資源簡介

2024-2025學年吉林省長春市德惠二十九中八年級（下）期末數(shù)學試卷
一、選擇題：本題共 8小題，每小題 3分，共 24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3 + 1 = 4 3 B. 2 + + = 0
C. 2 2 + 3 = 0 D. 3 2 5 = 7
2.下列屬于最簡二次根式的是( )
A. 8 B. 5 C. 4 D. 13
3.華為 40 系列智能機搭載著麒麟 9000，5 制程芯片，集成了 153 億個集成電路．1 =
0.0000001 ，那么 5 用科學記數(shù)法表示為( )
A. 0.5 × 10 7 B. 0.5 × 10 8 C. 5 × 10 6 D. 5 × 10 7
4.將一次函數(shù) = + 向下平移 5 個單位長度后得到 = 2 4，則 = + 的表達式是( )
A. = 2 + 1 B. = 2 9 C. = 2 + 1 D. = 2 + 5
5.下列各式從左到右的變形中，正確的是( )
A. 2 +1 2 1 2 2 + 22 +1 = B. = 2 C. + = 1 + D. 3 + = 3
6.如圖，在矩形 中，對角線 ， 相交于點 ，∠ = 120°， = 4，則
的長為( )
A. 4 B. 2 3 C. 2 D. 4 3
7.如圖， 的對角線 、 交于點 ， 的周長為 30，直線 過點 ，且與 ， 分別交于
點 . ，若 = 5，則四邊形 的周長是( )
A. 30 B. 25
C. 20 D. 15
8.如圖，在平面直角坐標系中， ⊥ 軸， = 4，點 、 均在反比例函數(shù) = ( > 0, > 0)的圖象上，
若△ 是等邊三角形，則 的值為( )
A. 4
B. 2 3
C. 4 3
D. 8 3
二、填空題：本題共 6小題，每小題 3分，共 18分。
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9.最簡二次根式 2 + 與 5 3 是同類二次根式，則 + 3 =______．
10.關(guān)于 的一元二次方程( 2) 2 + 3 + 2 4 = 0 有一個解是 0，則 的值為______．
11 2 2.如圖是同一平面直角坐標系中函數(shù) 1 = 2 和 2 = 的圖象.觀察圖象不等式 2 < 的解集為______．
12.如圖，四邊形 是菱形， = 8， = 6， ⊥ 于點 ，則 =______．
13 2 + 3 .已知關(guān)于 的分式方程 3 + 3 = 1 的解是正數(shù)，則 的取值范圍為______．
14.如圖，在正方形 中，對角線 、 相交于點 ，過點 作射線 、 分別
交邊 、 于點 、 ，且∠ = 90°，連結(jié) .給出下面四個結(jié)論：①△ ≌△ ；
② = ；③四邊形 1的面積為正方形 面積的 24；④∠ = 45°；⑤ +
2 = 2.上述結(jié)論中，所有正確的序號是______．
三、解答題：本題共 10小題，共 78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題 6 分)
計算：
(1)( 1 ) 23 + 4 × ( 1)
2025 | 2|3 + ( 3.14)0；
(2)3 2 33 2 2+ 24．
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16.(本小題 6 分)
解方程：
(1) 2 = ( 2)；
(2) 2 5 6 = 0．
17.(本小題 6 分)
某 實驗室使用 模型進行大型文本處理任務(wù)，但在實際處理時由于優(yōu)化了算法，每小時處理的文
檔數(shù)量比原計劃增加 20%，結(jié)果完成 600 篇文檔的處理任務(wù)時，實際用時比原計劃少用了 2 小時，求原計
劃每小時處理多少篇文檔？
18.(本小題 7 分)
如圖，在 中， 為線段 的中點，連接 、 ，延長 、 交于點 ，連接 ，且滿足∠ = 90°．
(1)求證：四邊形 是矩形；
(2)若 = 5， = 3，則四邊形 的面積是______．
19.(本小題 7 分)
圖①、圖②、圖③分別是 5 × 5 的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為 1，每個小正方形的頂點稱
為格點，點 、 均在格點上，僅用無刻度的直尺在如圖網(wǎng)格中按要求作圖，所畫圖形的頂點均在格點上，
