資源簡介

(共35張PPT)
人教版（2024）
八年級上冊
14.2 三角形全等的判定
第4課時 尺規(guī)作圖問題
第十四章·全等三角形
尺規(guī)作圖問題
知識目標
1.作一個角等于已知角；過直線外一點作這條直線的平行線；已知兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；
2.通過實踐驗證全等三角形的判定定理，明確作圖步驟背后的數(shù)學依據(jù).
能力目標
1.將抽象的文字描述轉(zhuǎn)化為具體的圖形表達，培養(yǎng)從條件出發(fā)設計合理作圖路徑的思維習慣；
2.能夠清晰闡述作圖依據(jù)，并用規(guī)范術(shù)語書寫證明過程，實現(xiàn)“做中學、說中學”.
素質(zhì)目標
1.體會尺規(guī)作圖的歷史意義，感受數(shù)學的美學與理性精神；
2.在小組互助中分享經(jīng)驗技巧，學會傾聽他人思路并優(yōu)化自身方案.
教學難點
教學重點
典型尺規(guī)作圖的具體步驟
尺規(guī)作圖的作圖順序
情景導入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范講解
4
課堂練習
5
課堂小結(jié)
6
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結(jié)
情景激趣
尺規(guī)作圖的起源
古希臘數(shù)學家如歐幾里得將尺規(guī)作圖系統(tǒng)化，他在《幾何原本》中詳細闡述了尺規(guī)作圖的基本規(guī)則和方法，這些規(guī)則成為后世幾何學的重要基石，推動了數(shù)學的理論化發(fā)展。
古埃及人在土地丈量中使用簡單的工具，如繩子和木棍，這些實踐為尺規(guī)作圖的初步發(fā)展奠定了基礎。他們需要精確劃分土地，以確保公平分配，這些經(jīng)驗逐漸積累，形成了早期的幾何知識。
古希臘的理論奠基
古埃及的測量實踐
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結(jié)
情景激趣
尺規(guī)作圖的發(fā)展歷程
三大作圖難題的提出
古希臘時期，數(shù)學家們提出了三個著名的尺規(guī)作圖難題：化圓為方、倍立方體和三等分角。這些問題引發(fā)了無數(shù)數(shù)學家的研究，促進了數(shù)學理論的深入發(fā)展，盡管這些問題最終被證明無法用尺規(guī)解決，但其研究過程極大地豐富了數(shù)學知識。
中世紀的傳播與改進
在中世紀，尺規(guī)作圖的知識通過阿拉伯世界傳播到歐洲。阿拉伯數(shù)學家對尺規(guī)作圖進行了進一步的研究和改進，他們引入了新的作圖方法和工具，為文藝復興時期的數(shù)學復興奠定了基礎。
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結(jié)
復習舊知
圓規(guī)
尺規(guī)作圖的基本工具
直尺
直尺在尺規(guī)作圖中用于畫直線。它沒有刻度，只能用來連接兩點或延長已知直線。直尺的使用需要精確的操作，以確保所畫直線的準確性，這是尺規(guī)作圖的基礎。
圓規(guī)用于畫圓和弧線。它可以確定圓的半徑和圓心，通過圓規(guī)可以構(gòu)造出許多復雜的幾何圖形。圓規(guī)的使用需要掌握一定的技巧，如保持圓規(guī)的穩(wěn)定性，確保所畫圓的準確性。
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結(jié)
復習舊知
作一條線段等于已知線段
a
尺規(guī)作圖問題
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
尺規(guī)作圖
只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)也可以畫出一些圖形，這種畫圖方法被稱為尺規(guī)作圖.
由三角形全等判定可以知道，每一種判定兩個三角形全等的條件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形.
