資源簡介

第2課時　用配方法解一元二次方程
1.了解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解決有關問題.（重點）
3.探索直接開平方法和配方法之間的區別和聯系.（難點）
一、新課導入
1.用直接開平方法解下列方程：
（1）9x2＝1； （2）（x－2）2＝2.
2.下列方程能用直接開平方法來解嗎？
（1）x2＋6x＋9＝5； （2）x2＋6x＋4＝0.
【提示】把兩題轉化成（x＋n）2＝p（p≥0）的形式，再利用開平方法.
【探究交流】填一填下列完全平方公式.
（1）a2＋2ab＋b2＝（　a＋b?。?；
（2）a2－2ab＋b2＝（　a－b?。?.
填上適當的數或式，使下列各等式成立.
（1）x2＋4x＋　22　＝（x＋　2?。?；
（2）x2－6x＋　32?。剑▁－　3?。?；
（3）x2＋8x＋　42?。剑▁＋　4?。?；
（4）x2－x＋　　＝.
【思考】你發現了什么規律？
【歸納總結】配方的方法：
二次項系數為1的完全平方式；
常數項等于一次項系數一半的平方.
【思考】x2＋px＋＝
二、新知探究
用配方法解方程
【思考】怎樣解方程x2＋6x＋4＝0①？
問題1　方程①怎樣變成（x＋n）2＝p的形式呢？
問題2　為什么在方程x2＋6x＝－4的兩邊加上9？加其他數行嗎？
不行，只有在方程兩邊加上一次項系數一半的平方，方程左邊才能變成完成平方式x2＋2bx＋b2的形式.
【歸納總結】方程配方的方法歸納：
在方程兩邊都加上　一次項系數一半　的　平方　.注意是在二次項系數為1的前提下進行的.
【歸納總結】
1.配方法的定義：
像上面那樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.
2.用配方法解一元二次方程的基本思路：
把方程化為（x＋n）2＝p的形式，將一元二次方程降次，轉化為一元一次方程求解.
三、新知應用
例1　解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；
解：移項，得x2－8x＝－1.
配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，（x－4）2＝15.
由此可得x－4＝±，
x1＝4＋，x2＝4－.
（2）2x2＋1＝3x；
解：移項，得2x2－3x＝－1.
二次項系數化為1，得x2－x＝－.
配方，得x2－x＋＝－＋，
＝.
由此可得x－＝±，
x1＝1，x2＝.
【思考】移項和二次項系數化為1這兩個步驟能不能交換一下呢？
（3）3x2－6x＋4＝0.
解：移項，得3x2－6x＝－4.
二次項系數化為1，得x2－2x＝－.
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，（x－1）2＝－.
因為實數的平方不會是負數，所以x取任何實數時，（x－1）2都是非負數，上式都不成立，即原方程無實數根.
【思考】用配方法解一元二次方程時，移項時要注意些什么？
移項時需注意改變符號.
【思考】用配方法解一元二次方程的一般步驟：
①移項，二次項系數化為1；
②左邊配成完全平方式；
③左邊寫成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
【歸納總結】一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成（x＋n）2＝p　　　　（Ⅱ）
的形式，那么就有：
①當p＞0時，方程（Ⅱ）有兩個不等的實數根　x1＝－n－　，　x2＝－n＋?。?br/>②當p＝0時，方程（Ⅱ）有兩個相等的實數根　x1＝x2＝－n　；
③當p＜0時，因為對任意實數x，都有（x＋n）2≥0，所以方程（Ⅱ）無實數根.
例2　試用配方法說明：不論k取何實數，多項式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5＝k2－4k＋4＋1＝（k－2）2＋1.
因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以不論k取何實數，多項式k2－4k＋5的值必定大于零.
例3　若a，b，c為△ABC的三邊長，且a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，試判斷△ABC的形狀.
解：對原式配方，得（a－3）2＋（b－4）2＋＝0.
由代數式的性質可知（a－3）2＝0，（b－4）2＝0，＝0.
∴a＝3，b＝4，c＝5.∴a2＋b2＝32＋42＝52＝c2.
∴△ABC為直角三角形.
例4　讀詩詞解題：
大江東去浪淘盡，
千古風流數人物。
而立之年督東吳，
早逝英年兩位數。
十位恰小個位三，
個位平方與壽符。
哪位學子算得快，
多少年華屬周瑜？
通過列方程，算出周瑜去世時的年齡.
解：設個位上的數字為x，十位上的數字為（x－3）.
根據題意，得x2＝10（x－3）＋x.
解方程，得x1＝6，x2＝5.
∴這個兩位數為36或25.
∵周瑜30歲還攻打過東吳，
∴周瑜去世時的年齡為36歲.
四、課堂小結
用配方法解一元二次方程
特別提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化為x2＋px＋q＝0的形式.
五、課堂訓練
1.解下列方程：
（1）x2＋4x－9＝2x－11；
（2）x（x＋4）＝8x＋12；
（3）4x2－6x－3＝0；
（4）3x2＋6x－9＝0.
解：（1）x2＋2x＝－2，（x＋1）2＝－1，此方程無解.
（2）x2－4x＝12，（x－2）2＝16，x1＝6，x2＝－2.
（3）x2－x＝，＝，x1＝，x2＝.
（4）x2＋2x＝3，（x＋1）2＝16，x1＝－3，x2＝1.
2.應用配方法求最值.
（1）2x2－4x＋5的最小值；
（2）－3x2＋12x－16的最大值.
解：（1）原式＝2（x－1）2＋3.當x＝1時，取最小值，最小值為3.
（2）原式＝－3（x－2）2－4.當x＝2時，取最大值，最大值為－4.
3.已知a，b，c為△ABC的三邊長，且a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，試判斷△ABC的形狀.
解：對原式配方，得[（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2]＝0.
由代數式的性質可知（a－b）2＝0，（a－c）2＝0，（b－c）2＝0.∴a＝b＝c.
∴△ABC為等邊三角形.
六、布置作業
完成對應課時練習.
　　教學過程中，強調配方法解方程就是將方程左邊配成完全平方式的過程.因此需熟練掌握完全平方式的形式.

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