資源簡介

(共35張PPT)
人教版（2024）
八年級上冊
14.2 三角形全等的判定
第5課時 用 ''HL''
判定直角三角形全等
第十四章·全等三角形
判定直角三角形全等
知識目標
1.理解并掌握“HL”定理的內容。
2.明確該定理適用于僅當其中一個角為90°的特殊情形，區分其與一般三角形全等判定條件的不同。
3.能夠準確識別題目中的已知條件是否符合HL定理的應用前提。
能力目標
1.用規范的數學語言書寫證明步驟，能基于HL定理進行簡單的幾何論證。
2.在復雜圖形中提取關鍵信息，靈活運用HL定理解決實際問題。
素質目標
1.滲透“特殊與一般”“分類討論”的辯證思維思想，體會數學定理的嚴謹性和普適性。
2.培養科學探究精神，鼓勵學生通過猜想—驗證—結論的研究路徑自主建構知識。
教學難點
教學重點
HL定理的條件與結論
“必須包含斜邊”是關鍵前提，例如僅知兩條直角邊相等時不能用HL
情景導入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范講解
4
課堂練習
5
課堂小結
6
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
回顧：判定兩個三角形全等的條件
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三邊分別相等
兩邊和它們的
夾角分別相等
兩角和它們的
夾邊分別相等
兩角分別相等且其中
一組等角的對邊相等
SSS
SAS
AAS
ASA
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
舞臺背景的幾何挑戰
如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形， 為了美觀，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量．你能幫工作人員想個辦法嗎？
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
舞臺背景的幾何挑戰
方案2：根據SAS可測量其余兩邊與這兩邊的夾角.
方案1：根據ASA,AAS可測量對應一邊和一銳角.
已知兩個直角相等
情景導入
合作探究
抽象概念
示范講解
課堂練習
課堂小結
情景激趣
如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關系？
探究判定兩個直角三角形全等的條件
分析問題，尋找對應
對于兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，這兩個直角三角形就全等了？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
A
B
C
A'
B'
C'
分析問題，尋找對應
判定兩個直角三角形全等的條件：①一條直角邊和一銳角分別相等
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
A
B
C
A'
B'
C'
情況1：若∠A=∠A′，AB=A′B′，已知∠B=∠B′，則△ABC與△A′B′C′ ，根據 .
ASA
全等
分析問題，尋找對應
判定兩個直角三角形全等的條件：①一條直角邊和一銳角分別相等
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
A
B
C
A'
B'
C'
AAS
情況2：若∠C=∠C′，AB=A′B′，已知∠B=∠B′，則△ABC與△A′B′C′ ，根據 .
全等
分析問題，尋找對應
判定兩個直角三角形全等的條件：②斜邊和一銳角分別相等
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
A
B
C
A'
B'
C'
若∠A=∠A′，AC=A′C′，
已知∠B=∠B′，則△ABC與△A′B′C′ ，根據 .
AAS
全等
分析問題，尋找對應
判定兩個直角三角形全等的條件：③兩直角邊分別相等
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
A
B
C
A'
B'
C'
若AB=A′B′，BC=B′C′，
已知∠B=∠B′，則△ABC與△A′B′C′ ，根據 .
ASA
全等
分析問題，尋找對應
如果滿足斜邊和一條直角邊分別相等呢？能證明全等嗎？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
分析問題，尋找對應
任意畫一個Rt△ABC，使∠C =90°，再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把畫好的Rt△A′B′C′剪下來放到Rt△ABC上，你發現了什么？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
A
B
C
作法：
（1）畫∠MC'N=90°；
（2）在射線C'M上截取B'C'=BC；
（3）以點B'為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C'N于點A'；
（4）連接A'B'.
分析問題，尋找對應
任意畫一個Rt△ABC，使∠C =90°，再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把畫好的Rt△A′B′C′剪下來放到Rt△ABC上，你發現了什么？
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
C ′
N
M
A
B
C
A ′
B ′
兩個三角形放在一起能完全重合
分析問題，尋找對應
接下來討論射線 CA 上除點 C，A 外的點與點 B 的連線和邊 AB 的大小關系.
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
C
A
B
(C')
(B')
① 設點 M 在直角邊 AC (不包括端點)上，連接 BM，則∠BMA ＞∠C，∠BMA是鈍角．
② 若過點 M 且垂直于 BM 的直線與線段 AB 相交于點 M′，則有 AB ＞ BM′ ＞ BM．
M
外角的性質
M'
垂線段最短
分析問題，尋找對應
接下來討論射線 CA 上除點 C，A 外的點與點 B 的連線和邊 AB 的大小關系.
分組討論
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
C
A
B
(C')
(B')
③ 設點 N 在線段 CA 的延長線上，連接 BN，同理可得 BN ＞ AB．
④ 因此，在射線 CA 上，與點 B 的連線長度等于 AB 的點只有一個．
M
M'
在點 A 下方時，長度 ＜ AB；在點 A 上方時，長度 ＞ AB.
N
⑤再由點 A′ 在射線 CA 上，
A′B′ = AB，可知點 A′與點 A 重合．
判定直角三角形全等
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
斜邊和一直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）
如圖，在Rt△ABC 與 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB ＝A′B′
BC ＝ B′C′
幾何語言：
基本事實：
知識點 用“HL”判定直角三角形全等
C
A
B
C'
A'
B'
判定直角三角形全等
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
在使用“HL”時,同學們應注意什么
（1）“HL”是僅適用于直角三角形的特殊方法.
