資源簡介

(共29張PPT)
第八章
必刷小題15　直線與圓
數學
大
一
輪
復
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對一對
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D C D C A D
題號 8 9 10 11 12 13 14
答案 D ACD ACD BD (x－2)2+ (y－2)2＝2
13
14
一、單項選擇題
1.已知直線l與直線x－y＝0平行，且在y軸上的截距是－2，則直線l的方程是
A.x－y＋2＝0 B.x－2y＋4＝0
C.x－y－2＝0 D.x＋2y－4＝0
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答案
√
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因為直線l平行于直線x－y＝0，所以設直線l：x－y＋m＝0，因為l在y軸上的截距是－2，則直線l過點(0，－2)，代入直線方程得0－(－2)＋m＝0，解得m＝－2，所以直線l的方程是x－y－2＝0.
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答案
2.(2024·南通模擬)直線x·tan ＋y－2＝0的傾斜角為
A. B. C. D.
由題意可將原直線方程變形為y＝－tan ·x＋2＝tan ·x＋2，因為傾斜角的取值范圍為[0，π)，所以直線的傾斜角為.
√
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答案
3.設a，b為實數，若點P(a，b)在圓x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1的位置關系是
A.相離 B.相切
C.相交 D.不能確定
點P(a，b)在圓x2＋y2＝1外，故a2＋b2>1，
圓心(0，0)到直線ax＋by＝1的距離為<1＝r，故直線與圓相交.
√
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答案
4.(2024·聊城模擬)已知圓C與兩坐標軸及直線x＋y－2＝0都相切，且圓心在第二象限，則圓C的方程
A.
B.＝2
C.
D.＝2
√
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答案
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由題意設所求的圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a<0，b>0，r>0)，
則
即
所以圓C的方程為＝2.
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答案
5.若直線l1：y－2＝(k－1)x和直線l2關于直線y＝x＋1對稱，則直線l2恒過定點
A.(2，0) B.(1，－1)
C.(1，1) D.(－2，0)
√
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因為直線l1：y－2＝(k－1)x過定點(0，2)，
點(0，2)關于直線y＝x＋1對稱的點為(1，1)，
故直線l2恒過定點(1，1).
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答案
6.(2025·天津市武清區模擬)已知經過原點的直線l與圓C：(x－3)2＋(y＋1)2＝4相交于A，B兩點，若|AB|≥2，則l的斜率的取值范圍是
A. B.
C. D.
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答案
由(x－3)2＋(y＋1)2＝4，
得圓心C(3，－1)，半徑r＝2，
要使|AB|≥2，則圓心C到直線l的距離d＝≤1，
設直線方程為y＝kx，
所以≤1，解得－≤k≤0.
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7.已知兩點A(－1，0)，B(0，2)，點P是圓(x－2)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最小值是
A. B.2
C.3＋ D.3－
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答案
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答案
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兩點A(－1，0)，B(0，2)，則|AB|＝，直線AB的方程為y＝2x＋2，
圓(x－2)2＋y2＝1的圓心C(2，0)，半徑r＝1，
點C到直線AB：2x－y＋2＝0的距離
d＝，
因此點P到直線AB距離的最小值為d－r＝－1，
所以△PAB面積的最小值是××＝3－.
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答案
8.已知直線l1：y＝tx＋5(t∈R)與直線l2：x＋ty－t＋4＝0(t∈R)相交于點P，且點P到點Q(a，3)的距離等于1，則實數a的取值范圍是
A.[－2－3，－2－1]
B.[－2－3，2－1]
C.[－2－3，－2－1]∪[2＋1，2＋3]
D.[－2－3，－2－1]∪[2－3，2－1]
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答案
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直線l1：y＝tx＋5過定點A(0，5)，直線l2：x＋ty－t＋4
＝0過定點B(－4，1)，
又直線l1⊥l2，
因此點P(x，y)的軌跡是以線段AB為直徑的圓(除去點
(0，1))，圓心C(－2，3)，半徑r＝2，
圓C的方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝8(x≠0且y≠1)，
又Q(a，3)，|PQ|＝1，顯然點(0，1)與Q的距離大于1，
則點P在圓Q：(x－a)2＋(y－3)2＝1上，
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答案
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依題意，圓C與圓Q有公共點，
于是2－1≤|CQ|≤2＋1，
即2－1≤|a＋2|≤2＋1，
解得－2－3≤a≤－2－1或2－3≤a≤2－1，
所以實數a的取值范圍是[－2－3，－2－1]∪[2－3，2－1].