SSS
SAS
ASA
AAS
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結(jié)
知識回顧
判定兩個三角形全等的條件
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三邊分別相等
兩邊和它們的
夾角分別相等
兩角和它們的
夾邊分別相等
兩角分別相等且其中
一組等角的對邊相等
SSS
SAS
AAS
ASA
分析問題，尋找對應
線段和角都是基本的幾何圖形，也是構(gòu)成其他幾何圖形的元素. 如何用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角呢？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
任務1：尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)作一個三角形
已知：已知三條線段 a，b，c（其中任意兩條線段的和大于第三條線段），求作△ABC，使其邊分別為 a，b，c．
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)作一個三角形
已知：已知三條線段 a，b，c（其中任意兩條線段的和大于第三條線段），求作△ABC，使其邊分別為 a，b，c．
任務1
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
分析：由作一條線段等于已知線段，能夠作出邊AB，即A，B兩點確定，而BC=a，AC=b，故以點A為圓心，b為半徑畫弧長，以點B為圓心，a為半徑畫弧，兩弧的交點就是點C.
a
b
c
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)作一個三角形
任務1
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
作法：
第一步：作線段AB等于c；
第二步：以點A為圓心，以b為半徑畫弧長；
c
B
A
c
B
A
b
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)作一個三角形
任務1
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
作法：
第三步：以點B為圓心，以a為半徑畫弧，兩弧交于點C；
c
B
A
b
a
第四步：連接AC，BC，△ABC即為所求.
c
B
A
b
a
C
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圓規(guī)作一個角與其相等，關(guān)鍵是能用直尺和圓規(guī)確定∠AOB 的大小.
任務2
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
分析： 一個三角形的三條邊、三個角是確定的. 如果能將∠AOB“放在”某個三角形中，作為其一個角，再作出一個與其全等的三角形，能否得到與∠AOB 一樣大小的角？為什么？
O
A
B
能，因為全等三角形的對應角相等.
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圓規(guī)作一個角與其相等，關(guān)鍵是能用直尺和圓規(guī)確定∠AOB 的大小.
任務2
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
思考1： 如何圍繞∠AOB 構(gòu)建一個三角形？
O
A
B
如圖，在∠AOB 的邊 OA，OB 上分別取點 C，D，連接 CD，得到△COD. ∠AOB 就是△ COD 的一個內(nèi)角.
C
D
為了作圖方便，一般取 OC = OD.
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圓規(guī)作一個角與其相等，關(guān)鍵是能用直尺和圓規(guī)確定∠AOB 的大小.
任務2
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
思考2：為了作出與△COD 全等的三角形，哪種三角形全等的判定方法可以作為作圖依據(jù)？
O
A
B
如圖，在∠AOB 的邊 OA，OB 上分別取點 C，D，連接 CD，得到△COD. ∠AOB 就是△ COD 的一個內(nèi)角.
C
D
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圓規(guī)作一個角與其相等，關(guān)鍵是能用直尺和圓規(guī)確定∠AOB 的大小.
任務2
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
O
A
B
第一步：以點 O 為圓心，任意長為半徑作弧，分別交 OA，OB 于點 C，D；
C
D
第二步：作一條射線 O'A'，以點 O' 為圓心，OC為半徑作弧，交 O'A' 于點 C'；
O'
A'
C'
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圓規(guī)作一個角與其相等，關(guān)鍵是能用直尺和圓規(guī)確定∠AOB 的大小.
任務2
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
O
A
B
第三步：以點 C' 為圓心，CD 為半徑作弧，與上一步作的弧相交于點 D'；
C
D
第四步： 過點 D' 作射線 O'B'，則∠A'O'B' = ∠AOB.
O'
A'
C'
D'
B'
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)過直線外一點作這條直線的平行線
與“作一條線段等于已知線段”一樣，“作一個角等于已知角”也是基本、常用的尺規(guī)作圖，利用它可以進一步完成其他尺規(guī)作圖.
任務3
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
回顧：我們學過的判定兩直線平行的方法有哪些？
① 同位角相等，兩直線平行；
② 內(nèi)錯角相等，兩直線平行；
③ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；
④ 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.
這是尺規(guī)作圖的依據(jù)
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
如圖，已知直線 AB 及直線 AB 外一點 C，利用直尺和圓規(guī)過點 C 作直線 AB 的平行線 CD.