保留作圖痕跡．
(1)在圖①中畫一個以 為對角線的菱形 ；
(2)在圖②中畫一個以 為斜邊的等腰直角△ ；
(3)在圖③中畫一個面積為 7 的四邊形 ，且有一個內(nèi)角為 45°．
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20.(本小題 7 分)
在科技飛速發(fā)展的當下，智能機器人成為了熱門研究領(lǐng)域.某科研團隊研發(fā)了 ， ， 三款智能機器人.為測
試這三款機器人在圖象識別能力和運動能力方面的綜合表現(xiàn)，該團隊對它們進行了全面測試.在圖象識別能
力測試中， ， ， 三款機器人的得分(滿分為 100 分)分別為 87 分、85 分、90 分.運動能力測試由 10 位
專業(yè)測試員根據(jù)一系列動作任務(wù)進行打分(滿分為 10 分).現(xiàn)對三款機器人的運動能力測試數(shù)據(jù)進行詳細分
析，以評估哪款機器人的綜合性能更優(yōu)．
【數(shù)據(jù)收集與整理】
， ， 三款機器人運動能力測試情況統(tǒng)計表
機器人 測試員打分的中位數(shù) 測試員打分的眾數(shù) 運動能力測試成績 方差
9 和 10 85 1.85
8.5 8 87 2
8 83 2.01
(1)填空： =______， =______；
(2)通過比較方差，判斷測試員對______(填“ ”“ ”或“ ”)款機器人運動能力測試表現(xiàn)評價的一致性
程度更高；
(3)按圖象識別能力測試成績占 40%，運動能力測試成績占 60%計算綜合成績，請你通過計算判斷 ， ，
三款機器人中綜合成績最高的是哪一款？
21.(本小題 8 分)
已知 ， 兩地之間距離 600 千米.甲車從 地出發(fā)勻速開往 地，甲車出發(fā)半小時后，乙車從 地出發(fā)沿同一
路線勻速追趕甲車，兩車相遇后，乙車原路原速返回 地.兩車之間的距離 (千米)與甲車行駛時間 (小時)之
間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請解答下列問題：
(1)甲車的速度是______千米/時，乙車的速度是______千米/時， = ______；
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(2)求乙車返回過程中， 與 之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當甲、乙兩車相距 240 千米時，直接寫出甲車的行駛時間．
22.(本小題 9 分)
感知：如圖①， 的對角線相交于點 ， // ， // .證明：四邊形 是平行四邊形．
拓展：如圖②，矩形 的對角線相交于點 ， // ， // .判斷四邊形 的形狀，并說明理由；
應用：如圖③，菱形 的對角線相交于點 ，∠ = 30°， = 5， // 交 的延長線于點 ， // .
求四邊形 的周長是______．
23.(本小題 10 分)
如圖，在矩形 中， = 16， = 8， = 6.動點 從點 出發(fā)，沿折線 以每秒 2 個單位長
度的速度向點 運動，當點 不與點 重合時，連結(jié) ，以 、 為邊構(gòu)造平行四邊形 ，設(shè)點 的運動
時間為 ( > 0)秒．
(1)當 0 < < 4 時， =______，4 ≤ ≤ 12 時， =______. (用含 的代數(shù)式表示)
(2)當點 不與點 重合， =______，四邊形 是菱形； =______，四邊形 是矩形．
(3)當點 在線段 上運動時，設(shè) 與矩形 重疊部分的面積為 ，求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫
出 的取值范圍．
(4)作點 關(guān)于直線 的對稱點 ′，連結(jié) ′ ，當 ′ ⊥ 時，直接寫出 的值．
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24.(本小題 12 分)
= 2 + 1
在平面直角坐標系中，對于點 ( , )和點 ( , )若滿足 = 2 ，則稱點 為點 的友誼點.例如點(2,1)
的友誼點為(5,2)．
(1)點 ( 2,2)的友誼點坐標是______；若點 的友誼點為(7, 2)，則點 的坐標是______．
(2)若點 ( , 5)的友誼點在直線 = 2 3 上，則 的值為______．