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答案
二、多項選擇題
9.已知兩條直線l1，l2的方程分別為3x＋4y＋12＝0與ax＋8y－11＝0，則下列結論正確的是
A.若l1∥l2，則a＝6
B.若l1∥l2，則兩條平行直線之間的距離為
C.若l1⊥l2，則a＝－
D.若a≠6，則直線l1，l2一定相交
√
√
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答案
兩條直線l1，l2的方程分別為3x＋4y＋12＝0與ax＋8y－11＝0，當l1∥l2時，則3×8－4a＝0，解得a＝6，經檢驗，滿足兩直線平行，故A正確；
若l1∥l2，則a＝6，所以平行直線間的距離d＝，故B錯誤；
當l1⊥l2，則3a＋32＝0，解得a＝－，故C正確；
由選項A得，當a≠6時，直線l1，l2一定相交，故D正確.
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答案
10.已知圓C：x2＋y2－6x＝0，則下列說法正確的是
A.圓C的半徑r＝3
B.點(1，2)在圓C的內部
C.圓C與圓x2＋y2＋2x＋4y－6＝0的公共弦所在直線的方程為4x＋2y－3＝0
D.圓C'：(x＋1)2＋y2＝4與圓C相交
√
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答案
圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝9，所以半徑r＝3，故A正確；
將點(1，2)代入圓C的標準方程中，得(1－3)2＋＝12>9，所以點(1，2)在圓C的外部，故B錯誤；
由題意知，兩圓相交，由兩圓方程x2＋y2－6x＝0，x2＋y2＋2x＋4y－6＝0相減，得4x＋2y－3＝0，則公共弦所在直線的方程為4x＋2y－3＝0，故C正確；
圓C'的圓心為(－1，0)，半徑為2，所以兩圓C'與C的圓心距為|CC'|＝4，則3－2<|CC'|<3＋2，故兩圓相交，故D正確.
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答案
11.在平面直角坐標系Oxy中，圓C：x2＋y2＝1，點P為直線l：x－y－2＝0上的動點，則
A.圓C上有且僅有兩個點到直線l的距離為
B.若圓C與曲線x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三條公切線，則m＝9
C.過點P作圓C的一條切線，切點為Q，∠OPQ可以為60°
D.過點P作圓C的兩條切線，切點為M，N，則直線MN恒過定點
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答案
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由題知，圓心(0，0)到直線l的距離為d＝，
圓的半徑為1，由<－1，所以圓上不存在點到直線l的
距離為，故A錯誤；
由x2＋y2－6x－8y＋m＝0整理得(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，由題意知曲線為圓，則m<25，圓心為(3，4)，半徑為，由題可知，兩圓外切時有三條公切線，則＝1＋，解得m＝9，故B正確；
由切點為Q，∠OQP＝90°，則在Rt△OQP中，sin∠OPQ＝，
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答案
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當|OP|最小時，sin∠OPQ取最大值，∠OPQ最大，過點
O作OP'⊥l，垂足為P'，
|OP'|＝，
當點P與點P'重合時，sin∠OPQ最大，即sin∠OPQ的最
大值為，∠OPQ最大為45°，不可能為60°，故C錯誤；
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答案
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設點P(x0，y0)，切點M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得切線MP的方程為x1x＋y1y＝1，
由點P在切線上，得x1x0＋y1y0＝1，
同理可得x2x0＋y2y0＝1，
故點M(x1，y1)，N(x2，y2)都在直線x0x＋y0y＝1上，即直線MN的方程為x0x＋y0y＝1，
又由點P(x0，y0)在直線l：x－y－2＝0上，則y0＝x0－2，
代入直線MN的方程整理得(x＋y)x0－2y－1＝0，
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由
即直線MN恒過定點，故D正確.
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三、填空題
12.已知直線l：mx－(5－2m)y－3＝0的傾斜角為，則m＝　　.
由題意直線l的傾斜角為，則直線l⊥x軸，故方程mx－(5－2m)y－3＝0中，y的系數為0，即－(5－2m)＝0，解得m＝，
此時，直線l：x＝符合題意.
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13.與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標準方程是　　　　　　　　　　.
(x－2)2＋(y－2)2＝2
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曲線化為(x－6)2＋(y－6)2＝18，
其圓心C(6，6)到直線l：x＋y－2＝0的距離為
d＝＝5.
又kOC＝1，kl＝－1，則直線OC與直線l垂直，
所求的半徑最小的圓的圓心在直線y＝x上，其到直線的距離為
，圓心坐標為(2，2).
標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.
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答案
14.已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，過直線l：4x＋3y＋1＝0上一動點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則||的最小值為　　.