兩個“△”前要加“Rt”.
（2）注意對應相等.
”HL”中“H”代表斜邊，“L”代表直角邊.
“斜邊-直角邊”順序不要混淆.
在Rt△ABC 與 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB ＝A′B′
BC ＝ B′C′
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
例1
解
證明：∵　AC⊥BC，BD⊥AD，
∴　∠C =∠D = 90°．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA，
AC = BD，
∴　Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．
∴　BC =AD（全等三角形對應邊相等）．
如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC = BD．
求證 BC =AD．
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
例2
如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，要明證△ABC ≌△BAD，需要添加一個什么條件？請說明理由．
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） （ ）．
AD = BC
AC = BD
∠DAB = ∠CBA
∠DBA = ∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
例3
如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關系？
解
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF ,
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF.
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
例題講解
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
例4
如圖，兩根長度均為12m的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面的兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎 請說明你的理由.
解
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt △ACD中,
∴Rt△ABD≌Rt △ACD（HL），
∴BD=CD.
AB=AC,
∠ADB=∠ADC ,
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
1.如圖，C 是路段AB 的中點，兩人從C 同時出發，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 與路段AB的距離相等嗎？為什么？
A
B
C
D
E
分析：CA=CB
CD=CE
∠A=∠B=90°
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
1.如圖，C 是路段AB 的中點，兩人從C 同時出發，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 與路段AB的距離相等嗎？為什么？
A
B
C
D
E
解：D,E與線段AB的距離相等.
∵C是路段AB的中點，
∴AC=BC.
∵DA⊥AB ， EB⊥AB ，
∴∠A=∠B=90°.
CD=CE，
AC=CB，
在Rt△ADC 和Rt△BEC 中，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△BEC (HL).
∴　AD =BE.
∴ D,E與線段AB的距離相等.
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
2.如圖，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E ，F，CE =BF．求證：（1）AE =DF ; （2）CD//AB.
A
B
C
D
E
F
分析： CE-EF=BF-EF,即CF=BE
Rt△ABE ≌ Rt△DCF（HL）
　AE=DF
∠B=∠C
　CD//AB
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
2.如圖，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E ，F，CE =BF．求證：（1）AE =DF ; （2）CD//AB.
A
B
C
D
E
F
證明：∵CE=BF，
∵AE⊥BC ， DF⊥BC ，
∴∠AEB=∠DFC=90°.
AB=DC，
CF=BE，
在Rt△ABE 和Rt△DCF 中，
∴　 Rt△ABE ≌ Rt△DCF （HL）．
∴　AE=DF ， ∠B=∠C.
∴　CD//AB.
∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
3.如圖，已知AB=AC，AE=AF， AE⊥EC，AF⊥BF，
垂足分別是點E、F.求證：∠1=∠2.
A
B
C
E
F
1
2
證明：∵　AE⊥EC，AF⊥BF ，
∴∠E=∠F=90°.
在Rt△AEC 和 Rt△AFB 中，
AC =AB，
AE =AF，
∴Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL）.
∴∠EAC=∠FAB.
∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC.
∴∠1=∠2.
對照練習
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
4.如圖 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
證明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
1.(2025·重慶)學習了角平分線和尺規作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發現了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進行交流，現在你作為她的同伴，請根據她的想法與思路，完成以下作圖和填空:
第一步:構造角平分線.
小紅在∠AOB的邊OA上任取一點E，并過點E作了OA的垂線(如圖).請你利用尺規作圖，在OB邊上截取OF=OE，過點F作OB的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線OP,OP即為∠AOB的平分線(不寫作法，保留作圖痕跡).
第二步:利用三角形全等證明她的猜想.
證明:∵PE⊥OA，PF⊥OB,
∴∠OEP=∠OFP=90°.
在RtΔOEP和RtΔOFP中,
① ，
② ，
∴ Rt ΔOEP≌Rt ΔOFP(HL)
∴ ③ .
∴OP平分∠AOB
①PO=PO; ②OE=OF;③∠EOP= ∠FOP
對應中考
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
2.(2023·浙江)如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，0為AC邊上一點，連結OB，以OC為半徑的半圓與AB邊相切于點D，交AC邊于點E.
求證:BC=BD.
證明:如圖，連接OD，
∵BD是⊙O的切線，點D為切點，
∴∠ODB=90°，
∠ACB=90°，
∴RtΔODB≌RtΔOCB(HL).
∴BC=BD.
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
我親歷了什么
我知道了什么
我會什么
用“HL”判定直角三角形全等
獨立書寫用“HL”判定直角三角形全等的步驟
推導判定兩個直角三角形全等的條件
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
斜邊和一直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）
基本事實：
知識點 用“HL”判定直角三角形全等
（1）“HL”是僅適用于直角三角形的特殊方法.
兩個“△”前要加“Rt”.
（2）注意對應相等.
”HL”中“H”代表斜邊，“L”代表直角邊.
“斜邊-直角邊”順序不要混淆.
在Rt△ABC 與 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB ＝A′B′
BC ＝ B′C′
課堂小結
情境導入
合作探究
抽象概括
課堂練習
示范講解
課堂小結
課后作業
A層：P43：習題14.2：11題.
B層：P43：習題14.2：12題.
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