75x＋350＝0①　x2－x－56＝0②
【歸納總結】共同點：
①是整式方程；
②只含有一個未知數；
③未知數的最高次數是2.
一元二次方程的概念：
等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
其中ax2是二次項，a是二次項系數；
bx是一次項，b是一次項系數；
c是常數項.
【思考】為什么一般形式ax2＋bx＋c＝0中要限制a≠0，b，c可以為零嗎？
當a＝0時， bx＋c＝0
當a≠0，b＝0時， ax2＋c＝0
當a≠0，c＝0時， ax2＋bx＝0
當a≠0， b＝c＝0時，ax2＝0
【歸納總結】只要滿足a≠0，b，c可以為任意實數.
（二）一元二次方程的根
使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元一次方程的解也叫做一元二次方程的根.
【思考】下面哪些數是方程x2－x－12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：4和－3.
【思考】你注意到了嗎？一元二次方程可能不止一個根.
三、新知應用
例1　下列選項中，是關于x的一元二次方程的是（　C　）
A. x2＋＝0 B.3x2－5xy＋y2＝0
C.（x－1）（x－2）＝0 D. ax2＋bx＋c＝0
例2　將方程3x（x－1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項.
解：去括號，得3x2－3x＝5x＋10.
移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.其中二次項系數為3，一次項系數為－8，常數項為－10.
注意：系數和項均包含前面的符號.
例3　當a為何值時，下列方程為一元二次方程？
（1）ax2－x＝6x2；
（2）2（a－1）－6x－7＝10.
解：（1）將方程化成一元二次方程的一般形式，得（a－6）x2－x＝0.所以當a－6≠0，即a≠6時，原方程為一元二次方程.
（2）由｜a｜＋1＝2，且a－1≠0知，當a＝－1時，原方程為一元二次方程.
二次項系數不為零不容忽視.
【拓展提高】
已知關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一個根為1，求a＋b＋c的值.
解：由題意，得a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
【思考】
1.若a＋b＋c＝0，你能通過觀察，求出方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一個根嗎？
解：能.由題意，得a＋b＋c＝0，即a·12＋b·1＋c＝0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一個根是1.
2.若4a＋2b＋c＝0，你能通過觀察，求出方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一個根嗎？
解：能. x＝2.
四、課堂小結
一元二次方程
五、課堂訓練
1.判斷下列方程是否為一元二次方程？
（1）x2＋x＝36； （2）x3＋x2＝36；
（3）x＋3y＝36； （4）－＝0；
（5）x＋1＝0； （6）＝6；
（7）4x2－1＝（2x＋3）2；
（8）（）2－2－6＝0.
解：（1）（6）是一元二次方程，（2）（3）（4）（5）（7）（8）不是一元二次方程.
2.變式訓練：已知方程（2a－4）x2－2bx＋a＝0.
（1）在什么條件下，此方程為一元二次方程？
（2）在什么條件下，此方程為一元一次方程？
解：（1）當2a－4≠0，即a≠2時，此方程為一元二次方程.
（2）當a＝2且b≠0時，此方程為一元一次方程.
3.如圖，據某市交通部門統計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x應滿足的方程.
解：根據題意，得75（1＋x）2＝108.
六、布置作業
完成對應課時練習.
　　教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，經歷將實際問題轉化為數學問題，體會數學建模的思想方法.

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