例1
C
A
B
作法：
(1) 過點 C 作一條直線，與直線 AB 相交于點 E；
C
A
B
E
(2) 在點 C 處作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD = ∠CEB；
F
D
(3) 反向延長 CD，得直線 CD，則直線 CD // AB.
解：如圖，直線 CD 即所求作直線.
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)已知兩邊及其夾角作三角形
已知線段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α.
任務4
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
a
b
α
先作一個角等于已知角
在作出的角的兩邊上截取指定長度的邊
確定三角形的三個頂點的位置
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)已知兩邊及其夾角作三角形
已知線段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α.
任務4
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
α
A
D
E
第一步，作∠DAE＝∠α；
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)已知兩邊及其夾角作三角形
已知線段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α.
任務4
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
A
D
E
A
D
E
B
C
第二步，在射線 AD 上作 AB = a，在射線 AE 上作 AC = b；
分析問題，尋找對應
尺規(guī)作圖——利用直尺和圓規(guī)已知兩邊及其夾角作三角形
已知線段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α.
任務4
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
A
D
E
A
D
E
B
C
第三步，連接 BC，則△ABC 就是所求作的三角形.
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
1.如圖，用直尺和圓規(guī)作一個三角形，使這個三角形的兩角分別等于∠α，∠β，這兩角的夾邊等于線段 a.
a
α
β
A
B
C
解：如圖，△ABC 即所求作的三角形.
a
α
β
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
2. 如圖，已知∠AOB，以點 O 為圓心，以任意長為半徑作弧①，分別交 OA，OB 于點E，F(xiàn)，再以點 E 為圓心，以 EF 長為半徑作弧，交弧①于點 D，畫射線 OD. 若∠AOB = 28°，則∠BOD 的度數(shù)為（ ）
A. 34° B. 62°
C. 56° D. 124°
C
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
3. 已知△ABC，由尺規(guī)作圖痕跡可知△ABC≌△ABD，判定這兩個三角形全等的理由為（ ）
A. SSS B. SAS
C. AAS D. ASA
D
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
1.（2024·北京）下面是“作一個角使其等于∠AOB”的尺規(guī)作圖方法.
(1)如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D:
(2)作射線O’A’，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交O’A’于點C;以點C’為圓心，CD長為
半徑畫弧，兩弧交于點D’;
(3)過點D’作射線O’B’，則∠A’O’B’= ㄥAOB
上述通過判定ΔC’O’D’≌ΔCOD得到∠A’O’B’= ∠AOB,其中判定ΔC’O’D’≌COD的依據(jù)是( )
A.三邊分別相等的兩個三角形全等 B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等
C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等
A
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
2.（2024·山東德州）已知∠AOB，點P為OA上一點，用尺規(guī)作圖，過點P作OB的平行線，下列作圖痕跡不正確的是( )
A B
C D
B
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
3.（2024·江蘇揚州）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點C.
用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點O，使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作圖痕跡，不寫作法)
解：如圖所示
∴∠COQ=2∠CAQ;
點0即為所求
課堂小結(jié)
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
我親歷了什么
我知道了什么
我會什么
尺規(guī)作圖的幾種情況
獨立完成尺規(guī)作圖要求
明確尺規(guī)作圖的依據(jù)
課堂小結(jié)
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
尺規(guī)作圖
只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)也可以畫出一些圖形，這種畫圖方法被稱為尺規(guī)作圖.
由三角形全等判定可以知道，每一種判定兩個三角形全等的條件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形.
SSS
SAS
ASA
AAS
課堂小結(jié)
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
尺規(guī)作圖
依據(jù)：SSS
依據(jù)：“同位角相等，兩直線平行”或“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”
作一個角等于已知角
過直線外一點作這條直線的平行線
已知兩邊及其夾角作三角形，已知兩角及其夾邊作三角形.
課堂小結(jié)
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結(jié)
課后作業(yè)
A層：P44：習題14.2：9題.
B層：P44：習題14.2：10題.
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