(3)點 在直線 = 2 1 上，其橫坐標為 0，點 為點 的友誼點.若點 到 軸的距離等于它到 軸的距離的
2 倍，求 0的值．
(4)正方形 各頂點的坐標分別為 (0,5)， (3,5)， (3,2)， (0,2).點 ( , )在直線 = + 1 上，點
為點 的友誼點，連結(jié) ，當線段 與正方形 的邊有且只有一個公共點時，直接寫出 的取值范圍．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.3
10. 2
11. < 1 或 0 < < 1
12.245
13. > 32且 ≠ 3
14.①③④
15.(1)原式= 9 + 4 × ( 1) 8 + 1
= 9 4 8 + 1
= 2；
(2) 2 3原式= 9 × 3 4 × 2 + 4 × 6
= 6 6 + 2 6
= 2 6．
16.(1) 2 = ( 2)，
即 2 ( 2) = 0，
因式分解，得( 2)(1 ) = 0，
∴ 2 = 0，1 = 0，
∴ 1 = 2， 2 = 1；
(2)因式分解，得( 6)( + 1) = 0，
∴ 6 = 0， + 1 = 0，
∴ 1 = 6， 2 = 1．
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17.解：設(shè)原計劃每小時處理 篇文檔，
∴ 600得
600
1.2 = 2，
解得： = 50，
經(jīng)檢驗， = 50 是此方程的根，
答：原計劃每小時處理 50 篇文檔．
18.(1)證明：∵ 為線段 的中點，
∴ = ，
∵四邊形 是平行四邊形，
∴ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 與△ 中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∴四邊形 是平行四邊形，
∵ ∠ = 90°，
∴四邊形 是矩形；
(2)解：∵四邊形 是平行四邊形，
∴ = = 5，
∵ = 3，∠ = 90°，
∴ = 2 2 = 4，
∴四邊形 的面積= 4 × 3 = 12，
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19.(1)如圖 1，菱形 即為所作；
(2)如圖 2，等腰直角△ 即為所作；
(3)如圖 3，四邊形 即為所作(答案不唯一)．
20.(1)由折線統(tǒng)計圖可知， 款機器人測試員打分從低到高排列為：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，
∴ 款機器人測試員打分的中位數(shù) = 9+92 = 9，
由扇形統(tǒng)計圖可知， 款機器人運動能力得分出現(xiàn)次數(shù)最多的是 8 分，
∴ = 8，
故答案為：9；8；
(2)由折線統(tǒng)計圖可判斷 款機器人的得分波動比 款機器人的得分波動小，
∴ 2 < 1.85，
由表知 2 < 2 ，
∴測試員對 款機器人運動能力測試表現(xiàn)評價的一致性程度更高；
故答案為： ；
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(3) ∵ 款機器人的綜合成績?yōu)?87 × 40% + 85 × 60% = 85.8(分)，
款機器人的綜合成績?yōu)?85 × 40% + 87 × 60% = 86.2(分)，
款機器人的綜合成績?yōu)?90 × 40% + 83 × 60% = 85.8(分)，
∵ 86.2 > 85.8，
∴綜合成績最高的是 款機器人．
21.(1)由圖可得，
甲車的速度為：50 ÷ 0.5 = 100(千米/時)，乙車的速度為：100 × 3 ÷ (3 0.5) = 120(千米/時)，
= 3 + (3 0.5) = 5.5，
故答案為：100，120，5.5；
(2)設(shè)乙車返回過程中， 與 之間的函數(shù)關(guān)系式為 = + ，
∵點(3,0)，(5.5,550)在該函數(shù)圖象上，
∴ 3 + = 05.5 + = 550，
= 220
解得 = 660，
即乙車返回過程中， 與 之間的函數(shù)關(guān)系式為 = 120 660；
(3)將 = 240 代入 = 120 660，得：240 = 120 660，
解得 = 5，
答：當甲、乙兩車相距 240 千米時，甲車的行駛時間為 5 小時．
22.感知：證明：∵ // ， // ，