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答案
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圓心C(3，4)，半徑為2，如圖，連接CA，CB，CA⊥PA，
CB⊥PB，AB和CP交于點D，
則||＝2||，
因為|PA|2＝|PD||PC|，所以|PD|＝＝|PC|－，
又|PD|，|PC|>0，且|PD|隨|PC|的增大而增大，
則|PC|的最小值為圓心C(3，4)到直線l：4x＋3y＋1＝0的距離d＝
＝5，
所以|PD|的最小值為5－，那么||的最小值為.(共30張PPT)
第八章
必刷小題16　圓錐曲線
數學
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題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D A A B D A
題號 8 9 10 11 12 答案 A AC AD ACD 2 題號 13 14 答案 13
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答案
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由題得a2＝80，b2＝35，
所以a＝4，c＝＝3，
所以長軸長2a＝8，焦距2c＝6，
所以長軸長與焦距之差等于2a－2c＝2.
一、單項選擇題
1.橢圓C：＝1的長軸長與焦距之差等于
A. B.2 C.2 D.3
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答案
2.已知雙曲線－y2＝1(a>0)的離心率e<，則a的取值范圍是
A.(0，1) B.
C.(1，＋∞) D.
由題意可知b2＝1，c2＝a2＋1，
所以e2＝，所以1<<3，且a>0，
所以a>.
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答案
3.(2024·湛江模擬)已知點M為雙曲線C：＝1的左支上一點，F1，F2分別為C的左、右焦點，則|MF1|＋|F1F2|－|MF2|等于
A.2 B.4 C.6 D.8
√
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答案
由于M為雙曲線C：＝1的左支上一點，F1，F2分別為C的左、右
焦點，
所以|MF2|－|MF1|＝2a，
故|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a，
由于a＝2，b＝，c＝＝3，
所以|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a＝6－4＝2.
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答案
4.(2025·西安模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左焦點為F(－1，0)，且橢圓C上的點與長軸兩端點構成的三角形的面積的最大值為6，則橢圓C的方程為
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
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答案
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因為橢圓C的左焦點為F(－1，0)，所以c＝1.
又因為橢圓C上的點與長軸兩端點構成的三角形的面積的最大值為6，
所以×2a×b＝ab＝6，
結合a2＝b2＋c2＝b2＋1，a>b>0，
可得a＝3，b＝2，
故橢圓C的方程為＝1.
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答案
5.已知拋物線C：x2＝8y的焦點為F，P是拋物線C上的一點，O為坐標原點，|OP|＝4，則|PF|等于
A.4 B.6 C.8 D.10
√
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拋物線C：x2＝8y的焦點為F(0，2)，準線方程為y＝－2，設P(m，n)(n>0)，
則解得n＝4或n＝－12(舍去)，則|PF|＝n＋2＝6.
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答案
6.(2024·邢臺統考)某圓錐曲線C是橢圓或雙曲線，若其中心為坐標原點，
對稱軸為坐標軸，且過A(－4，)和B兩點，則曲線C的離心
率等于
A. B. C. D.
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答案
設曲線C的方程為mx2＋ny2＝1，
代入點A(－4，)得16m＋7n＝1， ①
代入點B得9m＋n＝1， ②
聯立①②解得m＝，n＝－1，
所以曲線C為雙曲線，其方程為－y2＝1，
a2＝2，b2＝1，
故離心率e＝.
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7.(2024·黔南模擬)已知橢圓E：＝1(a>b>0)的左焦點為F，過焦點F作圓x2＋y2＝b2的一條切線l，與橢圓E的一個交點為A，切點為Q，且Q為AF的中點，則橢圓E的離心率為
A. B. C. D.
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答案
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答案
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由題意可知，圓x2＋y2＝b2的圓心為點O，半徑為b，c>b，
設橢圓E的右焦點為F2，連接AF2，如圖，
因為點Q為AF的中點，且點O為FF2的中點，
則OQ∥AF2，|AF2|＝2|OQ|＝2b，
由橢圓定義可知|AF|＝2a－|AF2|＝2a－2b，
因為Q為切點，可知OQ⊥AF，則AF2⊥AF，
可得＋|AF|2＝，
即4b2＋(2a－2b)2＝4c2＝4(a2－b2)，
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解得2a＝3b，即，
所以橢圓E的離心率e＝.
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答案
8.已知A，B是圓C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0上兩點，點P在拋物線x2＝2y上，當∠APB取得最大值時，|AB|等于
A. B. C. D.
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答案
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依題意可得，當PA，PB是圓C的切線時，∠APB取得最大值，即A，B是
圓C的切點，設∠APB＝2α，P，
∵圓C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0，
∴圓心C(4，1)，半徑為1，
從而sin α＝，
∵|PC|2＝－8x0＋17，
令f(x)＝－8x＋17，
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答案
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則f'(x)＝x3－8，
∴當x<2時，f'(x)<0，
即函數f(x)在(－∞，2)上單調遞減；
當x>2時，f'(x)>0，
即函數f(x)在(2，＋∞)上單調遞增，
∴f(x)min＝f(2)＝5，即|PC|min＝，
∴(sin α)max＝，此時∠APB最大，
∴|AB|＝2|AC|cos α＝2cos α＝.