∴四邊形 是平行四邊；
拓展：解：四邊形 是菱形，
證明：∵ // ， // ，
∴四邊形 是平行四邊形，
∵四邊形 是矩形，
∴ = = 12 ， = =
1
2 ， = ，
∴ = ，
∴四邊形 是菱形；
應用：解：∵四邊形 是菱形，
∴ // ， = = ，
∵ // ，
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∴四邊形 是平行四邊形，
∴ = = = 5， = ，
∵四邊形 是菱形，∠ = 30°，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 60°，
∴△ 是等邊三角形，
∴ = = = 5，
∴四邊形 的周長為 + + + + = 4 × 5 = 20．
23.(1)當 0 < < 4 時， = = 6 2 ，
當 4 ≤ ≤ 12 時， = 2 = 2 6，
故答案為：6 2 ，2 6；
(2)如圖 1，
當點 在 上時，
∵ = = = = 16 6 = 10， = = 8，
∴ = 6，
∴ = = 4，
∴ = = 16 4 = 12，
∴ 2 = + = 20，
∴ = 10，
如圖 2，
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當四邊形 是矩形時，可得 = = 6，
∴ 2 = + = 14，
∴ = 7，
故答案為：10，7；
(3)當 4 ≤ ≤ 7 時，
= = 10 × 8 = 80，
當 7 < ≤ 12 時，
= 80 12 × 8(2 14) = 136 8 ，
80(4 ≤ ≤ 7)
綜上所述： = 136 8 (7 < ≤ 12)；
(4)如圖 3，
當點 在 上時，
∵點 關(guān)于直線 的對稱點是 ′，
∴ ′ = = 6 1，∠ ′ = ∠ = 2 × 90° = 45°，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 45°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = = 6，
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∴ = 3；
如圖 4，
當點 在 上時，設(shè) ′ 交 于 ，
由上知，
= = = 8，
∴ + = 8 + 6 + 8 = 22，
∴ = 11，
綜上所述： = 3 或 11．
24.(1)由題意可得：點 ( 2,2)的友誼點坐標是( 2 × 2 + 1,2 × 2)，即( 3,4)；
若點 2 + 1 = 7的友誼點為(7, 2)，則 2 = 2 ，
∴ = 3 = 1．
∴ (3, 1)，
故答案為：( 3,4)，(3, 1)．
(2)由題意得，點 ( , 5)的友誼點為(2 + 1,10)，
∵點(2 + 1,10)在直線 = 2 3 上，
∴ 2 × (2 + 1) 3 = 10，
∴ = 114．
11
故答案為： 4．
(3) ∵點 在直線 = 2 1 上，其橫坐標為 0，
∴ ( 0, 2 0 1)，
∵點 為點 的友誼點．
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∴ (2 0 + 1,4 0 2)，
∵點 到 軸的距離等于它到 軸的距離的 2 倍，
∴ |2 0 + 1| = 2|4 0 2|，
∴ = 5 30 6或10；
(4)如圖，
將 = 2 代入 = + 1 中，得 = 1，
則 (1,2)，
將 = 3 代入 = + 1 中，得 = 4，
則 (3,4)，
∵ ( , )在直線 = + 1 上，
∴ ( , + 1)，
∵點 為點 的友誼點，
∴ (2 + 1,2 + 2)，
令 = 2 + 1， = 2 + 2，得 = + 1，
∴ (2 + 1,2 + 2)也在直線 = + 1 上，
當線段 與正方形 的邊有且只有一個公共點時，分兩種情況討論：
當點 在點 下方(含點 )，點 在線段 上時，符合題意，
∴ ≤ 11 ≤ 2 + 1 ≤ 3，解得，0 ≤ ≤ 1
第 14頁，共 15頁
當點 在線段 上，點 在點 上方(含點 )時，符合題意，
∴ 1 ≤ ≤ 32 + 1 ≥ 3，解得 1 ≤ ≤ 3，
故 的取值范圍是 0 ≤ ≤ 3．
第 15頁，共 15頁

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