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答案
二、多項選擇題
9.(2025·長沙模擬)已知拋物線C與拋物線y2＝4x關于y軸對稱，則下列說法正確的是
A.拋物線C的焦點坐標是(－1，0)
B.拋物線C關于y軸對稱
C.拋物線C的準線方程為x＝1
D.拋物線C的焦點到準線的距離為4
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√
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答案
因為拋物線C與拋物線y2＝4x關于y軸對稱，所以拋物線C的方程為y2＝－4x，
則拋物線C的焦點坐標是(－1，0)，準線方程為x＝1，故A，C正確；
拋物線C關于x軸對稱，故B錯誤；
拋物線C的焦點到準線的距離為2，故D錯誤.
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答案
10.已知F1，F2分別是橢圓C：＝1的左、右焦點，P為橢圓C上異于長軸端點的動點，則下列結論正確的是
A.△PF1F2的周長為10
B.△PF1F2面積的最大值為25
C.|PF1|的最小值為1
D.橢圓C的離心率為
√
√
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答案
由題意可知a＝3，b＝，c＝＝2，則|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝4，△PF1F2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10，故A正確；
當P為短軸端點時，△PF1F2面積取到最大值為|F1F2|×b＝2，故B錯誤；
|PF1|的最小值為a－c＝1，此時P為長軸左端點，但本題取不到長軸左端點，故|PF1|沒有最小值，故C錯誤；
橢圓C的離心率為e＝，故D正確.
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答案
11.(2025·浙江省“浙南名校聯盟”聯考)已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，其一條漸近線為y＝x，直線l過點F2且與雙曲線C的右支交于A，B兩點，M，N分別為△AF1F2和△BF1F2的內心，則下列選項正確的是
A.雙曲線C的離心率為 B.直線l斜率的取值范圍為
C.△MNF2為直角三角形 D.點M與點N的橫坐標都為a
√
√
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√
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答案
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依題意，雙曲線C為等軸雙曲線，所以離心率為，故A正確；
雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，
作圖可知，
若直線l過點F2且與雙曲線C的右支有兩個交點，
則直線l傾斜角的取值范圍為，則直線l斜率的
取值范圍為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故B錯誤；
因為MF2和NF2分別為∠AF2F1和∠BF2F1的平分線，則2∠MF2F1＋2∠NF2F1＝π，
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答案
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所以∠MF2N＝，即△MNF2是直角三角形，故C正確；
設焦距為2c，由題可知＝1，故c＝a，
如圖，過點M分別作F1A，F1F2，AF2的垂線，垂足分別
為D，E，H，
易得|F1D|＝|F1E|，|F2E|＝|F2H|，|AD|＝|AH|，
因為|AF1|－|AF2|＝2a，所以|F1E|－|F2E|＝2a，
所以E(a，0)，M點的橫坐標為a，
同理可得N點的橫坐標也為a，故D正確.
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答案
三、填空題
12.(2024·北京海淀區質檢)拋物線y2＝4x上與焦點距離等于3的點的橫坐標是　　　.
拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1，
設拋物線上一點P(x0，y0)到焦點F(1，0)的距離為3，
則|PF|＝x0＋＝x0＋1＝3，
所以x0＝2.
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答案
13.已知F1，F2分別是雙曲線C：＝1(a>0)的左、右焦點，P是C上
一點，且|PF1|＝6|PF2|，寫出C的一個標準方程_______________________
　　　　 　.
＝1(答案不唯一，
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滿足a2≥即可)
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答案
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因為|PF1|＝6|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝5|PF2|＝2a，所以|PF2|＝，
又因為|PF2|≥c－a，則≥c－a，即，
又因為b2＝4，所以e＝，
解得a2≥，
當a2＝6時，C的一個標準方程為＝1.
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答案
14.阿基米德是古希臘著名的物理學家和數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C：＝1(a>b>0)的面積為6π，點P在橢圓C上，且P與橢圓上、下頂點連線的斜率之積為－.記橢圓C的左、右焦點分別為F1，F2，則△PF1F2的面積可能為　　　　　　 .(橫線上寫出滿足條件的一個值)
2(答案不唯一，在(0，2)內的任何數都可以)
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答案
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由橢圓C：＝1(a>b>0)的面積為6π，得πab＝6π，解得ab＝6，①
設點P(x0，y0)，顯然x0≠0，
由＝1，得－b2＝－，
橢圓C的上、下頂點坐標分別為(0，b)，(0，－b)，
則·＝－＝－，
即， ②
聯立①②，解得a＝3，b＝2，半焦距c＝，
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答案
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△PF1F2的面積×2c×|y0|＝|y0|，
而y0∈(－2，2)且y0≠0，
因此∈(0，2)，
所以△PF1F2的面積可能為2.

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